29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

33 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72055. ФОРМУВАННЯ КОМУНІКАТИВНОЇ КОМПЕТЕНТНОСТІ МАЙБУТНІХ ІНЖЕНЕРІВ У ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНИХ ДИСЦИПЛІН 181 KB
  Професійному спілкуванню нині приділяється значна частина робочого часу сучасних фахівців зокрема встановлення ділових контактів наради бесіди переговори вимагають комунікативної компетентності що сприятиме ефективному діловому та професійному взаєморозумінню.
72056. РОЗВИТОК ОСВІТИ І ПЕДАГОГІЧНОЇ ДУМКИ НА ПЕРЕЯСЛАВЩИНІ (ПОЧАТОК XVIII – ПЕРША ЧВЕРТЬ ХХ СТОЛІТТЯ) 506 KB
  Актуальність теми дослідження. Становлення нової освітньої системи в Україні відбувається в умовах розбудови державності, відродження культурних і духовних цінностей українського народу. Державна програма “Освіта” (Україна ХХІ століття), Національна доктрина розвитку освіти України у ХХІ ст.
72057. СОЦІАЛЬНО-ПОЛІТИЧНИЙ КОНФЛІКТ В УКРАЇНСЬКОМУ СУСПІЛЬСТВІ ПЕРІОДУ ТРАНСФОРМАЦІЇ: ФАКТОРИ ВИНИКНЕННЯ І ОСОБЛИВОСТІ ПРОЯВУ 140.5 KB
  Актуальність теми дослідження визначається в першу чергу системною трансформацією сучасного українського суспільства яка зумовила високий динамізм і конфліктогенність соціально-політичних процесів що потребують свого вивчення. Зміни політичного режиму балансу соціальних і політичних сил...
72058. Тактика ведення лактації при інтраамніальному інфікуванні 168 KB
  Мета та завдання дослідження. Метою дослідження було розробка тактики ведення лактації у жінок з різними формами і термінами перенесеної вірусної інфекції на основі вивчення в них медико-соціальних, мікробіологічних, біохімічних і функціональних особливостей...
72059. Методика навчання інформаційних технологій у позашкільних навчальних закладах 254.5 KB
  Вивчення наукових і методичних джерел засвідчило наявність широкого спектру досліджень з різних напрямів розвитку і застосування інформаційних технологій. Зокрема педагогічному потенціалу психологопедагогічним аспектам інформаційних...
72060. Роль блокування ренін-ангіотензин-альдостеронової системи в попередженні ремоделювання лівого шлуночка у хворих, що перенесли інфаркт міокарда з патологічним зубцем Q 446.5 KB
  В країнах що розвиваються у хворих які перенесли інфаркт міокарда ІМ з патологічним зубцем Q зміни структури і функції лівого шлуночка ЛШ серця що позначаються терміном постінфарктне ремоделювання ЛШ складають основу розвитку хронічної серцевої недостатності ХСН...
72061. ЛІНГВОКУЛЬТУРНИЙ КОНЦЕПТ MINNE/КОХАННЯ В НІМЕЦЬКІЙ ПОЕЗІЇ МІНЕЗАНГУ XII–XIV СТОЛІТЬ: СТРУКТУРНИЙ ТА СЕМАНТИЧНИЙ АСПЕКТИ 258 KB
  Сучасним є також залучення лінгвокультурологічного підходу до встановлення вербальних репрезентантів лінгвокультурного концепту minne кохання. Це дає можливість дослідити національно-культурну специфіку фрагмента концептуальної картини світу людини доби Середньовіччя установити...
72062. ЗМІСТ І ФОРМА ПРАВОЧИНУ В ЦИВІЛЬНОМУ ПРАВІ 160.5 KB
  Зміст і форма правочинів межує з численними аспектами які теж мають суттєве значення для правочинів: воля й волевиявлення субєктний склад правочину його мета та ін. Усі вони становлять собою суцільну єдність необхідну й достатню для її кваліфікації як правочину.
72063. ПРОГНОЗУВАННЯ ЗАЛИШКОВОЇ МІЦНОСТІ ТА ДОВГОВІЧНОСТІ ДІЛЯНОК НАФТОГАЗОПРОВОДІВ З ДЕФЕКТАМИ ЗА ЕКСПЛУАТАЦІЙНИХ УМОВ 13.42 MB
  Мета і задачі дослідження – розробка наукових основ визначення напруженого стану і прогнозування залишкової міцності та довговічності труб і зварних з’єднань з тріщиноподібними дефектами на базі розвитку існуючих і створення нових методів оцінки їх роботоздатності.