29532

Исследование функций и построение графиков

Лекция

Математика и математический анализ

Точка принадлежащая области определения функции называется критической точкой функции если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности интервалы возрастания и убывания. Если точка экстремума функции то или не существует.246 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Русский

2013-08-21

409 KB

9 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: Исследование функций и построение графиков.

Возрастание, убывание функций. Экстремум.

  Точка , принадлежащая области определения  функции , называется критической точкой функции, если в этой точке  или  не существует. Критические точки функции  разбивают её область определения  на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

  Необходимое условие экстремума. Если  - точка экстремума функции , то  или  не существует.

  Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция  дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то  не является точкой экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция  дважды дифференцируема в точке , в которой ,  . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах  5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221              5.222         5.223 .                  5.224

5.225        5.226 .        5.227 .       5.229            

5.230 .               5.232 .                      5.234

В задачах  5.235-5.246 для указанных функций найти экстремумы:

5.235     5.236      5.237      5.238 .

5.239 .  5.241  5.243  5.245  5.246

Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и дифференцируемой, за исключением быть может конечного числа точек, на отрезке  достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

В задачах 5.249-5.255 найти наибольшие и наименьшие значения функций в указанных промежутках:

5.249   5.250    5.251    

5.252     5.253        5.254     5.255  

5.261. Число 8 разбить на 2 неотрицательных слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5.262 Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

5.263 Число 36 разложить на два таких неотрицательных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5.266 Отрезок длины  разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.

5.268 В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание  и высоту

5.269 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах  окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.278 Функция издержек производства предприятием продукции имеет вид , где - объём производства. Найти при каком объёме  выпускаемой предприятием продукции средние издержки производства будут наименьшими.

5.279 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей, если весь товар реализуется по фиксированной цене  ден.ед. за 1 единицу продукции, а функция издержек имеет вид:  а) ,   ;  б) ,  .

5.280 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей. Предполагается, что весь товар реализуется по цене  ден.ед. за 1 единицу продукции объёма , который можно продать по этой цене, а  функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;  б) , .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

  Точка  является точкой возможного перегиба функции , если в этой точке  или  не существует. Эти точки разбивают область определения  функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

  Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то  или  не существует. Достаточное условие перегиба. Пусть функция  дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку  меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.287 найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графиков функций:

5.281     5.282     5.284   5.285

  Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции . Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и  .

В задачах 5.293-5.306 найти асимптоты графиков функций:

5.293    5.294    5.295    5.296         5.297     

5.299    5.301    5.302    5.303   5.306      

Построение графиков функций.

  Для построения графика функции  нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

В задачах  5.309-5.310 провести полное исследование следующих функций и построить их графики:

5.309 а); б) .               5.310 а);      б).

