2916

Курс Теоретической Механики

Шпаргалка

Физика

Курс Теоретической Механики. Теоретическая механика – изучает равновесие и движение тел под действием приложенных к ним сил. СТАТИКА. Статика рассматривает: замена одной системы сил другой, ей эквивалентной, равновесие тел под действием при...

Русский

2012-10-21

1.71 MB

16 чел.

Курс Теоретической Механики.

Теоретическая механика – изучает равновесие и движение тел под действием приложенных к ним сил.

СТАТИКА.

Статика рассматривает:

= замена одной системы сил другой, ей эквивалентной,

= равновесие тел под действием приложенных к ним сил.

Основные понятия:

Сила – мера механического взаимодействия между телами.

Действие силы на тело характеризуется тремя параметрами:

= точка приложения силы,

= направление действия силы,

= величина (модуль) силы.

  ,

где Fx, Fy, Fz – проекции силы на оси координат, F – модуль (величина) силы.

Система сил – совокупность сил, действующих на тело.

(, , … ,) – система, действующая на одно тело.

Эквивалентная система сил - система сил, заменяющая действия на тело данной системой сил.

(, , ,…,) равносильно (,,,…, )

Равнодействующая сила – сила, эквивалентная данной системе сил.

(, , … ,) равносильно (равнодействующая).

Свободное тело – тело, которое может как угодно перемещаться в пространстве.

Уравновешенная система сил – система сил, под действием которой тело может находиться в покое.

(, , … ,) равносильно 0.

Абсолютно твёрдое тело – тело, у которого расстояние между любыми двумя точками остаётся постоянным независимо от сил, действующих на тело.

АВ = const.

Аксиомы статики:

Аксиома 1:  Если свободное тело находится в равновесии под действием двух сил, то эти силы равны по величине и направлены в противоположные стороны по прямой, проходящей через точки приложения сил.

= -, = ,

(,) = 0

Аксиома 2:  Действие системы сил на тело не изменится, если к телу приложить или отнять от него уравновешенную систему сил.

(,) = 0

(, , , ) равносильно (,)

Следствие: Действие силы на тело не изменится, если точку приложения силы переместить вдоль линии действия силы.

(, ) = 0

=  =

(, ) = 0

() = (, , ) = ()

Аксиома 3:  Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке абсолютно твёрдого тела равна по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах.

=+

Аксиома 4:  Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и направлены в противоположные стороны по одной прямой.

= -

Аксиома 5:  Если деформируемое тело находится в равновесии под действием системы сил, то равновесие тела не нарушится, если тело «потвердеет»

Реакции связей. Связи.

Несвободное тело – тело, которое не может как угодно перемещаться в пространстве.

Связи – тела, ограничивающие перемещения рассматриваемого тела.

Реакции связей – силы, с которыми связи действуют на рассматриваемое тело.

Типы связей и их реакции.

1. Гладкая поверхность

2. Гибкая связь

3. Неподвижный цилиндрический шарнир

4. Подвижный цилиндрический шарнир

5. Невесомый стержень с шарнирами на концах

6. Жёсткая заделка

- момент жёсткой заделки. Препятствует перемещению.

Аксиома связей:  Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их действия на тело реакциями связей.

Момент силы относительно точки.

Момент силы относительно точки характеризует стремление силы повернуть тело относительно этой точки.

Алгебраический момент силы относительно точки – взятое с соответствующим знаком произведение модуля силы на плечо силы.

, где F – модуль силы,

h – плечо силы.

Векторный момент силы относительно точки.

1)  - приложен в точке О;

2)  - перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ;

3) С конца вектора  наблюдается стремление силы повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки.

4)

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси характеризует стремление тела повернуться вокруг данной оси.

Порядок определения момента силы относительно оси.

1. Провести плоскость, перпендикулярную оси.

2. Спроецировать силу на эту плоскость.

3. Определить алгебраический момент проекций силы относительно точки пересечения оси и плоскости.

В случае равенства нулю момента силы относительно оси:

1)                                    (). Ось и сила параллельны.

2)                         (h = 0). Линия действия силы пересекается с осью.

Связь между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку.

Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку равна моменту силы относительно этой оси.

Пара сил.

Пара сил – совокупность двух равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

= Пара сил не имеет равнодействующей.

= Пару сил можно заменить только парой сил.

Действие пары сил на тело определяется следующими параметрами:

1) плоскость действия пары,

2) направление вращения пары,

3) моментом пары.

(,) – пара сил.

= -

Алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент пары сил – взятое с противоположным знаком произведение модуля силы пары на плечо пары.

Обозначается: m или m(,).

, где F1, F2 – модули сил пары,

dплечо пары.

Теорема о сумме моментов сил пары относительно точки.

(смотри рис. 1)

Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки, лежащей в плоскости действия пары, равна алгебраическому моменту пары сил.

Теорема об эквивалентных парах.

Эквивалентные пары – две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные алгебраические моменты.

