29533

Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал)

Лекция

Математика и математический анализ

Естественной областью определения функции называется множество точек для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек пространства с координатами представляющее собой вообще говоря некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Русский

2013-08-21

442 KB

8 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал).

Область определения. Линии уровня.

Естественной областью определения функции  называется множество  точек , для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции ,  в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в . Линией уровня функции  называется линия  на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

В задачах  6.1-6.9 найти и изобразить графически область определения  следующих функций:

6.1 .       6.2 .        6.3 .           6.5 .   

6.6 .   6.7 .   6.8 .        6.9 .             

6.19. Построить линии уровня функций:   а) ;   б) ;  в) ;   г) .

Частные производные

  Частную производную обозначают  или . Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования  функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны. Частными производными второго порядка функции  называются частные производные от её частных производных первого порядка. Для функции  частные производные обозначаются:      

, , , , , ,…  или  ,….

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные  от следующих функций:

6.22  .   6.23 .   6.24  .     6.25 .        6.26  .   

6.27  .      6.29 .     6.30 .     6.31 .      6.32 .     

6.33  Найти частные производные  от функции:   .                               

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если .   6.38, если .   6.39,если .

Дифференциал.

Для функции  справедливы формулы: ,     ,

а для функции  - формулы:

,                  .

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 .   6.42 .   6.43 .     6.44 .    6.45 .   

6.47 Найти значение полного дифференциала функции   при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции      при

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:. В частности, для функции  по формуле: , где , .

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в); г); д).

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если  увеличится на ,  увеличится на ,  уменьшится на .

ОТВЕТЫ: 6.1 Замкнутый угол, ограниченный лучами  и   6.2 Замкнутый круг    6.3 Часть плоскости вне круга  6.5 Часть плоскости вне параболы    6.6 Часть плоскости вне эллипса    6.7 Часть плоскости внутри гиперболы    6.8 Открытый треугольник с вершинами в точках (0;0); (1;0); (0;1).   6.9 Замкнутая  полоса, ограниченная прямыми     6.19 а) Параллельные прямые; б) концентрические окружности; в) семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами ; г) семейство подобных эллипсов.  6.20  а) ;   б) ;    в) ;    г) .  6.21 а) Точка разрыва ; б) все точки прямой ; в) - точка бесконечного разрыва; точки прямой   - устранимые точки разрыва; г) точки окружности . 6.22 , , , , . 6.23  ,  ,  , ,. 6.24 , ,, ,. 6.25 , , , , .   6.26 , , , ,   6.27 ,  , , , .  6.29,,,, . 6.30 ,,, , . 6.31 , ,   , , . 6.32 , , ,,   6.33 , , , .  6.37    6.38   6.39  6.41 ,     6.42    6.43  ,  6.44 ,    6.45 ,   6.47    6.48    6.49 а)  б) в)  г)  д)  6.50 Диагональ уменьшится на ; площадь уменьшится на . 6.52 Уменьшитсяна .   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66858. Архитектура ЭВМ. Взаимодействие подсистем ЭВМ через магистраль. Структура магистрали 120.89 KB
  Шина данных шина предназначенная для передачи информации. На материнской плате шина может также состоять из множества параллельно идущих через всех потребителей данных проводников например в архитектуре IBM PC. Основной характеристикой шины данных является её ширина в битах.
66861. Экономика пожарной безопасности 51.89 KB
  Особенностями пожаров на металлургических предприятиях являются: быстрое распространение огня в маслопроводах кабельных туннелях и этажах транспортерных галереях на покрытиях большой площади и в системах гидравлики высокого давления...
66863. Створення додатку для роботи з базою даних 616.5 KB
  Створення бази даних База даних буда створена у СУБД MS SQL Server 2000 згідно до обраної предметної області пункт прийому сировини шляхом генерації з фізичної моделі побудованої за допомогою Erwin згідно методичних вказівок. Отриманий результат має вигляд...
66865. GREAT BRITAIN AND THE UNITED KINGDOM. THE SYSTEM OF GOVERNMENT IN THE UK 80.5 KB
  The British Isles today are shared by two separate and independent states. The smaller of these is the Republic of Ireland, with its capital in Dublin. The larger, with London as its capital, is the United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland.