29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

43 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7982. Проблемы опустынивания: распространение, роль естественных и социально - экономических факторов 148.12 KB
  Проблемы опустынивания: распространение, роль естественных и социально - экономических факторов. Стратегии, международная конвенция по борьбе с опустыниванием Введение Опустынивание - деградация земель в аридных, полуаридных и засушливых област...
7983. Газораспределительный механизм в автомобилях 2.35 MB
  Введение Изобретенный более ста лет назад автомобиль прочно занял ведущее место в жизни человека. По мере развития техники он совершенствуется, становясь более сложной энергетической установкой мощностью от нескольких десятков до 1000 и более лошади...
7984. Разработка продольного профиля, плана трассы трубопровода и определение потребности в ресурсах на его строительство 315 KB
  Разработка продольного профиля, плана трассы трубопровода и определение потребности в ресурсах на его строительство Содержание Исходные данные. Область применения технологической карты. Расчет геометрических размеров траншеи. Расчет ...
7985. Элементы электрической цепи 259 KB
  Элементы электрической цепи Активными элементами являются источники электрической энергии. Они подразделяются на источники напряжения - условное обозначение на рисунке. Пассивные элементы - элементы, которые не являются источниками электри...
7986. Архитектура вычислительных сетей 1.49 MB
  В учебном пособии рассмотрены основные вопросы архитектуры построения вычислительных сетей, аппаратное и программное обеспечение компьютерных сетей. СОДЕРЖАНИЕ Введение Основы работы сети...
7987. Курс лекций по системе AutoCAD 2.86 MB
  Оглавление. Оглавление. Рисунки. Команды общего редактирования. Настройка программы Простейший шаблон Использовать шаблон Использование волшебника. Выбор мастера. Настройка размерных параметров. Настройка размерных стилей. Диаметр...
7988. Исследование надежности работы систем связи с подвижными объектами 82.5 KB
  Исследование надежности работы систем связи с подвижными объектами. ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЙ Изучить особенности проектирования систем связи с подвижными объектами (ССПО). Определить на трассах распространения сигнала одного направления  медианные мощности...
7990. Обоснование мероприятий повышения окупаемости пассажирских перевозок с оптимизацией существующей маршрутной сети, структуры парка автобусов в городе Речице 2.93 MB
  Городской транспорт имеет решающее значение для экономики и жизненно важен для мобильности населения, однако элементарное отсутствие достаточных финансовых средств не позволяет управлять системой городского транспорта в ее нынешнем структурном виде и содержать ее.