Дано:

(,) и (,) – пары сил.

Если

, то

Следствия:

1. Пару сил можно как угодно перемещать и поворачивать в плоскости действия пары.

2. У пары сил можно изменять плечо и силы пары, но так, чтобы алгебраический момент пары оставался неизменным.

Пример:

  

Теорема о параллельном переносе пары.

Действие пары сил на тело не изменится, если пару сил перенести в плоскость, параллельную плоскости действия пары.

Плоскость I  ׀׀ Плоскости II  

Векторный момент пары сил.

Обозначается: или (,).

1) Вектор перпендикулярен плоскости действия пары.

2) С конца вектора  наблюдается стремление пары повернуть тела против хода часовой стрелки.

3)

Векторный момент пары – есть вектор свободный.

Теорема о сложении двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях.

Дано:

и  - векторные моменты пар

(,) – пара сил

Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях эквивалентны одной паре, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар.

Сложение пар сил как угодно расположенных в пространстве.

Дано:

,, .. , - векторные моменты пар сил.

(1) – векторный момент эквивалентной пары сил.

Спроецировав (1) на оси координат, получим:

- проекции векторного момента эквивалентной пары на оси координат.

Условие равновесия тела под действием системы пар.

=0 или =0  (2)

Спроецировав (2) на оси координат, получим:

 

Произвольная пространственная система сил.

Произвольная пространственная система сил – линия действия сил как угодно расположенных в пространстве.

Теорема о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой либо точке твердого тела эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела и паре сил, векторный момент которой равен векторному моменту силы, приложенному к начальной точке относительно новой точки приложения силы.

(,) равносильны 0, =

(,) – пара сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к заданному центру.

Цель приведения: замена данной системы сил другой, ей эквивалентной, но более простой.

Дано: (,,…,) – произвольная пространственная система сил

Точка О – центр приведения.

=   

=  

            …

=  

- главный вектор системы сил - геометрическая сумма сил системы.

- главный момент системы сил относительно центра приведения – геометрическая сумма векторных моментов системы сил относительно центра приведения.

Произвольная пространственная система сил эквивалентна  одной силе, приложенной в центре приведения (главному вектору ) и паре сил, векторный момент которой называется главным моментом системы сил относительно центра приведения.

(,,…,)~(,)

! Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения, а главный момент системы сил зависит от центра приведения.

Определение главного вектора и главного момента системы сил.

Определение главного вектора и главного момента системы сил.

Спроецировав уравнение (1) на оси координат, получим:

- проекции главного вектора на оси координат.

Главный момент системы сил относительно центра приведения.

Спроецировав уравнение (2) на оси координат, получим: 

- проекции главного момента на оси координат.

Условия и уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

Условия равновесия тела.

или

Уравнения равновесия тела.

Спроецировав уравнения (3) и (4) на оси координат, получим:

- уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

Пространственная система параллельных сил.

Пространственная система параллельных сил – такая система сил, в которой линии действия сил параллельны.

Oz ||

Пространственная система сходящихся сил.

Пространственная система сходящихся сил - такая система сил, в которой линии действия сил пересекаются в одной точке.

 - равнодействующая.

  

Спроецировав уравнение (5) на оси координат, получим:

 

- уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил.

Произвольная плоская система сил.

Произвольная плоская система сил – такая система сил, в которой линии действия сил расположены в одной плоскости и как угодно ориентированы в ней.

Линии действия сил лежат в одной плоскости.

Ох, Оу – лежат в плоскости действия сил.

 

- уравнения равновесия произвольной плоской системы сил (основная     форма уравнения равновесия)

ІІ форма уравнения равновесия.

a,b,c – не принадлежат одной прямой.

ІІІ форма уравнения равновесия.

Ох не перпендикулярна АВ (α≠90°)

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Статически определимые задачи – такие задачи, в которых число искомых величин равно числу уравнений равновесия.

3 уравнения равновесия

3 искомых величины (,,)

Статически неопределимые задачи – такие задачи, в которых число искомых величин больше числа уравнений равновесия.

3 уравнения равновесия

4 искомых величины (,,,)

Равновесие системы тел под действием произвольной плоской системы сил.

Система сил – совокупность твёрдых тел, соединённых между собой связями.

Классификация связей.

Внешние связи – связи, соединяющие тела системы с телом, не входящим в систему тел.

Шарниры А и С – внешние связи.

Внутренние связи – связи, соединяющие между собой тела системы.

Шарнир В – внутренняя связь.

Классификация сил.

Внешние силы – силы, с которыми тела, не входящие в систему тел действуют на тела системы.

Внешние силы -  , , , , , .

Внутренние силы – силы, с которыми взаимодействуют с собой тела системы.

Внутренние силы - , , , .

,

,

Свойства внутренних сил системы тел.

геометрическая сумма внутренних сил в системе равна нулю.

