29532

Исследование функций и построение графиков

Лекция

Математика и математический анализ

Точка принадлежащая области определения функции называется критической точкой функции если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности интервалы возрастания и убывания. Если точка экстремума функции то или не существует.246 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Русский

2013-08-21

409 KB

8 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: Исследование функций и построение графиков.

Возрастание, убывание функций. Экстремум.

  Точка , принадлежащая области определения  функции , называется критической точкой функции, если в этой точке  или  не существует. Критические точки функции  разбивают её область определения  на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

  Необходимое условие экстремума. Если  - точка экстремума функции , то  или  не существует.

  Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция  дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то  не является точкой экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция  дважды дифференцируема в точке , в которой ,  . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах  5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221              5.222         5.223 .                  5.224

5.225        5.226 .        5.227 .       5.229            

5.230 .               5.232 .                      5.234

В задачах  5.235-5.246 для указанных функций найти экстремумы:

5.235     5.236      5.237      5.238 .

5.239 .  5.241  5.243  5.245  5.246

Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и дифференцируемой, за исключением быть может конечного числа точек, на отрезке  достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

В задачах 5.249-5.255 найти наибольшие и наименьшие значения функций в указанных промежутках:

5.249   5.250    5.251    

5.252     5.253        5.254     5.255  

5.261. Число 8 разбить на 2 неотрицательных слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5.262 Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

5.263 Число 36 разложить на два таких неотрицательных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5.266 Отрезок длины  разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.

5.268 В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание  и высоту

5.269 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах  окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.278 Функция издержек производства предприятием продукции имеет вид , где - объём производства. Найти при каком объёме  выпускаемой предприятием продукции средние издержки производства будут наименьшими.

5.279 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей, если весь товар реализуется по фиксированной цене  ден.ед. за 1 единицу продукции, а функция издержек имеет вид:  а) ,   ;  б) ,  .

5.280 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей. Предполагается, что весь товар реализуется по цене  ден.ед. за 1 единицу продукции объёма , который можно продать по этой цене, а  функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;  б) , .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

  Точка  является точкой возможного перегиба функции , если в этой точке  или  не существует. Эти точки разбивают область определения  функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

  Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то  или  не существует. Достаточное условие перегиба. Пусть функция  дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку  меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.287 найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графиков функций:

5.281     5.282     5.284   5.285

  Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции . Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и  .

В задачах 5.293-5.306 найти асимптоты графиков функций:

5.293    5.294    5.295    5.296         5.297     

5.299    5.301    5.302    5.303   5.306      

Построение графиков функций.

  Для построения графика функции  нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

В задачах  5.309-5.310 провести полное исследование следующих функций и построить их графики:

5.309 а); б) .               5.310 а);      б).

ОТВЕТЫ: 5.221возрастает, (-1,1) убывает,  возрастает.  5.222. (-,0) убывает, (0,) возрастает.  5.223  убывает,  возрастает.  5.224 (-,1) возрастает,  убывает.   5.225  убывает, (-1,1) возрастает,  убывает.  5.226 возрастает, (-1,1) убывает, (1,) возрастает.   5.227 (-,0) убывает,  убывает,  возрастает,   убывает.  5.229 (0,1) убывает, (1,е) убывает, (е,) возрастает.  5.230  убывает,  возрастает.   5.232 Монотонно возрастает.   5.234 , (0,1)возрастает,   (-1,0), (1, ) убывает.  5.235   5.236   5.237   5.238   5.239   5.241   5.243   5.245    5.246   5.249 13 и 4.  5.250 2 и .   5.251 2 и .   5.252 8 и 0.   5.253 10 и 6.   5.254    5.255   5.261 4 и 4.  5.262 1.  5.263 6 и 6.  5.266 Разделить отрезок пополам. 5.268   5.269  5.277   5.278   5.279 а); б).  5.280 а); б).   5.281 Точка перегиба  Интервалы: выпуклости  -  вогнутости -  5.282 График вогнутый. Точек перегиба нет. 5.284 Точка перегиба (1, ). Интервалы: выпуклости -  вогнутости - (1,).   5.285 Точки перегиба  Интервалы: выпуклости - , (1, ),  вогнутости -  (,1).  5.293   5.294  5.295  5.296   5.297   5.299   5.301  при . 5.302  5.303   5.306     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2881. ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ ГЕМОПОЭЗА 307 KB
  Фізика є основною наукою про природу. Вона вивчає найбільш загальні властивості і форми руху матерії. Одним із видів руху є механічний рух, під яким розуміють зміну положення тіла в просторі з часом. Механіка Галілея-Ньютона вивчає рух макроскопічни...
2882. Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы 935.25 KB
  Целью настоящей работы является изучение принципов построения и работы авиационных приборов: топливомеров, тахометров, датчиков давления, указателей скорости и высоты. Приведена  краткая теория работы и методические рекомендации по исследованию...
2883. Машини для земляних робіт 769.5 KB
  Розрахунки за кінематичними схемами одноківшевих (одномоторних) екскаваторів. Мета роботи: Виконати кінематичні та силові розрахунки в передачах екскаваторів. Методика розрахунку. Креслимо схему запасовки канатів заданого...
2884. Генетика бактерий 55 KB
  Генетика бактерий Наука о наследственности и изменчивости микроорганизмов. Наследственность это способность организмов воспроизводить одни и те же свойства из поколения в поколение благодаря передачи генов от родителей потомкам. Изменчивость - измен...
2885. Гибридологический метод Г. Менделя как основа генетического анализа 42 KB
  Гибридологический метод Г. Менделя как основа генетического анализа Почему же закономерности наследования, выявленные Менделем, не были приняты к рассмотрению научным сообществом того времени, хотя его работа с 1865 по 1900 год цитировалась не менее...
2886. Генетика. Законы наследственности 1.02 MB
  Генетика. Законы наследственности Задание 1. Основные термины и понятия Заполните таблицу: Понятия Характеристика Генетика Наследственность Генотип Фенотип Аллельные гены Доминантные признаки Рецессивные признаки Гомозиготные особи Гетерозиготные ...
2887. Оптические и лазерные системы 3.67 MB
  Оптические и лазерные системы Помехи в ОВД. 1)Внешние 2)Внутренние 2) Внутренние помехи определяются. Процесс генерации фотоэлектронов имеет случайную характеристику рассеивание излучения микрочастицами атмосферы естественных источников излучения (солнце и т.д.)...
2888. Генетика человека 267.5 KB
  Генетика человека Генеалогический и близнецовый методы Запишите номера вопросов и дайте ответ одним предложением: Что затрудняет изучение генетики человека. В чем сущность генеалогического метода изучения генетики человека. Кто так...
2889. Генетика. Закономерности изменчивости 343 KB
  Генетика. Закономерности изменчивости. Характеристика модификационной изменчивости Заполните таблицу: Модификационная изменчивость Характеристика  Причины изменчивости  Можно ли ее считать определенной изменчивостью. Приведите примеры...