29464

Признак Дирихл

Доклад

Математика и математический анализ

Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .

Русский

2013-08-21

50.3 KB

4 чел.

12Признак Дирихле , пример

Признак Дирихле. Ряд  сходится, если последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда  ограничена.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

  1.   и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ;
  2.  функция ;
  3.  .

Тогда  сходится.

  1.  Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  2.  Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

  1.  Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править]

Пусть выполнены условия:

  1.  Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
  2.  .
  3.  .

Тогда ряд  сходится.

  1.  Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  2.  Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  1.  Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд 
     и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: 

Вот применение признака Дирихле:

Ряд 
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда 

, чьи частичные суммы равны
 - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7132. Музыкальное воспитание младших школьников 155.5 KB
  Музыкальное воспитание младших школьников Введение Музыкальное воспитание младших школьников все настойчивее входит в разряд первостепенных задач, волнующих общественность, что дает простор для радикального решения ряда важнейших аспектов про...
7133. Особенности жарочного шкафа 240.23 KB
  Тепловое оборудование предназначено для доведения кулинарных изделий до готовности, их разогрева и поддержания необходимой температуры ...
7134. Логика и теория аргументации 4.26 MB
  Логика и теория аргументации Введение Трудно переоценить значение логики и теории аргументации не только в развитии научного знания, но и в обыденной жизни. Для науки существенным моментом являются эффективные способы обработки информации и методы и...
7135. Бухгалтерский учет на малых предприятиях 186.5 KB
  Введение Предприятия малого бизнеса являются важнейшей составной частью обширного комплекса всех предприятий Российской Федерации. С принятием Гражданского кодекса Российской Федерации, законов о земле, о предприятиях с разной формой собственности п...
7136. Логический синтез цифровых устройств 905.5 KB
  Курсовая работа Логический синтез цифровых устройств Описание работы проектируемого устройства. Объект представляет собой техническое устройство, в которое поступают различные детали. Имеется 5 датчиков, которые определяют соответствие д...
7137. Важность мотивации для успешного развития компании 191 KB
  Введение. Основы мотивационной деятельности. Основы и сущность мотивации и стимулирование трудовой деятельности персонала. Смысл и эволюция мотивации. Содержательные теории мотивации. Мотивация персонала в организациях ...
7138. Понятие вины в уголовном праве 198.5 KB
  Понятие вины в уголовном праве Введение Состав преступления характеризуется совокупностью четырех элементов: объект, объективная сторона, субъект, субъективная сторона. Каждый из этих элементов является для любого состава обязательным. Отсутствие лю...
7139. Курортное оздоровление детей и подростков на российских и зарубежных курортах 218 KB
  Курортное оздоровление детей и подростков на российских и зарубежных курортах Введение Здоровье населения - один из важнейших элементов социального, культурного и экономического развития нашей страны. Именно поэтому Правительство Российской Федераци...