29530

Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и то на существует точка такая что . Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то на существует точка такая что формула Лагранжа. Если функции и непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале и при всех то на интервале существует точка такая что формула Коши.150 Проверить выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и если выполняется то для каких значений : а на отрезке ; б на отрезке ;...

Русский

2013-08-21

300.5 KB

5 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора.

  Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и , то на  существует точка  такая, что .

  Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале , то на  существует точка  такая, что (формула Лагранжа).

  Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и  при всех , то на интервале  существует точка  такая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций  и, если выполняется, то для каких значений :

а)  на отрезке ; б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,]; г) на отрезке .

5.151 Функция  обращается в нуль при  и , но тем не менее  для всех . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :

а)  на отрезке [1, 3];    б) на отрезке ;    в) на отрезке [0,1]; г)на отрезке .  

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции  на отрезках: а) ;     б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений   :        

а)  и  на отрезке ;          б)  и  на отрезке .

  Если функция  имеет производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки  и кроме того имеет производную -го порядка в самой точке , то при  имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано      .

Если предположить существование -ой  производной  в окрестности точки  то для любой точки  из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

  Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае  обычно называется формулой Маклорена.

  Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.  

  Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров  для которых .

5.155 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен  по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию  по степеням  .

5.159 Для многочлена  написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке . Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение , соответствующее следующим значениям аргумента:   а) ;     б) ;    в) . 

    В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.

5.160   .     5.161 .    5.162 .  5.163  .     5.164 .

5.165 Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;      б)     до члена с    ;               в)     до члена с   .

5.166. Написать разложения по степеням  до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а)   до члена с   ;  ;                    б)     до члена с    ;  .

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1;            б)  ;            в)              г). 

ОТВЕТЫ:

5.150 а) Да, , б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.152а) Да, ,  б) Да, , в) Да, , г) Да, .

5.154 а) Да, , б) Да, .   

5.155         5.156         

5.157             5.158

5.159. а); б)-любое действительное число; в)

5.160              5.161    

5.162                    5.163

5.164

5.165 а) ;   б) ;          в) .

5.166. а) ;     б) .

5.170  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34072. Землеустройство: назначение, содержание, организация и порядок ведения 39 KB
  Землеустройство – это мероприятие по изучению состояния земель планированию и организации рационального использования земель и их охраны по описанию местоположения и или установлению на местности границ объектов землеустройства организации рационального использования земельных участков для сельскохозяйственного производства; организации территорий используемых общинами коренных малочисленных народов Севера Сибири и Дальнего Востока и лицами относящимся к коренным малочисленным народам для обеспечения их традиционного образа жизни....
34073. Возмещение убытков по положениям земельного законодательства 26 KB
  Гражданское законодательство предусматривает при возмещении вреда взыскание убытков которые уже понес потерпевший к моменту предъявления иска в суде. При возмещении вреда причиненного земле речь идет о взыскании в основном будущих расходов на проведение восстановительных работ. определяет размер вреда причиненного окружающей среде в результате нарушения законодательства в области охраны окружающей среды исходя из фактических затрат на восстановление нарушенного состояния окружающей среды с учетом понесенных убытков в том числе упущенной...
34074. Инвентаризация земель в Российской Федерации 23 KB
  Впервые об инвентаризации земель был принят Указ Президента в 1993 г. Процедура порядок инвентаризации. Для инвентаризации земель создаётся специальная комиссия в состав которой включаются представители Росреестра природоохранных органов архитектурноградостроительных и санитарноэпидемиологических органов органов сельского лесного хозяйства представители органов местного самоуправления собственников землевладельцев землепользователей и арендаторов. В результате инвентаризации на каждый земельный участок устанавливается...
34075. Порядок предоставления земельных участков для целей не связанных со строительством 32.5 KB
  С точки зрения процессуальной предоставление земельных участков для целей не связанныхсо строительством не выходит за рамки тех действий которые установлены законодательством для случаев предоставления земель для строительства и которые были изложены выше: подача заявки в компетентный орган формирование земельного участкапринятие решения о его предоставлении государственный кадастровый учет и государственная регистрация прав на земельный участок. 34 ЗК РФ жестко устанавливают обязательные рамки процедуры формирования...
34076. Понятие и содержание управления земельными ресурсами 27.5 KB
  Понятие и содержание управления земельными ресурсами. Управление земельными ресурсами землями – это организующая деятельность компетентных органов исполнительной власти по обеспечению рационального использования и охраны земель всеми субъектами земельных отношений. Общее управление земельными ресурсами осуществляется органами общей и специальной компетенции и имеет территориальный характер т. Ведомственное отраслевое управление земельными ресурсами осуществляется государственными комитетами федеральными агентствами федеральными службами...
34077. Порядок предоставления земельных участков для строительства 28.5 KB
  Предоставление земельного участка для строительства без предварительного согласования места размещения объекта осуществляется в следующем порядке: проведение работ по формированию земельного участка подготовка проекта границ земельного участка и установление его границ на местности; определение разрешенного использования земельного участка; определение технических условий подключения объектов к сетям инженернотехнического обеспечения; принятие решения о проведении торгов конкурсов аукционов или предоставлении земельных участков без...
34078. Особенности предоставления земельных участков для жилищного строительства 30 KB
  Все другие условия предоставления земельного участка и развития застроенной территории определяются договором о развитии застроенной территории который заключается между лицом подавшим заявление о предоставлении участка и соответствующим органом местного самоуправления. Согласованный и подписанный сторонами договор является основанием для принятия органом местного самоуправления решения о предоставлении земельного участка. Указанное решение является основанием для формирования земельного участка и проведения его государственного кадастрового...
34079. Понятие и общая характеристика земельного процесса 54.5 KB
  Понятие и общая характеристика земельного процесса. Каждому разделу материальноправовых норм земельного права соответствуют процессуальные земельноправовые нормы. Установлен порядок возбуждения дела о предоставлении земельного участка определены органы и сроки рассмотрения ходатайства порядок подготовки документации об изъятии и предоставлении участка форма и содержание принятого решения права и обязанности сторон при рассмотрении вопроса и др. Виды земельного процесса Основания классификации земельного процесса Каждой...
34080. Понятие и признаки права собственности на землю в РФ 54 KB
  Понятие и признаки права собственности на землю в РФ. Право собственности является наиболее полным по содержанию правом на имущество. Выступая в качестве объекта права собственности земля приобретает особенные правовые черты она становится имуществом или вещью – тем предметом гражданского а теперь и земельного права который отличают особые юридические признаки. Право собственности на землю в России и реформа Современная правовая ситуация в России характерна тем что земельные проблемы и в особенности проблемы права собственности на землю...