29530

Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и то на существует точка такая что . Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то на существует точка такая что формула Лагранжа. Если функции и непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале и при всех то на интервале существует точка такая что формула Коши.150 Проверить выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и если выполняется то для каких значений : а на отрезке ; б на отрезке ;...

Русский

2013-08-21

300.5 KB

5 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора.

  Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и , то на  существует точка  такая, что .

  Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале , то на  существует точка  такая, что (формула Лагранжа).

  Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и  при всех , то на интервале  существует точка  такая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций  и, если выполняется, то для каких значений :

а)  на отрезке ; б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,]; г) на отрезке .

5.151 Функция  обращается в нуль при  и , но тем не менее  для всех . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :

а)  на отрезке [1, 3];    б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,1]; г)на отрезке .  

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции  на отрезках: а) ;     б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :        

а)  и  на отрезке ;          б)  и  на отрезке .

  Если функция  имеет производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки  и кроме того имеет производную -го порядка в самой точке , то при  имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано      .

Если предположить существование -ой  производной  в окрестности точки  то для любой точки  из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

  Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае  обычно называется формулой Маклорена.

  Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.  

  Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров  для которых .

5.155 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию  по степеням  .

5.159 Для многочлена  написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке . Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение , соответствующее следующим значениям аргумента:   а) ;     б) ;    в) . 

    В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.

5.160   .     5.161 .    5.162 .  5.163  .     5.164 .

5.165 Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;      б)     до члена с    ;               в)     до члена с   .

5.166. Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;  ;                    б)     до члена с    ;  .

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1;            б)  ;            в)              г). 

ОТВЕТЫ:

5.150 а) Да, , б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.152а) Да, ,  б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.154 а) Да, , б) Да, .   

5.155         5.156         

5.157             5.158

5.159. а); б)-любое действительное число; в)

5.160              5.161    

5.162                    5.163

5.164

5.165 а) ;   б) ;          в) .

5.166. а) ;     б) .

5.170  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69491. Облік випуску продукції та визначення її собівартості 924.5 KB
  Метою дослідження теми курсової роботи є розробка пропозицій і рекомендацій з удосконалення теоретико-методологічної бази обліку випуску продукції та визначення її собівартості з урахуванням міжнародних стандартів обліку.
69492. ОБЕСПЕЧЕННОСТЬ ПРЕДПРИЯТИЯ ТРУДОВЫМИ РЕСУРСАМИ. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ 683.5 KB
  Всестороннее теоретическое исследование положений анализа трудовых ресурсов и их практическое применение на примере конкретного предприятия. Для этого необходимо изучить, во-первых, обеспеченность рабочих мест производственных подразделений персоналом в требуемом для производства профессиональном и квалификационном составе
69493. Оборудование участка железной дороги устройствами диспетчерской централизации Луч 1 MB
  Основными задачами настоящими курсового проекта (далее по тексту: проекта) являются: Приобретение навыков в оборудовании участка железнодорожной линии системами диспетчерской централизации на примере системы ДЦ «Луч».
69494. Программа расчета определителя матрицы произвольного порядка 614.5 KB
  Основание для разработки. Необходимость расчета большого количества определителей самых различных матриц на младших курсах и проблематичность проверки вычислений. Отсутствие легкодоступных аналогов в Интернет Задание для курсовой работы...
69495. Экономическая сущность оборотных средств предприятия 178 KB
  Источники формирования оборотных средств. Эффективность использования оборотных средств. На эти денежные ресурсы предприятие закупает на рынке или у других предприятий по договорам сырьё материалы топливо оплачивает счета за электроэнергию выплачивает...
69496. Методы амортизации и условия их применения 156.5 KB
  Цели данной работы включают в себя изучение видов износа основных средств производства особенностей амортизации её методов а также исследование процесса кругооборота средств при создании фонда амортизационных отчислений.
69497. Расчет и конструирование элементов железобетонного каркаса многоэтажного производственного здания 857 KB
  Проектирование монолитного железобетонного перекрытия с балочными плитами. Материал конструкции - бетон тяжёлый естественного твердения класса B 25 Расчётные характеристики бетона: МПа. МПа. МПа. Расчётные характеристики арматуры: Арматура класса АIII имеет периодический профиль...
69498. Лабораторный макет на базе ОВЕН ПЛК100 9.14 MB
  Целью данного дипломного проекта является разработка и внедрение в лабораторный комплекс макета на базе программируемого логического контроллера (ПЛК) ОВЕН ПЛК-100. Использование подобного макета в учебных лабораториях существенно улучшит качество практических знаний, получаемых студентами на лабораторных работах