29534

ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы)

Лекция

Математика и математический анализ

63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .

Русский

2013-08-21

487.5 KB

7 чел.

PAGE 1

Практическое занятие: Тема: ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы).

  Для функции , заданной неявно уравнением  справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением  справедливы формулы:,, при условии.

  Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную  для функций , заданных неявно:

а)  ;        б) ;      в) ;   г) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а)                  если     ;    б)         если     .   

6.65 Найти частные производные  для функций  заданных неявно:

а) ;       б) ;      в) ;                    г)  

6.66 Найти дифференциал  функции  заданной неявно в указанной точке , если:

а) ;    б) .

6.67 Найти дифференциал  функции  заданной неявно, если:  а) ; б) .

  Для функции  производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где  - направляющие косинусы вектора .

  Скорость наибольшего изменения функции  по направлению  в точке  достигает наибольшего значения, если направление  совпадает с направлением , т.е. .

6.68 Найти производную  по направлению , , || в точке  для функций:

а) ,     ,  ;  б) ,  ,   ;

в) ,               ,   ; г) ,  ,  .

6.71 Найти в точке , если:  а) ,  ;       б) ,    .

  Частные эластичности функции  вычисляются по формулам: , . Частные эластичности ,  показывают приближённый процентный прирост  при изменении  и  на один процент, соответственно. Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов,  - объём трудовых ресурсов,  - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности   и  функций в указанных точках :   

а) , ;      б)  ,   .

6.78 Для заданных значений  и  найти эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;   2) ,, .

Экстремумы функций нескольких переменных

  Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…,. Достаточное условие экстремума. Функция  в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если  и ; 2) имеет минимум, если  и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 .         6.83.                   6.84 .     

6.85 .             6.86  .    6.87 .

6.88 ().  6.89                6.91 .                      6.93 .                  6.96 .    6.98 .

  Если функция  дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а)        ; б)        ;

         в)                       .

6.110 а)   ;    б)     ;

         в)                    .

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:    

а) площадь его поверхности равна S;      б) сумма длин его ребер равна a;   в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара   и  равны соответственно  и  ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах  и  продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:   а) , , ;           б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов  и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно  и  ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете  стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .   

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г).  6.64 а) , ; б) ,. 6.65 а),;  б) , ; в) ,  ; г), .  6.66 а), б). 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в)   . г). 6.71а), б) 6.77а) ; б). 6.78 1) ;  2) . 6.82    6.83 Экстремумов нет.  6.84   6.85   6.86  6.87  6.88   6.89   6.91   6.93 , 6.96 6.98    6.109 а) , ; б), ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , .  6.112 а)  б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113  6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед.  6.120  .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71339. ГІСТОРЫЯ БЕЛАРУСІ 1.83 MB
  «Гiсторыя» – у перакладзе з грэчаскай мовы – апавяданне аб мiнулых падзеях. Яе заснавальнікам лічыцца Герадот (484–425 гг. да н. э.). Яна вывучае ход i заканамернасцi развiцця чалавечага грамадства ў мiнулым. Аб’ектам яе пазнання з’яўляецца працэс і вынікі жыццядзейнасці людзей у сацыяльнай, матэрыяльнай і духоўнай сферах.
71340. СССР В ПЕРИОД ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЫ 143 KB
  Основное население страны планировалось превратить в рабов, а саму Россию – в аграрно-сырьевой придаток Запада. Такие планы не оставили народу другой альтернативы, кроме борьбы. В этой войне речь шла не столько о борьбе нацизма и большевиков, сколько о судьбе российской государственности.
71341. Начало царствования Ивана IV. Реформы Избранной рады 76.5 KB
  На долю сына Ивана III Василия III (1505-1533) досталась нелегкая задача завершить начатое отцом объединения страны. И он блестяще осуществил эту задачу. Именно при нем были присоединены к Москве Псков, Смоленск и Рязанское княжество (завершение объединения русских земель).
71342. Понятие МЧП 204 KB
  МЧП -– система правовых норм регулирующая отношения вытекающие из гражданского оборота носящие интернациональный характер в которой одной из сторон является лицо попадающее под действие частного права. МЧП –- комплексная правовая система объединяющая нормы национального...
71343. Восточные славяне в древности 1 MB
  В СССР речь шла о возобновлении индустриализации начавшейся еще в царской России. Каковы были цели индустриализации 1 Преодоление технико-экономической отсталости СССР; 2 Ликвидация отсталости аграрного сектора экономики; 3 Превращение страны из аграрной в индустриальную...
71344. Восток — Запад — Россия. Зарождение и развитие мировой экономики 211 KB
  Отличительной чертой такого подхода стала углубленная характеристика не только экономических, но и социальных отношений в обществе в разные исторические периоды. Историко-хронологический и технологический подходы дают возможность обобщить социально-экономический опыт человеческой цивилизации...
71346. Периферийные устройства ЭВМ 1.1 MB
  Учебное пособие «Администрирование локальных вычислительных сетей» по дисциплине ЭВМ и телекоммуникации» предназначено для студентов Псковского государственного политехнического института специальности 220100 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети очно-заочной форм обучения.