29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

33 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39629. Требования и порядок создания информационно-развлекательной системы «Развлекательный портал» 9.07 MB
  Порядок оформления работы Стадии: Техническое задание а Обоснование перспективности реализуемого проекта: постановка задачи; сбор базовых материалов; установка критериев системы; необходимость проведения исследовательских работ; b Исследовательская работа: выбор оптимальных методов решения поставленной задачи; определение требований к техническим средствам; обоснование практической возможности реализации данного проекта; в Разработка и утверждение технического задания: определение требований к проекту; ...
39630. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ОХРАНЫ ТРУДА 3.04 MB
  В соответствии с этой статьёй государство даёт гарантии каждому своему гражданину на надлежащие безопасные и здоровые условия труда и на заработную плату не ниже той которая определена законом. Таким образом в Конституции за государством закреплена забота об условиях труда его научной организации и это является одним из основных направлений его политики. Проблемами связанными с обеспечением здоровых и безопасных условий труда занимается охрана труда.
39631. Расчет газотурбинной установки мощностью 16 МВт 1.06 MB
  темы спроектирован регулируемый сопловой аппарат свободной силовой турбины найдены зависимости различных параметров при повороте сопловых лопаток. Также дипломный проект включает в себя: расчет тепловой схемы двигателя с последующим выбором Gв и к0 газодинамический расчет турбин по среднему диаметру расчет закона закрутки всех ступеней турбины высокого давления и силовой турбины расчеты на прочность рабочей лопатки 3й ступени силовой турбины технологию эксплуатации ГПА описание конструктивных особенностей экономическую частьрасчет...
39632. Компрессор высокого давления турбореактивного двухконтурного двигателя тягой 140 кН 1.65 MB
  Цели работы: ‒ разработка конструкции КВД; ‒ расчет на прочность и колебания основных элементов компрессора; ‒ в технологической части выполнить расчеты режимов резания для одной операции; ‒ в экономическом разделе рассчитать себестоимость затрат на проектирование промежуточного диска КВД; ‒ в разделе по безопасности жизнедеятельности провести оценку безопасности жизнедеятельности пассажиров самолета путем надежности и отказобезопасности КВД. В работе проведен сравнительный анализ конструкций КВД двигателей класса тяги 1218 тонн выбрана...
39633. Горные и маркшейдерские работы при строительстве тоннеля №3 Адлер-горноклиматический курорт «Альпика-Сервис» 21.63 MB
  Маркшейдерская служба призвана заниматься съёмками на земной поверхности и в горных выработках с целью изображения их на чертежах, а также для решения различных горно-геометрических задач, возникающих при освоении месторождения.
39634. Сайт бесплатных объявлений и рекламы 13.12 MB
  Задачей данной работы является реализация размещения объявлений и рекламы, используя Интернет. Структура интерфейса электронной доски объявлений должна быть понятна для обычного пользователя, в то же время необходимо позаботиться об наборе функциональных средств, обеспечивающих удобство работы с набором объявлений
39635. Особенности проведения аварийно-спасательных работ в учреждениях образования на примере Полоцкого государственного университета по адресу г. Полоцк ул. Стрелецкая д.4 305.28 KB
  Боевой участок участок на котором сосредоточены силы и средства объединенные конкретной задачей по тушению пожара. Зона теплового воздействия пожара прилегающая к зоне горения часть пространства в пределах которой протекают процессы теплообмена между поверхностью пламени и окружающей средой. Локализация пожара прекращение дальнейшего распространения пожара и создание условий для его успешной ликвидации имеющимися силами и средствами [3]. Ликвидация пожара прекращение горения на пожаре создание условий при которых нет...
39636. Проектирование газоперекачивающего агрегата мощностью 16 МВт на базе АЛ-31 СТ 618.91 KB
  Для определения основных размеров проточной части ТВД и ТНД произведен газодинамический расчет ступеней по среднему диаметру. Также для того, чтобы удельная работа по высоте ступени оставалась постоянной, были выбраны законы закрутки лопаток по радиусу и произведен расчет закрутки.
39637. Проектирование газоперекачивающего агрегата мощностью 10 МВт 2.23 MB
  В настоящем дипломном проекте рассмотрены вопросы связанные с проектированием газоперекачивающего агрегата мощностью 10 МВт в состав которого входят: газотурбинный двигатель на базе ДР59Л и центробежный нагнетатель природного газа на базе нагнетателя 235211 которые применяются на компрессорных станциях магистральных газопроводов. Особое внимание в работе уделено расчету и проектированию двухступенчатого нагнетателя природного газа. Индексы в воздуха; г газа; ад адиабатический; расп располагаемый; ср средний; ст ...