29532

Исследование функций и построение графиков

Лекция

Математика и математический анализ

Точка принадлежащая области определения функции называется критической точкой функции если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности интервалы возрастания и убывания. Если точка экстремума функции то или не существует.246 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Русский

2013-08-21

409 KB

8 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: Исследование функций и построение графиков.

Возрастание, убывание функций. Экстремум.

  Точка , принадлежащая области определения  функции , называется критической точкой функции, если в этой точке  или  не существует. Критические точки функции  разбивают её область определения  на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

  Необходимое условие экстремума. Если  - точка экстремума функции , то  или  не существует.

  Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция  дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то  не является точкой экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция  дважды дифференцируема в точке , в которой ,  . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах  5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221              5.222         5.223 .                  5.224

5.225        5.226 .        5.227 .       5.229            

5.230 .               5.232 .                      5.234

В задачах  5.235-5.246 для указанных функций найти экстремумы:

5.235     5.236      5.237      5.238 .

5.239 .  5.241  5.243  5.245  5.246

Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и дифференцируемой, за исключением быть может конечного числа точек, на отрезке  достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

В задачах 5.249-5.255 найти наибольшие и наименьшие значения функций в указанных промежутках:

5.249   5.250    5.251    

5.252     5.253        5.254     5.255  

5.261. Число 8 разбить на 2 неотрицательных слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5.262 Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

5.263 Число 36 разложить на два таких неотрицательных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5.266 Отрезок длины  разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.

5.268 В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание  и высоту

5.269 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах  окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.278 Функция издержек производства предприятием продукции имеет вид , где - объём производства. Найти при каком объёме  выпускаемой предприятием продукции средние издержки производства будут наименьшими.

5.279 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей, если весь товар реализуется по фиксированной цене  ден.ед. за 1 единицу продукции, а функция издержек имеет вид:  а) ,   ;  б) ,  .

5.280 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей. Предполагается, что весь товар реализуется по цене  ден.ед. за 1 единицу продукции объёма , который можно продать по этой цене, а  функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;  б) , .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

  Точка  является точкой возможного перегиба функции , если в этой точке  или  не существует. Эти точки разбивают область определения  функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

  Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то  или  не существует. Достаточное условие перегиба. Пусть функция  дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку  меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.287 найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графиков функций:

5.281     5.282     5.284   5.285

  Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции . Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и  .

В задачах 5.293-5.306 найти асимптоты графиков функций:

5.293    5.294    5.295    5.296         5.297     

5.299    5.301    5.302    5.303   5.306      

Построение графиков функций.

  Для построения графика функции  нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

В задачах  5.309-5.310 провести полное исследование следующих функций и построить их графики:

5.309 а); б) .               5.310 а);      б).

