29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3978. Система спутникового телевизионного вещания 326.67 KB
  Системы спутникового телевизионного вещания начали интенсивно развиваться с начала девяностых годов. Передаваемые ретранслятором геостационарного спутника телевизионные сигналы предназначены для непосредственного приема на сравнительно простые и недорогие установки (тюнеры)...
3979. Структура файлу boot.ini 319.29 KB
  Лабораторна робота № 2 (домашня) З дисципліни системне програмне забезпечення. Тема роботи: Файл boot.ini Мета роботи: Вивчити структуру файлу boot.ini, призначення його параметрів, навчитись редагувати даний файл Характеристика робочого місця (за...
3980. Простий Java клієнт до бази даних 316.35 KB
  Лабораторна робота №10 (Простий Java клієнт до бази даних) Тема роботи: Простий Java клієнт до бази даних. Мета роботи: В даній роботі ми створимо простий клієнт до бази даних. План роботи. Створити БД Налаштувати драйвер доступу до Б...
3981. Етика та естетика. Конспект лекцій 306.32 KB
  Упровадження курсу Етика та естетика. як нормативної складової освітньо-професійної підготовки менеджерів, пов’язано з необхідністю поєднання майбутньою управлінською елітою України специфічних професійних умінь із знаннями спадщини світової етичної та естетичної думки.
3982. Аналитическая геометрия в пространстве 305.5 KB
  Лекция Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка M0(x0, y0, z0) и ненулевой вектор n (A ...
3983. Построение выборочной функции распределения средствами Excel 299.2 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ПОСТРОЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВАМИ EXCEL. Чаще всего на практике закон распределения обычно неизвестен, или известен с точностью до некоторых неизвестных параметров. В частности, невозможно рассчитать точ...
3984. Дополнительное сетевое оборудование 292.15 KB
  Дополнительное сетевое оборудование Интеллектуальный концентратор Интеллектуальный концентратор (ИК) имеет некоторые преимущества перед АиПК (активные и пассивные концентраторы). Дополнительно к свойствам и функциям, доступным обычным...
3985. Fat Content Determination during Milk Standardization using Density 288.12 KB
  Process Application Note Fat Content Determination during Milk Standardization using Density 1. Introduction Milk is a very complex food with over 100.000 different molecular species found. There are many factors that affect the composition of raw m...
3986. Знайомство з динамічними масивами 273.57 KB
  Лабораторна робота №6 (Знайомство з динамічними масивами) Тема роботи: Знайомство з динамічними масивами. Мета роботи: Навчитися писати програми з використанням динамічних масивів. План роботи. Ознайомитися з інтерфейсами та їх влас...