При решении задач на равновесие системы тел определяются реакции внешних и внутренних связей. Применяется метод расчленения: система тел расчленяется на отдельные тела и рассматривается равновесие каждого тела под действием заданных сил и реакций отброшенных связей.

1 метод: Рассмотрим равновесие всей системы и одного тела.

3 уравнения равновесия

4 неизвестных:

3 уравнения равновесия

2 неизвестных:

Итого: 6 уравнений равновесия

           6 неизвестных

2 метод: Рассмотрим равновесие каждого тела.

3 уравнения равновесия

4 неизвестных: ,,,

,

3 уравнения равновесия

2 неизвестных: ,

Итого: 6 уравнений равновесия

           6 неизвестных.

КИНЕМАТИКА.

Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел независимо от сил, под действием которых происходит движение.

В кинематике считается, что движение тела задано.

Система отсчёта – система координат, жестко связанная с телом, относительно которого рассматривается движение других тел.

Кинематика точки.

Способы задания движения точки:

  1.  векторный
  2.  координатный
  3.  естественный.

Относительные характеристики движения точки:

  1.  положение точки относительно системы отсчёта
  2.  траектория точки
  3.  скорость точки
  4.  ускорение точки.

Векторный способ задания движения точки.

Задаётся:

  1.  система отсчёта xyz
  2.  векторное уравнение движения точки .

Траектория точки:

Траектория точки – годограф радиус-вектора точки.

Годограф – линия, которую описывает радиус-вектор точки.

Скорость точки:

- скорость точки равна первой производной по времени от её радиус-вектора и   направлена по касательной к траектории точки.

Ускорение точки:

- ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от её радиус-вектора.

Координатный способ задания движения точки.

Задаётся:

1) системой отсчета xyz

2) уравнениями движения точки:

, , .

Траектория точки:

Уравнения движения точки являются параметрическими уравнениями траектории точки. Исключив из них время t, получим уравнения движения точки.

Скорость точки:

;

- проекции скорости точки на оси координат равны первым производным по времени от   соответствующих координат точки.

- модуль скорости.

Ускорение точки:

- проекции ускорения точки на оси координат равны первой производной по времени от соответствующих проекций скорости точки на оси координат, или второй производной  по времени от соответствующих координат точки.

- модуль ускорения.

Естественный способ задания движения точки.

Задаётся:

1)система отсчета xyz

2)траектория точки:

3)начало отсчёта на траектории точки - O´

4)положительное и отрицательное направление

5)закон (уравнение) движения точки

Траектория точки:

Задана.

Скорость точки:

;

- проекция скорости на касательную.

- единичный вектор касательной. Всегда направлен в положительном направлении.

- скорость точки (вектор)

- проекция скорости точки на касательную.

- модуль скорости точки.

Естественный трёхгранник.

Вкторы и  лежат в одной плоскости Н

При М1 → М;  

Плоскость Н будет поворачиваться по касательной, по которой  направлен вектор .

Соприкасающаяся плоскость – предельное положение плоскости Н.

Нормальная плоскость – плоскость, проходящая через точку М перпендикулярно касательной.

Главная нормаль – линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскости..

Спрямляющая плоскость – плоскость, проходящая через точку М перпендикулярно главной нормали.

Бинормаль – линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей.

Естественный трёхгранник – трёхгранник, образованный пересечением соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей.

Оси естественного трёхгранника (естественные оси) – Три взаимно перпендикулярные оси: касательная, главная нормаль и бинормаль.

,, - единичные векторы осей естественного трёхгранника.

Естественный трехгранник движется вместе с точкой М.

Кривизна линий.

∆φ – угол смежности.

- средняя кривизна линии на участке АВ.

- кривизна линии в точке.

- радиус кривизны линии точки.

Окружность.

Прямая.

; ; /

Ускорение точки при естественном способе задания её движения.

,  - единичный вектор касательной.

 

- касательная составляющая ускорения точки, направлена по касательной к траектории точки

- касательное ускорение точки.

- нормальная составляющая ускорения точки, направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории точки.

- нормальное ускорение точки.

Проекции ускорения точки на оси естественного трёхгранника.

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости.

- проекция ускорения точки на касательную.

- проекция ускорения точки на главную нормаль.

- проекция ускорения точки на бинормаль.

Кинематика твёрдого тела.

Виды движения твёрдого тела:

1) поступательное;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) плоскопараллельное;

4) движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение);

5) движение свободного твёрдого тела.

Поступательное движение твёрдого тела.

Поступательное движение твёрдого тела – такое движение тела, при котором любая прямая, взятая в теле остается параллельной своему начальному положению.

АВ || А´В´ || А´´В´´

Теорема:

При поступательном движении твёрдого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый промежуток времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Дано:

Тело движется поступательно.

(1)

АВ = const

У А и В траектории одинаковы.

Продифференциировав по времени уравнение (1), получим:

(2)

Продифференциировав по времени уравнение (2), получим:

Следствие:

Изучение поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения какой-либо точки твёрдого тела. Обычно рассматривают движение центра масс твёрдого тела.

