29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45998. СЕРТИФІКАЦІЯ СИСТЕМ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЯКОСТІ 120.5 KB
  Зміни стосовно впровадження систем якості в Україні відбиваються у кількісній формі: підприємств, які бажають проводити роботи з сертифікації систем якості, вже сотні, а не одиниці, як це було раніше. Проте Україна значно відстає від розвинених держав
45999. Эффективный диаметр молекул 266 KB
  Молекулы газов – это, как правило, нейтральные частицы. Но в своем составе они содержат атомы, в которых есть и положительные и отрицательные заряды. Поэтому при приближении двух молекул друг к другу начинает все больше сказываться электростатическое отталкивание.
46002. Коммуникационный менеджмент организации: цели, функции, структуры, процессы, управление 31 KB
  Коммуникационный менеджмент организации: цели функции структуры процессы управление. Коммуникации в организации. Коммуникация это функция управления позволяющая при помощи правильно организованной передачи информации обеспечить надежное соединение всех звеньев предприятия и их взаимодействие Коммуникационный менеджмент – теория и практика управления социальными коммуникациями как внутри организации так и между организацией и ее средой с целью проведения оптимально благоприятных для организации коммуникационных процессов...
46003. Значение конкуренции в современной экономике 28 KB
  Значение конкуренции в современной экономике. Основными методами конкуренции являются: повышение качества продукции снижение цен война цен реклама развитие до и послепродажного обслуживания создание новых товаров и услуг с использованием достижений НТР и т. конкуренции: активизация инновационного процесса гибкое приспособление к спросу высокое качество продукции высокая производительность труда минимум издержек реализация принципом оплаты по количеству и качеству труда возможность регулировки со стороны государства....
46005. Особенности работы PR-структур в условиях кризиса 59.5 KB
  Особенности работы PRструктур в условиях кризиса. Для этого в компании должен быть заранее подготовленный список возможных проблем и план действий в случае кризиса. Особенности работы PRструктур в условиях кризиса. Блэку – проанализировать все возможные источники и направления развития кризиса в зависимости от того чем занимается ваша организация в какой среде находится кто её конкуренты и проч.