29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40538. Аффиксация как грамматический способ, типы аффиксов 27.5 KB
  Бопп склеивание 1 Индоевропейская семья 1 Тюркская финноугорская семья кавказские языки 2 Аффиксы многозначны 2 Аффиксы однозначны. 3 Аффиксы нестандартны 3 Аффиксы стандартны 4 Без аффиксов слово не является оформленным 4 Без аффиксов слово может функционировать 5 Аффиксы сливаются с корнем хорошо видно на фонетическом уровне 5 Морфемный шов четко виден В русском языке агглютинирующий аффикс – постфикс ся Классификация аффиксов: по положению относительно корня: префиксы постфиксы по значению обычно постфиксы: ...
40539. Баски 33.5 KB
  Vscones о чем свидетельствует обилие имен собственных баскского происхождения в этом районе. Праязыком баскского является аквитанский в котором было насчитано 400 имён собственных и 70 богословных названий. Не увенчались успехом попытки установления родства баскского языка с кавказскими хамитскими и дравидийскими языками с лигурским и тем более японским. Французский филолог принц ЛуиЛюсьен Бонапарт 1813–1891 выделил следующие диалекты баскского языка: бискайский гипускоанский южный и северный варианты верхненаваррского...
40540. Генеалогическая классификация языков. Структура индоевропейской языковой семьи. Важнейшие языковые семьи 22 KB
  Генеалогическая классификация языков. Генеалогическая классификация – изучение и группировка языков мира на основании определения родственных связей между ними отнесения их к одной семье группе т.
40541. Грамматические способы в языках мира (кроме аффиксации) 29.5 KB
  Полное или частичное повторение корня основы или целого слова возможно изменение звукового состава. Супплетивизм – использование разнокоренных слов разноосновных для образования нового слова лексическое значение не меняется. формы степени сравнения: хороший лучше виды глагола: брать взять временные формы: быть буду был формы местоимений: я меня мною формы числа: человек люди Способ ударения – образует формы слова передвижением ударения. Служебные слова: предлоги союзы частицы артикли: признак имени...
40542. Предмет фонетики. Три аспекта изучения звуков речи. Акустические свойства звуков речи 11.08 KB
  Свойства звуковой волны: высота звука – частота колебаний в единицу времени Гц. сила – амплитуда колебаний. тон – результат периодических ритмических колебаний. шум – результат непериодических ритмических колебаний.
40544. Лексико-семантическая система языка, ее организация и особенность изменения. Фразеологизмы 12.09 KB
  Слова любого языка – упорядоченное явление. Система основана на разных типах отношений между словами: экстралингвистические факторы машина велосипед – агрегаты для перемещения внутрилингистическое единство. Важные лексические группировки слов: тематические группы слов семантические поля – на основе экстралингвистических связей. Гипоним – слово обозначающее подчиненное понятие Гипероним – слово обозначающее более общее понятие.
40545. Словосочетание как единица синтаксиса. Классификация словосочетаний по разным признакам 13.29 KB
  Словосочетание – типовое соединение словоформ синтаксическая конструкция которая образуется соединением двух или более знаменательных слов на основе подчинительной связи. По виду связи: согласование – вид подчинительной связи при котором форма зависимого слова повторяет форму стержневого проявляет те же грамматические категории. управление – вид подчинительной связи при котором форма зависимого компонента определяется свойствами главного слова. примыкание – вид подчинительной связи при котором не используются специальные средства...
40546. Грамматическая форма, грамматическое значение и грамматическая категория как основные понятия морфологии 11.58 KB
  Грамматическая форма грамматическое значение и грамматическая категория как основные понятия морфологии. Грамматическое значение – общее отвлеченное свойственное многим словам значение в отличие от лексического относит данную словоформу к определенному грамматическому классу. Каждая морфема несет какоелибо грамматическое значение. Стол’икам Стол’ – корень передает вещественное значение.