2920

Электрические машины

Конспект

Энергетика

Получение теоретических и практических знаний по математическим методам исследования электромеханических переходных процессов в электрических машинах (ЭМ), влияния различных технологических факторов и параметров ЭМ и питающей сети на статические и д...

Русский

2012-10-21

1.68 MB

85 чел.

Получение теоретических и практических знаний по математическим методам исследования электромеханических переходных процессов в электрических машинах (ЭМ), влияния различных технологических факторов и параметров ЭМ и питающей сети на статические и динамические характеристики. Ясное понимание физических явлений, имеющих место при переходных процессах ЭМ, умение давать количественную оценку изменения величин токов, напряжений, для обоснованного выбора более технологичных конструктивных решений, наиболее рациональных технологических приемов и оборудования при организации выпуска ЭМ на современном специализированном предприятии.

Введение. Основные понятия и положения

Место электрических машин в промышленности.

Тенденции развития электромашиностроения:

  1.  Рост единичной мощности установок (гидрогенераторы до 800-1000 МВт, турбогенераторы до 2000 МВт);
  2.  Повышение удельного использования материалов.

Задачи исследования:

  1.  Исследование переходных процессов в ЭМ:

А) Исследование электромагнитных переходных процессов в ЭМ (статические электромагнитные устройства либо электромеханические преобразователи энергии при неподвижном роторе или роторе вращающемся с неизменной частотой вращения);

Б) Исследование электромеханических переходных процессов в ЭМ (с учётом изменения частоты вращения ротора).

  1.  Исследование статистических характеристик ЭМ.

Установившийся режим – параметры постоянны или изменяются циклически. Из расчёта переходных процессов можно получить статистические режимы, а из расчёта статистических характеристик переходные режимы получить нельзя.

а) б)

Рис.1 Статические а) и переходные б) характеристики ЭМ.

Методы исследования:

  1.  Экспериментальные исследования – не всегда доступно и часто опасно.
  2.  Математическое моделирование – очень эффективный метод. Основной вопрос – насколько модель адекватна объекту исследования.

Математическая модель – устанавливает взаимосвязь между параметрами объекта совокупностью формул.

Программа – это конкретная реализация математической модели (рассчитывает поведение модели при определённых условиях).

Характеристики математических моделей электрических машин:

  •  Сложность;
  •  Наличие периодических коэффициентов в уравнениях;
  •  Наличие нелинейных связей.

Математические модели ЭМ:

А) Уравнения баланса напряжений (описывается законом Кирхгофа).

Система дифференциальных уравнений pΨi=f(Ui,Ii).

2. Система алгебраических уравнений связиf(Li,Mji,Ij).

Этой группы уравнений достаточно для анализа электромагнитных переходных процессов.

Б) Уравнения движения p=f(mi,mc).

А+Б= моделирование электромеханических переходных процессов.

Методы решения ММ –методы расчета статических и переходных режимов:

1. Аналитические методы.Применяются с очень серьёзными допущениями. Сфера применения: качественный анализ процессов и характеристик.

2. Численные методы.

3. Комбинированные методы. С одной стороны - аналитическое преобразование уравнений (координатные преобразования, замена переменных и т.п.) и в то же время - использование численных методов их расчёта. В данное время наиболее эффективный подход.

1 Основные допущения, применяемые при анализе ЭМ

1.1 Насыщение магнитной цепи ЭМ.

А) Наиболее простой метод – насыщением пренебрегают (индуктивности определяются исходя из ненасыщенного состояния стали сердечников).

Б) Приближённый учёт насыщения. (индуктивности определяются исходя из среднего насыщенного состояния стали сердечников).

В) Насыщение учитывают косвенно. На каждом шаге интегрирования уравнений степень насыщения постоянна, значения индуктивностей корректируются с использованием характеристики холостого хода (кривой намагничивания).

1.2 Вытеснение токов в проводниках обмоток.

А) Пренебрегают вытеснением токов – сопротивления обмоток считаются постоянными.

Б) Приближённый учёт (применение функциональных зависимостей сопротивлений обмоток например в зависимости от частоты вращения ротора или частоты изменения магнитного потока).

1.3 Синусоидальное распределение МДС в пространстве. Считаем, что МДС распределяется по синусоидальному закону, а не ступенчато. Замена распределённой обмотки сосредоточенной, при сохранении величины эквивалентной МДС (F=const).

1.4 Независимость индуктивных сопротивлений рассеяния обмотки от угла положения ротора. L=f()=const.

1.5 Питание электрических машин от источника бесконечной мощности, т.е. Rист=0 и напряжение источника не изменяется при изменении нагрузки. Для машин переменного тока напряжение питания синусоидально. Для машин постоянного тока напряжение постоянно.

2 Изображающие векторы и системы координат

Обмотки ЭМ питаются трёхфазным симметричным напряжением, следовательно и фазные токи обмоток изменяются по закону:

ia=I1msin(t)

ib=I1msin(t-120

 ic=I1msin(t+120)

МДС меняются также как ток, следовательно, результирующий вектор магнитного потока статора Ф в каждый момент времени будет определяться суммой:

Ф=Фа+Фb+Фс, или Ф=Фа+aФb+a2Фс,где а=еj120.

Ф=3/2 Ф1mеjt – результирующий вектор характеризуется постоянной амплитудой в полтора раза превышающей амплитуду магнитного потока одной фазы, ориентация изменяется со скоростью, равной круговой частоте питающего тока.

Введём понятие изображающего вектора магнитного потока статора Фs=2/3 Фs=Ф1mеjt. Причём, проекции вектора Фs на оси фазных обмоток в каждый момент времени будут соответствовать фазным магнитным потокам. По аналогии с Фs введём понятия изображающих векторов МДС, тока и напряжения статора:

Fs=2/3 (Fa+aFb+a2Fc); Is=2/3 (ia+aib+a2ic); Us=2/3 (ua+aub+a2uc);

3 Системы координат

При анализе (расчёте) статических и переходных режимов ЭМ используются различные системы координат:

  1.  a,b,c – фазовая система координат. Наиболее близкая по своей физической сущности к моделируемому объекту. Недостаток – коэффициенты индуктивной связи между обмотками переменные.
  2.   - система, неподвижная относительно статора в пространстве. Ось  обычно тождественна оси фазы а. В этой системе уравнений электромагнитного состояния порядок в полтора раза меньше. В связи с проецированием изображающих векторов на эти оси, ток и напряжение статора по оси  совпадают с током и напряжением фазы а статора.
  3.  d,q – система, жёстко связанная с ротором. Применяется для анализа работы синхронных машин. Ось d совмещается с продольной осью ротора. По осям d и q воздушный зазор между ротором и статором является постоянным. Для модели характерно то, что в установившемся синхронном режиме компоненты изображающих векторов постоянны во времени, что существенно упрощает анализ статических характеристик синхронных ЭМ.
  4.  U,V – синхронно вращающаяся (обычно синхронно с вектором ЭДС или напряжения источника питания) система координат. Применяется для анализа и формирования законов управления систем автоматического электропривода.

4 Системы относительных единиц

Все параметры ЭМ выражаются в долях базовых величин. Это позволяет сравнивать характеристики машин разной мощности. Все величины имеют одинаковый порядок, что существенно влияет на точность расчётов на ЭВМ. Упрощаются системы уравнений. Совпадают численные значения разных физических величин, например: Lое=Xое, ое=ое, Uое=Eое.

