29534

ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы)

Лекция

Математика и математический анализ

63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .

Русский

2013-08-21

487.5 KB

7 чел.

PAGE 1

Практическое занятие: Тема: ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы).

  Для функции , заданной неявно уравнением  справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением  справедливы формулы:,, при условии.

  Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную  для функций , заданных неявно:

а)  ;        б) ;      в) ;   г) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а)                  если     ;    б)         если     .   

6.65 Найти частные производные  для функций  заданных неявно:

а) ;       б) ;      в) ;                    г)  

6.66 Найти дифференциал  функции  заданной неявно в указанной точке , если:

а) ;    б) .

6.67 Найти дифференциал  функции  заданной неявно, если:  а) ; б) .

  Для функции  производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где  - направляющие косинусы вектора .

  Скорость наибольшего изменения функции  по направлению  в точке  достигает наибольшего значения, если направление  совпадает с направлением , т.е. .

6.68 Найти производную  по направлению , , || в точке  для функций:

а) ,     ,  ;  б) ,  ,   ;

в) ,               ,   ; г) ,  ,  .

6.71 Найти в точке , если:  а) ,  ;       б) ,    .

  Частные эластичности функции  вычисляются по формулам: , . Частные эластичности ,  показывают приближённый процентный прирост  при изменении  и  на один процент, соответственно. Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов,  - объём трудовых ресурсов,  - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности   и  функций в указанных точках :   

а) , ;      б)  ,   .

6.78 Для заданных значений  и  найти эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;   2) ,, .

Экстремумы функций нескольких переменных

  Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…,. Достаточное условие экстремума. Функция  в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если  и ; 2) имеет минимум, если  и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 .         6.83.                   6.84 .     

6.85 .             6.86  .    6.87 .

6.88 ().  6.89                6.91 .                      6.93 .                  6.96 .    6.98 .

  Если функция  дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а)        ; б)        ;

         в)                       .

6.110 а)   ;    б)     ;

         в)                    .

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:    

а) площадь его поверхности равна S;      б) сумма длин его ребер равна a;   в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара   и  равны соответственно  и  ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах  и  продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:   а) , , ;           б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов  и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно  и  ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете  стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .   