C – центр масс тела.

- уравнения поступательного движения твёрдого тела.

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси – такое движение тела, при котором две его точки остаются неподвижными.

Неподвижная ось вращения тела – прямая, проходящая через неподвижную точку вращения тела.

P – неподвижная поуплоскость

Ø – подвижная полуплоскость

φ – угол поворота тела

φ>0 – поворот тела в положительном направлении

φ<0 - поворот тела в отрицательном направлении

- уравнение движения твёрдого тела.

Угловая скорость твёрдого тела (ω):

- угловая скорость твёрдого тела - первая производная по времени от угла поворота тела.

;

Угловое ускорение твёрдого тела (ε):

- угловое ускорение тела – первая производная по времени угловой скорости иливторая производная по времени от угла поворота тела.

Виды вращения твёрдого тела:

1) Равномерное вращение

; ;  - начальный угол поворота тела.

; ;

;

2) Равнопеременное вращение

;

; , где  - начальная угловая скорость.

; ;

;

3) Общий случай вращения.

; ;

; ; ;

; .

Траектория, скорость и ускорение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

;

Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси задаётся:

1) Ось вращения

2) Направление вращения

3) Угловая скорость тела

- вектор угловой скорости тела.

  1.  Вектор  направлен по оси вращения, то есть мы задали ось вращения.
  2.  С конца вектора наблюдается вращение твёрдого тела против хода часовой стрелки.
  3.  Модуль вектора :

Вектор - вектор скользящий.

Вектор углового ускорения твёрдого тела:

- проекция вектора  на ось Оz;  - единичный вектор.

;  - проекция вектора  на ось Оz;

Вектор  - вектор скользящий.

Если , то движение – равноускоренное, или равнозамедленное.

Векторная формула Эйлера.

Покажем, что

V  плоскости

плоскости

- векторная формула Эйлера

Ускорение точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

- касательная составляющая ускорения точки,

- нормальная составляющая ускорения точки.

Сложное движение точки.

Основные понятия:

Имеем:

- неподвижная система координат.

- подвижная система координат.

Относительное движение точки М – движение точки М относительно подвижной системы координат .

Скорость и ускорение точки М относительно подвижной системы координат  называют относительными.

- относительная скорость.

- относительное ускорение.

Переносное движение.

Переносное движение – движение подвижной системы координат  относительно неподвижной системы координат .

В общем случае рассматриваем движение системы координат, связанное со свободным твёрдым телом.

Движение свободного твёрдого тела рассматривается как совокупность двух движений.

Скорость и ускорение той точки подвижной системы координат , с которой совпадает точка М относительно неподвижной системы координат  называются переносными.

- переносная скорость точки М

- переносное ускорение точки М

Абсолютное движение точки – движение точки М относительно неподвижной системы координат .

- абсолютная скорость точки М 

- абсолютное ускорение точки М

Теорема о сложении скоростей.

Абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме её относительной и переносной скорости.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений:  относительного, переносного, кориолисова.

 

- относительное ускорение,

- переносное ускорение,

- кориолисово ускорение.

- ускорение Кориолиса.

Определение направления ускорения Кориолиса. Правило векторного произведения.

плоскости (,).

Правило Жуковского.

  1.  Через точку М провести плоскость, перпендикулярную вектору.
  2.  Спроецировать вектор  на эту плоскость.
  3.  Эту проекцию в этой плоскости повернуть на угол 90° в сторону переносного вращения.

Модуль ускорения Кориолиса.

Случай равенства 0 ускорения Кориолиса:

1)

2)

3) ,т.е

ускорение Кориолиса равно 0, если вектора  и  - коллинеарные.

Ускорение точек плоской фигуры.

Имеем:

x1O1y1 неподвижная система координат.

Точка О – полюс плоской фигуры.

x2Oy2 – движущаяся поступательно система координат.

Точка М совершает сложное движение. По теореме Кориолиса:

Так как x2Oy2 движется поступательно, то

- ускорение полюса.

Так как x2Oy2 движется поступательно, то

- ускорение точки М во вращательном движении вместе с плоской фигурой относительно полюса.

- касательная составляющая ускорения точки М относительно полюса.

- нормальная составляющая ускорения точки М относительно полюса.

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки М во вращательном движении относительно полюса.

Расчетная схема:

Имеем:

Точка О – полюс плоской фигуры.

- ускорение полюса.

- угловая скорость полюса плоской фигуры.

- угловое ускорение полюса плоской фигуры.

 

ОМ в сторону дуговой стрелки .

- направлена к полюсу.

ДИНАМИКА

Динамика – раздел механики, в котором рассматривается движение тел или отдельных точек под действием сил, вызывающих это движение.

Инерциальные системы отсчёта.

Материальная точка – тело конкретной массы, размеры которого столь малы, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь.

