29534

ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы)

Лекция

Математика и математический анализ

63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .

Русский

2013-08-21

487.5 KB

7 чел.

PAGE 1

Практическое занятие: Тема: ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы).

  Для функции , заданной неявно уравнением  справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением  справедливы формулы:,, при условии.

  Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную  для функций , заданных неявно:

а)  ;        б) ;      в) ;   г) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а)                  если     ;    б)         если     .   

6.65 Найти частные производные  для функций  заданных неявно:

а) ;       б) ;      в) ;                    г)  

6.66 Найти дифференциал  функции  заданной неявно в указанной точке , если:

а) ;    б) .

6.67 Найти дифференциал  функции  заданной неявно, если:  а) ; б) .

  Для функции  производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где  - направляющие косинусы вектора .

  Скорость наибольшего изменения функции  по направлению  в точке  достигает наибольшего значения, если направление  совпадает с направлением , т.е. .

6.68 Найти производную  по направлению , , || в точке  для функций:

а) ,     ,  ;  б) ,  ,   ;

в) ,               ,   ; г) ,  ,  .

6.71 Найти в точке , если:  а) ,  ;       б) ,    .

  Частные эластичности функции  вычисляются по формулам: , . Частные эластичности ,  показывают приближённый процентный прирост  при изменении  и  на один процент, соответственно. Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов,  - объём трудовых ресурсов,  - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности   и  функций в указанных точках :   

а) , ;      б)  ,   .

6.78 Для заданных значений  и  найти эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;   2) ,, .

Экстремумы функций нескольких переменных

  Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…,. Достаточное условие экстремума. Функция  в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если  и ; 2) имеет минимум, если  и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 .         6.83.                   6.84 .     

6.85 .             6.86  .    6.87 .

6.88 ().  6.89                6.91 .                      6.93 .                  6.96 .    6.98 .

  Если функция  дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а)        ; б)        ;

         в)                       .

6.110 а)   ;    б)     ;

         в)                    .

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:    

а) площадь его поверхности равна S;      б) сумма длин его ребер равна a;   в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара   и  равны соответственно  и  ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах  и  продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:   а) , , ;           б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов  и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно  и  ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете  стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .   

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г).  6.64 а) , ; б) ,. 6.65 а),;  б) , ; в) ,  ; г), .  6.66 а), б). 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в)   . г). 6.71а), б) 6.77а) ; б). 6.78 1) ;  2) . 6.82    6.83 Экстремумов нет.  6.84   6.85   6.86  6.87  6.88   6.89   6.91   6.93 , 6.96 6.98    6.109 а) , ; б), ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , .  6.112 а)  б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113  6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед.  6.120  .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14485. Сотрудничество ЕС и РФ в сфере энергетики 291.5 KB
  Сотрудничество ЕС и РФ в сфере энергетики Энергетическое сотрудничество России ранее – Советского Союза и Европы ныне – Европейского союза имеет в новейшее время более чем 40летнюю историю. В 1960-1970е годы была создана разветвленная система трубопроводов соединивш
14486. Региональная политика ЕС в АТР (90-2000) 18.64 KB
  Региональная политика ЕС в АТР 90-2000 С усилением глобализационных процессов международные отношения стали переходить из двустронних на уровень интеграционных объединений. В АТР ядром интеграционных процессов является АСЕАН Ассоциация стран Юго-Восточной Азиии. След...
14487. Внешнеполитические интересы США в АТР 28.8 KB
  Внешнеполитические интересы США в АТР Современная внешняя политика Соединенных Штатов сориентирована в двух основных направлениях – €œатлантическом€ Европейский регион и €œтихоокеанском€ АзиатскоТихоокеанский мегарегион. Параллельно с традиционными €œатлант...
14488. Столкновение интересов США и КНР на глобальном и региональном уровне 24.54 KB
  Столкновение интересов США и КНР на глобальном и региональном уровне. Китай и США являются великими державами современности. Каждая из этих стран стремится увеличить своё влияние как на глобальном уровне так и в различных регионах. РЕГИОНАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Существует 2 ...
14489. Концепция Большого Ближнего Востока во внешней политике США 16.96 KB
  Концепция Большого Ближнего Востока во внешней политике США Географически под Большим Ближним Востоком подразумевалась обширная территория государств с преобладающим мусульманским населением: от Марокко до Пакистана включительно и от Турции до Судана. Заявленная це
14490. Стратегия нового Шелкового пути: проблемы и перспективы 30.66 KB
  Стратегия нового Шелкового пути: проблемы и перспективы Инициатива Новый Шелковый путь о которой Клинтон впервые объявила в своём выступлении в Ченнаи в Индии 20 июля 2011года предусматривает создание сети торговых и транспортных коридоров которые будут проходить че...
14491. Политика США в Центральной Азии. Концепция «Шелкового пути» 16.27 KB
  Политика США в Центральной Азии. Концепция Шелкового пути. В начале 90х США стали пытаться обособить страны ННГ новых независимых госв от России путем развития государственности и переориентации на запад. С 94г. Начинается освоение ЦА нефтедобывающими компаниями
14492. Политика США в Западном полушарии. Интеграционные проекты США 17.91 KB
  Политика США в Западном полушарии. Интеграционные проекты США Сложно выделить в истории Соединённых Штатов Америки такой период когда бы они не проявляли геополитического интереса в отношении своих ближайших соседей – латиноамериканских государств. Выразителем го...
14493. Арктическая политика США (90-е гг. XX в. - 10 -е гг. XXI в.) 18.12 KB
  Арктическая политика США 90е гг. XX в. 10 е гг. XXI в. Интересы США в Арктике можно сгруппировать в несколько блоков. Вопервых – военностратегические в том числе: ПРО и раннее предупреждение; развертывание наземных и морских систем для стратегической переброски; страт