29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

41 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77143. Российское местное самоуправление: итоги муниципальной реформы 2003-2008 годов 629 KB
  Местное самоуправление представляет собой один из важнейших институтов современного общества. Сегодня оно является одновременно формой самоорганизации граждан и – в этом качестве – составной частью гражданского общества, уровнем публичной власти...
77144. Транспорт. Типы транспортна 369 KB
  При транспортировке грузов в сельском хозяйстве как и в других сферах производства стоимость созданная трудом рабочих занятых на транспорте присоединяется к стоимости перевозимых товаров. Транспорт общего пользования - удовлетворяет потребности всех отраслей экономики и населения...
77146. Сетевые анализаторы 556.5 KB
  Компьютеры подключенные к сети Ethernet в состоянии перехватывать информацию адресованную своим соседям. Объединение компьютеров в сети ломает старые аксиомы защиты информации. Защита с помощью межсетевых экранов МСЭ может оказаться нецелесообразной для корпоративных сетей...
77147. Юстус Либих 4.67 MB
  Общественно-исторические условия в Германии, да и в Европе целом, на момент жизни Ю. Либиха (а это шел XIX в) нельзя охарактеризовать как однозначно благоприятные или неблагоприятные для развития науки о почве.
77148. Сканеры. Типы сканеров. Аппаратные интерфейсы 166 KB
  Сейчас ситуация очень изменилась и сканеры получили широкое распространение. Сканеры применяются в полиграфии и настольной издательской деятельности медицине. Существует большое количество сканеров разных типов но только некоторые из них применимы в САПР.
77149. Грузоперевозки предприятия «Дары моря» 105 KB
  Сохранность скоропортящихся грузов. Для такого режима контроля его соблюдения принятия мер для ликвидации нарушений необходимо ознакомиться со свойствами скоропортящихся продуктов способами их консервирования и техническими средствами контроля.
77150. Информационно-развлекательный интернет-сайт для Шахтинской Открытой Лиги КВН «ШАОЛИнь» 4.67 MB
  Каждый современный сайт содержит не просто набор страниц со ссылками между ними, а является полноценный программный продукт, который отслеживает действия пользователей, позволяет им между собой общаться и предлагает множество полезных сервисов в зависимости от поставленных владельцем сайта задач.