Базовые величины:

Iб=Iнм, Uб=Uнм – амплитудные величины фазных номинальных тока и напряжения статора. Поэтому при номинальном питающем напряжении и номинальной нагрузке:

I1м ое=I1м/Iб=1ое; U1м ое=U1м/Uб=1ое.

Рб=Sн – номинальная полная мощность ЭМ. Соответственно для номинального режима: P2ое=P2/Pб=cosнн ое.

fб=fн - номинальная частота сети. Или в номинальных условиях:

f1ое=f1/fб=1 ое.

б=2fб=1– угловая частота, 1ое=б=1 ое.

Zб=Uб/Iб=Uн/Iн – базовое сопротивление, используется для определения относительных величин активных и индуктивных сопротивлений обмоток ЭМ;

Lб=Zб/б – базовая индуктивность;

Мб=Рб/бp – базовый момент;

б=Uб/б=LбIб – базовое потокосцепление;

tб=1/б – базовая единица времени – время, за которое синхронно вращающийся ротор поворачивается на 1 эл. рад;

5 Приведение обмоток электрических машин

Целесообразность приведения обмоток определяется удобством расчёта, т.к. в процессе приведения магнитная связь заменяется электрической связью. При этом для обмоток ротора и статора применяется единая система относительных единиц.

В общем случае обмотки статора и ротора имеют несовпадающие численно параметры (w1w2, m1m2, разные законы распределения обмоток). Чаще роторная обмотка приводится к статорной, при этом обмотка ротора заменяется приведённой, с параметрами совпадающими со статорной обмоткой (w2=w1, m2=m1).

Критерий приведения – инвариантность энергетических процессов.

Коэффициенты приведения:

ki=I2/I2, ku=U2/U2, kz=Z2/Z2=ku/ki. (5.1)

Основные подходы к определению коэффициентов приведения обмоток ЭМ:

А) исходя из равенства основных гармоник МДС приведённой и реальной обмоток – используется для обмоток ЭМ с постоянным воздушным зазором (обмотки ротора АД, демпферные обмотки СМ)

Б) исходя из равенства основных гармоник магнитной индукции в воздушном зазоре, созданных приведённой и реальной обмотками (обмотки возбуждения СМ).

Определение коэффициента приведения из условия равенства основных гармоник МДС

Для обмотки статора, равномерно распределённой по окружности расточки сердечника и при m13, амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна:

. (5.2)

Для обмотки ротора при m23, амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна:

. (5.3)

Для приведённой обмотки ротора амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна:

. (5.4)

По условиям приведения F2m=F2m, следовательно:

(5.5)

Определение коэффициента приведения из условия равенства основных гармоник индукции

Для обмотки статора, равномерно распределённой по окружности расточки сердечника и при m13, амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна:

. (5.6)

Распределение индук-ции магнитного поля в воздушном зазоре опреде-ляется магнитной прово-димостью воздушного зазора. Амплитуда основ-ной гармонической составляющей индукции в воздушном зазоре, созданная обмоткой статора, равна:

, (5.7)

где  - магнитная проводимость воздушного зазора; kd=B1m1/Bad – коэф-фициент формы поля статора по продольной оси.

С учётом (5.6) и (5.7) получаем выражение для основной гармонической составляющей индукции магнитного поля созданного обмоткой статора:

. (5.8)

Основная гармоническая составляющая индукции магнитного поля в воздушном зазоре явнополюсной СМ, созданная сосредоточенной обмоткой возбуждения:

. (5.9) где

kf=Bfm1/Bfm – коэффициент формы поля ротора по продольной оси, wf – число витков обмотки возбуждения на один полюс.

Основная гармоническая составляющая индукции в воздушном зазоре машины, созданная приведённой обмоткой ротора равна:

. (5.10)

Приведённый ток ротора If', протекая по приведённой обмотке, должен создавать такую же амплитуду основной гармонической составляющей индукции магнитного поля, какую создаёт оеальный ток ротора. Из равенства (5.9) и (5.10) следует:

. (5.11)

5.3 Определение коэффициента приведения напряжений

Коэффициент приведения напряжения определяется из условия сохранения полной мощности приводимой обмотки, т.е.:

. (5.12)

Откуда следует:

. (5.13)

Если m22, то

. (5.14)

5.4 Определение коэффициента приведения сопротивлений

Рассмотрим уравнения баланса напряжений двух индуктивно связанных контуров:

(5.14)

Умножим второе уравнение на ku и заменим в обоих уравнениях I2=I2'/ki, получим:

(5.15)

Введём обозначения:

(5.16)

где R2', X22' – приведённые активное и индуктивное сопротивления вторичного контура; X12' – приведённое сопротивление взаимной индуктивности контуров.

С учётом обозначений (5.16) уравнения приведённой электрической цепи имеют вид:

(5.17)

6 Определение эквивалентных параметров короткозамкнутых обмоток

Если не требуется определение распределения токов в стержнях короткозамкнутых обмоток, то обычно их заменяют эквивалентными сосредоточенными обмотками, расположенными на продольной и поперечной осях машины. При эквивалентировании обмоток исходят из инвариантности основных гармонических составляющих МДС и мощностей энергии рассеиваемой в этих обмотках.

6.1 Замена короткозамкнутых обмоток ротора эквивалентными контурами

Рассмотрим схему распределения токов в демпферной обмотке по продольной - d и поперечной - q осям (Рис.6.1,а и б). Составляющие токов в стержнях по продольной оси возникают под действием пульсирующего магнитного поля созданного МДС статора Fd (Рис..6.2). При синусоидальном распределении Fd вдоль поверхности ротора максимальное значение тока будет в стержнях смещённых от оси поля на половину полюсного деления 1/2. В первом приближении можно принять распределение составляющих токов в стержнях по оси d синусоидальным. Тогда ток в любой паре стержней, смещённых от оси полюса на расстояние k/2 и образующих короткозамкнутый контур, равен:

. (6.1)

Ток Ikdm протекая в k-й паре стержней, создаёт МДС, которая изменяется в пространстве по прямоугольному закону. Амплитуда основной гармонической составляющей этой МДС:

. (6.2)

Амплитуда основной гармонической составляющей МДС на один полюс, созданная продольными составляющими токов стержней, определяется суммой МДС всех короткозамкнутых контуров демпферной обмотки по продольной оси:

. (6.3)

Так как стержни на полюсах, как правило, распределены равномерно, то угол между двумя соседними стержнями можно обозначить - с, тогда:

. (6.4)

С учётом (6.3) и (6.4) получим:

. (6.5)

При протекании по эквивалентной демпферной обмотке ротора по продольной оси тока с амплитудой Iуdm, амплитуда первой гармоники МДС, создаваемой этой обмоткой будет равна:

. (6.6)

Исходя из равенства основных гармоник МДС реальной и эквивалентной обмоток Fуdm=Fэdm, получим:

. (6.7)

Аналогично, составляющие токов стержней по поперечной оси создаются пульсирующим магнитным полем, созданным МДС Fq:

. (6.8)

Тогда МДС, создаваемая k-й парой стержней:

. (6.9)

Для обмотки в целом:

. (6.10)

Или после соответствующих преобразований получим:

. (6.11)

Для эквивалентной обмотки:

. (6.12)

Исходя из равенства Fуqm=Fэqm, получим:

. (6.13)

В асинхронных машинах (АМ) с короткозамкнутым ротором эквивалентирование производится аналогично. Учитывая равномерное распределение пазов по окружности ротора, число стержней, приходящихся на одно полюсное деление равно:

, (6.14)

где Z2 – число пазов ротора.