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г).  6.64 а) , ; б) ,. 6.65 а),;  б) , ; в) ,  ; г), .  6.66 а), б). 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в)   . г). 6.71а), б) 6.77а) ; б). 6.78 1) ;  2) . 6.82    6.83 Экстремумов нет.  6.84   6.85   6.86  6.87  6.88   6.89   6.91   6.93 , 6.96 6.98    6.109 а) , ; б), ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , .  6.112 а)  б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113  6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед.  6.120  .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84476. АНТИКРИЗИСНЫЕ ГРУНТЫ ДЛЯ УФ-ПЕЧАТИ ПО ПЛЁНКАМ И МЕТАЛЛИЗИРОВАННЫМ ОСНОВАМ 457.58 KB
  Причина возникшей проблемы была связана с необходимостью использовать более дешевые запечатываемые материалы не прошедшие специальной обработки для УФпечати. Современные машины для флексографской печати УФкрасками редко оснащены секцией для нанесения грунта на основе растворителей поэтому типографии вынуждены наносить сольвентное покрытие на плёнку отдельно. Появление эффективных УФгрунтов решило бы много проблем благодаря возможности печати в линию на стандартном оборудовании.
84477. ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ВЫБОРА РАСХОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ПЕЧАТИ УПАКОВКИ ПРОДУКТОВ ПИТАНИЯ 46.7 KB
  Например практически каждый год пополняется список запрещенных веществ попадающих в пищевые продукты из упаковки. Часть заказчиков пищевой упаковки выдвигает свои особые требования которые могут быть более жесткими чем обычные например как это до недавнего времени делала копания Nestle. В то же время потребители упаковки заинтересованы в максимальном снижении цены на упаковку поэтому перед производителем упаковки стоит нелегкая задача создать минимальный по цене продукт соответствующий всем требованиям и при этом остаться в прибыли.
84478. ЦИФРОВАЯ ПЕЧАТЬ. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПОЛИГРАФИИ 302.18 KB
  По мере развития цифровых устройств скорость качество формат они получили название Цифровые Печатные Машины ЦПМ. Первые устройства офсетные печатные машины которые стали рассматриваться как ЦПМ были основаны на технологии Direct Imging прямое экспонирование. Для ясности понимания разделим ЦПМ на две группы: по признаку наличия или отсутствия какой бы то ни было формной поверхности. Виды струйных принтеров планшетные fltbed широкоформатные wide super wide рулонная Основные производители струйных принтеров: HP Scitex ...
84479. МАСЛЯНЫЕ ОФСЕТНЫЕ КРАСКИ 73.73 KB
  Критерии оценки качества краски В мире насчитывается несколько десятков фирмпроизводителей офсетных красок большая часть которых неизвестна российским полиграфистам. При выборе краски необходимо руководствоваться основными факторами ее оценки: яркость и чистота пигмента первоначальное схватывание краски на оттиске время хранения в кипсейках и не засыхания на валах обеспечивается правильным балансом связующих компонентов скорость окончательного закрепления Пигментация Печатная краска представляет собой коллоидную систему...
84480. ДЕФЕКТЫ В РАБОТЕ С ОФСЕТНЫМИ МАСЛЯНЫМИ КРАСКАМИ И СПОСОБЫ ИХ УСТРАНЕНИЯ 46.41 KB
  Дефект Возможная причина Рекомендации Деформация стопы Неправильное хранение бумаги. Чистить сопло подающее порошок Тонкая бумага Не делать высокую стопу Избыток воды в основном на краях бумаги Уменьшить или отрегулировать равномерность подачи воды Двоение Деформация основы до печати Заменить основу. Проконсультироваться с поставщиком Деформация бумаги вследствие серьезного изменения в гидрометрии Проверить разницу температур в помещении для складирования и в печатном цехе Офсетная резина недостаточно натянута Натянуть офсетную резину...
84481. КРАСКИ УФ-ОТВЕРЖДЕНИЯ 284.88 KB
  Состав красок УФотверждения Рассмотрим отличия в составе традиционной краски и краски УФотверждения. Традиционные краски Краски УФотверждения смола связующее олигомер растительные масла мономер минеральные масла пигмент разбавитель добавки пигмент фотоинициатор добавки стабилизатор сиккатив антисиккатив Компоненты краски влияют на физикохимические и технические характеристики УФкраски. Добавки в УФкраски играют ту же роль что и в традиционных красках. Соответственно вся энергия концентрируется на небольшом...
84482. ГИБРИДНЫЕ КРАСКИ 72.5 KB
  Гибридные краски часто рассматриваются как промежуточный продукт объединяющий в себе свойства обычных масляных и УФотверждаемых красок. Данная технология дает хороший результат но остается ряд проблем: необходимо качественное удаление противоотмарывающего порошка; межслоевая адгезия между краской и УФлаком может варьироваться изза различного содержания воска в краске различные субстраты и различная химия краски могут давать не всегда ожидаемый ре зультат; необходимость целого ряда дополнительных операций и дополнительных...
84483. ОСОБЕННОСТИ ПОДБОРА ЦВЕТА - ПРАКТИКА СМЕШЕНИЯ КРАСОК 41.79 KB
  Поэтому все большее количество типографий используют в своей работе смесевые краски. Смесевые краски позволяют добиться равномерной плашки без использования растра. Еще не так давно типографии смешивали краски сами используя опыт печатников. Современные типографии в основном заказывают необходимые для печати смесевые краски в фирмах специализирующихся на их изготовлении.
84484. ОФСЕТНАЯ ЛИСТОВАЯ ПЕЧАТЬ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИЗОПРОПИЛОВОГО СПИРТА 43.74 KB
  Уже более 30 лет успешно применяется технология офсетной печати без использования изопропилового спирта в США где эта технология зародилась и распространилась благодаря поддержке государства и высоких требований к экологической безопасности. Вслед за Соединенными Штатами от спирта стали отказываться типографии и в Европе. На данный момент печать без использования изопропилового спирта распространена и в Европе что наглядно видно на любой европейской выставке.