29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

40 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43402. Мониторинг, система и меры антикризисного управления 157.5 KB
  Мировая практика показывает то что проработанная политика государственного регулирования является мощным фактором подъема экономики страны. Задачи государственного регулирования экономики это набор целевых установок органов власти при регулировании экономических отношений. Раньше в стране преобладала установка официального планомерного и пропорционального а следовательно и бескризисного развития экономики стало быть нужда в антикризисном управлении отсутствовала. Отмечая важность этой темы для нашей экономики необходимо указать...
43403. Проектирование усилительного устройства 100 KB
  Структурная схема усилительного устройства Определение основных параметров усилителя По исходным данным необходимо определить основные параметры усилительного устройства: входное сопротивление усилителя Rвх которое нужно оптимальным образом согласовать с источником сигнала. Лист № док Подпись Дата Выбор схемы входного каскада Так как Rвх = R1 = 150 Ком и R1 Rг где Rг = 1Ком то входной каскад можно исключить. Лист № док Подпись Дата где fр = fо а С1 = R2 = 700 КОм R1 =...
43404. Моделирование полосно-пропускающего фильтра Чебышева методом инвариантного преобразования 12.84 MB
  Теория моделирования систем фильтрации сигналов.3 Моделирование передаточной функции аналогового фильтра низких частот.33 Приложения А Текст исходной программы Б Simulink модель цифрового полосно-пропускающего фильтра В Графики АЧХ ФЧХ и времени задержки ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Робототехника...
43406. Динамика в фотографии 1.19 MB
  Передача характера движения. Направление движения в кадре. Сохранить динамику действия движения внутреннего состояния человека показать развитие события во времени и пространстве в единичном снимке фиксирующем всего лишь кратчайший миг происходящего момент длиною в 1 30 1 100 1 500 долю секунды довольно непросто. И дело конечно не только в передаче на снимке движения как такового как перемещения объекта съемки в пространстве.
43408. Моделирование технологии получения отливки «ОТЛИВКА» из сплава марки СПЛАВ методом литья в МЕТОД ЛИТЬЯ в системе компьютерного моделирования литейных процессов СКМ 578 KB
  Произвести компьютерное моделирование заполнения и затвердевания отливки по заданному технологическому процессу. Провести анализ полученных результатов и дать рекомендации по улучшению предложенного технологического решения. Обозначить вероятные проблемы и возможные дефекты литья, выявленные в ходе анализа. Применить для анализа СКМ ЛП LVMFlow.
43409. Проект мероприятия по озеленению и благоустройству территории сквера “Победа” 263 KB
  Летнее повышение температуры вызывается тропическим воздухом, проникающим из Средиземноморья. Юго-восточные ветры приносят из пустынь Средней Азии засуху. Воздушные потоки с Атлантики приносят пасмурную погоду, снегопады, а летом – облачность и дожди.
43410. Разработка и исследование математическую модель функционирования бытового электрического водонагревателя 621.5 KB
  Интегрированная среда разработки Trce ModeОбщие сведения TRCE MODE состоит из инструментальной системы интегрированной среды разработки и из набора исполнительных модулей. С помощью исполнительных модулей TRCE MODE проект АСУ запускается на исполнение в реальном времени. TRCE MODE позволяет создавать проект сразу для нескольких исполнительных модулей узлов проекта.