29464

Признак Дирихл

Доклад

Математика и математический анализ

Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .

Русский

2013-08-21

50.3 KB

4 чел.

12Признак Дирихле , пример

Признак Дирихле. Ряд  сходится, если последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда  ограничена.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

  1.   и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ;
  2.  функция ;
  3.  .

Тогда  сходится.

  1.  Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  2.  Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

  1.  Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править]

Пусть выполнены условия:

  1.  Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
  2.  .
  3.  .

Тогда ряд  сходится.

  1.  Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  2.  Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  1.  Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд 
     и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: 

Вот применение признака Дирихле:

Ряд 
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда 

, чьи частичные суммы равны
 - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1185. Формы внешнего финансирования 64 KB
  Сроки поставки по лизингу основных фондов минимальные. Средства производства, получаемые по лизинговой операции, не учитываются на балансе лизингополучателя и, следовательно, не увеличивают его кредиторскую задолженность. По лизингу оформляется чаще всего дорогостоящее, редкое, сложное оборудование или оборудование, изготовленное малоизвестными фирмами.
1186. Сущность банкротства 59 KB
  Под процедурами банкротства понимается система разнообразных мероприятий, направленных на урегулирование отношений между предприятием-должником и его кредиторами.
1187. Организационно-правовые формы частного бизнеса 59.5 KB
  Ограниченная и неограниченная ответственность. Общество с ограниченной ответственностью (ООО). Производственный кооператив. Товарищество на вере (коммандитное общество).
1188. Одноэтажное промышленное здание 78 KB
  Конструктивная схема здания - полный каркас, материал - железобетон. Подъемно-транспортное оборудование – мостовой кран. Стены панельные, Ж/Б, трехслойные, утеплитель - пенополистерол S-25 кг/м3, серия 1.432. Несущие конструкции покрытия - безраскосая ферма. Инженерное оборудование - водоотвод, канализация, отопление, электроснабжение.
1189. Тамбовский филиал ОАО Междугородной и международной электрической связи Ростелеком 77 KB
  Важнейшей задачей Котовского отделения Тамбовского филиала было и является обеспечение различных видов связи в городе Котовске. Совместимость с существующими цифровыми и аналоговыми телефонными станциями. Используемое оборудование и программное обеспечение.
1190. IP-адресация 78.5 KB
  Поиск и выбор IP-адреса. Центр управления сетями и общим доступом. Беспроводное сетевое соединение. Управление сетевыми подключениями.
1191. Фармакология периферической нервной системы 51 KB
  Структурно-функциональные особенности автономной (вегетативной) и соматической иннервации. Механизм передачи нервного импульса в синапсах автономной нервной системы. Эффекты возбуждения симпатических и парасимпатических нервов. Принципы фармакологической регуляции нейромедиаторных процессов. Классификация веществ, действующих на автономную нервную систему.
1192. Исследование ассортимента и качества конфет в розничной торговой сети «Рассвет» 346.34 KB
  Характеристика магазина «Рассвет» и основных показателей хозяйственной деятельности. Производители – источники поступления конфетных изделий в магазин «Рассвет». Приемка конфетных изделий по качеству и количеству в магазине «Рассвет». Анализ ассортимента конфетных изделий в магазине по видам. Результаты исследований ассортимента конфет в магазине по показателям: широта, полнота, устойчивость, новизна...
1193. Технико-экономические показатели автоматизации комплекса очистных сооружений 139.5 KB
  расчёт прогнозируемого объёма переработки загрязнённых вод на комплексе очистных сооружений. Расчет потребности капитальных вложений в основные фонды. Расчёт заработной платы. Расчёт затрат на потребление теплоэнергии (пара). Основные технико-экономические показатели автоматизации комплекса.