29532

Исследование функций и построение графиков

Лекция

Математика и математический анализ

Точка принадлежащая области определения функции называется критической точкой функции если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности интервалы возрастания и убывания. Если точка экстремума функции то или не существует.246 Наибольшее и наименьшее значения функции.

Русский

2013-08-21

409 KB

8 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: Исследование функций и построение графиков.

Возрастание, убывание функций. Экстремум.

  Точка , принадлежащая области определения  функции , называется критической точкой функции, если в этой точке  или  не существует. Критические точки функции  разбивают её область определения  на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

  Необходимое условие экстремума. Если  - точка экстремума функции , то  или  не существует.

  Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция  дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то  не является точкой экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция  дважды дифференцируема в точке , в которой ,  . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах  5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221              5.222         5.223 .                  5.224

5.225        5.226 .        5.227 .       5.229            

5.230 .               5.232 .                      5.234

В задачах  5.235-5.246 для указанных функций найти экстремумы:

5.235     5.236      5.237      5.238 .

5.239 .  5.241  5.243  5.245  5.246

Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и дифференцируемой, за исключением быть может конечного числа точек, на отрезке  достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

В задачах 5.249-5.255 найти наибольшие и наименьшие значения функций в указанных промежутках:

5.249   5.250    5.251    

5.252     5.253        5.254     5.255  

5.261. Число 8 разбить на 2 неотрицательных слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5.262 Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

5.263 Число 36 разложить на два таких неотрицательных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5.266 Отрезок длины  разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.

5.268 В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание  и высоту

5.269 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах  окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.278 Функция издержек производства предприятием продукции имеет вид , где - объём производства. Найти при каком объёме  выпускаемой предприятием продукции средние издержки производства будут наименьшими.

5.279 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей, если весь товар реализуется по фиксированной цене  ден.ед. за 1 единицу продукции, а функция издержек имеет вид:  а) ,   ;  б) ,  .

5.280 Найти оптимальный для предприятия объём  выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей. Предполагается, что весь товар реализуется по цене  ден.ед. за 1 единицу продукции объёма , который можно продать по этой цене, а  функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;  б) , .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

  Точка  является точкой возможного перегиба функции , если в этой точке  или  не существует. Эти точки разбивают область определения  функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

  Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то  или  не существует. Достаточное условие перегиба. Пусть функция  дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой  или  не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку  меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.287 найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графиков функций:

5.281     5.282     5.284   5.285

  Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции . Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и  .

В задачах 5.293-5.306 найти асимптоты графиков функций:

5.293    5.294    5.295    5.296         5.297     

5.299    5.301    5.302    5.303   5.306      

Построение графиков функций.

  Для построения графика функции  нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

В задачах  5.309-5.310 провести полное исследование следующих функций и построить их графики:

5.309 а); б) .               5.310 а);      б).

