29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть – функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74006. Влияние колониальной эксплуатации на традиционное общество в Индии в XIX – начале ХХ веках 23.77 KB
  Влияние колониальной эксплуатации на традиционное общество в Индии в XIX – начале ХХ вв. Заключительным этапом средневековой истории Индии стало возвышение на ее севере в начале XVI в. Власть моголов в Индии укрепилась в годы полувекового правления Акбара 14521605 завоевавшего Бенгалию а вместе с ними и выход к морю. Таким образом в Индии XVIXVII вв.
74007. Кризис традиционной японской цивилизации в период сегуната Токугава(1603 - 1867) 20.34 KB
  Кризис традиционной японской цивилизации в период сегуната Токугава1603 1867 Политическое объединение Японии в начале XVII в. Однако объединение страны носило несколько условный характер так как в Японии продолжали существовать более 200 княжеств которые обладали известной степенью автономии. В Японии периода Токугава крупных городов насчитывалось семнадцать среди которых особое положение занимали Эдо Осака. С установлением власти Токугава в Японии широкое распространение получили конфуцианские идеи в интерпретации философа Чжу Си.
74008. Версальско-вашингтонская система международных отношений: становление, эволюция, кризис 32.17 KB
  Вильсон выступал за умеренность в требованиях к Германии, желая не допустить превосходство одной из них в Европе. Соединённые Штаты стремились усилить своё влияние в Европе. Именно с этой целью Вильсон предложил включить в Версальский договор статьи о создании Лига Наций
74009. Мировой экономический кризис 1929 – начала 30-х гг. Причины, региональные особенности, пути преодоления, итоги и значение 36.42 KB
  В противовес классическому принципу невмешательства государства в экономику была признана ведущая роль государства в регулировании национального хозяйства с целью повышения эффективности спроса населения на товары потребления Это основа от кот.
74010. Европейский тоталитаризм и авторитаризм 20 – 30-х гг.: общая характеристика и региональная специфика 34.61 KB
  Появление в межвоенный период группы фашистских госв где была чрезвычайно высока роль госва и насилия не было случайным стечем обстоятельств. Для фашистских государств характерно усиление регулирующей роли государства как в экономике так и в идеологии: корпоративизация государства посредством создания системы массовых организаций и социальных объединений насильственные методы подавления инакомыслия неприятие принципов экономического и политического либерализма. Авторитарная модель характерна для тех западноевропейских госв которым...
74011. Левые силы Европы между двумя мировыми войнами. Народные фронты и Гражданская война в Испании 32.25 KB
  Для политической жизни Великобритании ХХ в. харак-но усил-е влияния лев.идей. Их представитель лейборист.партия(1900г). Особ.яркие успехи лейбористов в 20-х,когда стремит.увеличился их электорат возросло их представит-во в Парламенте.
74012. Международные отношения в Европе в предвоенные годы. Политика «умиротворения агрессора» и ее итоги 21.5 KB
  ВОСТОЧНЫЙ ПАКТ проект договора о взаимопомощи между СССР Чехословакией Польшей Финляндией Латвией Эстонией и Литвой против агрессии фашистской Германии. Из крупных держав только СССР не имевший дипломатических отношений с Абиссинией решительно выступил в ее защиту. международные позиции СССР значительно окрепли. явное нежелание Англии и Франции договориться с СССР о коллективной безопасности ставили его в условия полной изоляции перед агрессором.
74013. Комплексная характеристика Второй Мировой войны и ее итогов 27.83 KB
  Ослабла роль Западной Европы в общемировой политике. Главными державами в мире стали СССР и США. Gb и Фр были значительно ослаблены. Война показала неспособность их и других западноевропейских стран содержать огромные колониальные империи. В странах Африки и Азии усилилось антиколониальное движение. В результате войны часть стран смогла добиться независимости: Эфиопия, Исландия, Сирия, Ливан, Вьетнам, Индонезия.
74014. Международные отношения в период «холодной войны» (1946 -1991 гг.) 32.76 KB
  Проблема репараций: Формы репараций с Германии и её союзников были определены на Ялтинской конференции 1945 г На Потсдамской конф-ии 1945г: репарац. претензии СССР будут удовлетворены путём изъятия из вост.зоны Германии и за счёт германских активов, находящихся в Болгарии