29534

ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы)

Лекция

Математика и математический анализ

63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .

Русский

2013-08-21

487.5 KB

7 чел.

PAGE 1

Практическое занятие: Тема: ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы).

  Для функции , заданной неявно уравнением  справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением  справедливы формулы:,, при условии.

  Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную  для функций , заданных неявно:

а)  ;        б) ;      в) ;   г) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а)                  если     ;    б)         если     .   

6.65 Найти частные производные  для функций  заданных неявно:

а) ;       б) ;      в) ;                    г)  

6.66 Найти дифференциал  функции  заданной неявно в указанной точке , если:

а) ;    б) .

6.67 Найти дифференциал  функции  заданной неявно, если:  а) ; б) .

  Для функции  производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где  - направляющие косинусы вектора .

  Скорость наибольшего изменения функции  по направлению  в точке  достигает наибольшего значения, если направление  совпадает с направлением , т.е. .

6.68 Найти производную  по направлению , , || в точке  для функций:

а) ,     ,  ;  б) ,  ,   ;

в) ,               ,   ; г) ,  ,  .

6.71 Найти в точке , если:  а) ,  ;       б) ,    .

  Частные эластичности функции  вычисляются по формулам: , . Частные эластичности ,  показывают приближённый процентный прирост  при изменении  и  на один процент, соответственно. Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов,  - объём трудовых ресурсов,  - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности   и  функций в указанных точках :   

а) , ;      б)  ,   .

6.78 Для заданных значений  и  найти эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;   2) ,, .

Экстремумы функций нескольких переменных

  Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…,. Достаточное условие экстремума. Функция  в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если  и ; 2) имеет минимум, если  и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 .         6.83.                   6.84 .     

6.85 .             6.86  .    6.87 .

6.88 ().  6.89                6.91 .                      6.93 .                  6.96 .    6.98 .

  Если функция  дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а)        ; б)        ;

         в)                       .

6.110 а)   ;    б)     ;

         в)                    .

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:    

а) площадь его поверхности равна S;      б) сумма длин его ребер равна a;   в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара   и  равны соответственно  и  ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах  и  продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:   а) , , ;           б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов  и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно  и  ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете  стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .   

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г).  6.64 а) , ; б) ,. 6.65 а),;  б) , ; в) ,  ; г), .  6.66 а), б). 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в)   . г). 6.71а), б) 6.77а) ; б). 6.78 1) ;  2) . 6.82    6.83 Экстремумов нет.  6.84   6.85   6.86  6.87  6.88   6.89   6.91   6.93 , 6.96 6.98    6.109 а) , ; б), ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , .  6.112 а)  б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113  6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед.  6.120  .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31794. Типы управленческих решений и формы их поддержки 28 KB
  Традиционно управленческие решения принято разделять на аналитические и поисковые творческие. Творческий поисковый подход используют тогда когда ищут нестандартные не использовавшиеся в прошлом решения. Кроме того серьезным препятствием является неумение выявить существенную информацию необходимую для принятия решения иногда это называют неумением отделить фигуру от фона.1 пример задачи с перекладыванием спичек может служить хорошей иллюстрацией введения искусственных ограничений: чаще всего поиск решения лежит в области арифметики ...
31795. Метод имитационного моделирования управленческого решения 35 KB
  Метод имитационного моделирования управленческого решения. Имитационное моделирование это частный случай математического моделирования. Применение имитационного моделирования К имитационному моделированию прибегают когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время причинные связи последствие нелинейности стохастические случайные переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении...
31796. Методы моделирования знаний при принятии управленческого решения 34.5 KB
  Методы моделирования знаний при принятии управленческого решения. Проблема моделирования знаний решается в разделе информатики который носит название Искусственный интеллект. Основой любой системы искусственного интеллекта является модель знаний и созданная на ее основе база знаний. Всякая конкретная база знаний содержит модель определенной предметной области.
31797. Место принятия решений в цикле управления. Сущность и классификация управленческих решений 37 KB
  Сущность и классификация управленческих решений. Одной из важнейших задач теории принятия решений ТПР явл достижение большей убедительности выводов и рекомендаций ЛПР и обоснованности выбора лучшего решения. Предметом РУР: не ответ на какое решение принять в той или иной ситуации а ответ на как организовать процесс разработки и принятия решений какие методы при этом использовать.
31798. Концепции и принципы принятия управленческих решений 34.5 KB
  Методология ТПР базируется на совокупности концепции принципов ТПР Концепции Принципы Системы Цели Рацть Множть альтер Наилучш реш Измерение Система необходимо рассм организационную среду как систему Рациональности принятие решения наилучшего варианта среди др принято считать логически не противоречивую полную и количественно подтвержденную систему докв. Наилучшего решения необходимо выбрать...
31799. Модель проблемной ситуации и принятие решений 30 KB
  situtio положение 1 соотношение обстоятельств и условий в крых разворачивается деятельность человека или группы содержащее противоречие и не имеющее однозначного решения; 2 психол. Начальным звеном разрешения возникшего противоречия является заданный человеком самому себе вопрос о причинах возникшей трудности. Проблемная ситуация предполагает неудовлетворенность лица принимающего решения целеустремленное состояние и необходимость действий для устранения проблемы. Свва проблем: 1ее нужно решать 2неповторимость ситуации выбора...
31800. Характеристика процесса разработки решений в сложных ситуациях 31.5 KB
  Характеристика процесса разработки решений в сложных ситуациях. В состав второго блока этапов разработки управленческого решения входят: генерирование альтернативных вариантов решений; отбор основных вариантов управленческих воздействий; разработка сценариев развития ситуации; экспертная оценка основных вариантов управляющих воздействий. Разработка решений это не есть однократный волевой акт осуществляемый ЛПР. Под сложными ситуациями разработки решений мы понимаем такие проблемные ситуации которые отличаются от несложных обыденных...
31801. Методы и технологии разработки управленческих решений в условиях определенности 30 KB
  2 Лексикографическая задача 3 Метод последовательных уступок Суть метода последовательных уступок Процедура решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок заключается в том что все частные критерии располагают и нумеруют в порядке их относительной важности; максимизируют первый наиболее важный критерий; затем назначают величину допустимого снижения значения этого критерия и максимизируют второй по важности частный критерий при условии что значение первого критерия не должно отличаться от максимального более чем на...
31802. Понятие риска, составляющие и источники рисков в управлении 26 KB
  Понятие риска составляющие и источники рисков в управлении. Риск [греч. Риск предполагает неуверенность либо невозможность получения достоверного знания о благоприятном исходе в заданных внешних обстоятельствах; Риск в узком смысле измеряемая или рассчитываемая вероятность неблагоприятного исхода что подразумевает наличие статистических данных. Риск принято рассматривать как историческую и экономическую категории.