Подставляя (6.14) в (6.7) и (6.13), а также учитывая, что в АМ с=/nс, находим число витков эквивалентных обмоток по осям:

. (6.15)

6.2 Определение сопротивлений эквивалентных обмоток ротора 

Сопротивления эквивалентных обмоток определяются исходя из сохранения мощности потерь. Для эквивалентных обмоток:

(6.16)

Потери в реальной обмотке определяются как сумма потерь в отдельных её элементах (стержнях и короткозамыкающих кольцах):

(6.17) - потери мощности в k-м элементе, где Ikdm – максимальное значение продольной составляющей тока в k-м стержне (6.1), Rkd – активное сопротивление k-го стержня и приведённого сопротивления примыкающих элементов короткозамыкающих колец.

Полные потери мощности в демпферной обмотке ротора по продольной оси

. (6.18)

Приравнивая правые части Pэd из (6.16) и Pуd из (6.18) найдём выражение для активного сопротивления эквивалентной обмотки по продольной оси:

. (6.19)

Аналогично определим активное сопротивление эквивалентной обмотки по поперечной оси:

. (6.20)

Для индуктивностей рассеяния критерием эквивалентирования служит условие сохранения энергии магнитных полей рассеяния, из которого получаем:

; (6.21)

. (6.22)

Для асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором активные сопротивления стержней одинаковы:

.

Тогда из (6.19) получаем:

. (6.23)

С учётом (6.15), следует

. (6.24)

Аналогично

. (6.25)

Коэффициенты приведения для АД :

(6.26)

С учётом приведения параметры эквивалентной короткозамкнутой обмотки АД равны:

(6.27)

7 Обобщенная электрическая машина

Все электрические машины характеризуются общностью происходящих в них электромагнитных и механических процессов. ЭМ подразделяются на пять типов:

  •  Машины постоянного тока;
  •  Трансформаторы;
  •  Асинхронные двигатели;
  •  Синхронные машины;
  •  Коллекторные машины переменного тока.

В качестве обобщённой электрической машины принимается двухфазная двухполюсная электрическая машина с двумя взаимно перпендикулярными обмотками на статоре и роторе. Независимо от числа фаз и полюсов все электромагнитные и механические процессы те же самые. Достоинства принятой модели определяются тем, что:

  1.  В двухфазной двухполюсной ЭМ все электрические углы совпадают с пространственными;
  2.  Перпендикулярное положение обмоток обуславливает отсутствие индуктивной связи между ними (упрощение уравнений);
  3.  Вращающееся круговое поле создаётся при фазовом сдвиге питающих напряжений 90 (одно напряжение синусоидальное, а другое косинусоидальное)

Расчётные модели ЭМ:

1. Расчётная схема машины постоянного тока.

Ось статора совмещается с осью главных полюсов (Uc=Uв). Ось  статора совмещается с осью дополнительных полюсов. Магнитное поле якоря в связи с наличием счёточно-коллекторного устройства остаётся неподвижным по отношению к статору. Поэтому координатные оси ротора совпадают со статорными. Обмотка якоря совмещается с осью UpUя

2. Расчётная схема асинхронного двигателя.

Обмотки статора совмещены с осями и  питаются напряжением с частотой сети (Uc, Uc – var; f1=fc). Обмотки ротора закорочены и Up=Up=0. Исключение составляет двигатель двойного питания ( Up, Up создаются преобразователем частоты – f2f1). При вращении ротора поля статора и ротора взаимно неподвижны.

  1.  Синхронные машины.

Uc, Uc аналогично АД определяются источником питания переменного тока (f1). На роторе демпферные обмотки учитываются короткозамкнутыми контурами как в случае АД, а обмотка возбуждения совмещается с осью ротора (Up=Uв, f2=0 - постоянное напряжение).

4. Расчётная схема трансформатора.

Подход аналогичен принятому в АД, но оси вторичной обмотки ("ротора") совпадают с осями первичной обмотки ("статора"). В модели отсутствуют уравнения движения.

7.1 Переход от трехфазной к двухфазной системе координат.

Изображающий вектор тока статора может быть определён исходя из значений фазных токов статора:

Is =2/3·(ia +a·ib+a2·ic), где a = e j120 - поворотный коэффициент. Иначе изображающий вектор может быть записан в системе координат -:

Is=ic+j·ic.

После разложения изображающего вектора на компоненты ic,·ic системы координат, получаем:

Is=2/3·(ia+ib·(cos1200+j·sin(1200))+Ic·(cos(-1200)+j·sin(-1200))=

=2/3·(ia+ib·(-1/2+j·/2)+ic·(-1/2-j·/2))=

=2/3·(ia–1/2·(ib+ic)+j·/2·(ib-ic)).

Из сопоставления компонент следуют уравнения преобразования трёхфазной системы координат в двухфазную:

ic=2/3·(ia–1/2·(ib+ic)); ic=1/·(ib–ic). (7.1)

Аналогично, проецируя компоненты изображающего вектора ic, ic на оси фаз получим уравнения обратного преобразования (из двухфазной ситемы координат в трёхфазную):

iac=ic; ibc=–1/2·ic+/2·ic; icc=–1/2·ic–/2·ic . (7.2)

Приведённые уравнения координатных преобразований применимы также и к Uc ,Fc , Фс и для роторных величин.

7.2 Уравнения обобщенной электрической машины в независимой системе координат статора и ротора.

Для каждой обмотки записываются уравнения баланса напряжений :

(7.3)

В этих уравнениях потокосцепления определяются суммой МДС все обмоток за исключением ортогональных:

(7.4)

где L – собственные индуктивности обмоток (коэффициенты самоиндукции), l – взаимные индуктивности обмоток (коэффициенты взаимоиндукции).

При постоянном воздушном зазоре и ненасыщенной магнитной цепи ЭМ коэффициенты самоиндукции обмоток машины – величины постоянные (L=const). Симметрия машины по осям , и синусоидальное распределение МДС позволяют записать равенство :

(7.5)

где – угол между осями статора и ротора (угол положения ротора);

Lm – коэффициент взаимной индукции при совпадении осей обмоток.

Уравнения движения ротора:

(7.6)

где J –эквивалентный момент инерции привода, mc – статический момент (момент сопротивления), m – электромаг-нитный момент ЭМ, который может быть выражен через потокосцепления и токи:

. (7.7)

Компоненты напряжений статора и ротора могут быть получены проецированием изображающих векторов на соответствующие координатные оси:

(7.8)

7.3 Уравнения обобщенной электрической машины в единой системе координат, вращающейся с произвольной частотой.

Рассмотрим новую систему координат х-y , которая вращается с произвольной частотой вращения x. Спроецируем изображающие вектора на оси этой системы координат:

(7.9)

Разрешим (7.9) относительно изображающих векторов в исходной системе координат:

(7.10)

и подставим в уравнение баланса напряжений статора, записанное в векторной форме:

. (7.11)

После подстановки получим

(7.12)

или после дифференцирования изображающего вектора потокосцепления

(7.13)

Сократив в выражении (7.13) повторяющийся во всех слагаемых сомножитель в виде экспоненты приведём уравнение к виду:

. (7.14)

Разложив комплексное выражение по компонентам координатных осей, окончательно запишем:

(7.15)

Напряжения питания из (7.9) определяются:

(7.16)

Аналогично преобразуем уравнение баланса напряжений ротора, записанное в векторной форме:

. (7.17)

С учётом проецирования изображающих векторов в систему координат x-y:

(7.18)

После преобразований уравнение (7.17) принимает вид:

. (7.19)

Или после разложения на компоненты координатных осей:

(7.20)

Компоненты напряжения обмоток ротора равны:

(7.21)

Отличительной чертой уравнений (7.15) и (7.20) является наличие наряду с трансформаторной ЭДС (d/dt) слагаемых вида x и (-x) , которые называются ЭДС вращения и учитывают перемещение векторов потокосцеплений по отношению к обмоткам.

