29535

ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость)

Лекция

Математика и математический анализ

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

Русский

2013-08-21

418.5 KB

3 чел.

PAGE 2

Практическое занятие: Тема: ФНП (производная сложной функции, условные экстремумы, касательная плоскость и нормаль, выпуклость).

Для функции  справедливы формулы:   , где ;   ,  где ;

, ,  где , .

6.56 Найти  если: а) ,  где ;     б) ,  где ;

                                        в) ,          где ;        г) ,   где .

6.57 Найти , если    

а) , где ;       б) ,  где .

6.58 Найти  и , если: а) ,   где ;      б) ,       где ;

                                               в) ,   где ;                        г) ,   где .

6.59 Найти ,, если: а), где ; б)где .

6.60 Найти , если: а)  где ;  б)  где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям:

а) ,   ;                                                     б) ,   ;

Некоторые приложения частных производных.

  Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид: ,    а уравнение нормали – вид:  .

  В случае задания поверхности  неявным уравнением :  - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  и  - уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:        а) ;                                            б) ;

                               в) ;                                г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке  к следующим поверхностям:     а) ;                         б) ;        

                            в) ;                                          г) .

6.74 Для поверхности  найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости  

  Множество точек  называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками ,, оно содержит и отрезок . Матрица  называется матрицей Гессе функции  в точке .

  Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве  функция  является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если  при всех ; 2) выпуклой вверх, если  при всех . Если на множестве  матрица Гессе  функции знакопеременна, то  на этом множестве выпуклой не является. Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

        а) ;          б) ;          в) ;          г) .

  Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа  ,   где  () –постоянные множители Лагранжа.

  Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции  при наличии уравнений связи  () , то в точке  выполняются условия  .

  Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

  Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа. В частности, для функции  исследуется знак  при условии.

  Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям  () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке  функция  имеет условный максимум; 2) , то в точке  функция имеет условный минимум; 3)  принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке  функция  не имеет условного экстремума.

    В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101                 при  .              6.102           при   .   

6.103      при   .            6.104             при   .

6.105          при    .                  6.106     при   .

ОТВЕТЫ: 6.56 а) ;  б) ; в) ; г).

6.57 а) .  б)   6.58  а)  ,    

 б) ,   в),   

г),.  6.59 а)    

б) , .  6.60а) б)  

6.72 а); , б); .

в) ; . г) ; . 6.73 а) ; .  б) ;  , в) ; , г) ; .  6.74  6.76 а) Выпукла вниз; б) выпукла вверх; в) невыпукла; г) выпукла вниз. 6.101  6.102  6.103 ,  6.104 ,  6.105   6.106 ,       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44360. Финансовое право. Н.М. Погребной 912.5 KB
  Данное учебное пособие написано с целью оказания учебно-методической помощи студентам и другим заинтересованным лицам при изучении ими основных положений по финансовому праву. Разработанный материал позволит студентам использовать его в ходе лекционных занятий, при подготовке к семинарским, практическим занятиям, при написании курсовых работ и подготовке к экзаменам.
44361. Выбор микропартикулята сывороточных белков для замены жиросодержащих компонентов плавленого сыра и диетической соли взамен поваренной 9.67 MB
  Сыродельные предприятия располагают значительными резервами подсырной сыворотки, которая практически не используется в производстве натуральных сыров. Переработка сыворотки осуществляется по двум основным направлениям: первое- использование сыворотки натуральной в сгущенном или сухом виде
44362. Проектирование полупроводникового преобразователя электрической энергии 2.73 MB
  Минимальный угол открывания слишком большой получение необходимого напряжения за счёт увеличения угла α при отсутствии трансформатора приводит к большим пульсациям тока нагрузки и теряет смысл применение многопульсных схем то питание схемы будем осуществлять через трансформатор. Расчет трансформатора Найдем требуемое значение фазного напряжения вторичной обмотки трансформатора по...
44363. ОСОБЕННОСТИ ХИМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ АТОМАРНОГО КИСЛОРОДА И ВОДОРОДА 229.5 KB
  Разделить модификации водорода можно адсорбцией на активном угле при температуре жидкого азота. При очень низких температурах равновесие между ортоводородом и параводородом почти нацело сдвинуто в сторону последнего. При 80 К соотношение форм приблизительно...
44364. Технологія будівельного виробництва. Методичні вказівки 234 KB
  Склад робіт по винесенню проекту в натуру: складання схеми розбивки траси і рекогносцировці дільниці; винесення вісі колектора та двох крайніх дрен паралельних; одноразовий вимір та провіжування вісей колектора та двох крайніх дрен; провіжування вісей проміжних дрен з лінійним проміром по створах віх на крайніх дренах; висотна привязка нульового пікету колектора або одиничної дрени; Винос в натуру вісі колектора або одиночної дрени виконується за допомогою теодоліта і мірної стрічки від траси провідної мережі вищого порядку і...
44365. Основные понятия теории информации применительно к автоматизированному управлению в энергосистемах 115 KB
  Энергосистема - сложный объект, и управление ею может быть эффективным лишь при наличии автоматизированной системы диспетчерского управления (АСДУ). Под АСДУ понимается человеко-машинная система, обеспечивающая автоматизированный сбор и обработку оперативно-диспетчерской (ОДИ)
44366. Выбор и обоснование оптимальной схемы доставки груза из Западно – Сибирского региона до речного порта Якутск 2.98 MB
  Правила перевозок грузов в прямом смешанном сообщении. Динамика перерабатываемых грузов ООО Речной порт Якутск. А все они преследуют одну цель максимальное удовлетворение потребности народного хозяйства в перевозках грузов и пассажиров при сокращении издержек транспортных и ускорении их доставки в пункт назначения. Для комплексного развития и эксплуатации всех видов транспорта необходимо не только определить общую потребность страны в грузовых и пассажирских перевозках но и распределить их между видами транспорта и отдельными...
44367. Стрелково-пушечное вооружение в условиях воздействия сплошного спектра термомеханических нагрузок 2.82 MB
  От этих немаловажных факторов и зависит его работоспособность ведь если не осмотреть и не проверить то можно пойти в бой с неисправным вооружением а если не почистить и не смазать после применения это может привести к коррозии а в свою очередь к заклиниванию частей и механизмов. Продукты коррозии загрязняют детали снижают механические характеристики и портят внешний вид вооружения. Существует некоторая критическая относительная влажность воздуха выше которой при прочих равных условиях наступает резкое возрастание коррозии металла....
44368. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ КРЕДИТНЫМ РИСКОМ (НА ПРИМЕРЕ «ВТБ 24» (ЗАО)) 1008 KB
  За счет этого источника формируется основная часть чистой прибыли отчисляемой в резервные фонды и идущей на выплату дивидендов акционерам банка. Средства банка формируются за счет клиентских денег на расчетных текущих срочных и иных счетах; межбанковского кредита; средств мобилизованных банком во временное пользование путем выпуска долговых ценных бумаг и т. Кредит стал основой банковского дела и базисом по которому судили о качестве и о работе банка. Особого внимания заслуживает процесс управления кредитным риском потому что от его...