29466

Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть – функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.

Русский

2013-08-21

23.15 KB

15 чел.

15 Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости

Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …; 

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение x  I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию   f (x) =  fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x I выполняется неравенств  | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x f (x).

 Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55720. Взаимодействие участников коррекционного пространства в условиях спецшколы-интерната для детей с тяжелыми нарушениями речи 43.5 KB
  В законодательных документах усиленное внимание общества обращено к проблеме детей с особенностями психического и речевого развития и создания благоприятных условий для их социальной адаптации и реабилитации.
55721. Ліворукі діти: особливості розвитку 232 KB
  Мета: познайомити учасників із дослідженнями науковців щодо особливостей психофізіологічного складу та розвитку ліворуких дітей; навчити розрізніти поняття праворукі ліворукі та амбідекстри...
55722. Проектна технологія навчання у сучасній школі 61 KB
  А метод проектів це можливо те що в якійсь мірі якраз розвантажить вчителя тому що дасть більше свободи для діяльності учнів те що дасть можливість вирішити не розвязані досі проблеми класу...
55723. Профилактика инфекционных заболеваний 3.23 MB
  Цель: дать общее представление об инфекционных заболеваниях, о причинах их возникновения, возбудителях, симптомах заболеваний; учить защищать свой организм от инфекций, вести профилактику инфекционных заболеваний; воспитывать грамотных в отношении здоровья детей.
55724. Розробка позакласного заходу з трудового навчання 235.5 KB
  Мета. Закріпити теоретичні знання учнів, набуті в 6—9 класах із трудового навчання; стимулювати цікавість учнів до предмета; виховувати повагу до трудової діяльності, людей праці.
55725. ШИРОКО ПРОСТЯГАЄ ХІМІЯ РУКИ СВОЇ У СПРАВИ ЗЕМНІ 130 KB
  Метою заходу є: ознайомлення із значенням хімічної науки для різних напрямків діяльності людини; розкриття ролі хімії у повсякденному житті, у збереженні власного здоров’я...
55726. РОЗВИТОК ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ ЗДІБНОСТЕЙ УЧНІВ СЕРЕДНЬОГО ШКІЛЬНОГО ВІКУ ЗАСОБАМИ КОНТРОЛЮ, СТВОРЕНИМИ В POWER POINT 529.5 KB
  Підліток може добре концентрувати увагу в важливій для нього діяльності: у спорті де він може досягти високих результатів у трудовій діяльності де він часто виявляє диво у вмінні зосередитися і виконати тонку роботу у спілкуванні...
55728. Спільна робота класного керівника та вихователів групи в умовах спеціальної школи для дітей з вадами фізичного розвитку 122.5 KB
  Проведення спільних класних зборів на яких розглядаються питання успішності поведінки учнів виконання ними доручень. Педагог повинен досконало володіти засобами управління поведінкою учнів вмінням володіти класом групою організовувати роботу...