Существенным отличием системы координат x-y является то, что она единая для статора и ротора и поэтому обмотки статора и ротора взаимно неподвижны, следовательно, коэффициенты взаимоиндукции – величины постоянные:

(7.22)

Отсутствие периодических коэффициентов в уравнениях потокосцеплений (7.22) существенно упрощает анализ переходных и статических режимов ЭМ.

7.4 Уравнения обобщённой электрической машины в различных системах координат.

Уравнения получаются из (7.15) и (7.20) подстановкой соответствующей частоты вращения системы координат - x.

а) Неподвижная система координат , x=0. Ось совмещается с осью одной из фаз статора.

(7.23)

Электромагнитные процессы в статоре соответствуют реальным, роторные параметры требуют координатных преобразований.

б) Cистема координат d – q жёстко связанная с вращающимся ротором, x=.

(7.24)

По осям d и q получаем токи, соответствующие роторным контурам. Статорные величины нуждаются в координатных преобразованиях.

в) Синхронно – вращающаяся система координат u – (x=1 – угловая частота сети).

(7.25)

Напряжения в уравнениях определяются в соответствии с (7.16) и (7.21).

8 Методы расчёта переходных процессов, применяемые при анализе электрических машин.

8.1 Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Пусть есть система линейных алгебраических уравнений вида :

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

Решением системы уравнений является совокупность значений 1, 2, …n, которая при подстановке обращает все уравнения в верные равенства.

8.1.1 Метод Гаусса.

Суть метода заключается в том, что система уравнений посредством последовательных линейных преобразований приводится к треугольному виду.

Пример :

x + x2 + 2·x4 + 3·x5 = 5

2·x1 + 4·x2 – x3 + 5·x4 + 4·x5 = –1

x1 + 3·x2 + 5·x4 + 2·x5 = –3

3·x1 + 7·x2 – 3·x3 + 9·x4 + 2·x5 = –14

2·x1 + 8·x2 – 4·x3 + 2·x4 + 7·x5 = –10

Используем расширенную матрицу (добавлена правая часть ), опускают x. Умножаем первую строчку на коэффициенты и складываем с остальными строками, чтобы получились ноли в первом столбце.

1

1

0

2

3

5

1

1

0

2

3

5

2

4

-1

5

4

-1

0

2

-1

1

-2

-11

1

3

0

5

2

-3

0

2

0

3

-1

-8

3

7

-3

9

2

-14

0

4

-3

3

-7

-29

2

8

-4

2

7

-10

0

6

-4

-2

1

-20

Аналогично повторяются преобразования до полного исключения элементов расположенных ниже главной диагонали. Получаем конечный вид ступенчатой системы уравнений :

1

1

0

2

3

5

x5 =

2

0

2

-1

1

-2

-11

x4 =

0

0

0

1

2

1

3

x3 =

1

0

0

0

3

-2

-4

x2 =

-3

0

0

0

0

6

12

x1 =

2

Если в первой строке первый элемент нулевой, то строки нужно переставлять.

Система может быть такова, что после триангуляции получим все нули (система вырожденна), в этой ситуации какой бы ни было x, решение правильно (бесконечное множество взаимосвязанных решений).

А может быть и так, что в последней строке все нули, кроме последнего, следовательно система несовместна и не имеет решения. Такие ситуации возникают, когда система уравнений изначально была линейно зависимой (дважды использовалось одно условие или не учтена какая либо связь параметров).

Этот метод хорош тем, что он хорошо алгоритмизируется.

Недостаток: значительный объём иррациональных преобразований приводит к накоплению ошибки, что существенно проявляется при высоком порядке решаемой системы уравнений.

8.1.2 Правило Крамера

Корни системы уравнений при условии, что D 0 (главный определитель уравнения не равен нулю), можно определить по формуле :

xi = Di / D ; где Di – дополнительный определитель.

Для матрицы второго порядка:

D2 = a11 a12 = a11·a22–a12·a21

a21 a22

Для матрицы третьего порядка:

a11 a12 a13

D3 = a21 a22 a23 = a11·a22·a33+a12·a23·a31+a21·a32·a13–

a31 a32 a33 a13·a22·a31–a12·a21·a33–a11·a23·a32

В общем случае определитель равен сумме всех произведений элементов матрицы, не совпадающих по номерам строк и столбцов. Существуют алгоритмы разложения определителя по элементам столбца или элементам строки. Расклад по элементам 1-го столбца :

Dn=a11·A11· (-1)1+1 + a21·A21· (-1)2+1 + + aij·Aij· (-1)i+1 ,

где A – алгебраическое дополнение.

Для вычисления используются :

Метод рекурентных обращений (обращений само на себя). Алгоритм вычисления Dn сводится к рекурсированию (создание новой матрицы и вычисление ее).

Другой алгоритм вычисления определителей подразумевает собой комбинацию метода Гаусса и правило Крамера.

8.1.3 Матричный метод.

Систему уравнений можно записать в матричной форме : А·X=B, тогда X=A-1B ,где А-1 – обратная матрица.

При этом выполняются следующие правила умножения матриц:

Если А=(aij)mn – матрица из m строк и n столбцов, B=(bik)np – матрица из n строк и p столбцов, тогда: AB=C=(cik)mp– матрица из m строк и p столбцов. У матрицы A количество столбцов должно быть равно количеству строк матрицы B. Элементы результирующей матрицы определяются:

; i = 1,2,,m ; j = 1,2,,p

Пример :

A = 4 -1 B = 1 2 3 AB = 0 3 6

5 -2 4 5 6 -3 0 3

Если А, В – квадратные матрицы, то выполняется свойство:

АВ=(ВА)Т , где А)Т – транспонированная матрица (строки меняются местами со столбцами ).

Е – единичная матрица ( все элементы матрицы равны нулю за исключением лежащих на главной диагонали, которые равны единице).

А-1А=Е , где А-1 – обратная матрица.

Методы получения обратной матрицы :

  1.  Метод решения систем уравнений.

ak1·x1 + ak2·x2 + + akn·xn = 0 , k i

 1 , k =i k = 1, 2, , n

Таким образом получаем n уравнений.

2. Прямой метод.

A11, A21, An1 – алгебраические дополнения. Ai,j -определитель, полученный после исключения i-й строки и j-го столбца.

A11 A21 An1

|A| |A| |A|

A12 A22 An2

|A| |A| |A|



A1n A2n Ann

|A| |A| |A|

  1.  Метод элементарных преобразований.

Добавляем в расширенную часть единичную матрицу. Над основной и расширенной частями матрицы выполняется последовательность одинаковых линейных преобразований с тем, чтобы привести исходную матрицу к виду единичной матрицы. Тогда в результате расширенная часть будет содержать матрицу обратную к исходной.

Пример : А = 1 3 ;

4 5

1 3 1 0 1 3 1 0 7/3 0 -5/3 1 1 0 -5/7 3/7

4 5 0 1 0 -7 -4 1 0 -7 -4 1 0 1 4/7 -1/7

A-1 = -5/7 3/7

4/7 -1/7

8.2 Методы решения дифференциальных уравнений

8.2.1 Классический метод

Применяется к группе ЭМ с взаимно-неподвижными осями обмоток: МПТ, трансформаторы, коллекторные машины переменного тока.

