29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

40 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21988. Германия в XI-XV вв. 151.5 KB
  Полностью романской была Лотарингия присоединенная к Германии уже в конце IX в. Новые императоры вернулись от вселенской политики к германским проблема в Италию ходили походами только для коронации в Германии опирались на епископов и на слой министериалов и боролись с герцогами. Но после клюнийской реформы духовенство в Германии усилилось а в XI в. Генрих IV стал править самостоятельно в качестве короля Германии ему прежде всего пришлось столкнуться с фактом возросшей независимости светских и духовных князей.
21989. Германия в XVI-первой половине XVII вв. 182.5 KB
  Международная экономическая роль Германии выражалась в том что она занимала первое место в мире по добыче серебра 80 шло из Германии в Европу. Альбрехт не был в состоянии уплатить Фуггерам и добился от папы Льва X разрешения провести продажу индульгенций в Саксонии и других местах Германии за что обещал уплатить курии 10. На востоке Германии большое значение приобретают ярмарки в Лейпциге с конца XV в. Процесс созревания некоторых предпосылок генезиса капитализма был приостановлен в Западной Германии и Австрии феодальной реакцией...
21990. Гуманизм Италии XIV-XV вв. 147 KB
  Гуманисты были творцами новой системы знания в центре которого стояла проблема человека его земного предназначения термин humanista полагает П. Мишле выдвинул принципиально отличное от средневекового решения проблемы отношения человека к миру. Бурдаха где он писал что новое понимание искусства литературы науки новая концепция человека не вступали в противоречие в христианской религией ибо были предопределены ее пышным цветением в XIII в. Наиболее значительной для Тоффанина была идея божественности человека.
21991. Западная Европа в конце XI в. 30 KB
  Отношения между представителями класса феодалов в государствах Западной Европы строились по принципу т. На ее вершине находился император король который считался верховным сеньором всех феодалов их сюзереном главой феодальной иерархии. Среди церковных феодалов тоже существовала иерархия по рангу занимаемой ими должности: папа римский кардиналы архиепископы епископы аббаты приоры кюре викарий. Многие из них были вассалами светских феодалов по своим земельным владениям и наоборот.
21992. Западные славяне 61.5 KB
  начинается серия войн с Византией велись они с переменным успехом но в целом удачно для Болгарии. престиж Болгарии как международной державы был высок. Послов Болгарии за императорским столом сажали выше чем послов германского императора Оттона I. в Болгарии появилось богомильское движение дуализм.
21993. Индия в IV-VI-VII-XII вв. 50 KB
  Упадок империи Гуптов в Индии явился рубежом отделяющим древность от средневековья. Индии. вождем эфталитов стал Торомана который овладел Гандхарой областью на северозападе Индии затем двинулся в пределы самой империи. Инд частью Центральной Индии совр.
21994. Индия в XII-XVII вв. 74.5 KB
  Завоеванные индийские земли были включены в состав гос. земель державы Гуридов и Мухаммед Гури как их верховный собственник стал раздавать эти земли в условное феодальное держание икта своим военачальникам поставив над ними в качестве наместника Кутбаддина Айбека. Военачальники которым он роздал индийские земли в феодальное держание отказались признать нового правителя Газни своим господином и создали на территории Северной Индии собственное государство получившее название по имени своей столицы Делийский султанат 12061526 гг....
21995. Иран в V-VII – X- XIII вв. 50.5 KB
  Сасанидский Иран крупнейшее государство Передней Азии. Эти изделия вывозились в страны Средиземноморья Азии Китай. Азии. Азии.
21996. Средневековая культура 107 KB
  Не откажите прислать с подателем сего письма деньги а также туфли и чулки. появилось деление на семестры большой ординарный учебный период magnus ordinaries с октября день св. Поскольку смех был изгнан из официальной жизни то поэтому появились праздники дураков которые проводились на Новый год день невинноубиенных младенцев Богоявление Иванов день. Здесь и страдающий Христос окруженный мальчикамиангелами; Тайная вечеря где присутствовал и Фома Аквинский борьба архангела Михаила с демонами источник бьющий вином гроб...