ОТВЕТЫ: 5.221возрастает, (-1,1) убывает,  возрастает.  5.222. (-,0) убывает, (0,) возрастает.  5.223  убывает,  возрастает.  5.224 (-,1) возрастает,  убывает.   5.225  убывает, (-1,1) возрастает,  убывает.  5.226 возрастает, (-1,1) убывает, (1,) возрастает.   5.227 (-,0) убывает,  убывает,  возрастает,   убывает.  5.229 (0,1) убывает, (1,е) убывает, (е,) возрастает.  5.230  убывает,  возрастает.   5.232 Монотонно возрастает.   5.234 , (0,1)возрастает,   (-1,0), (1, ) убывает.  5.235   5.236   5.237   5.238   5.239   5.241   5.243   5.245    5.246   5.249 13 и 4.  5.250 2 и .   5.251 2 и .   5.252 8 и 0.   5.253 10 и 6.   5.254    5.255   5.261 4 и 4.  5.262 1.  5.263 6 и 6.  5.266 Разделить отрезок пополам. 5.268   5.269  5.277   5.278   5.279 а); б).  5.280 а); б).   5.281 Точка перегиба  Интервалы: выпуклости  -  вогнутости -  5.282 График вогнутый. Точек перегиба нет. 5.284 Точка перегиба (1, ). Интервалы: выпуклости -  вогнутости - (1,).   5.285 Точки перегиба  Интервалы: выпуклости - , (1, ),  вогнутости -  (,1).  5.293   5.294  5.295  5.296   5.297   5.299   5.301  при . 5.302  5.303   5.306     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32415. Понятие VPN и схемы реализации взаимодействия с провайдером 18.46 KB
  VPN Защищенная виртуальная сеть. Объединение корпоративной сети и отдельных компьютеров через открытую внешнюю сеть в единую виртуальную сеть обеспечивающая безопасность циркулирующих данных называется VPN. VPN используется для решения 3х разных задач: Для реализации связи между офисами компаниями т.
32416. AppLocker 15.11 KB
  При использовании ppLocker можно создать правила разрешающие или запрещающие запуск приложений. Им приходится отвечать в том числе и на такие вопросы: К каким приложениям должен иметь доступ пользователь Каким пользователям нужно разрешить устанавливать новое программное обеспечение Какие версии приложений следует разрешить Как управлять лицензированными приложениями Чтобы решить эти задачи ppLocker позволяет администраторам указать какие пользователи могут запускать конкретные приложения. При помощи средства ppLocker...
32417. Аутентификация пользователей при входе в систему 20.03 KB
  Диспетчер учетной записи возвращает идентификатор безопасности пользователя и групп в который он входит. Если не разрешается сессия уничтожается если разрешается то создается маркер пользователя содержащий группы и привилегии. До начала интерактивной сессии подсистема win32 создает контроль пользователя. При создании нового пользователя с именем ранее удаленного пользователя будет сгенерирован новый шифр и новый пользователь не получит прав старого пользователя.
32418. Законодательная база по ЗИ 20.04 KB
  Требуется лицензирование на деятельность по разработке производству распространению техническому обслуживанию какихлибо средств Оказание услуг в области шифрования на разработку средств защиты информации и т. Лицензию на разработку средств защиты информации выдает ФСТЭК федеральная служба по техническому и экспертному контролю. это совокупность официальных взгядов на цели задачии основные направления обеспечения информационной безопасности в который включены привлечение работы по ЗИ фирм не имеющих соответствующих лицензий по...
32419. Классификация угроз, меры и принципы защиты 17.86 KB
  Снятие информации с компьютерной техники за счет электромагнитных излучений. несанкционированное уничтожение информации. По признаку воздействия на ОС: используется легальный канал получения информации. используется скрытый канал получения информации.
32420. Общие методы шифрования 25.42 KB
  Выделяют 2 направления: Криптография занимается поиском и исследованием математических методов преобразования информации. Криптоанализ исследует возможности расшифровки информации без знания ключа. Криптография используется для безопасного хранения и передачи информации а также для установления подлинности передаваемой информации. Все криптопреобразования выполняются над блоками информации определенной длины 32 или 64 бит.
32421. ГОСТ 28147-89 96.08 KB
  При этом одинаковые блоки открытого текста дают при шифровании разные блоки шифротекста. Изменение бита шифротекста на противоположное значение приводит к аналогичному изменению расшифрованного текста что даёт возможность злоумышленнику проводить целенаправленное изменение шифрованного текста без знания ключа. Каждый блок шифротекста зависит от соответствующего предыдущего блока шифротекста гаммирование с зацеплением блоков. При изменении одного бита в шифрованном тексте в соответствующем блоке открытого текста исказится соответствующий...
32422. Семейство «Криптон» 22.41 KB
  Плата КРИПТОН не использует прерываний и каналов прямого доступа используется прерывание ЧС. В КРИПТОН имеет 2 режима работы: Режим начальной загрузки соответствует включению компьютера. Совместно с аппаратным криптонзамком может работать программная система защиты Cryptonщит которая имеет сертификаты: 3 классСВТ 2 HDB.
32423. Понятие Key Recovery 16.75 KB
  Key Recovery технология восстановления ключей. Требование восстановления ключей является одним из важных для случая корпоративных сетей. В её качестве может служить центр перераспределения ключей который генерирует сеансовые ключи. Копии этих ключей могут сохраняться.