Пример : рассмотрим переходный процесс включения ненагруженного трансформатора в сеть.

Так как вторичная обмотка трансформатора разомкнута, то процесс совпадает с включением индуктивной катушки в сеть переменного тока.

Уравнение баланса напряжений первичной обмотки

u1=-e1+i1R1=Um1·sin(wt+u); где e1=–L1·di1/dt.

L1·di1/dt+R1i1=Um1·sin(1t+u) – представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого имеет две составляющие:

i1=i1св+i1в ( или иначе i1 = i1пер + i1уст )

Определим icв как общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

L1·di1/dt+R1i1=0 – уравнение с разделяющимися переменными;

(L1/R1)·(di1 /dt)=–i1; (L1/R1)·(di1 /i1)=–dt;

Обозначим 1=L1/R1 – постоянная времени, тогда 1·lni1=–t+ c или после потенцирования

i1=exp(–t/+c'). Или иначе i1 = A·e -t/ , где A = ec'.

Определим i1в как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (обычно определяется путём расчёта установившегося режима).

i1в=I1m·sin (1t + 1) , где

- амплитудное значение установившегося тока.

=arctg(x1/R1)=arctg(1)

Таким образом ток определяется суммой составляющих:

i1=I1m·sin(1t+u–)+A·e-t/.

Определим постоянную интегрирования исходя из начальных условий и с учётом законов коммутации:

i1(0–)=i1(0+); i1(0+)=A+I1m·sin(1t+u–)=0;

Окончательное решение

i1=I1m·[sin(1t+u+)–sin(u–)·e –t/]

8.2.2 Операторный метод.

В основе метода положено преобразование Карсона - Хейвисайда .

Достоинства: изображение сохраняет смысл физических величин, имеет размерность оригинала.

F(p) = p · f(t)·e –pt·dt

f(t) – оригинал ; F(p) – изображение.

Изображения некоторых часто встречающихся функций:

Оригинал

Изображение

sin(t)

p / (p2 + 2)

cos(t)

p2 / (p2 + 2)

e – t

p / (p + )

sin (t  )

(p·cos   p2·sin ) / (p2 + 2)

te-t

p/(p+)2

Решение обратной задачи – поиск оригинала по изображению. Если изображение задано в виде степенной функции, то оригинал определяется в виде степенного ряда:

;

если изображение получено в виде F(p)=F1(p)/F2(p), то

f(t)=F1(0)/F2(0)+[(F1(pk)·exp(pkt))/(pk·F'2(pk))].

8.2.3 Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений

Метод Эйлера.

Достоинство : простота алгоритмизации.

Если уравнение задано в виде: y / t = f(t) определить y(t).

Формулы численного интегрирования:

y1=y0+t·f(t)|t=0; yi=yi-1+t·f(ti-1).

Методы Рунге - Кутта.

а) Метод Рунге - Кутта 2 - го порядка.

y'=f(x,y) ;

ym+1=ym+(k1+k2)·h/2 ,

где k1=f(xm,ym)

k2=f(xm+h; ym+h·k1)

б) Метод прогноз - коррекция.

Ym+1=Ym+h·k2

где k2=f(xm+h/2; ym+k1· h/2)

k1=f(xm, ym)

в) Метод Рунге - Кутта 4-го порядка.

Ym+1=Ym+(k1+2·k2+2·k3+k4)·h/6

где k1=f(xm, ym)

k2=f(xm+h/2; ym+k1·h/2)

k3=f(xm+h/2; ym+k2·h/2)

k4=f(xm+h; ym+k3·h)

Практическое правило оценки погрешности по Рунге

Ошибка интегрирования :

O(h)=[y(h)–y(h/2)]/(2r–1), где где r – порядок метода, y(h) – значение интеграла определённое с шагом h, y(h/2) ) – значение интеграла определённое с шагом h/2. Для метода 4-го порядка

O(h)=[y(h)–y(h/2)]/15

9 Исследование переходных процессов в ЭМ с взаимно неподвижными осями обмоток

9.1 Дифференциальные уравнения двухобмоточного трансформатора.

Уравнения баланса напряжений обмоток трансформатора :

u1 =R1 i1 + L11·d11/dt

-u2 =R2 i2 + L22·d22/dt (9.1)

Принимаем, что насыщение магнитной цепи отсутствует  

L11 , L22 , L12 , L21 = const

Взаимоиндуктивности : L12 = L21

Собственные индуктивности : L11 = L1 + L12 , L22 = L2 + L21

L1 , L2 – индуктивности рассеяния.

Потокосцепления : 11 = L11 i1 + L12 i2 , 22 = L22 i2 + L21 i1

u1 = R1 i1 + L11·di1/dt + L12·di2/dt

-u2 = R2 i2 + L22·di2/dt + L21·di1/dt (9.2)

Применим операторный метод.

U1(p) = (R1 + p L11) i1(p) + p L12 i2(p)

- U2(p) = p L12 i1(p) + (R2 + p L22 i2(p) (9.3)

В относительных единицах L11 = x11 , L22 = x22 , L12 = x12 .

Разрешим систему уравнений относительно токов обмоток:

(9.4)

U2 можно выразить через ток нагрузку :

U2 = RN i2 + xN di2 / dt ; U2(p) = (RN + p xN) i2(p)

где RN , xN – сопротивления нагрузки.

Пример : ВКЗ двухобмоточного трансформатора.

ВКЗ – внезапное короткое замыкание.

Считая U2(p) = 0, получим :

(9.5)

Z1(p) – полное операторное сопротивление первичной обмотки;

G2(p) – полная операторная проводимость вторичной обмотки.

(9.6)

где X11(p) – индуктивное операторное сопротивление первичной обмотки, равное

(9.7)

Пренебрегаем активными сопротивлениями, т.к. они в трансформаторах большой мощности значительно меньше индуктивных : R1 =0 ; R2 = 0.

Тогда : X11(p)=X11 – X122 / X22 = X11' – переходное сопротивление трансформатора, сопротивление ограничивающее ток короткого замыкания.

Если U1(t) = U1m · sin (1t + 0 ) и 1=1 о.е. то изображение напряжения питания

U1(p) = U1(p·cos 0 + p2·sin 0) / ( p2 + 1 ) (9.8)

Подставим (9.8) в (9.5)

(9.9)

F2(p) = p2 + 1 = 0 характеристическое уравнение, корни которого равны: p1,2 = j .

F2'(p) = 2p – производная характеристического уравнения.

Тогда по теореме разложения (теорема Хевисайда) оригинал равен:

(9.10)

или после преобразований

(9.11) , что при неблагоприятном моменте коммутации соответствует незатухающим колебаниям с амплитудой

Формула (9.11) весьма удобна для оценки ударного тока.

При 0 = 0 апериодическая составляющая ia наибольшая и наоборот при 0= / 2, ia = 0 .

i1max=2·U1m /x11'= iуд (0 =0) При учёте активных сопротивлений обмоток (R10, R20) апериодическая составляющая затухает с постоянной времени Tk= xk / Rk .

9.2 Дифференциальные уравнения МПТ (на примере ДПТ параллельного возбуждения)

Ключ К – для коммутации обмотки якоря в процессе пуска ДПТ параллельного возбуждения. Уравнение баланса напряжений цепи возбуждения

U = Rв · iв + dвш / dt

Rв= Rрег+ Rш – сопротивление цепи возбуждения.

