29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

33 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31906. Интернет-продвижение коммерческой организации (на примере ООО «Элстрой-НН») 533 KB
  5 1 Деятельность коммерческих В2Ворганизаций в условиях развития сети Интернет10 Интернет как новая коммуникативная среда.10 Продающие возможности сети Интернет.14 Роль Интернета в сфере В2Вторговли.32 Исследование отношения пользователей к различным видам Интернетрекламы.
31908. ЛЕКСИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА 3.24 MB
  Ее ключевыми элементами являются: 1 Принцип интегральности описания языка в силу которого лексемам в явном виде приписываются все свойства релевантные для правил а правила учитывают все формы поведения лексем не упомянутые непосредственно в словаре.
31909. Внутрішнє представлення цілочисельних даних в IBM РС 58.65 KB
  Виконати переклад заданих викладачем чисел з десяткової в двійкову систему числення. Дати їх внутрішнє (машинне) представлення в залежності від діапазону в знакових і беззнакових форматах типів Shortint (signed char), Byte (unsigned char), Integer (int), Word (unsigned int). Машинне представлення даних має бути дане в двійковій і шестнадцятирічній системах числення.
31910. Свобода совісті – явище духовної культури 103.5 KB
  Неоднозначність впливу релігії на різні сфери суспільного життя. Релігія в житті українців. Релігія і вільнодумство і атеїзм. Історичне підгруддя і реалії сьогодення. Свобода совісті як форми запобігання і вирішення соціальних конфліктів на релігійному ґрунті.
31913. ЗАХИСТ ІНФОРМАЦІЇ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 1.82 MB
  У звязку з цим різко зріс інтерес широкого кола користувачів до проблем захисту інформації. Захист інформації це сукупність організаційнотехнічних заходів і правових норм для попередження заподіяння збитку інтересам власника інформації. Тривалий час методи захисту інформації розроблялися тільки державними органами а їхнє впровадження розглядалося як виключне право тієї або іншої держави.