ОТВЕТЫ: 5.221возрастает, (-1,1) убывает,  возрастает.  5.222. (-,0) убывает, (0,) возрастает.  5.223  убывает,  возрастает.  5.224 (-,1) возрастает,  убывает.   5.225  убывает, (-1,1) возрастает,  убывает.  5.226 возрастает, (-1,1) убывает, (1,) возрастает.   5.227 (-,0) убывает,  убывает,  возрастает,   убывает.  5.229 (0,1) убывает, (1,е) убывает, (е,) возрастает.  5.230  убывает,  возрастает.   5.232 Монотонно возрастает.   5.234 , (0,1)возрастает,   (-1,0), (1, ) убывает.  5.235   5.236   5.237   5.238   5.239   5.241   5.243   5.245    5.246   5.249 13 и 4.  5.250 2 и .   5.251 2 и .   5.252 8 и 0.   5.253 10 и 6.   5.254    5.255   5.261 4 и 4.  5.262 1.  5.263 6 и 6.  5.266 Разделить отрезок пополам. 5.268   5.269  5.277   5.278   5.279 а); б).  5.280 а); б).   5.281 Точка перегиба  Интервалы: выпуклости  -  вогнутости -  5.282 График вогнутый. Точек перегиба нет. 5.284 Точка перегиба (1, ). Интервалы: выпуклости -  вогнутости - (1,).   5.285 Точки перегиба  Интервалы: выпуклости - , (1, ),  вогнутости -  (,1).  5.293   5.294  5.295  5.296   5.297   5.299   5.301  при . 5.302  5.303   5.306     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37222. Структура оборотных средств предприятия 40.5 KB
  Структура оборотных средств предприятия Оборотные производственные фонды – это часть производственных фондов которые участвуют в одном производственном процессе сразу переносят свою стоимость на себестоимость продукции и требуют своего возмещения по каждому производственному циклу. Фонды обращения – это сумма денежных средств предприятия вложенная в процесс реализации продукции и необходимая для обслуживания этого процесса. Организация оборотных средств необходимая для их эффективного использования включает: определение состава и...
37223. Экономическое содержание и классификация основных средств 58 KB
  Экономическое содержание и классификация основных средств В соответствии с ПБУ 6 01 Учет основных средств утвержденным приказом Минфина РФ от 30 марта 2001 г. При этом объект основных средств должен быть предназначен для использования в производстве продукции выполнении работ оказании услуг или для управленческих нужд организации и способен приносить организации экономические выгоды доход в будущем. В составе основных средств учитываются также: капитальные вложения на коренное улучшение земель осушительные оросительные и другие...
37224. Содержание, методы и информационная база анализа финансового состояния предприятия 74.5 KB
  Финансовое состояние организации определяет конкурентоспособность организации ее потенциал в деловом сотрудничестве позволяет оценить в какой степени гарантированы экономические интересы самого предприятия и его партнеров. Финансовое состояние организации отражает конечные результаты ее деятельности характеризующиеся определенной совокупностью показателей которые интересуют различные группы пользователей: менеджеров организации и в первую очередь финансовых менеджеров; персонала организации; собственников предприятия в том числе его...
37225. Доходы организации и их классификация 55.5 KB
  Суммы полученные в порядке предварительной оплаты продукции товаров работ услуг; авансы в счет оплаты продукции товаров работ услуг; суммы полученных задатков; суммы полученных залогов если договором предусмотрена передача заложенного имущества залогодержателю; суммы полученные в погашение кредита займа предоставленного заемщику. Доходы организации в зависимости от их характера условий осуществления и направлений деятельности подразделяются на: Доходы от обычных видов деятельности выручка от продажи продукции и товаров а также...
37226. Содержание и классификация расходов предприятия 43.5 KB
  Термин расходы в большей степени имеет отношение к бухгалтерскому учету затрат в целях налогообложения прибыли . В соответствии с Положением по бухгалтерскому учету Расходы организации ПБУ10 99 утвержденным приказом Министерства финансов РФ от 6 мая 1999г. Расходы предприятия в зависимости от их характера условий осуществления и направлений деятельности организации подразделяются на: Расходы по обычным видам деятельности расходы связанные с изготовлением продукции и продажей продукции приобретением и продажей товаров выполнением...
37227. Экономическое содержание, функции и виды прибыли 60 KB
  Экономическое содержание функции и виды прибыли. Экономическая сущность прибыли является одной из сложных и дискуссионных проблем в современной экономической науке. Экономическое содержание прибыли проявляется в выполняемых ею функциях среди которых можно выделить следующие: Прибыль характеризует экономический эффект полученный в результате деятельности организации т. Стимулирующая функция прибыли проявляется в том что прибыль выступает основным внутренним источником формирования финансовых ресурсов организации обеспечивающих ее развитие...
37228. Практика и перспективы использования технических средств в учреждении культуры 40.5 KB
  Кроме финансовой затратности изготовления жестких декораций имеется и несколько отрицательных художественнопостановочных моментов их применения. Смена жестких декораций не всегда возможна в течение концерта или спектакля по техническим и экономическим причинам. Проекционные декорации создаваемые позволяют радикальным образом решить все проблемы связанные с использованием жестких декораций следующим образом. Проецируемый слайд точно вписывается в подвешенный экран без геометрических искажений создавая полную иллюзию реальности создаваемых...
37229. Электромузыкальные инструменты 69 KB
  Электромузыкальные инструменты Принцип действия Виды электромузыкальных инструментов Потребительские свойства электромузыкальных инструментов Хранение инструментов Заключение Введение Эмоциональный мир человека невозможно представить без музыки. А термин электрический музыкальный инструмент используется для обозначения инструментов звук которых воспроизводится механически и усиливается или изменяется с помощью электроники. Появлению электромузыкальных инструментов ЭМИ предшествовали инструменты построенные на...
37230. Фотоаппаратура в СКД 106 KB
  Фотоаппаратура в СКД История фотоаппаратуры Виды фотоаппаратов Основные детали фотоаппаратов Современная фотоаппаратура Управление современной фотоаппаратурой Режимы фотоаппаратов Заключение Введение Постоянный обмен информацией короткое время производства экономия финансов польза для окружающей среды вот только несколько причин которые объясняют гигантский рост интереса к фотоаппаратам . Фотоаппарат устройство для получения и фиксации неподвижных изображений материальных объектов при помощи света. Фотоаппарат фотокамера...