29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61083. Проблеми довкілля (Environment and Greener Living). Захист довкілля 75.5 KB
  Today we’re starting a new unit in which we’ll continue talking about our planet but in some different aspects. In this unit we’re going to discuss the problems of pollution of the environment and the ways to protect it from pollution.
61084. Производство розовых вин 1.2 MB
  Розовые вина никогда не получают методом смешения белого и красного вин, за исключением розового шампанского. Точнее, вино, полученное смешением красного и белого, не считается натуральным розовым вином.
61085. СЛОВОСПОЛУЧЕННЯ. БУДОВА Й ВИДИ СЛОВОСПОЛУЧЕНЬ ЗА СПОСОБОМ ВИРАЖЕННЯ ГОЛОВНОГО СЛОВА 953 KB
  Мета: поглибити знання восьмикласників про словосполучення його будову; формувати загальнопізнавальні вміння знаходити прості й складні словосполучення розрізняти лексичні й фразеологічні словосполучення...
61086. Рисуем пейзаж 2.32 MB
  На этом слое наносим сетку на наш лист с помощью. Они оказываются каждое на своем слое. На новом слое который должен быть расположен под сеткой и стволами заливаем землю травяным цветом под линию горизонта...
61087. Основні види складнопідрядних речень. Розрізнення сполучників і сполучних слів 45.5 KB
  Мета: поглибити знання учнів про особливості будови складнопідрядного речення засоби звязку в ньому; ознайомити девятикласників з основними видами складнопідрядних речень; навчити розрізняти сполучники підрядності й сполучні слова...
61088. ВИДИ РЕЧЕНЬ ЗА МЕТОЮ ВИСЛОВЛЮВАННЯ. ОКЛИЧНІ РЕЧЕННЯ. РОЗДІЛОВІ ЗНАКИ В КІНЦІ РЕЧЕННЯ 53 KB
  Мета: повторити й узагальнити поняття про види речень за метою висловлювання про окличні речення; розвивати організаційноконтрольні вміння організовувати спеціальні спостереження над мовним матеріалом...
61089. Складнопідрядні речення з підрядними означальними 60 KB
  Мета: поглибити знання девятикласників про складнопідрядне речення його будову і засоби звязку; навчити визначати підрядну означальну частину її позицію відповідно до головної частини...
61090. Рисуем древесину. Она нам понадобиться в следующем уроке 333.5 KB
  Удерживайте кнопку Shift чтобы провести ровные линии. Когда переходите к новой линий Shift отпускаете иначе вы будете соединять линии между собой. Проделаем все то же самое еще инструментом осветление линии чтобы темные и белые линии чередовались слегка накладываясь.
61091. УСНИЙ ТВІР-ОПИС МІСЦЕВОСТІ (ВУЛИЦІ, СЕЛА, МІСТА) НА ОСНОВІ ОСОБИСТИХ СПОСТЕРЕЖЕНЬ І ВРАЖЕНЬ У ХУДОЖНЬОМУ СТИЛІ 108.5 KB
  Назвати обєкти що входять до опису місцевості. Формування практичних умінь опису місцевості Прочитати зразок текстуопису місцевості. Підготувати розповідь увівши в неї опис місцевості відповідно до запропонованої ситуації спілкування.