Уравнение баланса напряжений цепи якоря

U = R · iв + d / dt + · ad

R = Rд + Ra + Rk – сопротивление цепи якоря, где Rд – активное сопротивление добавочных полюсов ; Rk – компенсационной обмотки , – собственное потокосцепление якоря :

= ( Lд + La + Lk ) · ia + 2 ( Lkд – Lka – Lда ) · iа

где Lkд – коэффициент взаимоиндукции между компенсационной обмоткой и обмотками дополнительных полюсов.

Уравнение движения : J · d / dt = M – Mc ,где J – момент инерции ;

M = ad · ia – электромагнитный момент.

В результате получилась полная система уравнений, описывающая электромеханические переходные процессы ДПТ. В общем случае система уравнений нелинейная, т.к. содержит нелинейные составляющие:

А) ЭДС вращения ( · ad ) – произведение двух величин;

Б) М - нелинейная функция тока возбуждения и тока якоря;

В) Наличие нелинейных свойств кривой намагничивания – индуктивности – переменные коэффициенты уравнений;

Г) Мс = f() – тоже нелинейная.

Все это приводит к тому, что с учетом всех факторов аналитическое решение этой системы получить в общем виде невозможно. Но с учетом упрощений в частных случаях можно получить и аналитическое решение.

9.3 Аналитическое решение для безреостатного пуска ДПТ параллельного возбуждения (до 30 кВт )

Допущения :

1. Насыщение магнитной цепи постоянно  L = const;

2. Пренебрегаем реакцией якоря. Реакция якоря отсутствует  Ф=const; Одновременно пренебрегаем влиянием обмотки добавочных полюсов и компенсационной обмотки, тогда:

 = ( Lд + Lk + La ) · ia

3. Переходный процесс в цепи возбуждения завершается до включения цепи якоря, тогда потокосцепление главных полюсов с обмоткой якоря по продольной оси постоянно: ад= const  ЭДС вращения является линейной функцией от частоты вращения. Евр=·. Аналогично электромагнитный момент является линейной функцией тока якоря: М=ad·ia;

4. Пренебрегаем влиянием момента сопротивления (Мс = 0) или считаем его постоянным при изменении частоты вращения. Допущение правомерно, т.к. Мс не влияет на динамику, а влияет на длительность процесса.

С учетом допущений :

1. U = R · ia + L · dia / dt +  · ad

2. J · d / dt = ad · ia

Продифференцируем уравнение 1 по времени, а из 2 выразим d / dt и подставим в 1:

0 = R · d / dt + L · d2ia / dt2 + ad · d / dt

d / dt = ad · ia / J

Получим выражение

Введем условное обозначение: J / 2ad = Cэ - эквивалентная динамическая емкость якоря, тогда

Характеристическое уравнение : ;

Корни характеристического уравнения:

Обозначим: =R/(2L) - коэффициент, характеризующий затухание переходного процесса,  - частота собственных колебаний, тогда:

Возможны следующие варианты:

а)  > 0

дискриминант положителен и получаются два различных корня:

- апериодический переходный процесс.

При нулевых начальных условиях ia(0)=0; (0)=0 при t=0 ia(0)=A1+A2=0  A1= -A2 , соответственно

Из уравнения баланса напряжений U=R·ia+L·dia/dt+·ad при нулевых начальных условиях следует dia/dt=U/L.

С другой стороны исходя из уравнения тока якоря

.

Из сопоставления уравнений получаем  или окончательно

Закон изменения скорости получим интегрируя уравнение движения:  .

После подстановки ia и интегрирования получим выражение

.

Учитывая что , окончательно запишем уравнение частоты вращения

Процесс пуска характеризуется резким нарастанием Ia и медленным спаданием благодаря затуханию свободных составляющих Ia .

Установившийся режим соответствует моменту времени t=, при этом частота вращения равна скорости идеального холостого хода , что обусловлено пренебрежением статическим моментом.

б)  = 0

дискриминант равен нулю и получаются два равных корня:

- предельный апериодический переходный процесс.

После определения постоянных интегрирования

в)  0

дискриминант отрицательный, корни комплексные и сопряженные :

ia =( A1 · cos t + A2 · sin t ) · e – t , где  - затухающий колебательный процесс.

После определения постоянных интегрирования и преобразований получим

Колебательный характер изменения частоты при пуске нежелателен. Для устранения колебательности требуется повысить динамическую емкость якоря за счет :

Увеличения момента инерции (J);

Уменьшения потокосцепления (ad).

10 Графоаналитические методы расчета

10.1 Расчета пуска ДПТ параллельного возбуждения

Расчёт производится с учётом статического момента Мс . Предполагается, что электромагнитные переходные процессы затухают значительно быстрее механических: Тэм << Тмех и поэтому расчет переходных процессов производится с использованием статических механических характеристик.

Предположим, что механические характеристики двигателя и механизма заданы в виде графиков: M = f () ; Mc = f () . Тогда можно определить динамический момент

M = M – Mc = j · d / dt.

Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

dt = d · J / M .

Проинтегрируем и получим выражение определяющее время разгона привода до скорости вращения :

– аналитическая предпосылка метода.

От абсолютных величин и М переходим к относительным:

= / н – относительная частота вращения .

M = M / Mн – относительный динамический момент.

В результате замены переменных получим :

Tm = J · н / Mн – механическая постоянная времени разгона двигателя.

Относительное время разгона двигателя :

Механическая характеристика двигателя и механизма :

Mx – динамический момент, соответствующий скорости х.

Переход к относительным величинам производится при делении на номинальную величину. При =н , = 1.

Операция численного интегрирования сводится к вычислению площадей ограниченных графиками.

10.2 Графоаналитический расчет процесса самовозбуждения ГПТ параллельного возбуждения

Условия самовозбуждения:

  1.  Наличие остаточного магнитного потока;
  2.  ОВ должна быть включена согласно по отношению к остаточному магнитному потоку;
  3.  Сопротивления ОВ должно быть меньше критического.

Уравнения баланса напряжений :

Uв = Rв · iв + dш / dt ;

Ea – Ua = Ra · ia + da / dt ;

ш = Lш iв – потокосцепление обмотки возбуждения.

ia = iв ; Ua = Uв – в процессе самовозбуждения, так как. цепь ОЯ замкнута только на ОВ.

Ea = ( Ra + Rв ) · iв + dш / dt + da / dt ;

Rв = Rш + Rp ;

Rp – регулировочное сопротивление.

a = La · ia = La · iв ;

Ea = ( Ra + Rp ) · iв + d [ ( Lш + La ) · iв ] / dt ;

Учтём Ra << Rв , La << Lш

Электродвижущая сила, наводимая в обмотке якоря может быть представлена : Ea = eh + ei ,

где eh – ЭДС, создаваемая остаточным магнитным потоком;

ei – ЭДС, создаваемая приращением магнитного потока.

Ea = d ( Lш · iв ) + Rв · iв = wш · dФш / dt + Rв · iв ;

EaRв · iв = wш · dФш / dt = e – изменение ЭДС.

Известно, что ЭДС ОЯ всегда пропорциональна потоку Ea /E0=Фш /Ф0;

Где E0 , Фш – установившиеся значения ЭДС и магнитного потока.

Скорость изменения магнитного потока :

подставим в выражение разностной ЭДС:

Постоянная времени ОВ :

Tш = wш · dФш0 / dt = ш0 / Е0 = ( Lш · iв0 ) / ( Rв · iв0 ) = Lщ / Rв ;

е = Тш · dEa / dt – уравнение с разделяющимися переменными .

dt / Tш = dEa / e : при интегрировании этого выражения получим закон изменения ЭДС :

– относительное время возбуждения.

