29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

39 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59572. Корупція в давньоримській республіці 35.5 KB
  Порівняйте поведінку Цицерона й Віра коли вони займали важливі посади в Римській республіці. Одна група займається пошуком у документах фактів коли Цицерон обвинувачує Віра. Інша група намагається виявити причини такої поведінки Віра.
59573. Система доходів бюджету 496 KB
  В умовах ринкових трансформацій проблеми формування достатнього обсягу доходів бюджету і забезпечення ефективного їх використання набувають особливої гостроти. Недоліки законодавчої бази, домінування традиційних
59574. Міграційні процеси в Україні 46 KB
  Основні поняття: міграція еміграція імміграція сальдо міграції сезонна міграція маятникова міграція економічносоціальна міграція політична релігійна екологічна міграція біженці. Що таке міграція Які причини міграції.
59577. Г. С. Сковороди в навчально-виховному процесі в дитячих дошкільних закладах та середній школі 71.5 KB
  У більшості байок наприклад є життєдайна ідея вони спрямовані на формування вірного життєрозуміння тут протиставлені різні якості властивості людини що призводять до певних життєвих обставин упливають на долю дини вцілому.
59579. Нашого цвіту — по всьому світу 52 KB
  Хто такі емігранти За яких причин вони можуть опинитися за кордоном 2. Українська діаспора умовно поділяється на східну у Росії проживає 43 млн українців у Казахстані 900 тис. у Молдові 600 тис. у Бєларусі 300 тис.