29533

Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал)

Лекция

Математика и математический анализ

Естественной областью определения функции называется множество точек для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек пространства с координатами представляющее собой вообще говоря некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Русский

2013-08-21

442 KB

9 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал).

Область определения. Линии уровня.

Естественной областью определения функции  называется множество  точек , для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции ,  в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в . Линией уровня функции  называется линия  на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

В задачах  6.1-6.9 найти и изобразить графически область определения  следующих функций:

6.1 .       6.2 .        6.3 .           6.5 .   

6.6 .   6.7 .   6.8 .        6.9 .             

6.19. Построить линии уровня функций:   а) ;   б) ;  в) ;   г) .

Частные производные

  Частную производную обозначают  или . Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования  функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны. Частными производными второго порядка функции  называются частные производные от её частных производных первого порядка. Для функции  частные производные обозначаются:      

, , , , , ,…  или  ,….

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные  от следующих функций:

6.22  .   6.23 .   6.24  .     6.25 .        6.26  .   

6.27  .      6.29 .     6.30 .     6.31 .      6.32 .     

6.33  Найти частные производные  от функции:   .                               

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если .   6.38, если .   6.39,если .

Дифференциал.

Для функции  справедливы формулы: ,     ,

а для функции  - формулы:

,                  .

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 .   6.42 .   6.43 .     6.44 .    6.45 .   

6.47 Найти значение полного дифференциала функции   при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции      при

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:. В частности, для функции  по формуле: , где , .

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в); г); д).

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если  увеличится на ,  увеличится на ,  уменьшится на .

