29462

Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана

Доклад

Математика и математический анализ

Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.

Русский

2013-08-21

78.92 KB

39 чел.

10Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана.

Опр. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд  сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Доказательство[править]

Составим ряд из положительных элементов ряда  и обозначим его , а элементы ряда  обозначим . Соответственно ряд из модулей отрицательных элементов  обозначим  Следовательно ряд  можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов  и  — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки  и  — расходятся  в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла SS За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше SS Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда  встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены  и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:  и , то новый ряд сходится к S

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно число М.

Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

       Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся.  Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено.  Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ: ряд условно сходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68530. ЭМОЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ В СТРУКТУРЕ ЛИЧНОСТИ КУРСАНТОВ УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ВОЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 115 KB
  В структуру эмоционального интеллекта авторы включают следующие компоненты: оценку и выражение эмоций собственных вербальное или невербальное; других людей невербальное восприятие или эмпатия; регуляцию эмоций – собственных других людей; использование эмоций гибкое планирование...
68531. Бухгалтерский учет финансовых результатов на ООО «БУЛГАРНЕФТЕПРОДУКТ» 637.78 KB
  Прибыль - показатель эффективности работы предприятия, источник её жизнедеятельности. Рост прибыли создает финансовую основу для самофинансирования деятельности предприятия, осуществление расширенного воспроизводства и удовлетворения растущих социальных и материальных потребностей трудовых коллективов.
68532. ПОТРЕБНОСТЬ В САМОПОЗНАНИИ И ЛИЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ 79.5 KB
  Анализ процентного соотношения испытуемых по двум кластерам позволяет утверждать что студенты из первой группы в большей степени направлены на самопознание чем из второй. Для проверки выдвинутого нами предположения две полученные в результате кластерного анализа группы группа...
68533. ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ УЧАЩЕЙСЯ МОЛОДЕЖИ КАК ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПРОЯВЛЕНИЯ ПАТРИОТИЗМА 139 KB
  Необходимо акцентировать внимание на том что основными структурными компонентами патриотизма являются: патриотическое сознание патриотическое отношение и патриотическая деятельность. Данный диагностический инструментарий позволил выявить ценностное отношение к таким феноменам как семья Отечество...
68534. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭМПИРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕТАКОГНИТИВНЫХ СТРАТЕГИЙ В СОВРЕМЕННОЙ ЗАРУБЕЖНОЙ ПСИХОЛОГИИ 66 KB
  В статье на основе теоретического анализа современных зарубежных исследований в данной области рассматриваются представления о метакогнитивных стратегиях в западной психологии. Рассмотрены взгляды ученых на учебный процесс в ВУЗах с учетом метакогнитивных стратегий и навыков.
68535. АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУБЪЕКТНОГО СОСТАВА В ПРАВООТНОШЕНИЯХ ПО ДЕЛАМ О ЗАЩИТЕ ЧЕСТИ И ДОСТОИНСТВА 57 KB
  Судебные дела связанные с защитой чести и достоинства представляют собой отдельную категорию гражданско-правовых споров. Специфика данной категории дел обусловлена прежде всего особым характером субъективных прав которые должны быть защищены судом неотчуждаемых личных...
68536. СРЕДСТВА МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ КАК ИСТОЧНИК АГРЕССИИ 61.5 KB
  Возможно росту насилия способствует усиление индивидуализма и материализма в обществе Или причиной является все более расширяющаяся пропасть между могуществом богатства и бессилием бедности А может назойливое смакование сцен насилия в поделках массовой культуры ведет к такому результату...
68537. БАШКИРО-КАЗАХСКИЕ ОТНОШЕНИЯ ДО XIX В. В ИСТОРИЧЕСКИХ ИСТОЧНИКАХ И УСТНОМ НАРОДНОМ ТВОРЧЕСТВЕ БАШКИР 85 KB
  Материалы башкирского народного творчества по данной тематике можно разделить на две категории. Прежде всего это сюжеты не повествующие напрямую о башкиро-казахских отношениях но при сопоставлении с их аналогами в фольклоре казахов и других тюркских народов позволяющие выяснить наиболее древние...