29464

Признак Дирихл

Доклад

Математика и математический анализ

Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .

Русский

2013-08-21

50.3 KB

4 чел.

12Признак Дирихле , пример

Признак Дирихле. Ряд  сходится, если последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда  ограничена.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

  1.   и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ;
  2.  функция ;
  3.  .

Тогда  сходится.

  1.  Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  2.  Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

  1.  Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править]

Пусть выполнены условия:

  1.  Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
  2.  .
  3.  .

Тогда ряд  сходится.

  1.  Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  2.  Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  1.  Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд 
     и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: 

Вот применение признака Дирихле:

Ряд 
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда 

, чьи частичные суммы равны
 - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46765. Разработка мероприятия по совершенствованию маркетинговой деятельности предприятия ОАО «Магнит» 1014 KB
  Система управления маркетингом – это производственно-сбытовой деятельность предприятий и фирм, основанная на комплексном анализе рынка. Включает изучение и прогнозирование спроса...
46766. Воздействие на аудиторию. Приемы построения аргументации. Функции рекламы. Реклама и общество 29.05 KB
  Одним из важнейших моментов рекламной стратегии является выбор оптимальных средств распространения рекламы. Успех любой рекламной кампании определяют следующие компоненты: соотношение ценакачество наличие товара на рынке развитие и состояние рынка сервисные услуги и иные преимущества приемы ценового регулирования позиционирование брэнда статус торговой марки действия конкурентов внешний вид товара реклама В настоящее время существует 4 вида рекламной деятельности: Коммерческая товарная Политическая Социальная ...
46768. Финансы как социально-экономическая категория. Сущность и роль финансов в рыночной экономике 29.49 KB
  3осуществляется воздействие на развитие финансов в низовых структурах общества и укрепление финансового положения предприятия. Сущность финансов проявляется через их функции: 1Распределительная распределение и перераспределение общей суммы финансовых ресурсов предприятия 2Контрольная контроль за результатами финансовой деятельности предприятия процессом формирования распределения и использования финансовых ресурсов в соответствии с планами 3Регулирующая вмешательство государства через финансы в процессе воспроизводства:...
46773. Реконструкція будівель 29.5 KB
  Реконструкцію слід проводити у чіткій відповідності до проекту виконання робіт у якому розроблено методи і терміни їх виконання. Низька культура виробництва та зволікання зі строками робіт досить часто призводять до того що ще міцні будівлі у період реконструкції або після її закінчення потребують додаткового підсилення несівних конструкцій мають тріщини у стінах та інших конструкціях чи підвищену їхню вологість. Відомо два організаційнотехнологічних прийоми реконструкції: 1 виконання всіх робіт із розбирання старих конструкцій а...