29530

Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и то на существует точка такая что . Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то на существует точка такая что формула Лагранжа. Если функции и непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале и при всех то на интервале существует точка такая что формула Коши.150 Проверить выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и если выполняется то для каких значений : а на отрезке ; б на отрезке ;...

Русский

2013-08-21

300.5 KB

5 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора.

  Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и , то на  существует точка  такая, что .

  Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале , то на  существует точка  такая, что (формула Лагранжа).

  Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и  при всех , то на интервале  существует точка  такая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций  и, если выполняется, то для каких значений :

а)  на отрезке ; б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,]; г) на отрезке .

5.151 Функция  обращается в нуль при  и , но тем не менее  для всех . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :

а)  на отрезке [1, 3];    б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,1]; г)на отрезке .  

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции  на отрезках: а) ;     б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :        

а)  и  на отрезке ;          б)  и  на отрезке .

  Если функция  имеет производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки  и кроме того имеет производную -го порядка в самой точке , то при  имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано      .

Если предположить существование -ой  производной  в окрестности точки  то для любой точки  из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

  Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае  обычно называется формулой Маклорена.

  Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.  

  Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров  для которых .

5.155 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию  по степеням  .

5.159 Для многочлена  написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке . Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение , соответствующее следующим значениям аргумента:   а) ;     б) ;    в) . 

    В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.

5.160   .     5.161 .    5.162 .  5.163  .     5.164 .

5.165 Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;      б)     до члена с    ;               в)     до члена с   .

5.166. Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;  ;                    б)     до члена с    ;  .

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1;            б)  ;            в)              г). 

ОТВЕТЫ:

5.150 а) Да, , б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.152а) Да, ,  б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.154 а) Да, , б) Да, .   

5.155         5.156         

5.157             5.158

5.159. а); б)-любое действительное число; в)

5.160              5.161    

5.162                    5.163

5.164

5.165 а) ;   б) ;          в) .

5.166. а) ;     б) .

5.170  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30313. Проблема связи и отношения между компонентами синтаксических единиц. Типы связи в традиционном и современном понимании 47 KB
  Проблема связи и отношения между компонентами синтаксических единиц. Синтаксические отношения самое глобальное понятие в синтаксисе. Синтаксические отношения есть абстракция от смысловых отношений. Все смысловые отношения различны но везде речь идет о действии лица и переходе действия на объект.
30314. Понятие о словосочетании. Разное понимание словосочетания в современной лингвистике. Типология словосочетаний 35 KB
  Непредикативное Интонационно не оформленное Коммуникационно не законченное ССЧ являясь синтаксической едцой может быть описано в 3х аспектах: Формальный Содержательный Коммуникативный Ссч строится по определенной структурной схеме. Ссч обладает смысловой устроенностью. ГЗ ссч это выраженные синтаксической связью синтаксические отношения между его компонентами рассматриваемые вне конкретного лексического наполнения. Ссч выполняет строительную функцию для предложения употребляется в качестве названия или заголовка составной...
30315. Предложение как синтаксическая единица. Его признаки и свойства. Понятие структурной схемы и парадигмы предложения 35.5 KB
  Понятие структурной схемы и парадигмы предложения. Универсальный признак предложения предикативность вслед за Шахматовым и Пешковским сформулировал Виноградов соотнесенность содержания предложения с действительностью. Существует широкое предикативность присуща всем предложениям и узкое понимание только те предложения в которых есть предикат предикативности. Универсальное свойство предложения позволяющее совокупности словоформ стать предложением интонационная оформленность.
30316. Понятие семантической структуры предложения, ее соотношение с формальной структурой 46 KB
  Эти отношения выражает предикат который организует положение дел и задаёт определённые места для предметов участников ситуации актантов определяя их количество и роли. Актанты это предметные распространители предиката актант субъектного типа актант объектного типа орудийный актант и т. В структуре пропозиции имеются также непредметные распространители предиката сирконстанты локатив темпоратив и др. Таким образом каждая пропозиция являясь моделью ситуации имеет свою структуру вершиной которой выступает предикат.
30317. Основы описания простого предложения. Типы предложений 29 KB
  Основы описания простого предложения. коммуникативную задачу выражающуюся интонацией и порядком слов Актуальное членение предложения. структура; порядок слов и интонация; члены предложения как компоненты предикативной основы П. По характеру выражаемого в них отношения к действительности различаются предложения реальной и ирреальной модальности с разнообразными оттенками модальных значений: реальности и ирреальности предположения сомнения уверенности возможности невозможности и т.
30318. Современный русский литературный язык как предмет научного изучения. Русский язык в современном мире 45.5 KB
  Русский язык в современном мире. Русский язык в современном мире. Языки имеют национальные границы каждый из языков своеобразен.
30319. Понятие о стилях ЛЯ. Принципы их классификации 198.5 KB
  ЛИТЕРАТУРНЫЙ ЯЗЫК наддиалектная подсистема форма существования национального языка которая характеризуется такими чертами как нормативность кодифицированность полифункциональность стилистическая дифференцированность высокий социальный престиж в среде носителей данного национального языка. Литературный язык является основным средством обслуживающим коммуникативные потребности общества; он противопоставлен некодифицированным подсистемам национального языка территориальным диалектам городским койне городскому просторечию...