29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23082. Дослідження залежності зсуву фаз від кута падіння при повному відбитті за допомогою компенсатора Сенармона 894.5 KB
  Дослідження залежності зсуву фаз від кута падіння при повному відбитті за допомогою компенсатора Сенармона. Теоретичні відомості Світло що відбивається від межі поділу двох середовищ з різною оптичною густиною проходить у середовище з меншої густиною лише при кутах падіння менших деякого граничного кута якай можна знайти за формулою φгр = arcsin n 10 де n показник заломлення другого середовища відносно першого. При куті падіння φгр кут заломлення у другому...
23083. Влияние импульсного магнитного поля и низко импульсного электромагнитного излучения очень высоких частот на дрожжевые клетки рода Saccharomyces cerevisiae при приготовлении пшеничного хлеба 647.5 KB
  Пекарские дрожжи относятся к виду Saccharomyces cerevisiae. Их выращивают в богатой кислородом среде, в особых емкостях с сахарной свеклой, азотными минералами и смесями. Магнитное поле промышленной частоты и мероприятия по защите от него
23084. Синхронний детектор 294.5 KB
  Якщо потенціал на вході такого детектора вище деякого рівня обумовленого відмиканням діода то цей сигнал накопичується на виході як правило на конденсаторі фільтра і таким чином фіксується. 7 Тоді коефіцієнт передачі детектора визначений як відношення амплітуди вихідної напруги до амплітуди вхідної напруги дорівнює: . 8 Таким чином частотна характеристика детектора з гармонійною модуляцією мал. Частотна характеристика детектора з гармонійною модуляцією Рис.
23085. ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННІ ПРИЛАДИ І СИСТЕМИ 352 KB
  Метод лічби одноелектронних імпульсів. Опис спектрофотометра СФ5 Тут Ви познайомитеся із можливістю виміру інтенсивності потоку випромінювання шляхом підрахунку кількості електричних імпульсів на виході приймача випромінювання здійснюючи таким чином цифрову обробку оптичної інформації. Теоретична частина Метод лічби одноелектронних імпульсів може бути застосований лише для дуже вузького кола приймачів випромінювання ПВ які мають внутрішнє підсилення фотоелектронних помножувачів ФЕП і лавинних фотодіодів ЛФД.
23086. Вимірювання форми імпульсу випромінювання 196 KB
  Якщо реєструємий імпульс однократний і більш того шуми в його присутності перевищують рівень корисного сигналу то проблема виділення сигналу із шуму стає практично нерозв'язною. У випадку ж повторюваних імпульсів у нас з'являється можливість у присутності нерегулярних перешкод застосувати метод накопичення тобто багаторазово і незалежно вимірювати миттєві значення амплітуди імпульсу в різних частинах періоду повторення для того щоб можна було знайти усереднені значення рівня сигналу що відповідають різним моментам часу. Ілюстрація...
23087. Реєстрація спектрів пропускання 137.5 KB
  Опис спектрофотометра СФ5 У цій лабораторній роботі Ви познайомитеся з принципом дії спектрофотометрів оптикоелектронних приладів призначених для вимірювання спектрів пропускання поглинання особливостями методики вимірювання цих спектрів а також способами визначення кольорових координат. Проходження світла через будьякі середовища завжди супроводжується втратами повязаними з поглинання та розсіюванням. Коефіцієнт екстинкції коефіцієнт поглинання.1 або словами потужність яка віднімається у паралельного пучка світла за...
23088. Реєстрація спектрів випромінювання 167 KB
  Вимірювання форми імпульсу випромінювання. Реєстрація спектрів випромінювання. Терміни та визначення Спектр випромінювання абсолютно чорного тіла.
23089. Фотоелектронний помножувач 310 KB
  Опис спектрофотометра СФ5 У цій лабораторній роботі Ви познайомитеся з пристроєм принципом дії характеристиками фотоелектронного помножувача ФЕП особливостями методики вимірювання цих характеристик а також способами реєстрації слабких світлових потоків за допомогою ФЕП. Схема включення ФЕП показана на мал. Після nго динода електрони збираються на аноді ФЕП. Якщо струм катода ic то анодний струм ФЕП 1 де темновой струм mго динода.
23090. ФОТОДІОДИ 172 KB
  У рівноважному стані рівні Фермі обох напівпровідників вирівнюються а енергетичні зони утворять потенційний бар'єр для основних носіїв мал. Мал. При прикладанні до pnпереходу зовнішньої напруги в прямій полярності тобто до pобласті та до nобласті бар'єр знижується мал. При зворотному зміщенні pnпереходу зовнішнє поле складається з внутрішнім підвищуючи потенційний бар'єр мал.