Ньютон полагал, что существует абсолютно неподвижное пространство и внём существует абсолютно неподвижная система отсчёта, в которой дополняется принцип инерции Галлилея, сформулированный Ньютоном  в виде І Закона Динамики следующим образом:

Изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно (инерция) или находится в покое. Этот закон справедлив в инерциальных системах отсчёта.

x1y1z1 – движется равномерно, поступательно и прямолинейно, то она тоже является инерциальной.

ІІ Закон Динамики:

Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчёта пропорционально силе, и имеет направление  силы.

- сила (мера взаимодействия тел)

() - масса тела (мера инертности)

- ускорение

с – скорость света (300000 км/сек)

V – скорость тела

Vспутника = 40000 км/час

VЗемли = 108000 км/час

ІІІ Закон Динамики:

Силы взаимодействия двух материальных точек всегда равны по величине и действуют на одной прямой в противоположные стороны.

ІV Закон Динамики (независимость действия сил):

Ускорение, которое преобретает материальная точка от действия нескольких сил, равно геометрической сумме ускорений, которое преобрела бы точка от действия каждой силы в отдельности.

Дифференциальные уравнения движения точки.

,

 

- дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме.

 

- дифференциальные уравнения движения точки в прокциях на оси декартовых координат.

Принцип Даламбера.

…,  m – активные (заданные силы)

,, - реакции связей

- внешние силы

- внутренние силы

- активные силы

- равнодействующая реакций связей

- внутренняя сила, действующая на данную точку

- сила инерции, действующая на данную точку

Тогда, согласно принципу Даламбера, можно записать:

Сложим уравнения, получим:

  (1)

- главный вектор активных сил, действующих на систему.

- главный вектор реакций связей, наложенных на систему.

- главный вектор внутренних сил.

- главный вектор сил инерции.

(2)

Для всякой движущейся системы в любой момент времени геометрическая сумма главных векторов активных сил , реакций связей  и сил инерции  равно нулю.

- главный момент активных сил относительно центра О.

- главный момент реакций связей относительно центра О.

- главный момент внутренних сил относительно центра О.

- главный момент сил инерций относительно центра О.

(3)

Для движущейся системы геометрическая сумма моментов главных активных сил , реакций связей  и сил инерций  относительно любого центра (О) равна нулю.

 

- диференциальное уравнение ІІ порядка, описывающее движение свободного твёрдого тела.

Для системы тел необходимо составить соответствующее число уравнений для каждого тела.

Приведение сил инерции к простейшему виду:

Аналогично поступим и с силами инерции.

Следовательно, чтобы использовать принцип Даламбера необходимо уметь определить главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции .

Вернёмся к уравнению (2):

Обозначим:

- главный вектор внешних сил, тогда:

 

Вспомним теорему о движении центра масс:

, тогда

, т.е главный вектор сил инерции механической системы (твёрдого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс, и направлен в сторону, противоположную ускорению центра масс.

Рассмотрим выражение (3):

Обозначим:

- главный момент внешних сил. Тогда:

Вспомним теорему об изменении кинетического момента:

, тогда .

Главный момент сил инерции механической системы относительно центра О равен взятой со знаком "-" первой производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.

Рассмотрим частный случай:

а) поступательное движение твёрдого тела:

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют одинаковое ускорение, равное ускорению центра масс, тогда сила инерции являет собой систему параллельных сил, которые аналогично силе тяжести приводится к одной силе – равнодействующей, приложенной к центру масс.

Главный вектор сил инерции равен произведению массы тела на ускорение центра масс и направлен в сторону, противоположную ускорению.

, так как отсутствует относительное движение точек тела по отношению к центру масс

б) вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

Дано:

, так как центр масс лежит на оси вращения.

. Спроецируем на ось z:

Известно, что для твёрдого тела: , так как , то ; .

Момент сил инерции равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение  и направлен в сторону, противоположную ускорению .

в) плоско-параллельное движение тела:

Определение силы инерции тела при его вращении вокруг неподвижной оси.

, , так как

, то

Классификация связей.

Всё то, что вынуждает механическую систему совершать несвободное движение, незывается связями.

Как првило, в качестве связей выступают тела, не подлежащие рассмотрению в данной задаче, но контактирующие с телами рассматриваемой системы.

Следовательно, сущуствует бесчисленное множество видов связи.

Отвлекаясь от конкретного конструктивного оформления этих связей, их изображают схематично в виде:

= площадок,

= нитей,

= шарниров,

= подшипников,

= подпятников и так далее.

Однако, связи могут быть описаны и математически в виде уравнений, которые называются уравнениями связей.

Пример:

В зависимости от вида этих уравнений, связи делятся на:

1. Геометрические связи – связи, накладывающие ограничения на координаты точек системы.

Пример:

                     

Могут быть:

а) двусторонними (удерживающими).

Двусторонние связи – связи, накладывающие ограничения на взаимно противоположные перемещния точек системы.

Описываются уравнением.

