29533

Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал)

Лекция

Математика и математический анализ

Естественной областью определения функции называется множество точек для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек пространства с координатами представляющее собой вообще говоря некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Русский

2013-08-21

442 KB

9 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал).

Область определения. Линии уровня.

Естественной областью определения функции  называется множество  точек , для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции ,  в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в . Линией уровня функции  называется линия  на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

В задачах  6.1-6.9 найти и изобразить графически область определения  следующих функций:

6.1 .       6.2 .        6.3 .           6.5 .   

6.6 .   6.7 .   6.8 .        6.9 .             

6.19. Построить линии уровня функций:   а) ;   б) ;  в) ;   г) .

Частные производные

  Частную производную обозначают  или . Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования  функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны. Частными производными второго порядка функции  называются частные производные от её частных производных первого порядка. Для функции  частные производные обозначаются:      

, , , , , ,…  или  ,….

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные  от следующих функций:

6.22  .   6.23 .   6.24  .     6.25 .        6.26  .   

6.27  .      6.29 .     6.30 .     6.31 .      6.32 .     

6.33  Найти частные производные  от функции:   .                               

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если .   6.38, если .   6.39,если .

Дифференциал.

Для функции  справедливы формулы: ,     ,

а для функции  - формулы:

,                  .

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 .   6.42 .   6.43 .     6.44 .    6.45 .   

6.47 Найти значение полного дифференциала функции   при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции      при

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:. В частности, для функции  по формуле: , где , .

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в); г); д).

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если  увеличится на ,  увеличится на ,  уменьшится на .

ОТВЕТЫ: 6.1 Замкнутый угол, ограниченный лучами  и   6.2 Замкнутый круг    6.3 Часть плоскости вне круга  6.5 Часть плоскости вне параболы    6.6 Часть плоскости вне эллипса    6.7 Часть плоскости внутри гиперболы    6.8 Открытый треугольник с вершинами в точках (0;0); (1;0); (0;1).   6.9 Замкнутая  полоса, ограниченная прямыми     6.19 а) Параллельные прямые; б) концентрические окружности; в) семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами ; г) семейство подобных эллипсов.  6.20  а) ;   б) ;    в) ;    г) .  6.21 а) Точка разрыва ; б) все точки прямой ; в) - точка бесконечного разрыва; точки прямой   - устранимые точки разрыва; г) точки окружности . 6.22 , , , , . 6.23  ,  ,  , ,. 6.24 , ,, ,. 6.25 , , , , .   6.26 , , , ,   6.27 ,  , , , .  6.29,,,, . 6.30 ,,, , . 6.31 , ,   , , . 6.32 , , ,,   6.33 , , , .  6.37    6.38   6.39  6.41 ,     6.42    6.43  ,  6.44 ,    6.45 ,   6.47    6.48    6.49 а)  б) в)  г)  д)  6.50 Диагональ уменьшится на ; площадь уменьшится на . 6.52 Уменьшитсяна .   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61483. Использование информационных технологий на уроках истории 27 KB
  По моему мнению на уроке истории целесообразнее применять ИТ при изучении нового материала, закреплении полученных знаний и уроке-контроле.
61486. История искусств 20.56 KB
  Кем он был: иконописцем портретистом живописцем Ученики: Портретистом Учитель: Какие портреты Антропова Алексея Петровича мы рассмотрели Ученики: Автопортрет портрет Незнакомки портрет Петра 3 портрет Екатерины...
61488. Характеристика либеральной и реакционной политики? Примеры такой политики Александра Ι 15.93 KB
  Почему Россия потерпела поражение в Крымской войне Как это поражение повлияло на экономическое и политическое положение в России Политической причиной поражения России в ходе Крымской войны...
61490. История возникновения шариковой ручки 21.01 KB
  Цели: создать условия для проведения исследовательской деятельности; установить этапы развития письменных принадлежностей от руки до стариковой ручки; развивать детский интерес любознательность.
61491. История. Древне-Русское государство 23.84 KB
  Борьба Руси с иноземными завоевателями. подготовить 1 вопрос а также принятие христианства на Руси и его историческое значение. Он сделал немало для укрепления Киевской Руси. И при нем же произошло крещение Руси.