29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

35 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16790. ЗОЛОТО НЕДР РОССИИ МИФЫ, РЕАЛИИ, ПРОБЛЕМЫ 225.5 KB
  И.Б.Флеров ЗОЛОТО НЕДР РОССИИ МИФЫ РЕАЛИИ ПРОБЛЕМЫ Два обстоятельства побудили меня взяться за перо обращаясь к довольно сложной для России проблеме добычи золота. Первое заключается в том что несмотря на неуклонно развивающиеся рыночные отношения в стране в среде...
16791. ИНОСТРАННЫЕ КОМПАНИИ В РОССИЙСКОЙ ЗОЛОТОДОБЫЧЕ 148.5 KB
  ИНОСТРАННЫЕ КОМПАНИИ В РОССИЙСКОЙ ЗОЛОТОДОБЫЧЕ Автор: Кочетков А. Я. кандидат геологоминералогических наук ИАЦ Минерал ФГУНПП Аэрогеология Несмотря на то что участие зарубежных промышленных и финансовых компаний в экономической жизни современной Росс...
16792. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ ЗОЛОТОСОДЕРЖАЩИХ РУД 37 KB
  КИНЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ ЗОЛОТОСОДЕРЖАЩИХ РУД Александрова Т.Н. Институт горного дела ДВО РАН Литвинова Н.М. Институт горного дела ДВО РАН В процессе измельчения рудная масса испытывает комплекс физикохимических воздействий: механическую сухое и...
16793. КОНЪЮНКТУРА РЫНКА ЗОЛОТА РОССИИ 231 KB
  КОНЪЮНКТУРА РЫНКА ЗОЛОТА РОССИИ Конъюнктура рынка золота как и любого другого товара определяется соотношением предложения и спроса на него в разных сферах экономики. Объемы поступления золота зависят от уровня развития золотодобывающей промышленности а тот в сво...
16794. Математический способ повышения представительности геофизического опробования золотосодержащих руд 63.5 KB
  УДК 622 Математический способ повышения представительности геофизического опробования золотосодержащих рудФедянин С.Н. зам. главного геофизика НГМК канд. техн. наук; Нерущенко Е.В. главный геофизик Северного рудоуправления НГМК; Коробов В.А. геолог ОМГТП НГМК В НГМК
16795. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по применению Классификации запасов месторождений и прогнозных ресурсов твердых полезных ископаемых 620 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по применению Классификации запасов месторождений и прогнозных ресурсов твердых полезных ископаемых Золото рудное Москва 2007 Разработаны Федеральным государственным учреждением Государственная
16796. Минералогические предпосылки и предварительные результаты гравитационного обогащения забалансовых руд месторождения Мурунтау 56 KB
  Минералогические предпосылки и предварительные результаты гравитационного обогащения забалансовых руд месторождения МурунтауКустова Л.А. начальник ЦЗЛ ГМЗ2 Центрального рудоуправления НГМК Черкасов В.Ю. главный инженер ГМЗ2 Центрального рудоуправления НГМК К нас
16797. Теория экономического анализа 499.58 KB
  В процессе изучения дисциплины «Теория экономического анализа» студент получает основные представления о методах и способах анализа хозяйственной деятельности предприятий и организаций, познает и оценивает сущность и тенденции развития системы экономических знаний
16798. Минералого-геохимические особенности поведения благородных металлов в условиях разнообразных природных систем 72 KB
  Минералого-геохимические особенности поведения благородных металлов в условиях разнообразных природных систем. К благородным металлам относятся золото и серебро, а также 6 элементов платиновой группы: рутений, родий, палладий, осмий, иридий и платина...