В качестве исходной информации используются характеристика холостого хода и нагрузочная характеристики.

Построенные кривые нарастания ЭДС якоря и тока возбуждения показывают, что начальная стадия процесса самовозбуждения характеризуется резким увеличением ЭДС и тока возбуждения. Окончание переходного процесса самовозбуждения замедлено, кривые ЭДС и тока возбуждения медленно асимптотически приближаются к своим установившимся значениям.

11 Исследования переходных процессов в ЭМ с взаимно перемещающимися осями обмоток.

11.1 Исследование переходных процессов АД с использованием математической модели в неподвижной системе координат -.

Переходные процессы АД в соответствии с математической моделью обобщённой ЭМ в осях - описываются двумя системами уравнений:

а) система дифференциальных уравнений.

p1 = u R1· i 1

p1 = u – R1· i 1

p2 = – · 2 – R2 · i 2

p2 = · 2 – R2 · i 2

p = ( mm c ) / J

б) система алгебраических уравнений

1 = ( X1 + X m ) · i 1 + X m · i 2

1 = ( X1 + X m ) · i 1 + X m · i 2

2 = ( X2 + X m ) · i 2 + X m · i 1

2 = ( X2 + X m ) · i 2 + X m · i 1

M = 1  · i 11 · i 1

Напряжение статора определяется проекциями изображающего вектора на координатные оси:

u 1 = U1 · cos (1 · t + 0 ) ; u 1 = U1 · sin (1 · t + 0 )

или с учетом 1 = 1 о.е.

u 1 = U1 · cos ( t + 0 ) ; u 1 = U1 · sin ( t + 0 )

При переходе к реальному времени необходимо учесть:

 t(c)=t(о.е.)·t =t(о.е.)/(2  f1)

Расчет переходных процессов сводится к совместному численному решению приведенных выше уравнений исходя из заданных начальных условий. Для более простой формализации расчетов целесообразно интегрируемые величины объединить в одномерный массив пятого порядка , а токи и коэффициенты индуктивности соответственно в одномерный и двумерный массив четвертого порядка.

Алгоритм расчёта переходного процесса можно проиллюстрировать следующей блок – схемой:

Координатные преобразования в АД.

Для получения реальных величин ротора следует перейти в систему координат связанную с ротором (I  Idq):

Id =I · cos +I·sin ; Iq =–I · sin+I · cos,

где  - угол положения ротора.

11.2 Система дифференциальных уравнений АД в системе координат dq.

Для системы координат dq k= (частота вращения ротора двигателя).

dcd / dt = Ud + w·cq – R1 · icd ;

dcq / dt = Uq + w·cd – R1 · icq ;

dpd / dt = – R2 · ipd ;

dpq / dt = – R2 · ipq ;

dw / dt = ( M – MC ) / J ;

d / dt = 1 – ;

t

= 0 + (1 – w ) dt ;

0

Ud = – Uc · sin ;

Uq = Uc · cos ;

cd = x1 · icd + xn1 · ipd ;

Uc – модуль питающего напряжения статора.

11.3 Cистема дифференциальных уравнений АД в системе координат u.

u- – система координат вращающаяся с синхронной частотой вращения. к=1 (частота вращения магнитного поля ) : 1=1 (о.е.)

dcu / dt = Uc + cR1 · icu ;

dc / dt = cu – R1 · ic ;

dpu / dt = (1 – w ) · p – R2 · ipu ;

dp / dt = (1 – w ) · pu– R2 · ip ;

dw / dt = ( MMC ) / J ;

12 Математическое моделирование переходных процессов в СМ.

12.1 Уравнение СМ в физической системе координат.

СМ – явнополюсные, неявнополюсные.

Явнополюсная машина отличается магнитной несимметрией.

Неявнополюсная машина – частный случай явнополюсной.

Уравнения баланса напряжений статора :

Ua = da / dt + R1 · ia ; Ub = db / dt + R1 · ib ;

Uc = dc / dt + R1 · ic ;

R1 – активное сопротивление обмотки фазы.

Уравнения баланса напряжений ротора :

Uf = df / dt + R1 · if – уравнение обмотки возбуждения.

В общем случае присутствует демпферная короткозамкнутая обмотка. Уравнений столько, сколько стержней в демпферной обмотке. Заменим эти уравнения двумя эквивалентными уравнениями :

0 = dуd / dt + Rуd · iуd ; 0 = dуq / dt + Rуq · iуq 

Эти 6 уравнений характеризуют электромагнитное состояние машины, но при рассмотрении электромеханических переходных процессов, нужно добавить уравнение движения :

d/dt=(MMc )/J

Также добавляется уравнение, описывающие угловое положение ротора : d / dt = ;

Запишем, уравнения определяющие потокосцепления соответствующих обмоток :

a = la · ia + lab · ib + lac · ic + lap · ip + laуd · iуd + laуq · iуq

b = lba · ia + lb · ib + lbc · ic + lbf · if + lbуd · iуd + lbуq · iуq

c = lca · ia + lcb · ib + lc · ic + lcf · if + lcуd · iуd + lcуq · iуq

f = lfa · ia + lfb · ib + lfc · ic + lf · if + lfуd · iуd

уd = lуda · ia + lуdb · ib + lуdc · ic + lуdf · if + lуd · iуd

уq = lуqa · ia + lуqb · ib + lуqc · ic + lуq · iуq

где la , lb , lc – собственная индуктивность фаз а, b, c; остальные коэффициенты – индуктивности взаимоиндукции соответствующих контуров.

12.2 Индуктивности статорных обмоток:

Собственные :

la = a / ia = wa · Фa / ia ; для неявнополюсных la = const , lb = const , lc = const .

Изменение магнитного сопротивления приводит к изменению магнитного потока.

La=f (2 ); через пол-оборота ситуация полностью повторяется, поэтому угол удваивается.

La = L0 + L2 · cos + L4 · cos 4· +

L2 = ( LdLq ) / 2 – амплитуда переменной составляющей.

L0 = ( Ld + Lq ) / 2 – постоянная составляющая.

Lmax = Ld – такая индуктивность, которая получается при совпадении оси обмотки с магнитной осью ротора.

Lmin = Lq – при взаимно перпендикулярном положении.

Учтём различия углового положения статорных обмоток:

Lb = f ( 2 · ( – 2/3 ) ) ; Lc = f ( 2 · ( + 2/3 ) )

lb = L0 + L2 · cos 2 · ( – 2/3 ) ;

lc = L0 + L2 · cos 2 · ( + 2/3 ) ;

Обмотки в статоре СМ как правило симметричные: для явнополюсных машин Ld , Lq для разных фаз одни и те же ; для неявнополюсных машин: la=lb=lc ; lf , lуd , lуq = const.

12.3 Взаимные индуктивности

lab = lba = – m0 + L2 · cos ( 2 – 2/3 )

 ab = /3

 m0 – постоянная составляющая.

При положении ротора как на рисунке (угол между продольной осью ротора и осью симметрии обмоток фаз a и b составляет ab = 900 ) lab = lba = max , потому что магнитное сопротивление между обмотками минимально.

lcb = lbc = – m0 + L2 · cos 2

lac = lca = – m0 + L2 · cos ( 2 + 2/3 )

При неявнополюсном роторе:

lab = lba = lcb = lbc = lac = lca = – m0 = const

Взаимные индуктивности между обмотками статора и ротора :

laf = Lafd · cos max , когда ось обмотки фазы a и f совпадают (=0).

lbf = Lbfd · cos ( – 2/3 )

lcf = Lcfd · cos ( – 2/3 )

Средние значение взаимоиндукции – нулевое.

