29541

Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции т. Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему часто более простому способу вычисления её производной: . Например для степеннопоказательной функции где дифференцируемые функции: . Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения линейного относительно где рассматривается как сложная функция переменной .

Русский

2013-08-21

374.5 KB

29 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков.

  Логарифмической производной функции  называется производная от логарифма этой функции, т.е. .

  Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции , где , - дифференцируемые функции:  .

В задачах 5.50-5.59 найти производные функций, используя предварительное логарифмирование:

5.50 .   5.51 .   5.52 .   5.53 .   5.54 .   5.55.  

5.56.      5.57.      5.58.          5.59 .

Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

  Если дифференцируемая функция  задана неявно уравнением , то производная  этой неявной функции может быть найдена из уравнения , линейного относительно , где -рассматривается как сложная функция переменной .

  Если  и -взаимно обратные дифференцируемые функции и , то справедлива формула:   (правило дифференцирования обратной функции).

  Если дифференцируемая функция  задана параметрически: ,  , где , -дифференцируемые функции и , то справедлива формула: .

В задачах 5.60-5.64 для функций , заданных неявно, найти

5.60 .       5.61.       5.62 .        5.63 .

5.64 .

В задачах 5.65-5.71 для функций , заданных параметрически, найти

5.65 .                     5.66 .                   5.67 .   

5.68.                                      5.69 .  

5.70   .          5.71 .

Производные высших порядков.

  Производной 2-ого порядка от функции  называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка  (-ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. . Для производной  используется также обозначение .

  Производная  функции  находится её последовательным дифференцированием: , ,…,. Если функция  задана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:      , ,….

В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций:

5.72 .    5.73 .   5.74 .    5.75 .   5.76.   5.77 .          5.78.          5.79.       5.80 .    

В задачах 5.81-5.84 найти производные указанного порядка от следующих функций:

5.81   5.82    5.83    5.84

В задачах 5.85-5.90 найти формулу для -ой производной от следующих функций:

5.85 .      5.86. .    5.87 .    5.88 .   5.89 .    5.90 .

В задачах 5.91-5.96 найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:

5.91                  5.92 .         5.93 .   

5.94 .     5.95 .        5.96 .

ОТВЕТЫ:

5.50          5.51    5.52      

5.53           5.54           5.55      

5.56    5.57 .

5.58     5.59  5.60    5.61    

5.62     5.63    5.64    5.65    5.66    5.67  5.68   

5.69  5.70    5.71.     5.72             5.73         5.74 5.75   5.76    5.77   5.78     5.79      

5.80   5.81    5.82    5.83       5.84                   5.85       

5.86     5.87      5.88   5.89   5.90   

5.91   5.92   5.93    5.94    5.95          5.96


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76797. Сосуды и нервы сердца 180.54 KB
  Они венцом окружают основание сердца отчего нередко называются венечными. Левая венечная артерия проходит между началом легочного ствола и левым ушком и передней межжелудочковой ветвью спускается к верхушке сердца а огибающей ветвью по венечной борозде и задней поверхности. Наиболее выраженные и постоянные анастомозы находятся: в верхней части передней стенки правого желудочка; в передней стенке левого желудочка по левому краю; в верхушке сердца задней межжелудочковой борозде и межжелудочковой перегородке; в стенках предсердий.
76798. Сосуды большого круга 180.76 KB
  Аорта на всем протяжении делится на париетальные и висцеральные ветви и заканчивается бифуркацией на общие подвздошные артерии на уровне IVVго поясничных позвонков. Из ее париетальных и висцеральных ветвей возникают экстра и интраорганные артерии которые подходят к органам как правило с медиальной стороны используя кратчайшие пути. В части паренхиматозных органов: легких печени селезенке почке артерии разветвляются в соответствии с делением на доли сектора сегменты и более мелкие части вплоть до структурнофункциональных единиц ...
76799. Бедренный канал 180.44 KB
  Глубокое кольцо бедренного канала находится в медиальной части сосудистой лакуны под паховой связкой и ограничено: сверху паховой связкой у места прикрепления ее к лобковому бугорку и симфизу; снизу лобковым гребнем и покрывающей его гребенчатой связкой; медиально лакунарной связкой заполняющей внутренний угол сосудистой лакуны; латерально стенкой бедренной вены. В практике хорошо прощупываемая паховая связка выступает как важный клиникоанатомический ориентир позволяющий отличить бедренную грыжу от паховой так как бедренный...
76800. Медиальные и задние мышцы и фасции бедра 180.94 KB
  Медиальная бедренная мышечная группа Хорошо развита в связи с прямохождением и выполняет приведение бедра потому в основном укомплектована приводящими мышцами. Длинная приводящая мышца начинается толстым сухожилием от лобковой кости между гребнем и симфизом. Мышца лежит погранично с медиальной широкой из четырехглавой мышцы бедра. Короткая приводящая мышца с началом от тела и нижней ветви лобковой кости прикреплением к верхнему участку тернистой линии бедренной кости; приводит и сгибает бедро.
76801. Мышцы и фасции голени и стопы 190.57 KB
  Передняя мышечная группа голени Передняя большеберцовая мышца с началом от латерального мыщелка верхнелатеральной поверхности диафиза большеберцовой кости и межкостной мембраны. Мышца в голеностопном суставе разгибает и поворачивает стопу кнаружи поднимает ее медиальный край укрепляет продольный свод его пружинящую часть. От нижней части мышечного брюшка отходит в виде небольшого пучка третья малоберцовая мышца прикрепляющаяся к основанию Y плюсневой кости. Латеральная мышечная группа голени Длинная малоберцовая мышца начинается от...
76802. Развитие пищеварительной системы 184.66 KB
  Они расположены на боковых стенках головной кишки соответственно на уровне формирующейся глоточной камеры поэтому данную часть кишки называют глоточной. Передний отдел ротовой полости возникает из эктодермальных зачатков задний глубокий развивается из энтодермы глоточной кишки. Глотка развивается из краниального отдела первичной кишки путем превращения основной глоточной камеры зародыша в глотку растущего плода при отделении от нее глоточных висцеральных карманов.
76803. Полость рта 192.32 KB
  Через зев полость рта переходит в глотку. Мощная круговая мышца рта вместе с конечными частями мимических мышц смеха поднимающих и опускающих губы и угол рта все мышечные волокна вплетаются в кожу губ. Уздечки губ срединная и боковые это индивидуально выраженные складки слизистой оболочки короткие средние длинные расположенные в преддверии рта между резцовыми участками слизистой оболочки губ и деснами.
76804. Строение зубов 198.51 KB
  Зубы являются органами жевательноречевого аппарата человека и состоят из передних резцов и клыков задних малых и больших коренных зубов. Самый сложный рельеф несет поверхность смыкания зубов антагонистов окклюзионная которая у передних зубов представлена зубчатым режущим краем. Коронки передних и задних зубов сильно отличаются по форме: у резцов они прямоугольные трапециевидные или овоидные у клыков копьевидные у премоляров ромбические и квадратные у моляров кубические и прямоугольные.
76805. Язык - многофункциональный мышечный орган 182.07 KB
  Язык как орган подразделяется на кончик верхушку тело корень; верхнюю спинку и нижнюю поверхности которые смыкаются благодаря краям языка. Верхняя поверхность языка спинка покрыта слизистой оболочкой и продольной срединной бороздой делится на правую и левую половины. Посредине у вершины этой борозды находится слепое отверстие остаток щитоязычного протока который формируется при закладке и развитии щитовидной железы глотки и языка. Мышцы языка развиваются из мезодермы висцеральных дуг и затылочных миотомов.