29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

33 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33401. Таймер/Счетчики КР1816ВЕ51 30 KB
  Для управления режимами работы Т С и для организации взаимодействия таймеров с системой прерывания используются два регистра специальных функций РРТС и РУСТ. РРТС определяет включение и выключение T C а также их режимы работы. Используются четыре режима работы Т С. Режим 0.
33402. Образ организации-работодателя 15.43 KB
  Профиль восприятия или имидж предприятия как работодателя в персоналмаркетингеmix называют персоналимиджем personlimge. Персоналимидж организации управляет поведением кандидата на наем ищущего работу. Сначала персоналимидж влияет на решение кандидата: можно ли вообще рассматривать организацию как работодателя. Если организация в итоге потенциальной для найма определяется то персоналимидж свое решающее влияние может оказать на претендента в процессе собеседования в результате которого у кандидата на должность сформируется...
33403. КОНСТРУКТИВНЫМ КОНФЛИКТ 45 KB
  Чтобы конфликт начал разрастаться нужен инцидент т. По значению конфликты делятся на конструктивные созидательные и деструктивные неконструктивные разрушительные. КОНСТРУКТИВНЫМ КОНФЛИКТ бывает тогда когда оппоненты имея собственную позицию не выходят за рамки этических норм деловых отношений и разумных аргументов.
33404. Етикет подарка 35.5 KB
  Ваш подарок может и должен зависеть от характера Ваших отношений с тем кому Вы собираетесь его преподнести. Такой подарок разрушает имидж слабого пола . В портмоне или кошелек надо обязательно положить монетку иначе подарок сулит безденежье. Этот подарок может смутить и вызвать неприятные ощущения если будет подарен в присутствии смешанной компании.
33405. ПРИЁМ ПОСЕТИТЕЛЕЙ И ОБЩЕНИЕ С НИМИ 35.5 KB
  Хозяин офиса принимает посетителя сидя ЗА РАБОЧИМ СТОЛОМ. Он отвечает на приветствие и приглашает сесть перед своим столом. Расположение участников беседы в офисе за стандартным прямоугольным столом при четырех положениях вашего собеседника: 1. Люди не желающие взаимодействовать за столом друг с другом занимают независимую позицию.
33406. Психологическая культура делового разговора 12.94 KB
  Создание благоприятного психологического климата. Задавайте вопросы, на которые вашему партнеру приятно будет отвечать. Поощрите его к тому, чтобы он рассказывал и о достижениях своей фирмы.
33407. Культура речи. Речевой этикет в стилистике и культуре речи 14.81 KB
  Культура деловой речи общая характеристика официальноделового стиля Деловой стиль это совокупность языковых средств функция которых обслуживание сферы официальноделовых отношений т. Таким образом сфера применения деловой речи может быть в принципе представлена как широкая сеть актуальных официальноделовых ситуаций и как набор соответствующих жанров документов. Культура деловой речи общая характеристика официальноделового стиля Деловой стиль это совокупность языковых средств функция которых обслуживание...
33408. Краткое изложение темы Тайм менеджмент 23.5 KB
  Таймменеджмент в переводе с английского означает управление временем. Временем понятно управлять нельзя и реальная задача таймменеджмента ТМ упорядочить использование времени и рабочего и личного времени дня и недели чтобы все важные дела успевать делать. Таймменеджмент первоначально сложился как практическая дисциплина развиваемая в большей степени консультантами по управлению нежели учеными.
33409. Цветовой тип внешности 59 KB
  Он считал что определенные сочетания тонов кожи цвета волос и глаз эффектнее всего выглядят если используемая косметика подбирается в одной цветовой гамме. Таким людям очень идут фиолетовые цвета нежные ледяные оттенки розового фисташкового голубого. Резкое противопоставление одних качеств цвета другим.