29532

Исследование функций и построение графиков

Лекция

Математика и математический анализ

Точка принадлежащая области определения функции называется критической точкой функции если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности интервалы возрастания и убывания. Если точка экстремума функции то или не существует.246 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Русский

2013-08-21

409 KB

9 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: Исследование функций и построение графиков.

Возрастание, убывание функций. Экстремум.

  Точка , принадлежащая области определения  функции , называется критической точкой функции, если в этой точке  или  не существует. Критические точки функции  разбивают её область определения  на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

  Необходимое условие экстремума. Если  - точка экстремума функции , то  или  не существует.

  Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция  дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то  не является точкой экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция  дважды дифференцируема в точке , в которой ,  . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах  5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221              5.222         5.223 .                  5.224

5.225        5.226 .        5.227 .       5.229            

5.230 .               5.232 .                      5.234

В задачах  5.235-5.246 для указанных функций найти экстремумы:

5.235     5.236      5.237      5.238 .

5.239 .  5.241  5.243  5.245  5.246

Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и дифференцируемой, за исключением быть может конечного числа точек, на отрезке  достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

В задачах 5.249-5.255 найти наибольшие и наименьшие значения функций в указанных промежутках:

5.249   5.250    5.251    

5.252     5.253        5.254     5.255  

5.261. Число 8 разбить на 2 неотрицательных слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5.262 Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

5.263 Число 36 разложить на два таких неотрицательных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5.266 Отрезок длины  разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.

5.268 В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание  и высоту

5.269 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах  окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.278 Функция издержек производства предприятием продукции имеет вид , где - объём производства. Найти при каком объёме  выпускаемой предприятием продукции средние издержки производства будут наименьшими.

5.279 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей, если весь товар реализуется по фиксированной цене  ден.ед. за 1 единицу продукции, а функция издержек имеет вид:  а) ,   ;  б) ,  .

5.280 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей. Предполагается, что весь товар реализуется по цене  ден.ед. за 1 единицу продукции объёма , который можно продать по этой цене, а  функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;  б) , .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

  Точка  является точкой возможного перегиба функции , если в этой точке  или  не существует. Эти точки разбивают область определения  функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

  Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то  или  не существует. Достаточное условие перегиба. Пусть функция  дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку  меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.287 найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графиков функций:

5.281     5.282     5.284   5.285

  Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции . Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и  .

В задачах 5.293-5.306 найти асимптоты графиков функций:

5.293    5.294    5.295    5.296         5.297     

5.299    5.301    5.302    5.303   5.306      

Построение графиков функций.

  Для построения графика функции  нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

В задачах  5.309-5.310 провести полное исследование следующих функций и построить их графики:

5.309 а); б) .               5.310 а);      б).

