29541

Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции т. Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему часто более простому способу вычисления её производной: . Например для степеннопоказательной функции где дифференцируемые функции: . Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения линейного относительно где рассматривается как сложная функция переменной .

Русский

2013-08-21

374.5 KB

30 чел.

PAGE 2

Практическое занятие:

Тема: Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков.

  Логарифмической производной функции  называется производная от логарифма этой функции, т.е. .

  Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции , где , - дифференцируемые функции:  .

В задачах 5.50-5.59 найти производные функций, используя предварительное логарифмирование:

5.50 .   5.51 .   5.52 .   5.53 .   5.54 .   5.55.  

5.56.      5.57.      5.58.          5.59 .

Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

  Если дифференцируемая функция  задана неявно уравнением , то производная  этой неявной функции может быть найдена из уравнения , линейного относительно , где -рассматривается как сложная функция переменной .

  Если  и -взаимно обратные дифференцируемые функции и , то справедлива формула:   (правило дифференцирования обратной функции).

  Если дифференцируемая функция  задана параметрически: ,  , где , -дифференцируемые функции и , то справедлива формула: .

В задачах 5.60-5.64 для функций , заданных неявно, найти

5.60 .       5.61.       5.62 .        5.63 .

5.64 .

В задачах 5.65-5.71 для функций , заданных параметрически, найти

5.65 .                     5.66 .                   5.67 .   

5.68.                                      5.69 .  

5.70   .          5.71 .

Производные высших порядков.

  Производной 2-ого порядка от функции  называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка  (-ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. . Для производной  используется также обозначение .

  Производная  функции  находится её последовательным дифференцированием: , ,…,. Если функция  задана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:      , ,….

В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций:

5.72 .    5.73 .   5.74 .    5.75 .   5.76.   5.77 .          5.78.          5.79.       5.80 .    

В задачах 5.81-5.84 найти производные указанного порядка от следующих функций:

5.81   5.82    5.83    5.84

В задачах 5.85-5.90 найти формулу для -ой производной от следующих функций:

5.85 .      5.86. .    5.87 .    5.88 .   5.89 .    5.90 .

В задачах 5.91-5.96 найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:

5.91                  5.92 .         5.93 .   

5.94 .     5.95 .        5.96 .

ОТВЕТЫ:

5.50          5.51    5.52      

5.53           5.54           5.55      

5.56    5.57 .

5.58     5.59  5.60    5.61    

5.62     5.63    5.64    5.65    5.66    5.67  5.68   

5.69  5.70    5.71.     5.72             5.73         5.74 5.75   5.76    5.77   5.78     5.79      

5.80   5.81    5.82    5.83       5.84                   5.85       

5.86     5.87      5.88   5.89   5.90   

5.91   5.92   5.93    5.94    5.95          5.96


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67517. Электропривод как система. Классификация электроприводов. Общие требования к электроприводу. Состав электропривода и назначение его элементов 94.5 KB
  Электрический привод совокупность электродвигательного устройства ЭД передаточного устройства ПУ управляющего устройства УУ усилительно-преобразовательного устройства УПУ и информационного устройства ИУ см. Функциональная схема электропривода Информационное устройство ИУ содержит датчики сигналов.
67518. Учение о биосфере. Ресурсы биосферы и пути их рационального использования 100.5 KB
  Правильно понять найти рациональное решение проблемы взаимодействия системы общество техника природа помогает учение о биосфере принадлежащее русскому ученому Владимиру Ивановичу Вернадскому. К ним относятся: энергия Солнца и ветра почвы земельные ресурсы растения животные минеральное сырьё вода и др.
67519. Уравнения и характеристики двигателя постоянного тока независимого возбуждения. Управление напряжением якоря 131.5 KB
  Механические характеристики двигателя рассматривались без учета реакции якоря, т.е. влияния тока якоря на основной магнитный поток. Различают поперечную, продольную и коммутационную реакции якоря. Поперечную реакцию якоря можно учесть зависимостью...
67520. Жесткость механической характеристики. Управление реостатное и магнитным потоком 116.5 KB
  Для управления электродвигателем последовательно с обмоткой якоря включают реостат или изменяют ток возбуждения и магнитный поток. На рис. 3.2 показана схема включения двигателя постоянного тока с двумя управляющими реостатами.
67521. Уравнения и характеристики двигателя постоянного тока последовательного возбуждения. Управление напряжением и реостатное 225.5 KB
  Схема включения двигателя последовательного возбуждения показана на рис. Схема включения двигателя последовательного возбуждения Уравнение баланса напряжений и выражения для ЭДС и электромагнитного момента имеют вид: U = rя rв I Eя; 4. Механические характеристики двигателя последовательного возбуждения...
67522. Причины и признаки экологического кризиса. Глобальные экологические проблемы 114 KB
  По ходу развития цивилизации перед человечеством неоднократно возникали сложные проблемы порою планетарного характера. В полной мере эти проблемы проявились уже во второй половине и в особенности в последней четверти XX века то есть на рубеже двух веков и даже тысячелетий.
67523. Управление шаговым двигателем с реактивным ротором и линейным шаговым двигателем с постоянным магнитом 273.5 KB
  Фазы обмотки питаются прямоугольными импульсами напряжения. В ответ на каждый импульс ротор поворачивается на определенный угол и останавливается в ожидании следующего импульса. Показаны пути замыкания магнитного потока Ф созданного фазой А при подаче на нее импульса напряжения U0.
67524. Моменты синхронного двигателя и его пуск при питании от инвертора частоты. Синхронизирующий момент 595.5 KB
  Схема включения обмоток синхронного двигателя Вращающееся магнитное поле статора увлекает за собой ротор-индуктор который в установившемся режиме вращается синхронно с полем. Рассмотрим СД ротор которого имеет неявно выраженные полюса с постоянным магнитным потоком...
67525. Моментный электропривод с синхронным двигателем и синусно-косинусным вращающимся трансформатором 364.5 KB
  В целом электропривод ведет себя как электромеханическая система с пропорциональным управлением и гибкой тахометрической обратной связью. Следует обратить внимание, что амплитудно-модулированные сигналы и синусно-косинусный вращающийся трансформатор СКВТ были применены для получения двойной информации...