29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33950. Сущность статистического показателя, его атрибуты. Классификация статистических показателей 13.1 KB
  По качественной стороне выделяют: Показатели свойств конкретных объектов – их особенность состоит в том что их качественное содержание определяется предметной наукой. Показатели статистических свойств могут быть определены для любых массовых процессов и явлений. К таким показателям относят: средние величины показатели вариаций показатели связей. В этом отношении все показатели подразделяются на: абсолютные отражают физические размеры изучаемых статистических явлений или процессов а именно:их массу площадь объем протяженность ит.
33951. Абсолютные показатели 11.52 KB
  Абсолютные показатели могут быть только именованными числами где единица измерения выражается в конкретных цифрах. В зависимости от сущности исследуемого явления и поставленных задач единицы измерения могут быть натуральными условнонатуральными стоимостными и трудовыми. Натуральные единицы измерения соответствуют потребительским или природным свойствам товара или предмета и оцениваются в физических мерах массы длины объема килограмм тонна метр и т. Стоимостные единицы измерения оценивают социальноэкономические процессы и явления в...
33952. Относительные показатели 12.11 KB
  Относительные величины используемые в статистической практике: относительная величина структуры; относительная величина координации; относительная величина планового задания; относительная величина выполнения плана; относительная величина динамики; относительная величина сравнения; относительная величина интенсивности.
33953. Определение и формы выражения относительных показателей 11.17 KB
  Определение и формы выражения относительных показателей Относительные показатели представляют собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражают соотношение между количественными характеристиками соц. Поэтому по отношению к абсолютным показателям относительные показатели являются производными вторичными. составляют относительные величины интенсивности.
33954. ДИВЕРТИКУЛ МЕККЕЛЯ 22 KB
  его стенка содержит все слои кишки. Клиническая картина В 95 случаев протекает бессимптомно Клиническая картина возникает при присоединении осложнений У детей возникает пептическое изъязвление близлежащей слизистой оболочки подвздошной кишки что нередко является причиной массивного кишечного кровотечения У взрослых Острый дивертикулит. Если в ходе операции обнаружен интактный червеобразный отросток необходима ревизия подвздошной кишки примерно на протяжении 100 см от илеоцекального угла Непроходимость кишечника вследствие...
33956. Механическая кишечная непроходимость. Классификация. Этиология. Патогенез. Клиника. Дифдиагноз и лечение. Причины смерти при механической непроходимости 46.5 KB
  Причины смерти при механической непроходимости. К сочетанной механической непроходимости кишечника относят инвагинацию внедрение одной кишки в другую. При этом подчеркивается только этиологический момент возникновения непроходимости наличие спаек в брюшной полости которые могут быть результатом хирургических вмешательств или воспалительных заболеваний органов брюшной полости. При острой обтурационной непроходимости в кишках выше места препятствия начинают скапливаться...
33957. АБСЦЕСС ПОДДИАФРАГМАЛЬНЫЙ 23.5 KB
  При расположении абсцесса близко к передней брюшной стенке болевой синдром более выражен Тошнота икота Вынужденное положение больного на спине на боку или полусидя Температурная кривая носит гектический характер Озноб потливость При длительном течении пастозность кожи выбухание межрёберных промежутков в зоне локализации абсцесса обычно IXXI справа Тахикардия Одышка При пальпации ригидность мышц верхних отделов брюшной стенки и болезненность по ходу межрёберных промежутков Симптомы раздражения брюшины как правило...
33958. Организация труда исследователя 58.5 KB
  Правильная организация труда исследователя является одним из важнейших условий эффективности НИР и успешно завершения предпринятого исследования. Научное творчество - это своеобразный и очень сложный вид человеческой деятельности. Немало специальных исследований и книг посвящены вопросам организации труда исследователя.