Взаимные индуктивности с демпферными обмотками.

laуd = Laуd · cos  

lbуd = Laуd · cos ( – 2/3 )

lcуd = Laуd · cos ( – 2/3 )

laуq = – Laуq · sin  

lbуq = – Laуq · sin ( – 2/3 )

lcуq = Laуq · sin ( – 2/3 )

  1.  Уравнения СМ в системе координат - статора и d-q ротора.

Переходные электромеханические процессы СД описываются двумя системами уравнений, полученными в результате замены трёхфазного статора двухфазным:

а) система дифференциальных уравнений

Напряжение статора определяется проекциями изображающего вектора на координатные оси:

или с учётом 1=1 о.е. :

Необходимо иметь ввиду: t(с)=t(о.е.)*tб= t(о.е.)/(2f1)

б) система алгебраических уравнений

12.5 Уравнения СМ в системе координат d-q ротора.

Переходные электромеханические процессы СД описываются двумя системами уравнений, полученными в результате координатных преобразований с переходом к единой системе координат связанной с ротором:

а) система дифференциальных уравнений

Напряжение статора определяется проекциями изображающего вектора на координатные оси:

б) система алгебраических уравнений

13 Расчет установившихся режимов и характеристик СМ.

Уравнения статического режима СМ получаются из уравнений переходного процесса, записанных в координатах d-q если учесть что производные констант равны нулю:

di / dt = 0 ; d / dt = 0 ; =1 ;

0 = Ucd + cq – R1 icd ;

0 = Ucq - cd – R1 icq ;

0 = Uf – Rf if ;  iуd = iуq = 0 ; if = Uf / Rf

0 = – Rуd iуd ;

0 = – Rуq iуq ;

Ucd = – Uc · sin ; Ucq = Uc · cos ;

cd =Ld icd + Lad if ; cq =Lq icq ;

Подставим потокосцепления в уравнения баланса напряжений статора:

Uc · sin = Lq · icq – R1 · icd ;

Uc · cos = Ld · icd – Lad · if + R1 · icq ;

где Lq = Laq + Lc ; Ld = Lad + Lc

Разрешим уравнения относительно токов статора:

При R1 = 0 :

Определим электромагнитный момент СМ:

MЭМ=d · icq–q · icd=(Ld · icd+Lad · if) · icq–Lq · icq · icd=

=Lq · icd · icq+lad · if · icq–lcq · i cq · icd=icd · iaq · (Ld–Lq)+Lad · if · icq

После преобразований:

Комплексная мощность определяется произведением комплексов тока и потокосцепления статора:

S = U · I* = ( Ud + j Uq ) ( Id – j Iq ) = [ Ud Id + Uq Iq ] + j [ Uq Id – Ud Iq ]

Или после разделения компонент получаем активную и реактивную мощности

P1 = Uc [ Iq cos – Id sin ] = Uc · Ica

Q1 = Uc [ Id cos + Iq sin ] = Uc · Icp

tg = Icp / Ica ;

Ic = Id2 + Iq2 = Ia2 + Ip2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36641. Економічна теорія 1.56 MB
  Попри певну обмеженість вчення досягненням фізіократів було те що вони вперше походження багатства повязали не зі сферою обміну а зі сферою виробництва. Найважливішим внеском класичної політекономії в економічну науку вважається остаточне перенесення аналізу зі сфери обігу до сфери виробництва. Маркс доводив неспроможність капіталізму та сформулював його основну суперечність що існує між суспільним характером виробництва та приватною формою привласнення доходів. відома як Велика депресія виявила що вільна некерована економіка не...
36642. Вироби на основі будівельного вапна 265.5 KB
  Вимоги ДСТУ на випуск силікатної цегли. Технологічна схема виробництва силікатної цегли. Переваги силікатної цегли Екологічність Силікатна цегла виготовлений з екологічно чистої натуральної сировини вапна і піску за технологією знайомої людству кілька десятиліть. Вартість силікатної цегли нижче ніж у його керамічних аналогів За техніко економічними показниками він значно перевершує глиняна цегла.
36643. Процесуальне право 1022 KB
  Цивільне процесуальне право як галузь права – це сукупність правових норм що регулюють діяльність суду загальної юрисдикції осіб які беруть участь у справі та інших учасників цивільного процесу щодо здійснення правосуддя у цивільноправових спорах щодо справ наказного окремого провадження а також такі що виникають у зв’язку із цією діяльністю суспільні відносини щодо розгляду та вирішення зазначених категорій справ. Цивільний процес – це сукупність процесуальних дій суду інших осіб які беруть участь у справі а також інших...
36644. Фінансовий аналіз, короткий конспект лекцій 469 KB
  Перехід до ринкової економіки юридичне визначення діяльності підприємства в умовах різних форм власності викликає необхідність високої компетенції в бізнесі. Для того щоб зберегти ринкові позиції в умовах жорсткої конкуренції будьякому виробникові можливо лише за умови прийняття адекватних ситуації ефективних управлінських рішень а для обґрунтованості цих рішень виробник має володіти об’єктивною інформацією про фінансовий стан підприємства мати оцінку фінансових результатів його діяльності. Отже досягнення стабільного фінансового стану...
36645. Українська літературна мова 583 KB
  Функції мови. Функції мови. Лексичні норми сучасної української мови в професійному мовленні. Лексичне значення мови.
36646. Платіжні системи України 439 KB
  Основні визначення та правова основа діяльності платіжних систем Невідємним спеціалізованим елементом практично всіх економічних операцій що стосується передачі грошової вартості в обмін на товар послугу або фінансовий актив є платіжні системи. Платіжну систему можна представити у вигляді системи механізмів які служать для переказу грошових коштів між субєктами господарювання для розрахунку за платіжними зобовязаннями що виникають між ними. Такі системи можна класифікувати за різними характеристиками та ознаками. Виходячи з того яку...
36647. ЗАГАЛЬНІ ОСНОВИ КОМП’ЮТЕРНОГО ПРОЕКТУВАННЯ 320.5 KB
  команда POINT точка команда XLINE конструкційна пряма команда LINE відрізок команда ARC дуга команда PLINE полілінія команда MLINE млінія команда CIRCLE коло команда ELLIPS еліпс команда POLYGON багатокутник команда RECTANG прямокутник команда SPLINE сплайн команда ВHATCH штриховка замкненого контуру команда MTEXT мультитекст. команда _END OF кінцева крапка команда _MID OF середина команда _INT OF перетин команда _APPINT OF уявний перетин команда _CEN OF...
36648. Предмет конституційного права 303 KB
  Предметом правового регулювання конституційного права України є суспільні відносини які виникають і діють у процесі здійснення влади. Конституційні норми закріплюють устрій України як незалежної держави яка цілком самостійно вирішує всі справи як всередині країни так і за її межами. Таким чином конституційне право України є одним із найважливіших засобів забезпечення повновладдя народу України в політичній економічній і соціальнокультурній сферах його життєдіяльності.
36649. Національна економіка та економічна безпека 189.5 KB
  Сутність економічної безпеки національної економіки 2. Методологічні аспекти визначення рівня економічної безпеки 3. Механізм забезпечення економічної безпеки національної економіки 1. Сутність економічної безпеки національної економіки Економічна безпека визначається таким станом національної економіки за якого забезпечуються національні інтереси стійкість до внутрішніх та зовнішніх загроз здатність до розвитку та захищеність життєво важливих інтересів людей суспільства держави.