29530

Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и то на существует точка такая что . Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то на существует точка такая что формула Лагранжа. Если функции и непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале и при всех то на интервале существует точка такая что формула Коши.150 Проверить выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и если выполняется то для каких значений : а на отрезке ; б на отрезке ;...

Русский

2013-08-21

300.5 KB

5 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора.

  Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и , то на  существует точка  такая, что .

  Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале , то на  существует точка  такая, что (формула Лагранжа).

  Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и  при всех , то на интервале  существует точка  такая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций  и, если выполняется, то для каких значений :

а)  на отрезке ; б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,]; г) на отрезке .

5.151 Функция  обращается в нуль при  и , но тем не менее  для всех . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :

а)  на отрезке [1, 3];    б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,1]; г)на отрезке .  

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции  на отрезках: а) ;     б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :        

а)  и  на отрезке ;          б)  и  на отрезке .

  Если функция  имеет производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки  и кроме того имеет производную -го порядка в самой точке , то при  имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано      .

Если предположить существование -ой  производной  в окрестности точки  то для любой точки  из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

  Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае  обычно называется формулой Маклорена.

  Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.  

  Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров  для которых .

5.155 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию  по степеням  .

5.159 Для многочлена  написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке . Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение , соответствующее следующим значениям аргумента:   а) ;     б) ;    в) . 

    В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.

5.160   .     5.161 .    5.162 .  5.163  .     5.164 .

5.165 Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;      б)     до члена с    ;               в)     до члена с   .

5.166. Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;  ;                    б)     до члена с    ;  .

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1;            б)  ;            в)              г). 

ОТВЕТЫ:

5.150 а) Да, , б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.152а) Да, ,  б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.154 а) Да, , б) Да, .   

5.155         5.156         

5.157             5.158

5.159. а); б)-любое действительное число; в)

5.160              5.161    

5.162                    5.163

5.164

5.165 а) ;   б) ;          в) .

5.166. а) ;     б) .

5.170  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5069. Боевые действия русского флота на Балтийском море в 1914-1917 гг 208.5 KB
  Русский флот в первую мировую войну вел боевые действия на Балтийском, Черном и Баренцевом морях, а отдельные корабли — в Средиземном море и на океанских театрах. Наиболее напряженная борьба шла на Балтийском и Черном морях. К началу войны русс...
5070. Маркетингові комунікації 621.5 KB
  В умовах насиченого ринку недостатньо розробити новий якісний товар, встановити на нього оптимальну ціну і вибрати ефективні канали розподілу. Все більшої ваги в управлінні підприємством набуває така складова комплексу маркетингу, як методи пр...
5071. Национальный доход: его производство, распределение и использование. Макроэкономический анализ совокупного спроса и совокупного предложения 1.97 MB
  Производство товаров и услуг. Объем производства товаров и услуг в экономике-ВНП-зависит от двух параметров: факторов производства и производственной функции.Рассмотрим каждый из них по очереди. Факторы производств...
5072. Математика в современных условиях. Конспект 486.5 KB
  Математика. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики. Аксиоматический метод построения научной теории. Начала Евклида – образец научного метода. История создания неевклидовой геометрии. Тема...
5073. Рыночные структуры в условиях несовершенной конкуренции: монополия, олигополия, монополистическая конкуренция 391 KB
  Конкуренция, которая в той или иной степени связана с заметным ограничением свободного предпринимательства, называется несовершенной. Для этого вида конкуренции характерно незначительное количество фирм в каждой сфере предпринимательской де...
5074. Проектирование приспособления для контроля межцентрового расстояния 90.5 KB
  Проектирование приспособления для контроля межцентрового расстояния Для контроля межцентровых расстояний проектируется специальное контрольное приспособление, оснащенное индикатором часового типа. В базовом техпроцессе измерение межцентрового...
5075. Анализ монополий 157 KB
  Любой рынок, независимо от его конкретного вида, базируется на трех основных элементах: цене, спросе и предложении, конкуренции. Известно, что наиболее эффективно рыночный механизм действует в условиях свободной, или совершенной конкуренции...
5076. Вологодская область 430.5 KB
  Внешняя торговля Истоки внешней торговли вологжан затеряны в глубине веков. Однако подлинными воротами в Поморье Вологда стала после появления в ней англичан из экспедиции Ричарда Ченслера. Следовавшие в Москву с Белого моря британцы вполне оценил...
5077. Расчет барабанной сушильной установки 155.5 KB
  Удаление влаги из твердых и пастообразных материалов удешевляет их транспортировку и придает им определенные свойства, а также уменьшению коррозии аппаратуры. Влагу можно удалять механическим способом: отжим, центрифугирование, отстаивание....