29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31867. МИКРОСХЕМА АЦП К1113ПВ1 34 KB
  МИКРОСХЕМА АЦП К1113ПВ1 Полупроводниковая БИС функционально завершенного АЦП типа КП13ПВ1 А Б В предназначена для применения в электронной аппаратуре в составе блоков аналогового ввода. Она содержит все функциональные узлы АЦП ПП включая КН ЦАП РПП ИОН ГТИ выходной буферный регистр с тремя состояниями схемы управления рис. Несколько АЦП могут обслуживать один МП и наоборот. По уровням входных и выходных логических сигналов АЦП сопрягается с цифровыми ТТЛ ИС.
31868. Редагування растрових зображень 74.5 KB
  У класі форми обявити обєкти доступні для різних методів PictureBox pictureBox1; Lbel lbel1; Point spotClicked; 6.Size = new Size640 480; Завантажити малюнок в елемент PictureBox і вставити у форму додати до проекту відповідну папку з малюнком або вказати адресу малюнка pictureBox1 = new PictureBox; pictureBox1.jpg ; pictureBox1.SizeMode = PictureBoxSizeMode.
31869. История возникновения и развития учета 27 KB
  Историю развития и возникновения учета можно условно разделить на несколько периодов. Одним из этапов развития учета связан с Древним Римом. На Руси упорядочивание учета началось с конца IX в.
31870. Здоров’я людини. Здоровий спосіб життя 77.5 KB
  Вважається, що здоров’я – це нормальний стан організму, який характеризується оптимальною саморегуляцією, повною узгодженістю при функціонуванні всіх органів та систем, рівновагою поміж організмом та зовнішнім середовищем при відсутності хворобливих проявів. Тому основною ознакою здоров’я є здатність до значної пристосованості організму до впливів різноманітних чинників зовнішнього
31872. ЭНДОСКОПИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И ЛЕЧЕНИЕ ГАСТРОЭЗОФАГЕАЛЬНОЙ РЕФЛЮКСНОЙ БОЛЕЗНИ 2.34 MB
  Ацидометрия и исследование моторнодвигательной функции пищевода и желудка. Необходимость дальнейшего изучения различных сторон этиопатогенеза данного заболевания не вызывает сомнений так как до конца не определены вопросы диагностики и выбор оптимального метода лечения в связи с чем целесообразным представляется исследование морфофункционального статуса пищевода у больных данным заболеванием при неэффективности проводимого лечения. В доступной зарубежной и отечественной литературе нет единого мнения о причинах способствующих...
31873. Культурологическая семантика названий улиц и их влияние на формирование культурного фона и мировоззрения человека 108 KB
  Синявского весь мир: глава о советском языке в его книге имеет именно такой подзаголовок: Переименованный мир The Renmed World 1 . Оба процесса и переименования и перепереименования несут значительную культурноидеологическую нагрузку и несомненно создают определенный культурноидеологический мир определенную систему ценностей для тех поколений которые приходят в этот мир без груза прошлых названий и соответственно прошлых миров и систем. Отверженные обиженные разочаровавшиеся они поехали за американской мечтой...
31874. Использование трудовых ресурсов в СПК «Новый путь» Шахунского района Нижегородской области 1.66 MB
  Кроме того это объясняется тем что при возрождаемой конкуренции все большее значение приобретает результативность труда все заметнее сказываются на итогах деятельности как потери понесенные вследствие упущений так и выигрыш полученный от реализации резервов роста производительности труда и повышения эффективности производства. Затраты труда на единицу этих продуктов увеличились почти вдвое что связано в основном со снижением продуктивности животных урожайности культур. Увеличение этого продукта и особенно его основной части вновь...