29534

ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы)

Лекция

Математика и математический анализ

63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .

Русский

2013-08-21

487.5 KB

7 чел.

PAGE 1

Практическое занятие: Тема: ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы).

  Для функции , заданной неявно уравнением  справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением  справедливы формулы:,, при условии.

  Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную  для функций , заданных неявно:

а)  ;        б) ;      в) ;   г) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а)                  если     ;    б)         если     .   

6.65 Найти частные производные  для функций  заданных неявно:

а) ;       б) ;      в) ;                    г)  

6.66 Найти дифференциал  функции  заданной неявно в указанной точке , если:

а) ;    б) .

6.67 Найти дифференциал  функции  заданной неявно, если:  а) ; б) .

  Для функции  производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где  - направляющие косинусы вектора .

  Скорость наибольшего изменения функции  по направлению  в точке  достигает наибольшего значения, если направление  совпадает с направлением , т.е. .

6.68 Найти производную  по направлению , , || в точке  для функций:

а) ,     ,  ;  б) ,  ,   ;

в) ,               ,   ; г) ,  ,  .

6.71 Найти в точке , если:  а) ,  ;       б) ,    .

  Частные эластичности функции  вычисляются по формулам: , . Частные эластичности ,  показывают приближённый процентный прирост  при изменении  и  на один процент, соответственно. Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов,  - объём трудовых ресурсов,  - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности   и  функций в указанных точках :   

а) , ;      б)  ,   .

6.78 Для заданных значений  и  найти эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;   2) ,, .

Экстремумы функций нескольких переменных

  Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…,. Достаточное условие экстремума. Функция  в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если  и ; 2) имеет минимум, если  и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 .         6.83.                   6.84 .     

6.85 .             6.86  .    6.87 .

6.88 ().  6.89                6.91 .                      6.93 .                  6.96 .    6.98 .

  Если функция  дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а)        ; б)        ;

         в)                       .

6.110 а)   ;    б)     ;

         в)                    .

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:    

а) площадь его поверхности равна S;      б) сумма длин его ребер равна a;   в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара   и  равны соответственно  и  ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах  и  продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:   а) , , ;           б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов  и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно  и  ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете  стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .   

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г).  6.64 а) , ; б) ,. 6.65 а),;  б) , ; в) ,  ; г), .  6.66 а), б). 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в)   . г). 6.71а), б) 6.77а) ; б). 6.78 1) ;  2) . 6.82    6.83 Экстремумов нет.  6.84   6.85   6.86  6.87  6.88   6.89   6.91   6.93 , 6.96 6.98    6.109 а) , ; б), ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , .  6.112 а)  б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113  6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед.  6.120  .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69598. ИЗУЧЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ШЛИФОВАЛЬНЫХ КРУТОВ И3 ЭЛЕКТРОКОРУНДА И КАРБОРУНДА 2.64 MB
  Оборудование инструменты и материалы: наборы шлифовальных кругов; различные типы шлифовальных станков настроенных на соответствующую показательную обработку; плакаты характеристики шлифовальных кругов гидрокинематические схемы кругло плоско внутри и бесцентровошлифовального станков.
69599. ТЕХНОЛОГИЯ ОБРАБОТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ НА МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКАХ 3.41 MB
  Изучение станков, инструментов и приспособлений для обработки поверхностей вращения на деталях, умение назначить тип станка, инструмент и последовательность обработки поверхности вращения детали. Оборудование, инструменты и материалы Токарно-винторезный станок и инструменты к нему.
69600. ТЕХНОЛОГИЯ ОБРАБОТКИ ПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ НА МЕТАЛОРЕЖУЩИХ СТАНКАХ 2.65 MB
  Изучение станков, инструментов и приспособлений для обработки плоских поверхностей на деталях, умение выбирать тип станка, инструмент и последовательность обработки плоской поверхности детали. Оборудование, инструменты и материалы Вертикально-, горизонтально-фрезерный к поперечно-строгальный.
69601. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТВЕРДОСТИ МАТЕРИАЛОВ 580 KB
  Цель работы. Связь твердости со структурой и прочностными свойствами. Измерение твердости позволяет проверить правильность приведенной термической обработки определяет возможность износа детали возможность механической обработки.
69602. ЗАКАЛКА И ОТПУСК СТАЛЕЙ 566.5 KB
  Закалкой стали называется операция термической обработки проводимая с целью получения структуры мартенсита. Поэтому для доэвтектоидной стали температура нагрева под закалку должна быть на 2030 выше точки Ас3. Нагрев доэвтектоидной стали но выше Ас1 не рекомендуется...
69603. ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ИЗГОТОВЛЕНИЯ РАЗОВОЙ ЛИТЕЙНОЙ ФОРМЫ 1.78 MB
  После затвердевания металла отливку выбивают из формы обрубывают литниковую систему очищают от пригара формовочной смеси и подвергают механической обработке для придания ей точных размеров. Поэтому в процессе изготовления литейной формы размеры ее полости должны быть увеличены...
69604. ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ПРОКАТКИ 1.43 MB
  Сущность прокатки заключается в пластическом деформировании нагретой за редким исключением холодной заготовки при пропускании ее между вращающимися валками в разные стороны реже в одну сторону. Зазор между валками должен быть меньше толщины заготовки.
69605. ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ВЫТЯЖКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО КОЕФФИЦИЕНТА ВЫТЯЖКИ 1.65 MB
  Цель, работы: Изучение способа превращения плоской или полой заготовки в открытое сверху полой изделие и знакомство с устройством штампа. Определение предельного коэффициента вытяжки для 1-й операции и максимально допустимого значения диаметра заготовки.
69606. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ СВАРНОГО ШВА ПРИ СВАРКЕ НАКЛОННЫМ ЭЛЕКТРОДОМ 1.95 MB
  Цель работы - ознакомиться с оборудованием поста механизированной сварки наклонным электродом и пучком электродов, выяснить влияние режима дуговой сварки наклонным электродом на изменение формы и размеров шва.