б) Односторонними (неудерживающими)

Односторонние связи – связи, ограничивающие перемещение точек системы в одном напрвлении и неограничивающие перемещение их в противоположном напрвлении.

Описывается неравенством.

2. Кинематические связи – это связи, накладывающие ограничения не только на координаты, но и на скорости точек.

В зависимости от вида уравнений, связи делятся на:

а) голономные (совершенные) связи – это связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы.

В результате интегрирования кинематическая связь переходит в геометрическую.

б) неголономные (несовершенные) связи – это связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.

Пример:

Каток катится без скольжения.

- связь кинематическая.

После интегрирования:

3. Склерономные (стационарные) связи – это связи, в уравнениях которых время t явно не входит.

4. Реономные (нестационарные) связи – это связи, в уранение которых входит параметр – время t.

Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений позволяет в наиболее общем виде определить условия равновесия любой механической системы.

Свободная материальная точка – такая точка, перемещение которой в пространстве ничем не ограничено.

Свободная механическая система – это система, состоящая из свободных материальных точек.

Пример: солнечная система.

Несвободная материальная точка – такая точка, перемещение которой в пространстве ограничено.

Несвободная механическая система – это система, состоящая из несвободных материальных точек.

Любой механизм – несвободная механическая система.

Возможные и действительные перемещения.

Возможные (виртуальные) перемещения – воображаемые малые перемещения точек системы, допускаемое связями, наложенными на систему в данный момент времени.

и так далее.

Таким образом, возможные перемещения не зависят от действующих на систему сил, есть величины бесконечно малого порядка и не нарушают связей, наложенных на систему.

Пример:

Действительные перемещения – перемещения точек системы под действием приложенных сил.

,, и так далее.

Число степеней свободы.

В общем случае для всякой системы можно указать множество возможных перемещений, но у каждой системы можно указать ограниченное число таких возможных перемещений, которые являются независимыми друг от друга, и позволяют определить положение всех точек системы. Таким образом, число независимых возможных перемещений, однозначно определяющих положение системы, называется числом степеней свободы системы.

Пример:

Идеальные связи.

Идельные связи – это связи, для которых сумма элементарных работ реакций связи на любом возможном перемещении равна нулю.

Делятся на:

а) идеальная гладкая поверхность ()

б) абсолютно твёрдая шороховатая поверхность при качении по ней твёрдого тела без скольжения

,

, так как точка К – мгновенный центр скоростей.

в) работа реакции шарнира без учёта сил трения

г) абсолютно твёрдое тело и связь при помощи гибкой нерастяжимой нити

Принцип возможных перемещений позволяет определять условия равновесия любой системы, расматривая её в целом.

Принцип Лагранжа.

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные, двухсторонние, голономные, идеальные связи необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, действующих на систему сил на любом возможном перемещении системы из занимаего положения была бы равна нулю.

Общее уравнение динамики.

При выводе общего уравнения динамики последовательно используется сначала принцип Даламбера, а затем принцип возможных перемещений.

Принцип Даламбера состоит в том, что для всякой  движущейся системы в любой момент времени геометрическая сумма активных сил, реакций связей и сил инерций равна нулю.

То есть, под действием указанных сил система находится в равновесии. Далее, поскольку система находится в равновесии, то, согласно принципу возможных перемещений сумма элементарных работ, действующих на систему сил на любом возможном перемещении должна быть равна нулю.

Полагая, что связи, наложенные на систему являются идеальными, то есть , получим:  или .

По сути, это есть дифференциальное уравнение ІІ порядка и позволяет изучать движение любой механической системы. Для этого введём понятия обобщенных координат q и обобщённых сил Q.

Обобщённые координаты.

Известно, что положение системы определяется числом независимых возможных перемещений. Поскольку эти возможные перемещения – есть величины бесконечно малого порядка, то они являются вариациями некоторых параметров, независимых друг от друга, и также определяющих положение сстемы. Таким образом, независмые параметры, однозначно определяющие положение, называются обобщёнными координатами (q). Обобщённые координаты могут иметь разный физический смысл.

,

,

и так далее.

Производная от обобщённой координаты – есть обобщённая скорость, размерность которой зависит о размерности ообщённой координаты.

Таким образом, если положение системы определяется  обобщёнными координатами, то система имеет S степеней свободы.

Обобщённые силы.

Рассмотрим систему, состоящую из n числа точек, имеющую S степеней свободы:

n, F1, F2…Fn

S

q1, q2… qS

Сообщим системе такое возможное перемещение, при котором обобщенная возможная координата q, получит возможное перемещение , а остальные обобщённые координаты останутся без изменения.

, где индекс «1» означает, что данное приращение радиус-вектора получено за счёт изменения обобщённой координаты q1.

Поскольку остальные обобщённые координаты остались без изменения, то

Найдём элементарную работу сил на этом возможном перемещении:

(1), где

(2)

- есть обобщённая сила, соответствующая обобщённой координате q1, то есть это такая сила, которую нужно приложить к системе, чтобы обобщённая координата q1 получила бы возможное перемещение δq1, а остальные обобщённые координаты остались бы без изменения.

