29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

33 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66947. Свято Букваря 148 KB
  Дорогі діти, шановні батьки і гості. Сьогодні урочисте Свято Букваря. Ще вчора наші першокласники перегорнули останню сторінку цієї книги вони закінчили знайомитись з літерами. Сьогодні ми святкуємо першу перемогу наших наймолодших школярів.
66948. Свято Букварика 49 KB
  Ясне сонечко проміння Посилає щедро в клас Це воно напевно знає Що сьогодні свято в нас 2 учень В першім класі урочистий День прощання з Букварем. Пригадайно як колись ти Був маленьким школярем 3 учень Є святкових днів багато На листках календаря А між ними й наше свято вшанування Букваря...
66949. Прощание с Букварем 98.5 KB
  Оформление: сцена в актовом зале празднично украшена плакатами с изображением сказочных героев, буквами русского алфавита, шарами, гирляндами «Прощай, школа», «Здравствуй, лето!», выставка книг. До начала праздника звучат детские песни. Затем раздается звуковой сигнал. Выходит ведущая.
66950. Букварю 436 років 167 KB
  Діти повинні відгадати назви цих казок користуючись допомогою залу і викласти аркуші за кольорами веселки від червоного до фіолетового Діти: А де ж вона Тут лиш шматочки Казкар: У цьому дітки й заморочка Пісня 3. Діти відгадують назви казок та викладають стежку...
66951. Чари кохання (літературний вечір за інтимною лірикою Т.Шевченка, Лесі Українки, І.Франка, Л.Костенко, В.Симоненка) 52.5 KB
  Мета: - поширити знання учнів про інтимну лірику, розкрити світ почуттів і пристрастей, створений поетичним словом великих майстрів; - розвивати творчі здібності учнів; - виховувати інтерес до поетичної творчості письменників; чистоту й благородство почуттів.
66952. Чарівний світ недосяжних романтичних мрій 61 KB
  Мета проекту Дослідити яскраве явище культури романтизм та визначити причини його виникнення. Ідея проекту Представники романтичного стилю XIX ст. Завдання проекту: Досліджувати мистецькі твори романтичного напрямку; Знайти видові романтичні паралелізмі в мистецтві...
66953. «Чашка, повна благодаті» Напої здоров’я. Чай 82 KB
  Мета: розширення кругозору учнів про чай як про напій здоров’я, що є складовою частиною культури харчування, познайомити з цілющими властивостями чаю, географією чаю, секретами заварювання, утвердження здорового способу життя.
66954. Мій рідний край - Донбас 66 KB
  Мета: Формувати в учнів інтерес до навчання; засвоїти слова за темою; вчити розповідати про символи Української держави та їх значення; розвивати прагнення бути свідомим громадянином України, її патріотом. Розвивати пізнавальні інтереси.