ОТВЕТЫ: 5.221возрастает, (-1,1) убывает,  возрастает.  5.222. (-,0) убывает, (0,) возрастает.  5.223  убывает,  возрастает.  5.224 (-,1) возрастает,  убывает.   5.225  убывает, (-1,1) возрастает,  убывает.  5.226 возрастает, (-1,1) убывает, (1,) возрастает.   5.227 (-,0) убывает,  убывает,  возрастает,   убывает.  5.229 (0,1) убывает, (1,е) убывает, (е,) возрастает.  5.230  убывает,  возрастает.   5.232 Монотонно возрастает.   5.234 , (0,1)возрастает,   (-1,0), (1, ) убывает.  5.235   5.236   5.237   5.238   5.239   5.241   5.243   5.245    5.246   5.249 13 и 4.  5.250 2 и .   5.251 2 и .   5.252 8 и 0.   5.253 10 и 6.   5.254    5.255   5.261 4 и 4.  5.262 1.  5.263 6 и 6.  5.266 Разделить отрезок пополам. 5.268   5.269  5.277   5.278   5.279 а); б).  5.280 а); б).   5.281 Точка перегиба  Интервалы: выпуклости  -  вогнутости -  5.282 График вогнутый. Точек перегиба нет. 5.284 Точка перегиба (1, ). Интервалы: выпуклости -  вогнутости - (1,).   5.285 Точки перегиба  Интервалы: выпуклости - , (1, ),  вогнутости -  (,1).  5.293   5.294  5.295  5.296   5.297   5.299   5.301  при . 5.302  5.303   5.306     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36609. Логіка. Курс лекцій 1.34 MB
  Знання які здобуває людина на цій стадії пізнання виникають на основі даних органів чуттів опосередковуються ними і знаходять своє відображення в логічних формах поняттях судженнях та умовиводах. Основними логічними формами мислення є поняття судження умови. є: вчення про понятт; вчення про судження; логіка висловлювань з логікою предикатів; вчення про закони Л. Судження Логічна природа суджень.
36610. Проект создания системы контроля качества производства пакетов полиэтиленовых на ООО «Пластик» 728.5 KB
  Отрасль упаковки – одна из наиболее молодых в нашей стране, и это понятно, т.к. еще 10-15 лет назад никого не волновало, во что упакован товар, главное его купить, а завернуть можно было и в газету. Несколько десятилетий отрасль упаковки у нас совершенно не развивалась...
36611. Операційне числення 1.43 MB
  5 Поняття функції комплексної змінної. Множина комплексних чисел w що відповідають усім називається множиною значень функції fz. Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел то завдання комплексної функції w =uiv комплексної змінної z = х iу еквівалентно завданню двох дійсних функцій двох дійсних змінних що може бути записане у вигляді wz =их у ivx у. Функції uху і vxy визначені в області G площини дійсних змінних x y що відповідає області G комплексної площини z.
36612. Поставка товаров, работ и услуг для органов внутренних дел 294.5 KB
  Сфера применения института поставки разнообразна и велика. Она включает отношения, связанные с поставкой товаров, как для коммерческих целей, так и для государственных нужд, в том числе нужд Органов внутренних дел. Тема моей дипломной работы «Поставка товаров, работ и услуг для нужд ОВД»
36613. ІНЖЕНЕРНА ГІДРАВЛІКА. Рух рідини в закритих руслах 752.5 KB
  Рух рідини в закритих руслах. Також в конспекті розглянуті питання виникнення гідравлічних опорів поняття гідравлічного удару витікання рідини через отвори та насадки вільні гідравлічні струмені. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ КУРСУ ІНЖЕНЕРНА ГІДРАВЛІКА Гідравліка це наука яка вивчає закони рівноваги і руху рідини а також взаємодію між рідиною і твердими тілами в стані спокою і щодо їх руху.
36614. ПРОЕКТУВАННЯ ПЛАСТИЧНОЇ ФОРМИ ОДЯГУ 762 KB
  ПРИЙОМИ ТВОРЧОГО ПОШУКУ ПЛАСТИЧНОЇ ФОРМИ ОДЯГУ. Створення одягу це мистецтво. Тому пластична композиція форми одягу вирішується не лініями і площинами а обємами і просторами певної конфігурації і величини.
36615. РЕГІОНАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ 584.5 KB
  Регіональне управління [конспект лекцій для студентів спеціальності 6. Конспект лекцій з дисципліни Регіональне управління призначений для студентів спеціальності 6. Конспект лекцій з дисципліни Регіональне управління складено на підставі відповідних нормативних вимог Міністерства освіти і науки молоді та спорту України.
36616. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ТРУДОВОГО ПРАВА УКРАЇНИ 217 KB
  Предмет і система трудового права Трудове право розглядається в 3 значеннях як галузь права як науку і як навчальну дисципліну. Предмет трудового права це сукупність трудових та інших повязаних з ними суспільних відносин з приводу організації та здійснення найманої оплачуваної праці. Перша загальна частина до якої входять такі інститути: а поняття та предмет трудового права; б основні принципи трудового права; в джерела трудового права; г суб'єкти трудового права; ґ трудові правовідносини; д колективний договір; е правова...