29464

Признак Дирихл

Доклад

Математика и математический анализ

Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .

Русский

2013-08-21

50.3 KB

4 чел.

12Признак Дирихле , пример

Признак Дирихле. Ряд  сходится, если последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда  ограничена.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

  1.   и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ;
  2.  функция ;
  3.  .

Тогда  сходится.

  1.  Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  2.  Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

  1.  Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править]

Пусть выполнены условия:

  1.  Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
  2.  .
  3.  .

Тогда ряд  сходится.

  1.  Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  2.  Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  1.  Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд 
     и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: 

Вот применение признака Дирихле:

Ряд 
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда 

, чьи частичные суммы равны
 - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82168. Отчет по работе участковой медицинской сестры МУЗ «Сарапульской детской городской больницы» 448 KB
  На территории обслуживания СДГБ проживает 11347 детей. Находиться 19 дошкольных учреждений; 14 школ в том числе: санаторная школа интернат для детей с бронхолегочными заболеваниями школа для слабослышащих детей специализированный детский сад для детей с заболеваниями глаз а так же Сарапульский детский...
82169. PR-ПОТЕНЦИАЛ ЛИТЕРАТУРНОГО ПРОЕКТА ДЖ.РОУЛИНГ «ГАРРИ ПОТТЕР» 601.5 KB
  На сегодня Гарри Поттер давно вышел за рамки литературы. Гарри Поттер – это целый культурный феномен и крупный элемент национального бренда Великобритании. Художественная литература как вид искусства являет собой целую коммуникативную площадку, и как такая коммуникативная площадка она обладает определенным PR-потенциалом.
82170. Использование информационных технологий в развитии самостоятельного туризма в России 2.19 MB
  Согласно Хартии туризма государствам следует: содействовать доступу туристов к общественному достоянию посещаемых мест применяя положения документов по упрощению формальностей выпущенных Организацией Объединённых Наций Международной организации гражданской авиации Международной морской...
82171. Особенности художественного мира Олега Митяева как барда и носителя городской культуры (опыт лингвокультурологического описания) 380 KB
  Актуальность темы определила цель работы, которая заключается в следующем: рассмотреть характер реализации фактов русской культуры в авторской песне и выявить черты ее языкового воплощения. Для достижения цели работы поставлены следующие задачи: во-первых, проследить этапы развития русской авторской песни...
82172. Изучение особенностей института наследования в Российском гражданском праве 1.29 MB
  Актуальность исследования. Институт наследования возник несколько тысячелетий назад с появлением частной собственности. Упоминание о наследовании можно найти в самых первых письменных источниках: глиняных табличках Шумера, египетских папирусах и др.
82173. Разграничение доведение до самоубийства от других смежных преступлений 161.76 KB
  Социальная обусловленность уголовной ответственности за доведение до самоубийства. История ответственности за доведение до самоубийства в российском уголовном законодательстве. Для более подробного изучения вопроса об ответственности за доведение до самоубийства необходимо обратиться к истории...
82174. Розробка ІС «Рецепты для домохозяек» 247 KB
  Основне завдання інформаційної системи управління полягає у підпорядкуванні всіх внутрішніх процесів головним цілям організації. Для цього необхідно скоординувати процеси, пов’язані з діяльністю організації таким чином, щоб вони максимально забезпечували виконання поставлених задач в єдиному інформаційному полі.
82175. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВНУТРИЦЕХОВОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ 369.4 KB
  Выбор способа прокладки линий осветительной сети цеха В производственных участках групповые и распределительные линии прокладываются открыто по строительным конструкциям. Во вспомогательных помещениях осветительные линии прокладываются скрыто в трубах под слоем штукатурки и гофрированной пластмассовой...
82176. Проектирование и расчет параметров сетей передачи данных 10.04 MB
  Сегодня вычислительные сети продолжают развиваться, причем достаточно быстро. Разрыв между локальными и глобальными сетями постоянно сокращается во многом из-за появления высокоскоростных территориальных каналов связи, не уступающих по качеству кабельным системам локальных сетей.