29530

Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и то на существует точка такая что . Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то на существует точка такая что формула Лагранжа. Если функции и непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале и при всех то на интервале существует точка такая что формула Коши.150 Проверить выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и если выполняется то для каких значений : а на отрезке ; б на отрезке ;...

Русский

2013-08-21

300.5 KB

5 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора.

  Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и , то на  существует точка  такая, что .

  Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале , то на  существует точка  такая, что (формула Лагранжа).

  Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и  при всех , то на интервале  существует точка  такая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций  и, если выполняется, то для каких значений :

а)  на отрезке ; б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,]; г) на отрезке .

5.151 Функция  обращается в нуль при  и , но тем не менее  для всех . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :

а)  на отрезке [1, 3];    б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,1]; г)на отрезке .  

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции  на отрезках: а) ;     б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :        

а)  и  на отрезке ;          б)  и  на отрезке .

  Если функция  имеет производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки  и кроме того имеет производную -го порядка в самой точке , то при  имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано      .

Если предположить существование -ой  производной  в окрестности точки  то для любой точки  из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

  Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае  обычно называется формулой Маклорена.

  Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.  

  Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров  для которых .

5.155 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию  по степеням  .

5.159 Для многочлена  написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке . Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение , соответствующее следующим значениям аргумента:   а) ;     б) ;    в) . 

    В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.

5.160   .     5.161 .    5.162 .  5.163  .     5.164 .

5.165 Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;      б)     до члена с    ;               в)     до члена с   .

5.166. Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;  ;                    б)     до члена с    ;  .

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1;            б)  ;            в)              г). 

ОТВЕТЫ:

5.150 а) Да, , б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.152а) Да, ,  б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.154 а) Да, , б) Да, .   

5.155         5.156         

5.157             5.158

5.159. а); б)-любое действительное число; в)

5.160              5.161    

5.162                    5.163

5.164

5.165 а) ;   б) ;          в) .

5.166. а) ;     б) .

5.170  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19621. ПРИКЛАДНЕ ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ. ПАКЕТ ПРИКЛАДНИХ ПРОГРАМ MICROSOFT OFFICE 51.5 KB
  Прикладне програмне забезпечення (ППЗ) - призначене для розробки і виконання на ПК практичних задач користувача. Прикладне програмне забезпечення працює під управлінням системного ПЗ, передусім операційних систем
19622. Будова і призначення електричної арматури. Проста електрична схема 36.43 KB
  Урок 26. Будова і призначення електричної арматури. Проста електрична схема 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про електричну арматуру ламповий патрон вимикач штепсельне зєднання просту електричну схему. Формування вмінь виконувати найпростішу електричну схему.
19623. Електроосвітлювальна арматура. Правила безпечної роботи 22.4 KB
  Урок 27. Електроосвітлювальна арматура. Правила безпечної роботи 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про технологію монтажу освітлювальної мережі правила безпечної роботи під час ремонту та експлуатації електричної мережі. Формування умінь приєднувати проводи до ел...
19624. Процесс выполнения креативной стрижки «Шапочка» 400.5 KB
  Благодаря появляющимся новым силуэтам и формам стрижек, причесок, человек приобретает надежду на то, чтобы соответствовать критериями современной моды. В процессе написания дипломной работы мною было изучено рабочее место парикмахера, виды инструментов, применяемых при стрижке и была рассмотрена креативная стрижка «шапочка». Прогресс парикмахерского искусства возможен благодаря применению совершенно новых современных методов вы
19625. Технологія вирощування овочевих культур 23.83 KB
  Урок 29. Технологія вирощування овочевих культур 1год. Мета уроку. Засвоєння знань про біологічну характеристику овочевих культур вимоги та способи підготовки ґрунту під овочеві культури. Сприяти розвитку інтересу до проведення дослідницької роботи з овочевими куль...
19626. Біологічна характеристика ягідних культур 64.1 KB
  Урок 30. Біологічна характеристика ягідних культур 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про біологічну характеристику ягідних культур вимоги до вирощування ягідних культур формування вмінь висаджувати суницю. Виховувати бережливе ставлення до природних ресурсів вод...
19627. Благоустрій і озеленення території 22.6 KB
  Урок. Благоустрій і озеленення території Мета уроку: Засвоєння знань про роль і місце зелених насаджень у житті людини умови використання у насадженнях різних порід породи декоративних і захисних рослин. Обєкт навчальної праці: проектування зелених насаджень ал
19628. Технологія вирощування кролів. Утримання кролів 217.68 KB
  Урок 32. Технологія вирощування кролів. Утримання кролів 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про тваринництво як галузь сільськогосподарського виробництва способи утримання кролів особливості догляду за приміщеннями для кролів. Розвивати пам'ять. Виховувати інтерес
19629. Годівля кролів 28.91 KB
  2 Урок 33. Годівля кролів 1 год. Мета уроку: Засвоєння знань про годівлю кролів профілактику захворювань кролів; формування вмінь здійснювати догляд за кролями. Розвивати пам'ять спостережливість. Виховувати інтерес до сільськогосподарських тварин. Об...