29464

Признак Дирихл

Доклад

Математика и математический анализ

Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .

Русский

2013-08-21

50.3 KB

4 чел.

12Признак Дирихле , пример

Признак Дирихле. Ряд  сходится, если последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда  ограничена.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

  1.   и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ;
  2.  функция ;
  3.  .

Тогда  сходится.

  1.  Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  2.  Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

  1.  Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править]

Пусть выполнены условия:

  1.  Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
  2.  .
  3.  .

Тогда ряд  сходится.

  1.  Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  2.  Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  1.  Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд 
     и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: 

Вот применение признака Дирихле:

Ряд 
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда 

, чьи частичные суммы равны
 - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12497. Лесное хозяйство 84.5 KB
  Многие важнейшие элементы лесного хозяйства, включая охрану лесов, лесоустройство, учёт и инвентаризацию лесов, лесовосстановление, защитное лесоразведение, профилактическую работу с населением и лесную науку, или уже прекратили своё существование, или неизбежно перестанут существовать в течение одного-двух лет при сохранении существующих тенденций.
12498. Изучение внутреннего фотоэффекта 43 KB
  Изучение внутреннего фотоэффекта: методические указания по выполнению лабораторной работы № 83 по курсу Физика для студентов инженернотехнических специальностей / Курск гос. техн. унт; сост.: Л.А. Желанова А.А. Родионов. Курск 2010. 7 с. Библиогр.: с.7. Содержат сведения...
12499. Анализ фондового рынка Российской Федерации за 2009 -2014 года 4.01 MB
  Ведущим индикатором фондового рынка России является Индекс ММВБ. Кроме основного композитного индекса ММВБ, рассчитывается Индекс РТС. Основные индексы Московской Биржи (Индекс ММВБ и Индекс РТС)
12500. Определение показателя преломления, концентрации и дисперсии растворов сахара с помощью рефрактометра Аббе 302 KB
  Определение показателя преломления концентрации и дисперсии растворов сахара с помощью рефрактометра Аббе [Текст]: методические указания по выполнению лабораторной работы по оптике № 64 для студентов инженернотехнических специальностей / ЮгоЗап. гос. унт; сост.: А.А. Ро
12501. Изучение закона МалюсаИзучение особенностей интеллектуальной деятельности пожилых людей 1.34 MB
  На основе теоретического анализа описать основные характеристики интеллектуальной деятельности пожилых людей; Описать методы изучения интеллектуальной деятельности пожилых людей; Изучить особенности интеллектуальной деятельности пожилых людей; Разработать практические рекомендации по улучшению интеллектуальной деятельности пожилых людей...
12502. БАНК ВТБ24 178.5 KB
  Всем этим требованиям в полной мере отвечает один из лидеров национального банковского сектора России - банк ВТБ24. За всю историю своего существования ВТБ сумел занять прочные позиции на российском на всех сегментах рынка банковских услуг и добиться международного признания
12503. Финансы домохозяйств: состав и структура доходов и расходов, роль сбережений 349.5 KB
  Предметом исследования курсовой работы являются финансы домохозяйств, состав и структура доходов и расходов населения и роль сбережений. Объектом исследования будет выступать вся деятельность домашних хозяйств.
12504. Организация бухгалтерского учета расчетов по заработной плате, анализ и контроль фонда оплаты труда 1.61 MB
  В ходе выполнения дипломной работы разработана схема распределения прибыли на КУПСХП «Освейский» и внесены предложения с целью повышения эффективности бухгалтерского учета и кнтроля расчетов по заработной плате.
12505. Анализ современного состояния и перспектив развития банковского сектора в РФ 776.5 KB
  Объединяются с целью увеличения и сохранения капиталов, т.е. происходит слияние капиталов; Крупные банки покупают более мелкие банки, т.е. происходит поглощение; Закрываются в связи с банкротством или в связи с невозможностью мелких банков выполнять требования ЦБ по работе и размеру уставного капитала...