29464

Признак Дирихл

Доклад

Математика и математический анализ

Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .

Русский

2013-08-21

50.3 KB

4 чел.

12Признак Дирихле , пример

Признак Дирихле. Ряд  сходится, если последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда  ограничена.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

  1.   и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ;
  2.  функция ;
  3.  .

Тогда  сходится.

  1.  Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  2.  Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

  1.  Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править]

Пусть выполнены условия:

  1.  Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
  2.  .
  3.  .

Тогда ряд  сходится.

  1.  Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  2.  Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  1.  Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд 
     и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: 

Вот применение признака Дирихле:

Ряд 
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда 

, чьи частичные суммы равны
 - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1668. Физиологическое и экономическое значение сухостойного периода у коров 20.99 KB
  Сухостойный период - время от прекращения у животных лактации до очередных родов, у дойных коров и коз — период от запуска доения до родов.
1669. Химический состав и физические свойства спермы 19.27 KB
  Сперма – смесь половых клеток самца и плазмы (сыворотки). По химическому составу сперма относится к наиболее сложным жидкостям организма.
1670. Организационно-экономическая характеристика машинно-тракторного парка КСУП Комбинат 48.63 KB
  Организационно-экономические вопросы производственной и технической эксплуатации машинно-тракторного парка. Организационно-экономические вопросы ремонта машинно-тракторного парка в КСУП Комбинат "Восток"
1671. Особенности радиоэлектроники и ее физические основы 41.09 MB
  Проводники, диэлектрики и полуроводники, их свойства. Устройство синхронной машины. Физико-химические свойства элегаза. Автомати́ческий ввод резе́рва (Автомати́ческое включе́ние резе́рва, АВР).
1672. Оценка и подтверждение соответствия 518.83 KB
  Виды и формы оценки и подтверждения соответствия. Цели, задачи и принципы подтверждения соответствия. Объекты оценки и подтверждения соответствия. Субъекты, подтверждающие соответствие. Средства и методы оценки и подтверждения соответствия.
1673. Правила проведения сертификации и декларирования 1.24 MB
  Обязательная сертификация. Добровольная сертификация. Порядок проведения декларирования соответствия.
1674. Контроль качества продукции и услуг 2.98 MB
  Основные понятия в области контроля. Значение контроля качества, его место в оценке соответствия. Государственный и муниципальный контроль качества: сфера применения, правовая база, органы государственного контроля и их полномочия – практическая работа.
1675. Значение и структурные элементы метрологии 360.06 KB
  Основные понятия в области метрологии. Структурные элементы метрологии. Цели, задачи и принципы. Разделы метрологии.
1676. Объекты и субъекты метрологии 2.36 MB
  Объекты метрологии. Величины, их классификация и характеристика. Классификация физических величин и единиц их измерения. Субъекты метрологии, их классификация и краткая характеристика.