ОТВЕТЫ: 5.221возрастает, (-1,1) убывает,  возрастает.  5.222. (-,0) убывает, (0,) возрастает.  5.223  убывает,  возрастает.  5.224 (-,1) возрастает,  убывает.   5.225  убывает, (-1,1) возрастает,  убывает.  5.226 возрастает, (-1,1) убывает, (1,) возрастает.   5.227 (-,0) убывает,  убывает,  возрастает,   убывает.  5.229 (0,1) убывает, (1,е) убывает, (е,) возрастает.  5.230  убывает,  возрастает.   5.232 Монотонно возрастает.   5.234 , (0,1)возрастает,   (-1,0), (1, ) убывает.  5.235   5.236   5.237   5.238   5.239   5.241   5.243   5.245    5.246   5.249 13 и 4.  5.250 2 и .   5.251 2 и .   5.252 8 и 0.   5.253 10 и 6.   5.254    5.255   5.261 4 и 4.  5.262 1.  5.263 6 и 6.  5.266 Разделить отрезок пополам. 5.268   5.269  5.277   5.278   5.279 а); б).  5.280 а); б).   5.281 Точка перегиба  Интервалы: выпуклости  -  вогнутости -  5.282 График вогнутый. Точек перегиба нет. 5.284 Точка перегиба (1, ). Интервалы: выпуклости -  вогнутости - (1,).   5.285 Точки перегиба  Интервалы: выпуклости - , (1, ),  вогнутости -  (,1).  5.293   5.294  5.295  5.296   5.297   5.299   5.301  при . 5.302  5.303   5.306     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68283. ПРОБЛЕМИ НАЦІОНАЛЬНОЇ БЕЗПЕКИ В РЕГІОНАЛЬНІЙ ПОЛІТИЦІ АРЄ 160.5 KB
  Оскільки АРЄ діє на міжнародній арені як передусім регіональна держава, для адекватного аналізу безпекових пріоритетів країни основну увагу необхідно зосереджувати саме на регіональному рівні зовнішньої політики Єгипту, де зосереджено основні безпекові інтереси, та звідки походить більшість загроз безпеці країни.
68284. Пряма та непряма реваскуляризація при стегно-підколінно-гомілковій оклюзії в умовах хронічної критичної ішемії 327 KB
  Відсутність комплексних досліджень стосовно з’ясування основних патогенетично обґрунтованих критеріїв застосування аутовени низхідної артерії коліна реваскуляризуючої остеоперфорації трансплантації кісткового мозку великогомілкової кістки при лікуванні хворих на хронічну...
68285. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ФІНІШНОЇ ОБРОБКИ ВНУТРІШНІХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ПОВЕРХОНЬ ДЕТАЛЕЙ РЕДУКТОРІВ 725.5 KB
  Створення сучасних високонадійних машин і систем вимагає застосування ефективних технологій механічної обробки деталей які забезпечують необхідну точність якість і продуктивність їх обробки.
68286. ПРОФІЛАКТИКА ПРОТЕЗНИХ СТОМАТИТІВ У ХВОРИХ НА ЦУКРОВИЙ ДІАБЕТ ПРИ КОРИСТУВАННІ ЗНІМНИМИ АКРИЛОВИМИ ЗУБНИМИ ПРОТЕЗАМИ (КЛІНІКО-ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ОБҐРУНТУВАННЯ) 181.5 KB
  Мета дослідження. Підвищення якості ортопедичного лікування хворих на цукровий діабет 2 типу шляхом удосконалення конструкцій часткових знімних пластинкових протезів, розроблення методу профілактики протезних стоматитів.
68287. ОСОБЛИВОСТІ ПРОТИДІЇ УКРАЇНСЬКИХ ГРЕКО-КАТОЛИКІВ РЕЛІГІЙНІЙ ПОЛІТИЦІ РАДЯНСЬКОЇ ВЛАДИ У 1946 – 1989 РОКАХ 153.5 KB
  Метою дисертаційного дослідження є встановлення особливостей поширення опору населення релігійній політиці радянської влади у середовищі грекокатоликів у західних областях України у 1946-1989х рр. на Закарпатті; дослідити характерні риси формування підпільної мережі грекокатоликів у другій половині...
68288. ПРИНЦИПИ АРХІТЕКТУРНО-ПЛАНУВАЛЬНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ ТОРГОВО-РОЗВАЖАЛЬНИХ КОМПЛЕКСІВ (НА ПРИКЛАДІ КРАЇН БЛИЗЬКОГО СХОДУ) 6.2 MB
  Найбільш чітко ця система реалізується в сучасних торгово-розважальних комплексах ТРК. Аналіз європейського і близькосхідного досвіду проектування ТРК свідчить про необхідність систематизації наукового обґрунтування і розробки основ проектування сучасних ТРК для країн регіону АльШам.
68289. УДОСКОНАЛЕННЯ МЕХАНІЗМІВ ФУНКЦІОНУВАННЯ ДЕРЖАВНОГО ТЕХНІЧНОГО НАГЛЯДУ НА РЕГІОНАЛЬНОМУ РІВНІ 180 KB
  Важливою складовою останнього є реалізація державної політики щодо нагляду за технічним станом та дотриманням правил технічної експлуатації машин в агропромисловому комплексі яку покладено на органи державного технічного нагляду.
68290. УДОСКОНАЛЕННЯ СТРУКТУРИ ТА ЗМІСТУ ФІЗИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ ЛИЖНИКІВ-ДВОБОРЦІВ НА ЕТАПІ ПОПЕРЕДНЬОЇ БАЗОВОЇ ПІДГОТОВКИ 290 KB
  Зростання спортивних результатів у лижному двоборстві великою мірою залежить від ефективності системи багаторічної підготовки юних спортсменів. Проблемі фізичної підготовки юних спортсменів присвячено низку робіт вітчизняних і закордонних спеціалістів...
68291. Институциональные основы регулирования рынка рекламных и PR-услуг 577.5 KB
  В рекламе не следует поощрять и призывать детей увеличивать количество приемов пищи в день или заменять основное питание легкой пищей. Однако именно об этом идет речь в рекламе «Данон» - имеет место призыв заменить бифштекс рекламируемым йогуртом.