29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

32 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38442. Исследование экономических показателей предприятия при помощи систем СТЭК 2.3 MB
  Исходные данные для среднестатистического предприятия олигополии В работе имеют место следующие исходные данные: годовая характеристика спроса на товар определяемая бюджетными ограничениями потребителей их предпочтениями и эластичностью вычислить по предложенной методике на базе Const=40 млн. год; доля капитала уплачиваемая за аренду оборудования = 150 год; показатели технологического процесса фирм ; ; планируемые производственные затраты фирм млн. допустимые значения ресурсов труда и капитала: чел; млн. 1 2 3 СТЭК 1 7 1...
38443. Разработка и исследование метода грамматической эволюции для структурно-параметрического синтеза системы управления динамическим объектом 1.63 MB
  Цель синтеза управления заключается в том, чтобы найти такое управление, при котором поведение объекта управления удовлетворяло бы заданным критериям. Данная задача до сих пор не решена аналитически в общем виде.
38444. Разработка и исследование метода сетевого оператора для логического вывода экспертной системы 1.29 MB
  Экспертные системы обычно определяют как программы ЭВМ, моделирующие действия эксперта-человека при решении задач в узкой предметной области на основе накопленных знаний, составляющих базу знаний. ЭС выдают советы, проводят анализ, дают консультации, выполняют классификацию и т.д. Практическое применение ЭС на предприятиях способствует значительному увеличению эффективности работы.
38445. Расчёт плиты опертой по контуру 210.72 KB
  22:2006 для торгових приміщень 15 12 18 Всего p=15 p=18 Полная Всего gp=8219 gp=9313 Поле плиты в осях 15АД: Нагрузка приходящая на всё поле плиты: Максимальные изгибающие моменты на полосе шириной 1м: для пролётных моментов: для опорных моментов: де табличные коэффициенты для опирания плиты. Для пролетных моментов: Для опорных моментов: Определяем пролетную арматуру в направлении lк: Rs = 355 МПа расчетное сопротивление арматуры растяжению для...
38446. Разработка мероприятий по совершенствованию управления мотивацией персонала ИП Correct Way 998 KB
  Внутреннее вознаграждение человек получает от работы ощущая значимость своего труда испытывая чувство к определенному коллективу удовлетворение от общения дружеских отношений с коллегами. Стимулирование труда предполагает создание условий при которых в результате активной трудовой деятельности работник будет трудиться более эффективно и более производительно т. Здесь стимулирование труда создает условия для осознания работником что он может трудиться более производительно и возникновения желания рождающего в свою очередь...
38447. Формирования требований к информационной системе учета материально-производственных запасов для ООО «КАРМА» 3.22 MB
  Теоретические основы по учету материалов. Целью данного дипломного проекта является анализ деятельности фирмы ООО КАРМА для формирования требований к информационной системе учета материальнопроизводственных запасов для ООО КАРМА Задачи дипломного проекта: рассмотреть теоретические основы по учету материалов; проанализировать особенности учета материалов в ООО КАРМА; сформировать требования к информационной системе учета материальнопроизводственных запасов для ООО КАРМА; В первой главе анализируются теоретические основы...
38448. ПРОЕКТУВАННЯ ПМК ДЛЯ ГЕНЕРАЦІЇ ЕЛЕКТРОННИХ ПОВІДОМЛЕНЬ ПО КЕРУВАННЮ ІТ-ПРОЕКТАМИ 3.77 MB
  Для полегшення цього процесу було вирішено створити модуль для генерації та масової розсилки emil листів. Існують сервіси що дозволяють створювати великі розсилки електронних повідомлень з можливістю створення власних списків отримувачів. Порівняємо кілька найпопулярніших сервісів для масової розсилки електронних повідомлень.2 Розробка математичної моделі ПМК для генерації електронних повідомлень по керуванню ІТпроектами Кількість отримувачів розсилки розраховується під час виділення потрібних записів у таблиці формула 1.
38450. Проектирование ремонтно-механической мастерской 285.62 KB
  Специализируется на проектировании и дизайне площадей торговых предприятий подборе установке запуске оборудования а также техническом обслуживании. пекарских и кондитерских производств производственных цехов в гипер и супермаркетах осуществляют проектирование и поставку оборудования для продовольственных магазинов магазинов DIY холодильных складов и камер. предлагают широкий ассортиментный перечень оборудования: o холодильное оборудование с выносным агрегатом и со встроенным агрегатом стеллажнные системы покупательские тележки...