29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4189. Теория длинных волн Н.Д. Кондратьева 127.5 KB
  Введение. Я выбрала курсовую работу по теме: Теория длинных волн Н.Д. Кондратьева. Эта тема меня заинтересовала тем, что во-первых, спады и подъемы в экономической жизни любой страны всегда наблюдались и наблюдаются в наши дни. Мне захотелось самой...
4190. Предмет исследования экономической теории и ее функции 43.73 KB
  Введение Первым поводом к изучению экономической теории является то, что эта теория дело с такими проблемами, которые касаются нас всех без исключения: какие виды работ нужно выполнять Как они оплачиваются сколько товаров можно купить на доллар за...
4191. Методы нормирования оборотных средств предприятия 64 KB
  Введение Каждое предприятие, начиная свою производственно-хозяйственную деятельность, должно располагать определённой денежной суммой. На эти денежные ресурсы предприятие закупает на рынке или у других предприятий по договорам сырьё, материалы, топл...
4192. Концепции современного естествознания. Теория большого взрыва 140.5 KB
  Сценарий Большого взрыва Как и любая схема, претендующая на объяснение данных о спектре микроволнового космического излучения, химического состава догалактического вещества и иерархии масштабов космических структур, стандартная модель эволюции Вселе...
4193. Классный час. О чем поют птицы. Экологическая беседа 622.5 KB
  Цель: развивать у детей интерес к жизни птиц, в частности, к их голосам формировать умение вслушиваться в их звуковые сигналы воспитывать любовь к природе, бережное заботливое отношение к птицам. Оборудование: запись «Голоса птиц», таблицы с изобр...
4194. Табличний процесор Excel 667 KB
  Табличний процесор Excel Мета: Нагадати і закріпити принципи обробки даних, принципи побудови діаграм і графіків, принципи систематизації та аналізу даних, поданих у таблиці, розвивати вміння використовувати електронні таблиці в навчальній діяльност...
4196. Манифест коммунистической партии 71.38 KB
  Манифест коммунистической партии Призрак бродит по Европе - призрак коммунизма. Все силы старой Европы объединились для священной травли этого призрака: папа и царь, Меттерних и Гизо, французские радикалы и немецкие полицейские. Где та оппозиционная...
4197. Программное обеспечение сетей 19.38 KB
  Программное обеспечение сетей Виртуальная машина — программная и/или аппаратная система, эмулирующая аппаратное обеспечение некоторой платформы и исполняющая программы для этой платформы (target — целевая или гостевая платформа) на другой ...