29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть – функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12122. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ ЛИНЕЙНОПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА (ЗАКОНЫ МАЛЮСА И БРЮСТЕРА) 298.5 KB
  ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА Лабораторная работа № 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ ЛИНЕЙНОПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА ЗАКОНЫ МАЛЮСА И БРЮСТЕРА Цель работы: проверка законов Малюса и Брюстера. Оборудование: гелийнеоновый лазер или лампа накаливания поляризатор в поворотной опр...
12123. ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТООПТИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ФАРАДЕЯ 824 KB
  Лабораторная работа № 8 ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТООПТИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ФАРАДЕЯ Цель работы: ознакомиться с основанным на эффекте Фарадея магнитооптическим методом наблюдения доменной структуры вычислить постоянную Верде V для ферримагнетика проверить закон Малюса....
12124. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ВЕЩЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 452 KB
  Лабораторная работа № 9 ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ВЕЩЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА Цель работы: ознакомление с явлением оптической активности в кристалле кварца и растворе сахара; определение удельного вращения кварца; определение конце
12125. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ УГЛА ПОВОРОТА ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ 678 KB
  Лабораторная работа № 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ УГЛА ПОВОРОТА ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ Цель работы: ознакомиться с явлением поворота плоскости поляризации света оптически активными веществами. Измерить постоянную вращения и дисперсию вращатель
12126. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНА СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА С ПОМОЩЬЮ ТЕРМОСТОЛБИКА 155.5 KB
  Лабораторная работа №11 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНА СТЕФАНАБОЛЬЦМАНА С ПОМОЩЬЮ ТЕРМОСТОЛБИКА Цель работы: Исследовать зависимость теплового излучения энергетической светимости или интегральной испускательной способности абсолютно черного тела от температуры. Обо
12127. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ СТЕФАНА - БОЛЬЦМАНА С ПОМОЩЬЮ ПИРОМЕТРА С ИСЧЕЗАЮЩЕЙ НИТЬЮ 77 KB
  ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Лабораторная работа № 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ СТЕФАНА – БОЛЬЦМАНА С ПОМОЩЬЮ ПИРОМЕТРА С ИСЧЕЗАЮЩЕЙ НИТЬЮ Цель работы: ознакомление с оптическими методами измерения температуры изучение температурной зависимости энергетической свети
12128. ДИСТАНЦИОННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ОПТИЧЕСКИМ ПИРОМЕТРОМ 88 KB
  Лабораторная работа № 13 ДИСТАНЦИОННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ОПТИЧЕСКИМ ПИРОМЕТРОМ Цель работы: измерение температуры нити накала лампы оптическим пирометром с исчезающей нитью. Оборудование: оптический пирометр ЛАТР амперметр вольтметр лампа накаливани...
12129. ИССЛЕДОВАНИЕ ВНЕШНЕГО ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА НА ФОТОЭЛЕМЕНТЕ 87.5 KB
  Лабораторная работа №14 ИССЛЕДОВАНИЕ ВНЕШНЕГО ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА НА ФОТОЭЛЕМЕНТЕ Цель работы: Построение вольтамперных характеристик металлов фотоэлементов определение постоянной Планка определение работы выхода электронов с поверхности фотокатода...
12130. ИЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА НА ФОТОСОПРОТИВЛЕНИИ 93 KB
  КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ Лабораторная работа № 15 ИЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА НА ФОТОСОПРОТИВЛЕНИИ Цель работы: построение вольтамперной и световой люксамперной характеристик и определение удельной чувствительности фотосопротивления. Об