ОТВЕТЫ: 6.1 Замкнутый угол, ограниченный лучами  и   6.2 Замкнутый круг    6.3 Часть плоскости вне круга  6.5 Часть плоскости вне параболы    6.6 Часть плоскости вне эллипса    6.7 Часть плоскости внутри гиперболы    6.8 Открытый треугольник с вершинами в точках (0;0); (1;0); (0;1).   6.9 Замкнутая  полоса, ограниченная прямыми     6.19 а) Параллельные прямые; б) концентрические окружности; в) семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами ; г) семейство подобных эллипсов.  6.20  а) ;   б) ;    в) ;    г) .  6.21 а) Точка разрыва ; б) все точки прямой ; в) - точка бесконечного разрыва; точки прямой   - устранимые точки разрыва; г) точки окружности . 6.22 , , , , . 6.23  ,  ,  , ,. 6.24 , ,, ,. 6.25 , , , , .   6.26 , , , ,   6.27 ,  , , , .  6.29,,,, . 6.30 ,,, , . 6.31 , ,   , , . 6.32 , , ,,   6.33 , , , .  6.37    6.38   6.39  6.41 ,     6.42    6.43  ,  6.44 ,    6.45 ,   6.47    6.48    6.49 а)  б) в)  г)  д)  6.50 Диагональ уменьшится на ; площадь уменьшится на . 6.52 Уменьшитсяна .   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29496. КОМПЛЕКСЫ ОБЩЕСТВЕННОГО МНЕНИЯ (Статистика и социология в изучении общественного мнения) 174 KB
  При таком статистическом подходе существуют проблемы измерения общественного мнения но нет вопроса о его структуре и функциях2. но и так сказать изнутри в смысле самого языка общественного мнения символы стереотипы комплексы значений и средств выражения. Понятно что отечественный опыт последних лет питает сомнения и разочарования в отношении эффективности любых демократических институтов в том числе и общественного мнения в нынешнем российском обществе.
29497. ЧЕЛОВЕК, ТОЛПА И МАССА В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ 104.5 KB
  В частности это относится к пугающему одних и ободряющему других в зависимости от позиции представлению о всемогуществе масскоммуникативного влияния на массовую аудиторию на массового человека. В конечном счете это приводит к одной из граней извечной проблемы общественного человека: как и насколько может и желает человек поддаваться давлению коммуникативных средств массового поражения. О генезисе массового общества С.
29498. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ПРОБЛЕМЕ СОЦИАЛЬНОЙ ЭЛИТЫ 141.5 KB
  Но каждое время то есть каждая социальная ситуация выбирает поддерживает пестует продвигает подходящий для нее тип человека. Если на поверхности советской системы находился человек послушнокарьерный то с ее распадом на переднем плане в политической жизни бизнесе медиа социальнонаучной сфере и около них оказался человек ловкий ориентированный на ближайший успех и не связанный ни ценностными ни социальногрупповыми рамками ответственности. Массовый человек ориентируется практически не на те звездные образцы политкумиров...
29499. «СРЕДНИЙ ЧЕЛОВЕК»: ФИКЦИЯ ИЛИ РЕАЛЬНОСТЬ 102 KB
  В соответствии с такой исследовательской ориентацией предметом рассмотрения прежде всего становится человек как респондент массового исследования а лишь затем возникает проблема социальногрупповой типологии. в рамках исследовательской программы Советский человек. Средний показатель I высшая 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 III 3 4 3 2 3 3 3 IV 6 5 6 4 7 6 5 V 21 20 24 21 19 19 20 VI 17 11 15 14 13 13 12 VII 18 13 14 16 16 15 15 VIII 12 16 15 15 16 18 15 IX 9 11 10 10 10 10 9 X низшая 8 17 13 16 15 14 14 Средний статус 626 697 675...
29500. ИНДИКАТОРЫ И ПАРАДИГМЫ КУЛЬТУРЫ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ 109 KB
  Нужен какойто переход к теоретическому уровню анализа построению работоспособных гипотез и моделей культуры или как было предложено Т. Исходное предположение состоит в том что получаемые исследователями в массовых опросах глубоких интервью статистике данные относятся к состоянию видимых терминалов скрытого от невооруженного глаза сложного и в определенном смысле целостного механизма культуры. Перемены социальные и культурные: разные шкалы времени Понятно что все феномены и процессы культуры могут существовать реально только в...
29501. ФЕНОМЕН ВЛАСТИ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ: ПАРАДОКСЫ И СТЕРЕОТИПЫ ВОСПРИЯТИЯ 123.5 KB
  При этом за пределами внимания остаются особенности представлений о природе и функциях власти присущие массовому сознанию современного общества. Необходимые разграничения В нашем общественном мнении обычно слабо различаются механизмы и функции власти структура властных институтов роли и действия конкретных лиц наделенных властью. Многочисленные опросные данные относительно доверия к социальным институтам регулярно публикуемые в журнале Мониторинг показывают существенные различия в отношении населения к власти федерального центра и...
29502. ИНДЕКСЫ СОЦИАЛЬНЫХ НАСТРОЕНИЙ В «НОРМЕ» И В КРИЗИСЕ 164 KB
  В последнее время большую международную известность приобрел индекс потребительских настроений который в нашей стране разрабатывается группой ИПНРоссия на основе регулярных мониторинговых исследований ВЦИОМ; его результаты широко освещаются в периодической печати в том числе в журнале Мониторинге общественного мнения2. По аналогичным методикам могут быть построены как частные так и сводный индексы социальных настроений и установок. По своей методологической природе любой сконструированный индекс величина искусственно полученная в...
29503. ПРОБЛЕМА ЭМОЦИОНАЛЬНОГО БАЛАНСА ОБЩЕСТВА 182.5 KB
  Высказанные им соображения о методологической слабости психологической трактовки распространенных в исследованиях общественного мнения в том числе и проведенных ВЦИОМ перечней различных страхов представляются вполне правомерными. Представляется полезным обсудить особенности природы и функций социальных страхов различных типов в их соотношении с другими компонентами эмоционального поля общества например интересами радостями позитивными оценками и переживаниями. Первое и важнейшее различение с которым приходится сталкиваться при...
29504. «ЧЕЛОВЕК СОВЕТСКИЙ» ПЯТЬ ЛЕТ СПУСТЯ: 1989-1994 (Предварительные итоги сравнительного исследования) 86 KB
  ВЦИОМ провел обширное исследование Советский человек результаты которого составили основу коллективной монографии2. было осуществлено новое исследование направленное на выявление изменений в установках ценностях нормативных структурах поведения человека в условиях социальных перемен и потрясений прошедшего периода. В первом исследовании было опрошено 2700 человек в нескольких республиках СССР в том числе 1325 человек в России во втором 3000 человек в различных регионах России.