29533

Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал)

Лекция

Математика и математический анализ

Естественной областью определения функции называется множество точек для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек пространства с координатами представляющее собой вообще говоря некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Русский

2013-08-21

442 KB

9 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал).

Область определения. Линии уровня.

Естественной областью определения функции  называется множество  точек , для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции ,  в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в . Линией уровня функции  называется линия  на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

В задачах  6.1-6.9 найти и изобразить графически область определения  следующих функций:

6.1 .       6.2 .        6.3 .           6.5 .   

6.6 .   6.7 .   6.8 .        6.9 .             

6.19. Построить линии уровня функций:   а) ;   б) ;  в) ;   г) .

Частные производные

  Частную производную обозначают  или . Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования  функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны. Частными производными второго порядка функции  называются частные производные от её частных производных первого порядка. Для функции  частные производные обозначаются:      

, , , , , ,…  или  ,….

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные  от следующих функций:

6.22  .   6.23 .   6.24  .     6.25 .        6.26  .   

6.27  .      6.29 .     6.30 .     6.31 .      6.32 .     

6.33  Найти частные производные  от функции:   .                               

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если .   6.38, если .   6.39,если .

Дифференциал.

Для функции  справедливы формулы: ,     ,

а для функции  - формулы:

,                  .

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 .   6.42 .   6.43 .     6.44 .    6.45 .   

6.47 Найти значение полного дифференциала функции   при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции      при

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:. В частности, для функции  по формуле: , где , .

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в); г); д).

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если  увеличится на ,  увеличится на ,  уменьшится на .

ОТВЕТЫ: 6.1 Замкнутый угол, ограниченный лучами  и   6.2 Замкнутый круг    6.3 Часть плоскости вне круга  6.5 Часть плоскости вне параболы    6.6 Часть плоскости вне эллипса    6.7 Часть плоскости внутри гиперболы    6.8 Открытый треугольник с вершинами в точках (0;0); (1;0); (0;1).   6.9 Замкнутая  полоса, ограниченная прямыми     6.19 а) Параллельные прямые; б) концентрические окружности; в) семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами ; г) семейство подобных эллипсов.  6.20  а) ;   б) ;    в) ;    г) .  6.21 а) Точка разрыва ; б) все точки прямой ; в) - точка бесконечного разрыва; точки прямой   - устранимые точки разрыва; г) точки окружности . 6.22 , , , , . 6.23  ,  ,  , ,. 6.24 , ,, ,. 6.25 , , , , .   6.26 , , , ,   6.27 ,  , , , .  6.29,,,, . 6.30 ,,, , . 6.31 , ,   , , . 6.32 , , ,,   6.33 , , , .  6.37    6.38   6.39  6.41 ,     6.42    6.43  ,  6.44 ,    6.45 ,   6.47    6.48    6.49 а)  б) в)  г)  д)  6.50 Диагональ уменьшится на ; площадь уменьшится на . 6.52 Уменьшитсяна .   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16737. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗВЛЕЧЕНИЮ БЛАГОРОДНЫХ МЕТАЛЛОВ НАНОРАЗМЕРНОЙ КРУПНОСТИ 27 KB
  НОВЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗВЛЕЧЕНИЮ БЛАГОРОДНЫХ МЕТАЛЛОВ НАНОРАЗМЕРНОЙ КРУПНОСТИ Усманова Н.Ф. ИХХТ СО РАН В последнее время возрастающая роль в золотодобыче отводится корам выветривания. По данным информационноаналитического центра Минеральные ресурсы мира на 2007 год на ...
16738. ПОДЗЕМНОЕ ВЫЩЕЛАЧИВАНИЕ ЗОЛОТА 97 KB
  О ПОДЗЕМНОМ ВЫЩЕЛАЧИВАНИИ ЗОЛОТА М.И.Фазлуллин В.В.Шаталов Г.И.Авдонин Р.Н.Смирнова ФГУП ВНИИХТ Минатома России В.И.Ступин ООО НПП ГЕОТЭП Подземное выщелачивание ПВ металлов получило наибольшее развитие в мире в варианте скважинной системы отработки руд непоср
16739. ООО “НЕРЮНГРИ-МЕТАЛЛИК” – новый проект кучного выщелачивания 45 KB
  ООО €œНЕРЮНГРИМЕТАЛЛИК€ – новый проект кучного выщелачивания Гуминский В.И. Чёрный К.Н. ООО €œНерюнгриМеталлик€ создано 30 ноября 2000 г. Спустя 3 мес. 30 марта 2001 г. предприятием была получена лицензия ЯКУ01860БР с целевым назначением €œГеологическое изучение и добыча
16740. ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СКВАЖИННОГО ПОДЗЕМНОГО ВЫЩЕЛАЧИВАНИЯ ДРАГОЦЕННЫХ МЕТАЛЛОВ 486 KB
  Возросшая в последние годы потребность в золоте, как в валютном, так и в техническом металле, одновременно с истощением его запасов, способствовала началу более интенсивного развития технологии скважинного подземного выщелачивания драгоценных металлов
16741. Опыт кучного цианирования окисленной руды Урусайской площади 85 KB
  УДК 622.7.017:533.411.068.5 Опыт кучного цианирования окисленной руды Урусайской площадиАкчурина Р.Х. ведущий инженер ИМР; Ходжиметова Н.С. инженер ИМР; Попов Е.Л. зав. ОТПМС ИМР канд. техн. наук; Ахмедов Х. зав. лабораторией обогащения ИМР Кучное выщелачивание КВ как высокорент...
16742. Перспективы вовлечения в переработку отходов горно-перерабатывающего производства на базе золоторудных месторождений 123 KB
  Перспективы вовлечения в переработку отходов горноперерабатывающего производства на базе золоторудных месторождений УДК 622 c Шеметов П.А. Сытенков В.
16743. ПЕРСПЕКТИВЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗОЛОТА МЕТОДОМ КУЧНОГО ВЫЩЕЛАЧИВАНИЯ В ХОЛОДНЫХ КЛИМАТИЧЕСКИХ РЕГИОНАХ РОССИИ 132.5 KB
  ПЕРСПЕКТИВЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗОЛОТА МЕТОДОМ КУЧНОГО ВЫЩЕЛАЧИВАНИЯ В ХОЛОДНЫХ КЛИМАТИЧЕСКИХ РЕГИОНАХ РОССИИ Дементьев В.Е. к.т.н. Татаринов А.П. Гудков С.С. Григорьев С.Г Рязанова И.И. Необходимость вовлечения в переработку нетрадиционного сырья бедные и забалансов
16744. ПОЛИМЕРНЫЕ ГИДРОГЕЛИ ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗОЛОТА ИЗ РАСТВОРОВ 83 KB
  ПОЛИМЕРНЫЕ ГИДРОГЕЛИ ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗОЛОТА ИЗ РАСТВОРОВ Оспанова Г.Ш. Казахский национальный технический университет На основании укрупненолабораторных исследований при извлечении золота из цианидных и бесцианидных растворов рекомендуется новый сорбент. Приводя...
16745. Практическое применение паспортизации руд для управления технологическим процессом сорбционного выщелачивания золота 75.5 KB
  Практическое применение паспортизации руд для управления технологическим процессом сорбционного выщелачивания золота Л. А. Кустова Г. А. Коротовских 2000 г. УДК 622.7:08. Основной задачей паспортизации руд является составление прогнозной и оперативной характеристики ру...