Сообщим системе такое возможное перемещение, при котором обобщённая координата q2 получит соответствующее изменение δq2, а остальные обобщённые координаты останутся без изменения.

; .

Сообщим системе такое возможное перемещение, при котором все обобщённые координаты получат соответствующие приращения. Тогда:

;

Случай сил, имеющих потенциал:

Пусть система, состоящая из n числа точек и имеющая S степеней свободы, находится в потенциальном силовом поле, то есть существует силовая функция U, которая зависит от координат точек.

(3)

Поскольку система имеет S степеней свободы, то её положение определяется  обобщёнными координатами.

(4)

Подставим выражение (4) в выражение (3).

Сообщим системе такое возможное перемещение, при котором все обобщённые координаты получат соответствующие приращения и найдём приращение силовой функции :

(5)

При этом элементарная работа сил поля:

(6)

Известно, что

Так как , то, сравнивая (5) и (6), получим, что:

, ,…,

Поскольку , то получим:

, ,…,

Таким образом, если силы,, действующие на систему, являются потенциальными, то обобщённые силы равны частным производным от потенциальной энергии П по соответствующим обобщённым координатам, взятыми с противоположным знаком.

Условие равновесия механической системы в обобщённых координатах.

Известно, что для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы  или . (7)

Поскольку вариации обобщённых координат являются независимыми друг от друга и, в общем случае, не равны нулю, нужно, чтобы , ,…,.

Для равновесия системы с голономными удерживающими, стационарными, идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщённые силы, соответствующие выбранным обобщёным координатам были бы равны нулю.

Случай потенциальных сил:

Если система находится в потенциальном силовом поле, то

, ,…,

или

, ,…,

То есть положения равновесия системы могут быть только при тех значениях обобщённых координат, при которых силовая функция U и потенциальная энергия П имеют экстремальные значения (max или min).

Понятие об устойчивости равновесия.

Определив положения, в которых система может находиться в равновесии, можно определить какие из этих положений реализуемые, а какие  нереализуемые, то есть определить: какое положение является является устойчивым, а какое – неустойчивым.


В общем случае необходимый признак устойчивости равновесия по Ляпунову можно сформулировать следующим образом:

Выведем систему из положения равновесия, сообщив небольшие по модулю значения обобщённых координат и их скоростям. Если при дальнейшем рассмотрении системы обобщённые координаты и их скорости будут оставаться по модулю малымивеличинами, то есть система не будет далеко отклоняться от положения равновесия, то такое положение равновесия – устойчиво.

Достаточное условие устойчивости равновесия системы определяется теоремой Лагранжа-Дирихля:

Если в полодении равновесия механической системы с идеальными связями потенциальная энергия имеет минимальное значение, то такое положение равновесия – устойчивое.

,  - устойчивое.

Линия действия силы

y

x

z

xA

A

zA

yA

Равносильно

Равносильно

Равносильно

А

В

А

В

В

А

В

А

Равносильно

В

А

O

FA

FB

A

B

Р

А

В

С

А

В

х

А

у

А

А

А

А

В

А

В

+

-

О

О

А

В

h

О

h1

h2

z

Q

z

z

о

α

β

О

А

В

y

x

z

А

В

d

a

O

Рис 1.

Равносильно

Равносильно

10 см

10 см

I

I

II

Равносильно

А

В

d

Плоскость действия пары сил

А

В

О

y

x

z

А

В

А

В

А

В

равносильно

О

~

x

y

z

O

y

x

z

O

O

z

x

y

y

x

z

O

А

В

х

А

В

х

А

В

С

x

y

І

ІІ

А

В

С

x

y

І

ІІ

А

В

y

І

А

В

С

x

y

І

ІІ

А

В

y

І

В

С

x

ІІ

O

x

z

y

A

B

C

O

x

z

y

A

M

O

x

z

y

М

O

x

z

y

М

y

x

z

O

x

z

y

М

x

S

S – дуговая координата

М

О1

-

+

М

О1

-

+

М

О1 х

+

-

М1

Н

Спрямляющая плоскость

Нормальная плоскость

Соприкасающаяся плоскость

Главная нормаль

Касательная

Бинормаль

М

О1

+

-

∆φ

S

A

B

O

R

dS

A

B

А

В

dS

M

O1

+

-

А

В

В´

В´´

А´

А´´

O

x

z

y

B

A

О

z

x

y

xc

yc

zc

C

Р

Ø

φ

-

+

z

-

+

P

ω

-

+

P

ω

-

+

P

ε

-

+

P

ε

ε

ω

ε

ω

Ускоренное движение

Замедленное движение

R

z

O

M

M

M0

S

z

z

z

Ускоренное вращение

Замедленное вращение

z

О1

R

О

M

z1

y1

x1

O1

A

z2

y2

x2

O2

B

z1

y1

x1

O1

z

y

x

O

М

z1

y1

x1

O1

z

y

x

O

MOB

М

М

y1

x1

x2

y2

O1

O

M

y1

x1

O1

O

M

В

О1

z1

y1

x1

Гелиоцентрическая система отсчёта

1

2

В

z

x

y

А

В

х

у

m

А

В

х

у

m

Вk

z

x

y

O

Равносильно

Равносильно

С

C

O

z

y

x

O

С

O

z

x

y

l

l

y

Связи

Склерономные

(стационарные)

