29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

39 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26697. Основные тектонические элементы северо-западной части Тихоокеанского подвижного пояса 387 KB
  Основные тектонические элементы северозападной части Тихоокеанского подвижного пояса. Формирование ОхотскоЧукотского вулканоплутонического пояса происходило в раннем мелупалеогене. С вулканитами тесно пространственно и генетически связаны интрузии гранитоидов и более основных пород занимающие до 20 площади пояса. СРЕДИЗЕМНОМОРСКИЙ ПОДВИЖНЫЙ ПОЯС В состав Средиземномосркого подвижного пояса в пределах бывшего Советского Союза входят складчатые сооружения Карпат Горного Крыма Большого и Малого Кавказа Копетдага так называемая...
26698. Кавказское складчатое сооружение 52.5 KB
  Месторождения нефти сосредоточены в основном в Башкортостане Пермской и Оренбургской областях и в Удмуртии природного газа – в Оренбургском газоконденсатном месторождении. Месторождения осадочных сидеритов и связанные c ними бурые железняки Бакальское распространены в западной мегазоне Южного Урала. Для TагильскоMагнитогорской зоны Восточной мегазоны характерны полигенные скарновомагнетитовые месторождения железных руд TагилоKушвинская гуппа Mагнитогорское и др. Kрупные месторождения хромитов Kемпирсайское PайИзское и др.
26699. Кредитный договор 62.49 KB
  Общая характеристика кредитного договора. Заключение кредитного договора и исполнение обязательств по нему. Расторжение кредитного договора...
26700. Строение фундамента ВЕП 119 KB
  Строение фундамента ВЕП Архейские и частично нижнепротерозойские отложения представляют собой толщи первичноосадочных вулканогенноосадочных и вулканогенных пород метаморфизованных в различной степени. Для расчленения пород фундамента важны данные определения абсолютного возраста. Выходы фундамента на поверхность. Рельеф фундамента и современная структура платформы В пределах ВЕП структуры первого порядка выделяются Балтийский и Украинский щиты и Русская плита.
26701. Сибирские траппы 1.13 MB
  Отложения нижнего рифея распространены на востоке платформы в КамскоБельском Пачелмском Ладожском Среднерусском и Московском авлакогенах. Местами в нижнем рифее известны вулканогенные породы: горизонты базальтовых пеплов туфов и покровы базальтов а в западных районах платформы в это время внедрялись габбродиабазовые интрузии. Возможно что первоначально эти отложения имели более широкое площадное распространение а позднее они были частично размыты и сохранились лишь в наиболее прогнутых участках платформы. На западе и в...
26702. Региональная геология» («Геология России») Часть 2. Подвижные пояса неогея 2.4 MB
  2009 г Казанский государственный университет 2009 г СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 ГЕОДИНАМИЧЕСКИЕ ОБСТАНОВКИ В ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ПОДВИЖНЫХ ПОЯСОВ 5 УРАЛОАЗИАТСКИЙ ПОДВИЖНЫЙ ПОЯС 30 Уральская складчатая область 30 ТиманоПечороБаренцевоморская складчатая зона 41 ПайхойскоНовоземельская складчатая зона 46 АлтаеСаянская область 50 СаяноЕнисейская область 59 ТуруханоНорильская зона поднятий 59 Складчатое сооружение Енисейского кряжа 59 Cкладчатое сооружение Восточного Саяна 61...
26703. Региональная геология» (Геология России) Часть 1. Древние платформы 1.32 MB
  Слагающие его каледонские комплексы представленные позднепротерозойскими и раннепалеозойскими отложениями надвинуты в юговосточном направлении на Балтийский щит ВЕП. Об этом свидетельствует в частности наличие в каледонских структурах ряда тектонических окон в которых обнажаются автохтонные раннедокембрийские отложения фундамента ВЕП. На большей части ВЕП он перекрыт платформенным чехлом сложенным горизонтально или пологозалегающими отложениями верхнего протерозоя и фанерозоя общей мощностью от нескольких сотен метров до 510 и...
26704. Материки и океаны являются наиболее крупными элементами в строении Земной коры. Говоря об океанах, следует иметь в виду строение коры в пределах участков, занимаемых океанами 182.5 KB
  Материки и океаны являются наиболее крупными элементами в строении Земной коры. Говоря об океанах следует иметь в виду строение коры в пределах участков занимаемых океанами. Срединноокеанические хребты рассматриваются как участки растяжения земной коры или зоны спрединга. Океани́ческая кора́ тип земной коры распространенный в океанах.
26705. Сибирские траппы 314.5 KB
  Одним из таких фрагментов начиная с рифейского времени и являлась ВЕП в современных ограничениях. Осадочный платформенный чехол мегакомплекс ВЕП подразделяется на два мегаэтажа: авлакогенный нижний и плитный верхний. Формирование названных этажей происходило во временных рамках одноименных авлакогенного и плитного мегаэтапов развития ВЕП В течение рифея и раннего венда большая часть ВЕП сохраняла приподнятое положение подвергалась воздействию процессов денудации и служила источником обломочного материала сносившегося в пределы...