29529

Дифференциал функции. Приложения производной

Лекция

Математика и математический анализ

Дифференциал функции записывается в виде . Дифференциалом 2ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается т. Если независимая переменная то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Русский

2013-08-21

389 KB

31 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Дифференциал функции. Приложения производной.

  Дифференциал функции  записывается в виде .

  Дифференциалом 2-ого порядка функции  называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т.е. . В общем дифференциалом порядка  называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. . Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала  функции  справедлива формула .

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

,  где .

5.97 Найти приращение  и дифференциал  функции соответствующие значению аргумента  и двум различным приращениям аргумента

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

В задачах 5.103-5.112 найти дифференциалы функций:

5.103 .       5.104 .             5.105 .             5.106.  

5.107 .       5.108 .    5.111 .      5.112 .  

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114  .       5.115 .      5.116 .       5.117  .        5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции  при .

5.120 Найти приближенное значение функции  при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 .   5.122 .     5.123 .    5.124 .    5.125 .   5.126 .

Геометрические приложения производной.

  Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид: , а уравнение нормали - вид: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127  .           5.128  .

5.129 а) , ; б) ,, ;          в) , .

5.130 а) ;      б) ,, ;          в) , .

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции  в точке её пересечения  с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе  которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

Механические приложения производной.

  Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная  есть скорость, а вторая производная  - ускорение этой точки в момент времени .  

5.141 Точка движется прямолинейно по закону  Найти скорость  и ускорение  движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время  t равно .  В какие моменты ее скорость равна нулю?

Применение понятия производной в экономике.

  Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для  называется величина , средней – величина . Предельная величина  показывает приближённый абсолютный прирост  при изменении  на единицу.  Эластичностью функции  в точке  называется предел . Эластичность  показывает  приближённый процентный прирост  при изменении  на один процент. Находят эластичность  функции  по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если:             а) , ;       б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства  и объёмом выпускаемой предприятием продукции  задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :   

     а) ;      б) ;       в) ;               г) .

5.149. Зависимости спроса  и предложения  на продукцию предприятия от цены  за единицу продукции задаются функциями  и . Найти эластичности спроса и предложения  при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ;      б) , ;    в) , ;  г) , .

ОТВЕТЫ: 5.97        5.100 .

5.103       5.104   5.105      5.106      5.107       

5.108. 5.111. 5.112  5.114  

5.115    5.116  5.117   5.118     5.119   5.120   5.121   5.122   5.123      5.124    5.125     5.126    5.127  5.128       5.129 а)    

б)         в)    5.130 а)      

б)  в)    5.132 .  5.136

5.137  5.141,   5.142    5.146 а)  и 5 ден. ед.  б) 28 и 24 ден.ед.  5.147.   5.148 а) 1.25  б) 0  в) 1.5  г) 10 . 5.149 а) ,;  б), ,;  в) , ;     г) , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

123. ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ 195.5 KB
  Якщо існування функцій розподілу ймовірностей, які характеризують степінь неповноти або неточності інформації про вихідні дані задачі прийняття рішень не гарантується, то таку ситуацію класифікують як прийняття рішень в умовах невизначеності.
124. АНАЛІЗ КОНФЛІКТНИХ СИТУАЦІЙ. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ІГОР 295.5 KB
  В теорії ігор супротивники – гравці. Кожен з гравців має деяку множину (скінченну або нескінченну) можливих дій (стратегій). Результати в грі задаються функціями, що залежать від стратегій кожного з гравців. Гра з двома гравцями, у якій виграш одного з гравців дорівнює програшу другого, називається грою з нульовою сумою. У такій грі достатньо задати результати у вигляді платежів одного з гравців.
125. Основы гражданской обороны. Структура и место в обществе 186 KB
  Концепция современной войны значительно уменьшает вероятность ковровых бомбежек с массовым поражением населения и огромными разрушениями жилого фонда, что требовало эвакуации граждан в пригородную зону.
126. Основные понятия системного анализа и его критерии 540.5 KB
  Системный анализ - наука, занимающаяся проблемой принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы. Из определения следует, что целью применения системного анализа к конкретной проблеме является повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания заведомо уступающим другим.
127. Системи керування Базами Даних 61 KB
  Microsoft SQL Server — комерційна система керування базами даних, що розповсюджується корпорацією Microsoft. Мова, що використовується для запитів — Transact-SQL, створена спільно Microsoft та Sybase. Transact-SQL є реалізацією стандарту ANSI/ISO щодо структурованої мови запитів (SQL) із розширеннями. Використовується як для невеликих і середніх за розміром баз даних, так і для великих баз даних масштабу підприємства. Багато років вдало конкурує з іншими системами керування базами даних.
128. Свой сайт самостоятельно SQL. 10 минут на урок. 51.75 MB
  Данная книга поможет вам в кратчайшие сроки освоить SQL — самый популярный язык баз данных. Начиная с простых запросов на выборку данных, автор урок за уроком рассматривает все более сложные темы, такие как использование операций объединения, подзапросы, хранимые процедуры, индексы, триггеры и ограничения. На изучение материала каждого урока вам потребуется не более 10 минут. Благодаря этой книге вы быстро научитесь самостоятельно составлять запросы к базам данных на языке SQL без чьей-либо помощи.
129. Организация труда на предприятии по изготовлению алюминия 94.93 KB
  Расчет производственной программы электролизного цеха. Расчет эффективного фонда времени одного рабочего на год. Расчет амортизационных отчислений на содержание зданий и сооружений. Составление плановой калькуляции себестоимости одной тонны алюминия.
130. Обучение математическому моделированию как основному методу решения текстовых задач в курсе алгебры основной школы 517 KB
  Психолого-педагогические основы обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы. Математическое моделирование – один из основных методов решения текстовых задач в основной школе. Методика обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации.
131. Обеспечение общих условий электробезопасности на участке настройки (регулировки) лабораторного стенда блока тригонометрических преобразований 97.41 KB
  В общем комплексе мероприятий, связанных с созданием современной электронной и радиоэлектронной аппаратуры, технология микросхем, сборки и монтажа аппаратуры занимает особое место. При осуществлении технологических процессов требуется энергоемкое оборудованье с высоким питающий напряжением электрического тока.