Геометрические

Реономные

(нестационарные)

Кинематические

Двусторонние

(удерживающие)

Односторонние

(неудерживающие)

Голономные

(совершенные)

Неголономные

(несовершенные)

O

z

x

- нить

В(x,y,z)

В1(x1,y1,z1)

В2(x2,y2,z2)

l

- стержень

y

z

x

y

x

O

С

xС

уС

O

B

A

M

O

B

A

M

2 степени свободы

3 степени свободы

6 степеней свободы

1 степень свободы

Пр= Пр

dS

Mkp

k

О

О

у

х

С

хС

О

х

l

B

О

х

у

l

R

О

х

у

l

R

S

х

у

О

V

у

Вk

z

x

y

O

О

О

С

С

Устойчивое

Неустойчивое

Неустойчивое

Устойчивое

Безразличное


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76354. Галоидные и другие методы контроля герметичности 546.5 KB
  Особенности массспектрометрического контроля герметичности. Общие критерии оценки герметичности сварных и паяных соединений Манометрический метод контроля герметичности изделий основан на регистрации изменения испытательного давления контрольного или пробного вещества в результате имеющихся в изделии неплотностей. В качестве контрольного вещества при манометрическом методе контроля в зависимости от требований к контролю могут быть применены рабочие жидкости вода а также газы воздух азот аммиак аргон а в ряде случаев гелий.
76355. Индикаторные и экспресс - методы контроля 262 KB
  Краткая характеристика экспресс методов контроля: стилоскопирование измерение твёрдости травление поверхностей. Целью Эконтроля является обнаружение и определение координат источников сигналов акустической эмиссии связанных с поверхностными или внутренними дефектами исследуеиого объекта рис.2 приведена схема контроля стыкового сварного соединения.
76356. Неразрушающий контроль оборудования АЭС 138 KB
  Контроль сварных соединений оборудования АЭС. ПНАЭГ703191 УЗК Унифицированные методики контроля основных материалов полуфабрикатов сварных соединений и наплавки оборудования и трубопроводов АЭУ Часть 3 ПНАЭ Г703291 УЗК Унифицированные методики контроля основных материалов полуфабрикатов сварных соединений и наплавки оборудования и трубопроводов АЭУ Часть 4 ПНАЭ Г703091 УЗК Унифицированные методики контроля основных материалов полуфабрикатов сварных соединений и наплавки оборудования и трубопроводов АЭУ Часть 2 продолжение...
76357. Разрушающий контроль при изготовлении оборудования АЭС 236 KB
  Неразрушающий контроль оборудования АЭС окончание. Разрушающий контроль при изготовлении оборудования АЭС начало. Контроль сварных соединений оборудования АЭС. Таблицы контроля качества устанавливают необходимость выполнения конкретных контрольных операций.
76359. Ультразвуковой контроль - дефектоскопия и толщинометрия 166.5 KB
  Сущность эхо-импульсного метода УЗК. Ввод и приём УЗ колебаний, мёртвые зоны и способы их сокращение. Эталонирование чувствительности УЗК. Основные этапы разработки методики производственного УЗ контроля. Расшифровка и представление результатов УЗК.
76360. Качество продукции и технический контроль 24.15 KB
  Качество продукции и технический контроль. Качество продукции и технический контроль. Основные понятия относящиеся к качеству продукции. Основные понятия относящиеся к качеству продукции определяются стандартами...
76361. Неразрушающий контроль (НК) и аттестация изделий 61.4 KB
  Диаграмма испытаний график зависимости нагрузки от абсолютной деформации образца. Начальная расчетная длина образца lo участок рабочей длины образца между нанесенными метками до испытания на которое определяется удлинение. Напряжение течения σ напряжение превышающее предел текучести определяемое отношением нагрузки к действительной для данного момента испытаний площади поперечного сечения образца при равномерном деформировании. Предел прочности σв напряжение соответствующее наибольшей нагрузке предшествующей разрыву образца.
76362. Задачи визуального и измерительного контроля (ВИК) 369.73 KB
  Способность правильно различать основные цвета называется нормальной трихромазией. Минимальный ахроматический интервал у красного цвета что несмотря на плохую чувствительность глаза в той области является одной из причин использования красного цвета для сигналов опасности или запрета. Цветоведение колористика наука о цвете включающая знания о физической природе цвета и его основных характеристиках ахроматических и хроматических цветах дополнительных и контрастных цветах колорите и цветовой гармонии.Все цвета по своим физическим...