29534

ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы)

Лекция

Математика и математический анализ

63 Найти производную для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г .64 Найти производные указанного порядка для функций заданных неявно: а если ; б если .65 Найти частные производные для функций заданных неявно: а ; б ; в ; г 6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке если: а ; б .

Русский

2013-08-21

487.5 KB

7 чел.

PAGE 1

Практическое занятие: Тема: ФНП (неявная производная, градиент, производная по направлению, эластичность, локальные и глобальные экстремумы).

  Для функции , заданной неявно уравнением  справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением  справедливы формулы:,, при условии.

  Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную  для функций , заданных неявно:

а)  ;        б) ;      в) ;   г) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а)                  если     ;    б)         если     .   

6.65 Найти частные производные  для функций  заданных неявно:

а) ;       б) ;      в) ;                    г)  

6.66 Найти дифференциал  функции  заданной неявно в указанной точке , если:

а) ;    б) .

6.67 Найти дифференциал  функции  заданной неявно, если:  а) ; б) .

  Для функции  производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где  - направляющие косинусы вектора .

  Скорость наибольшего изменения функции  по направлению  в точке  достигает наибольшего значения, если направление  совпадает с направлением , т.е. .

6.68 Найти производную  по направлению , , || в точке  для функций:

а) ,     ,  ;  б) ,  ,   ;

в) ,               ,   ; г) ,  ,  .

6.71 Найти в точке , если:  а) ,  ;       б) ,    .

  Частные эластичности функции  вычисляются по формулам: , . Частные эластичности ,  показывают приближённый процентный прирост  при изменении  и  на один процент, соответственно. Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов,  - объём трудовых ресурсов,  - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности   и  функций в указанных точках :   

а) , ;      б)  ,   .

6.78 Для заданных значений  и  найти эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;   2) ,, .

Экстремумы функций нескольких переменных

  Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…,. Достаточное условие экстремума. Функция  в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если  и ; 2) имеет минимум, если  и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 .         6.83.                   6.84 .     

6.85 .             6.86  .    6.87 .

6.88 ().  6.89                6.91 .                      6.93 .                  6.96 .    6.98 .

  Если функция  дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а)        ; б)        ;

         в)                       .

6.110 а)   ;    б)     ;

         в)                    .

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:    

а) площадь его поверхности равна S;      б) сумма длин его ребер равна a;   в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара   и  равны соответственно  и  ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах  и  продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:   а) , , ;           б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов  и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно  и  ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете  стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .   

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г).  6.64 а) , ; б) ,. 6.65 а),;  б) , ; в) ,  ; г), .  6.66 а), б). 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в)   . г). 6.71а), б) 6.77а) ; б). 6.78 1) ;  2) . 6.82    6.83 Экстремумов нет.  6.84   6.85   6.86  6.87  6.88   6.89   6.91   6.93 , 6.96 6.98    6.109 а) , ; б), ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , .  6.112 а)  б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113  6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед.  6.120  .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65571. ВІКТИМОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ БОРОТЬБИ ЗІ ЗЛОЧИННІСТЮ У МІСЦЯХ ПОЗБАВЛЕННЯ ВОЛІ 180.5 KB
  В установах виконання покарань УВП Державної кримінальновиконавчої служби ДКВС України було зареєстровано більше 400 злочинів до 8 яких із загальної кількості були пов’язані з насильницькими діями щодо засуджених із боку інших осіб убивства нанесення...
65572. Розвиток сільськогосподарської дослідної справи з польового кормовиробництва в Україні (30-ті роки – кінець ХХ століття) 180 KB
  Основою продовольчої безпеки та державності України повинно стати високоефективне, збалансоване сільське господарство, яке забезпечуватиме виробництво продуктів харчування в обсягах достатніх для потреб населення країни та формування необхідного експортного потенціалу.
65573. ЯБЛУНЕВИЙ КВІТКОЇД У СХІДНОМУ ЛІСОСТЕПУ УКРАЇНИ. БІОЛОГІЯ, ЕКОЛОГІЯ І УДОСКОНАЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ ІНТЕГРОВАНОГО ЗАХИСТУ 458.5 KB
  Метою досліджень було уточнення видового складу садових довгоносиків біології та екології яблуневого квіткоїда встановлення динаміки його чисельності та шкідливості у східному Лісостепу України а також удосконалення елементів інтегрованого захисту яблуні у промислових насадженнях для отримання високого врожаю.
65574. ЗАКОНОМІРНОСТІ ТЕПЛО-МАСООБМІННИХ ПРОЦЕСІВ ТА УДОСКОНАЛЕННЯ ГАЗОГЕНЕРАТОРУ ВИРОБНИЦТВА ВОДНЮ З ВОДИ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ СПЛАВІВ 537 KB
  Розширення сфер застосування водню пов’язують з якісними змінами що відбуваються у даний час в хімічній машинобудівній металургійній промисловості та енергетиці. На даний момент сировиною для отримання водню є вуглеводні.
65575. ВПЛИВ ГЕОДИНАМІЧНИХ ЗОН ВУГЛЕНОСНОЇ ТОВЩІ НА ФОРМУВАННЯ ГЕОЛОГО-ЕКОЛОГІЧНИХ УМОВ ПРИ ЛІКВІДАЦІЇ ШАХТ 1.6 MB
  Разом з тим, при вирішенні такої актуальної проблеми вуглевидобувних регіонів України, як достовірне прогнозування негативних геолого-екологічних явищ і процесів, обумовлених ліквідацією шахт, подібні дослідження не отримали широкого поширення.
65576. ПЕДАГОГІЧНІ УМОВИ ФОРМУВАННЯ ДИДАКТИЧНОЇ КОМПЕТЕНТНОСТІ МАЙБУТНІХ ВИКЛАДАЧІВ ВИЩИХ АГРАРНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ 213.5 KB
  Потреба в удосконаленні дидактичної компетентності власної педагогічної майстерності. Зовнішній чинник: потреба ВНЗ у викладачах з високим рівнем педагогічної майстерності Мета: сформувати дидактичну компетентність майбутніх викладачів аграрних ВНЗ Методологічні підходи...
65577. КОМП’ЮТЕРИЗОВАНА СИСТЕМА КОМЕРЦІЙНОГО ОБЛІКУ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ЇЇ МЕТРОЛОГІЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ 531 KB
  Зі створенням Оптового Ринку Електричної Енергії що складається з незалежних акціонерних компаній державні електричні компанії та державні акціонерні електричні компанії незалежного регулюючого органу Національна комісія з питань регулювання електроенергетики України...
65578. РЕГІОНАЛЬНІ ОСОБЛИВОСТІ РОЗВИТКУ ТРАНСКОРДОННОГО СПІВРОБІТНИЦТВА 536.5 KB
  Сучасний період світової історії що характеризується новітніми тенденціями євроінтеграції та глобалізації відзначився новим поглядом країн на потреби особливості та потенціал розвитку своїх територій.
65579. СИСТЕМА ПІДТРИМКИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦІЇ ПРОЦЕСУ КЕРУВАННЯ РУХОМ ДИЗЕЛЬ-ПОЇЗДА 297 KB
  Тому розробка з метою автоматизації процесів керування системи підтримки прийняття рішень для машиніста дизельпоїзда вітчизняного виробництва з новим тяговим електроприводом на основі асинхронних двигунів є безсумнівно актуальним завданням що визначає напрямок...