29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

31 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47786. Основи технологій в галузях народного господарства. Курс лекцій 739 KB
  Виробничі системи створюють для виготовлення необхідної продукції. Основні переваги – підвищення різноманітності та гнучкості виробництва на основі використання електродвигунів зростання якості продукції виробленої із сталі та інших метало продуктів стандартизація виробництва урбанізація. Основні переваги – масове виробництво серійної продукції з використанням конверсійних технологій стандартизація виробництва розселення людей у приміських зонах. Засвоєння технологічних основ виробництва різних видів продукції стану базових галузей...
47788. Основи технологій в галузях народного господарства 2.92 MB
  Ливарне виробництво Загальні відомості про ливарне виробництво Способи виготовлення відливок Контроль якості відливокСутність ливарного виробництва полягає у виготовлення деталі або заготовки шляхом заливання рідкого металу в ливарну форму порожнина якої за розмірами і конфігурацією відповідає готовій деталі. Технології ливарного виробництва забезпечують можливість: виготовлення деталей різної форми різної маси...
47789. Психологія і педагогіка вищої школи: предмет, завдання, методи 734.5 KB
  Психологія вищої школи вивчає закономірності функціонування психіки студента як суб’єкта навчальнопрофесійної діяльності та закономірності науковопедагогічної діяльності викладача а також соціальнопсихологічні особливості професійнопедагогічного спілкування та взаємин викладачів і студентів. До найважливіших практичних завдань психології вищої школи в період реформування вищої освіти в Україні належать: розробка наукової психологометодичної бази для контролю за процесом повноцінністю змісту та умовами психічного розвитку студентів їх...
47790. СКЛАДАННЯ АВІАЦІЙНИХ ДВИГУНІВ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 1.37 MB
  Окремі заняття по розділу 3 та 4 другої частини предмету доцільно проводити в цехах підприємства звертаючи увагу на аналіз економічної ефективності технологічних процесів складання вузлів. Вивчивши предмет студенти повинні знати особливості складання основних вузлів двигуна основні питання загального складання двигунів особливості технологічних процесів вміти...
47791. Методи розв’язування фізичних задач 196 KB
  Основні методи розв’язування задач. Засоби наочності у розв’язуванні задач. Класифікація текстових задач та особливості їх розв’язування.
47792. Українська мова (за професійним спрямуванням). Курс лекцій 342 KB
  Будучи духовним надбанням усього народу, всієї нації, мова становить суспільне явище, пов’язане з матеріально-виробничим, загальнокультурним, інтелектуальним, побутовим життям людини
47793. СУДОВА ЕКСПЕРТОЛОГІЯ 194.5 KB
  Поняття судової експертизи. Поняття судової експертизи Ст. Фактичні підстави для призначення судової експертизи: ч.76 КПК – Обов’язкове призначення експертизи: для встановлення причин смерті; для встановлення тяжкості і характеру тілесних ушкоджень; для визначення психічного стану підозрюваного або обвинувачуваного при наявності у справі даних які викликають сумнів щодо його осудності; для встановлення статевої зрілості потерпілої у справах про злочини передбачені ст.
47794. Термічна обробка. Курс лекцій 620.5 KB
  Загальна характеристика термічної обробки Роль термічної обробки у матеріалознавстві Класифікація видів термічної обробки Основні положення теорії термічної обробки Роль термічної обробки у матеріалознавстві Фізикомеханічні і технологічні властивості металів і сплавів на практиці не задовольняють умовам виготовлення або експлуатації деталей виробів продукції машинобудування. Бочвар визначив такі види термічної обробки металів та сплавів залежно від характеру теплової дії: Власне термічна обробка ТО без зміни хімічного складу;...