29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть – функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34014. Филсофия Древней Индии 23 KB
  э Мир вечен никем никогда не был создан остоянно развивается делится на мир приоды и мир людей. Мир природы гормоничен и спокоен; мир людей мир страданий.э Мир вечен никем никогда не создан. Сущность мира изменеие развия.
34015. Философия русской культуры 110 KB
  Сущность любой культуры раскрывается в основополагающих ценностях: добре и зле свободе справедливости любви и т. Непосредственный объект любви в нем не человечество потому что вызвать любовь может только нечто наглядное; человечество просто карта которая разыгрывается им против того что ненавидят. Не уважая же никого перестает любить а чтобы не имея любви занять себя и развлечь предается страстям и грубым сладостям и доходит совсем до скотства в пороках своих а все от беспрерывной лжи и людям и себе самому. Однако...
34016. Общество как развивающаяся система 25 KB
  В западной социологии с основным классообразующим признаком, т.е. отношение к средствам производства, не согласна теория социальной стратификации. На этой основе она предлагает свои критерии...
34017. Основные модели общественного устройства 38.5 KB
  Современная форма либерализма как она утвердилась на Западе наиболее типичными здесь являются США теоретически оформилась и начала осуществляться на практике в Новое время и эпоху Просвещения. Основными посылками либерализма являются: 1. 'Lissez fire не мешайте действовать девиз классического либерализма. Идеал минимального государства характерная черта классического либерализма.
34018. Исторические формы общности людей 38.5 KB
  Историческими формами общности людей принято считать: род племя народность нацию. Это исторически восходящие формы объединения людей. Это связано с тем что в обществе где господствует коллективная собственность на средства производства и уравнительное распределение еще не дифференцировались интересы людей.
34019. Государство 32 KB
  Государство это одна из сложнейших и самых запутанных тем социальной и политической философии что связано в значительной степени с тем что она затрагивала и затрагивает интересы людей находящихся у кормила власти. Цицерон определяет государство как дело достойное народа подчеркивая при этом что народ не любое соединение людей собранных вместе каким бы то ни было образом а соединение многих людей связанных между собою согласием в вопросах права и общностью интересов . Макиавелли определяет государство как аппарат управляющий...
34020. Философия истории 26 KB
  Философия истории представляет особую сферу практической философии исследующей смысл и значение уникального явления человеческой жизни исторического бытия. Тем не менее несмотря на большое разнообразие теоретических подходов к феномену истории единой унифицированной философскоисторической концепции до сих пор не существует. Есть все основания полагать что именно в этом отсутствии единой теоретической версии философии истории есть и свои положительные черты. Термин философия истории введен в научный оборот сравнительно недавно...
34021. Глобальные проблемы человечества 23.5 KB
  Десять тыяч лет назад было около 5млн человек 2 тысячи лет назад – около 200 млн в 1960 г – 3 млрд в 1975 – 4 млрд в 1987 5 млрд в 2000г более 6 млрд человек.