29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53213. ГРА-МАНДРІВКА «СВІТ ПРОФЕССІЙ» 985 KB
  На дошці записані слова Вольтера: Жити значить працювати Праця є життя людини. Життя ― це праця і бережливість. Хліб ― праця багатьох людей. І їхня праця потрібна завжди і скрізь.
53214. Ділова гра для педагогічних працівників «Вплив сюжетно-рольової гри на формування партнерських взаємин дошкільників» 60 KB
  Час відведений для гри заповнюється читанням книг підготовкою до свят організаційними видами діяльності. Виникає питання: чому вихователі і батьки спокійно жертвують часом для гри на користь будьякої іншої діяльності Чому дорослі позбавляють малюків можливості грати з однолітками Педагогічна дискусія. Вихователь зобов'язаний направляти гру не руйнуючи її зберігаючи самостійний і творчий характер ігрової діяльності дітей безпосередність переживань віру в правду гри.
53216. ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ 132.5 KB
  Цього можна досягти якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу.
53217. Розв’язування систем рівнянь графічним способом 220.5 KB
  Мета уроку: закріпити та вдосконалити вміння розвязувати системи рівнянь з двома невідомими графічним способом; розвивати вміння аналізувати; виховувати бажання працювати в групі культуру спілкування. Обладнання і методичний матеріал: компютери програмний педагогічний засіб GRN1 роздатковий матеріал: а аркуші завдань для роботи на уроці тестові завдання картки консультації з прикладами розвязування систем рівнянь у GRN1. Перевірити правильність виконання домашнього завдання звіренням...
53218. Линейная функция и её график 101 KB
  Дать учащимся представление о линейной функции вида у=kх в рассмотреть частный случай у= kх; формировать умение строить график линейной функции и выяснять отдельные характеристики линейной по её графику; развивать логическое мышление вычислительные навыки по табличным значениям находить соответствующие точки на координатной плоскости; развивать самообразовательную и информационную компетентность. Выполнение математического диктанта Вариант 1...
53219. Простейшие преобразования графиков функций 54.5 KB
  І красные Графики функций y=fxn n 0 Каждый учасник получает задание построить график функции: №1. х Каждый ученик построил график своей функции дома. Группа делает вывод преобразования графика своей функции. 15 минут работы каждый ученик рассказывает построение графика своей функции.