29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13349. Вивчення затухаючих коливань і визначення логарифмічного декремента затухання 372.5 KB
  Лабораторна робота № 2 Тема. Вивчення затухаючих коливань і визначення логарифмічного декремента затухання. Мета: ознайомитись з описом затухаючих коливань визначити основні характеристики затухаючих коливань уніфіляра. Теоретичні відомості. Лінійні за...
13350. Визначення опору провідника за допомогою моста сталого струму (моста Уітстона) 581.5 KB
  Лабораторна робота № 3 Тема: Визначення опору провідника за допомогою моста сталого струму моста Уітстона. Мета: ознайомитись з класичним методом вимірювання опору за допомогою мостової схеми. Прилади і пристрої: стрілковий гальванометр з нульовою точкою мага
13351. Изучение особенностей идентификации и рассмотрение фальсификации растительных масел 906 KB
  В связи с актуальностью проблемы идентификации и фальсификации товаров необходимо изучить данную тему глубже. А в качестве объекта исследования хотелось бы обратиться к такой группе товаров как растительные масла. Ведь рынок масложировой продукции
13352. Основні способи обробки металів тиском 171.5 KB
  Лабораторна робота Обробка металів тиском Мета роботи: ознайомитися з основними способами обробки металів тиском. Теоретичні відомості Обробка тиском заснована на пластичних властивостях металів тобто на їх здатності під дією навантаження остаточно...
13353. Ручне електродугове зварювання металів. Електрична дуга та її властивості 160 KB
  Ручне електродугове зварювання металів Мета роботи: ознайомитися з основними відомостями про ручне електродугове зварювання металів плавким електродом вибрат: режим зварювання отримати зварне зєднання та перевірит його якість. Обладнання і
13354. Газове зварювання металів 1.45 MB
  Лабораторна робота № 4 Газове зварювання металів Мета роботи: ознайомитися з основними відомостями про газове зварювання металів вибрати режими зварювання отримати зварне з'єднання та перевірити його якість. Обладнання інструменти і матеріали: спецодяг зварюваль...
13355. Токарні верстати ,загальний вигляд, основні вузли та блоки 1.03 MB
  1.Токарні верстати загальний вигляд основні вузли та блоки. Верстати токарної групи застосовують для обробки заготовок які обертаються головний рух різання інструментом що здійснює неперервний рух подачі. Тут основним різальним інструментом є різець; використ
13356. Загальний вигляд свердлильних та розточувальних верстатів, основні вузли та блоки 366.5 KB
  1.Загальний вигляд свердлильних та розточувальних верстатів основні вузли та блоки. Свердлильні верстати Свердлильні верстати служать для обробки отворів інструментом який виконує одночасно головний обертальний рух різання і поступальний рух подачі. Розрізн...
13357. Фрезерні верстати 617.5 KB
  Фрезерування високопродуктивний і поширений спосіб обробки поверхонь заготовки за допомогою різального інструмента фрези з багатьма вістрями. Під час обробки фреза обертається виконуючи головний рух різання а заготовка пересувається прямолінійно виконуючи ру