29533

Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал)

Лекция

Математика и математический анализ

Естественной областью определения функции называется множество точек для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек пространства с координатами представляющее собой вообще говоря некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Русский

2013-08-21

442 KB

9 чел.

PAGE 1

Практическое занятие:

Тема: Функции нескольких переменных (область определения, частные производные, дифференциал).

Область определения. Линии уровня.

Естественной областью определения функции  называется множество  точек , для координат которых формула имеет смысл. Графиком функции ,  в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в . Линией уровня функции  называется линия  на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

В задачах  6.1-6.9 найти и изобразить графически область определения  следующих функций:

6.1 .       6.2 .        6.3 .           6.5 .   

6.6 .   6.7 .   6.8 .        6.9 .             

6.19. Построить линии уровня функций:   а) ;   б) ;  в) ;   г) .

Частные производные

  Частную производную обозначают  или . Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования  функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны. Частными производными второго порядка функции  называются частные производные от её частных производных первого порядка. Для функции  частные производные обозначаются:      

, , , , , ,…  или  ,….

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные  от следующих функций:

6.22  .   6.23 .   6.24  .     6.25 .        6.26  .   

6.27  .      6.29 .     6.30 .     6.31 .      6.32 .     

6.33  Найти частные производные  от функции:   .                               

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если .   6.38, если .   6.39,если .

Дифференциал.

Для функции  справедливы формулы: ,     ,

а для функции  - формулы:

,                  .

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 .   6.42 .   6.43 .     6.44 .    6.45 .   

6.47 Найти значение полного дифференциала функции   при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции      при

  Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции  в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:. В частности, для функции  по формуле: , где , .

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в); г); д).

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если  увеличится на ,  увеличится на ,  уменьшится на .

ОТВЕТЫ: 6.1 Замкнутый угол, ограниченный лучами  и   6.2 Замкнутый круг    6.3 Часть плоскости вне круга  6.5 Часть плоскости вне параболы    6.6 Часть плоскости вне эллипса    6.7 Часть плоскости внутри гиперболы    6.8 Открытый треугольник с вершинами в точках (0;0); (1;0); (0;1).   6.9 Замкнутая  полоса, ограниченная прямыми     6.19 а) Параллельные прямые; б) концентрические окружности; в) семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами ; г) семейство подобных эллипсов.  6.20  а) ;   б) ;    в) ;    г) .  6.21 а) Точка разрыва ; б) все точки прямой ; в) - точка бесконечного разрыва; точки прямой   - устранимые точки разрыва; г) точки окружности . 6.22 , , , , . 6.23  ,  ,  , ,. 6.24 , ,, ,. 6.25 , , , , .   6.26 , , , ,   6.27 ,  , , , .  6.29,,,, . 6.30 ,,, , . 6.31 , ,   , , . 6.32 , , ,,   6.33 , , , .  6.37    6.38   6.39  6.41 ,     6.42    6.43  ,  6.44 ,    6.45 ,   6.47    6.48    6.49 а)  б) в)  г)  д)  6.50 Диагональ уменьшится на ; площадь уменьшится на . 6.52 Уменьшитсяна .   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75427. Двохпозиційні регулятори 96 KB
  Принцип роботи Двохпозиційні регулятори забезпечують хорошу якість регулювання для інерційних обєктів з малим запізнюванням не вимагають настройки і прості в експлуатації. Ці регулятори представляють звичайний і найбільш широко поширений метод регулювання...
75428. Передумови розвитку мехатроніки і сфери застосування мехатронних систем. Класифікаційні ознаки мехатроніки 53.5 KB
  Передумови розвитку мехатроніки і сфери застосування мехатронних систем. Класифікаційні ознаки мехатроніки Останніми роками виникла і бурхливо розвивається у всьому світі нова галузь науки і техніки мехатроніка. Вузли модулі і системи мехатроніки МС стають основою технологічних машин і агрегатів з новими властивостями для різних галузей промисловості а також вони можуть бути використані при розробці периферійних пристроїв устроїв...
75429. Концепція побудови мехатронних систем. Визначення і термінологія мехатроніки 52.5 KB
  Мехатроніка це нова галузь науки і техніки присвячена створенню і експлуатації машин і систем з компютерним управлінням рухом яка базується на знаннях в області механіки електроніки і мікропроцесорної техніки інформатики і компютерного управління рухом машин і агрегатів.
75430. Механічні та електричні інтерфейси сенсорів. Оптикомеханічні і фото імпульсні здавачі 45.5 KB
  Інтерфейси сенсорів залежно від фізичного характеру вхідних змінних стану системи можна розділити на електричні і механічні. До механічних відносяться приєднувальні пристрої для датчиків зворотного звязку приводів (оптикомеханічних, фотоімпульсних, кодових, тахогенераторів, потенціометрів, резольверов)
75431. Основні принципи техніки керування 511 KB
  Механічна енергія з валу електричного двигуна передається до регулювальної передачі в якій швидкість напрям та час тривання обертання стартстоп можуть регулюватися за допомогою механічних пневматичних гідравлічних або електричних сигналів. Це можна здійснити перериваючи неперервний обертовий рух за допомогою додаткового доданого до передачі вимикального механізму. Регульовані передачі. У більшості випадків потужність отримувана на вхідному валі передачі привідному є постійна.
75432. Передачі кочення 566.5 KB
  У регулювальних передачах кочення передавання моменту обертання здійснюється за допомогою конусних або кулькових елементів кочення рис. Елементами кочення в регулювальних планетарних передачах є наприклад конусні диски які обертаються планетарно навколо привідного вала рис. Рис. Фрикційна передача з Рис.
75433. Безконтактні вимикачі 32.5 KB
  Давач чи датчик У більшості сучасних словників української мови термін давач подається як єдиний можливий відповідник російського терміну рос. датчик. Слово датчик увійшло в українську як калька з російської і деякі словники фіксують обидва терміни давач та датчик хоч подають останній як менш рекомендований.
75434. Класифікація безконтактних вимикачів за принципом дії: індуктивні, ємкісні, оптичні, магніточутливі (геконові) 67.5 KB
  За вхідними фізичними величинами що підлягають перетворенню давачі бувають: електричні та магнітні; теплових величин; механічних величин; оптичних параметрів; форми та розмірів; акустичних величин; концентрації та складу; іонізаційного випромінення. За фізикохімічними ефектами що лежать в основі роботи вимірювальних перетворювачів розрізняють давачі: резистивні; ємнісні електростатичні; індуктивні та електромагнітні; електричного заряду напруги або струму; зміни геометричних розмірів маси або положення; оптичних ефектів;...
75435. Безконтактний індуктивний давач 129.5 KB
  Спектр застосування індуктивних безконтактних давачів обширний і включає практично всі галузі промисловості де необхідна автоматизація процесів. Переваги безконтактних індуктивних давачів: немає механічного зносу відсутні відмови повязані зі станом контактів...