29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

40 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33351. Виды и тенденции развития направляющих систем электросвязи (НСЭ) 90.94 KB
  Тенденции развития направляющих систем электросвязи НСЭ Построение сети базируется на направляющих средах передачи рис. В направляющие среды передачи входят вся номенклатура действующих металлических кабелей связи волоконнооптические кабели воздушные линии волноводы линии поверхностной волны высоковольтные линии электропередачи электрофицированные железные дороги радиорелейные линии и спутниковые линии. Направляющими системами передачи НСП имеющими первостепенное значение при построении сетей электросвязи являются электрические...
33352. Металлические кабели и их основные параметры 42.52 KB
  проводников К линиям связи предъявляются следующие основные требования: осуществление связи на практически требуемые расстояния; пригодность для передачи различных видов сообщений как по номенклатуре так и по пропускной способности; защищенность цепей от взаимных влияний и внешних помех а также от физических воздействий атмосферных явлений коррозии и пр. В простейшем случае проводная ЛС физическая цепь образуемая парой металлических проводников. По конструкции и взаимному расположению проводников различают симметричные СК и...
33353. Волоконно-оптические кабели и их основные параметры 13.74 KB
  Многомодовое волокно со ступенчатым изменением показателя преломления диаметр сердечника 40 – 100 мкм. Многомодово волокно с плавным изменение показателя преломления диаметр сердечника 40 – 100 мкм. Одномодовое волокно диаметр сердечника 5 – 15 мкм. В одномодовом кабеле используется центральный проводник очень малого диаметра соизмеримый с длинной волной света – от 5 до 10 мкм.
33354. Общие сведения о радиолиниях связи. Основные понятия и определения. Классификация диапазонов радиочастот и радиоволн. Особенности распространения радиоволн метрового и миллиметрового диапазонов 18.21 KB
  Классификация диапазонов радиочастот и радиоволн. Особенности распространения радиоволн метрового и миллиметрового диапазонов. Классификация диапазонов радиочастот и радиоволн. Радиосвязь вид электросвязи осуществляемый с помощью радиоволн.
33355. Обеспечение дальности связи. Радиорелейные, тропосферные и спутниковые линии (системы) передачи (связи). Магистральные кабельные линии (системы) передачи 64.86 KB
  Радиорелейные тропосферные и спутниковые линии системы передачи связи. Магистральные кабельные линии системы передачи. Радиолинии передачи 6. Радиорелейные линии передачи Радиолиния передачи в которой сигналы электросвязи передаются с помощью наземных ретрансляционных станций называется радиорелейной линией передачи.
33356. Открытые системы и их взаимодействие. Эталонная модель взаимодействия открытых систем. Основные понятия и определения 27.2 KB
  Прикладной процесс Системы А сообщается с Уровнем 7 Системы А верхний уровень который сообщается с Уровнем 6 Системы А который в свою очередь сообщается с Уровнем 5 Системы А и так далее до Уровня 1 Системы А. После того как информация проходит через физическую среду и принимается Системой В она поднимается через слои Системы В в обратном порядке сначала Уровень 1 затем Уровень 2 и т. пока она наконец не достигнет прикладного процесса Системы В.
33357. Характеристика уровней эталонной модели (назначение, основные функции) 14.34 KB
  Описание уровней эталонной модели OSI Каждый уровень имеет заранее заданный набор функций которые он должен выполнить для проведения связи. Прикладной уровень уровень 7 это самый близкий к пользователю уровень OSI. Прикладной уровень идентифицирует и устанавливает наличие предполагаемых партнеров для связи синхронизирует совместно работающие прикладные процессы а также устанавливает и согласовывает процедуры устранения ошибок и управления целостностью информации. Прикладной уровень также определяет имеется ли в наличии достаточно...
33358. Принципы построения систем и сетей связи на основе эталонной модели 27.29 KB
  Пример представления процесса связи на основе уровней OSI Прикладной процесс Системы А сообщается с Уровнем 7 Системы А верхний уровень который сообщается с Уровнем 6 Системы А который в свою очередь сообщается с Уровнем 5 Системы А и так далее до Уровня 1 Системы А. После того как информация проходит через физическую среду и принимается Системой В она поднимается через слои Системы В в обратном порядке сначала Уровень 1 затем Уровень 2 и т. пока она наконец не достигнет прикладного процесса Системы В. Каждый из уровней сообщается...
33359. Универсальный асинхронный приёмо-передатчик КР1816ВУ51 32 KB
  Через универсальный асинхронный приёмопередатчик УАПП осуществляется прием и передача информации представленной последовательным кодом младшими битами вперёд в полном дуплексном режиме обмена. В этом режиме информация 8бит передаётся и принимается через внешний вывод входа приёмника RXD. Через TXD выдаются импульсы сдвига синхронизации которые сопровождают каждый бит. За один машинный цикл передаётся один бит информации.