29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

33 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42496. Конфігурування бездротового маршрутизатора LinksysWRT54GL 229.5 KB
  Конфігурування бездротового маршрутизатора LinksysWRT54GLâ. Мета: Навчитися налаштовувати бездротові маршрутизатори на основі моделі LinksysWRT54GL задавати імя бездротовій мережі SSID налаштовування вбудованого сервера DHCP конфігурування інтерфейсів WN LN Wireless налаштування шифрування WEP. Виконання лабораторної роботи Виконализєднання з маршрутизатом увійшли до інтерфейсу конфігурування.
42498. Дослідження кепстру сигналів 528.5 KB
  Зберігання виконаної роботи проводити виключно командою Sve ll 3. Для виконання лабораторної роботи скопіювати фрагмент коду позначений коментарем 8лабораторна робота: Кепстр сигналів в кінець програми після директиви endif. Вибрати пункт 8 та проаналізувати варіант виконання лабораторної роботи.
42499. Проектування волоконно-оптичної системи передачі інфопмації 256 KB
  Львів 2010 Мета роботи : Ознайомитися з послідовністю проектування ВОСП методикою інженерного розрахунку волоконно оптичних систем зв`язку а також отримати певні навики практичного розрахунку системи для заданих параметрів. Визначення потрібної швидкості передачі топології системи. Енергетична характеристика системи.
42500. Налаштування однорангової мережі у середовищі ОС Windows 98 29 KB
  Для перевірки заходимо в Сетевое окружение та дивимося чи зявився в мережі данний ПК. Висновок: В цій роботі я навчився налаштовувати компютер та встановлювати параметри для коректної роботи однорангової мережі у середовищі ОС Windows 98 міністерство науки і освіти України промисловоекономічний коледж НАУ Лабораторна робота № 8 З дисципліни: периферійні пристрої ЕОМ Тема роботи: налаштування однорангової мережі у середовищі ОС Windows 98 Виконав:...
42501. Измерение ЭДС источника методом компенсации 69 KB
  Краткие теоретические сведения ЭДС гальванического элемента не зависит от размеров электродов и количества электролита а определяется лишь их химическим составом и при данных условиях постоянна. Каждый тип элементов даёт определённую ЭДС.1 где  − ЭДС; I − сила тока; R − сопротивление внешней цепи; r − внутреннее сопротивление элемента.
42502. Определение ЭДС источника с помощью известного сопротивления 60 KB
  Оборудование: аккумуляторная батарея ЭДС которой определяется миллиамперметр магазин сопротивлений ключ. Это достигается с помощью ЭДС источника. При разомкнутой цепи разность потенциалов между полюсами источника равна ЭДС.
42503. ПОНЯТИЕ ПРАВА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ. МЕЖДУНАРОДНЫЕ И ОТЕЧЕСТВЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ ПРАВА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ 218.5 KB
  Результат интеллектуальной деятельности как объект права. Право интеллектуальной собственности как раздел гражданского права. Особенности права интеллектуальной собственности. Международные источники права интеллектуальной собственности. Национальные источники права интеллектуальной
42504. Исследование зависимости энергетических характеристик аккумулятора от нагрузки 256.5 KB
  Аккумуляторы – химические источники тока, в которых электрическая энергия получается за счёт химических реакций. На практике применяют аккумуляторы кислотные и щелочные. В качестве электролита в щелочных аккумуляторах используется 20 % раствор щёлочи в воде. В зависимости от химического состава электродов щелочные аккумуляторы делятся на железо-никелевые, кадмиево-никелевые, цинково-никелевые и т.д. Наиболее часто применяются железо-никелевые и кадмиево-никелевые.