29826

Математическое описание дискретных СУ (ДСУ)

Лекция

Математика и математический анализ

Передаточные функции и динамические характеристики ДСУ Импульсная характеристика ДСУ Рекурсивный и нерекурсивный алгоритмы обработки. Будем рассматривать полностью дискретную СУ рис. Xkk=0m yk k=0n рис.2 q=0 i=1 Данный алгоритм принято изображать в виде структурной схемы рис.

Русский

2013-08-21

373 KB

3 чел.

15

Лекция 2

Математическое описание дискретных СУ (ДСУ)

  1.  Разностное уравнение ДСУ. Структурная схема алгоритма.
    1.  Передаточные функции и динамические характеристики ДСУ
    2.  Импульсная характеристика ДСУ
    3.  Рекурсивный и нерекурсивный алгоритмы обработки.
    4.  Передаточная функция вычислительного устройства цифрового регулятора.
    5.  Типовые дискретные алгоритмы и структурные схемы цифровых регуляторов

  1.  Разностное уравнение ДСУ. Структурная схема алгоритма.

Будем рассматривать полностью дискретную СУ (рис. 2.1), которая не содержит элементов, работающих в непрерывном времени.

X(k),k=0,m                   y(k), k=0,n

                                                              рис. 2.1

Процессы в такой системе описываются разностными уравнениями различного порядка.  В общем виде разностное уравнение n-го порядка записывается так:

 n                       m

ai*y(k-i)= bq*x(k-q)  , n>m                                                                                (2.1)

i=0                    q=0

Уравнение 1 порядка:

ao*y(k)+a1*y(k-1)=bo*x(k)+b1*x(k-1)                                             

Уравнение 2 порядка:

ao*y(k)+a1*y(k-1)+a2*y(k-2)=bo*x(k)+b1*x(k-1)+b2*x(k-2)    

 

Данный алгоритм представляет  собой алгоритм свертки двух последовательностей. Обычно такой алгоритм записывается относительно старшего номера при y .

        m                           n

y(k)=bq*x(k-q) - ai*y(k-i)                                                                                   (2.2)

          q=0                         i=1

Данный алгоритм принято изображать в виде структурной схемы (рис. 2.2).                                                                          Опр. Графическая модель разностного уравнения называется структурной                                                                                    схемой.

     x(k)                                                                                                       y(k)          

           bo

   

          b1                                  -a1

          b2                                                            -a2

…                                                …

          bn                                                            -am

                                          рис. 2.2

Выводы: 

 1. Для вычисления выходной дискретной последовательности y(k)    необходимо задать входную последовательность x(k) и алгоритм обработки.

 2. При вычислении дискретной свертки используются умножители, сумматоры и линии задержки.

3. Если в отсчете y(k) участвуют предыдущие отсчеты y , то такой алгоритм является алгоритмом обработки с обратной связью, при этом, если коэффициенты при y в алгоритме отрицательны, то это алгоритм с отрицательной обратной связью (оос), если положительны – то с положительной обратной связью (пос).

                       

2.2. Передаточные функции и динамические характеристики ДСУ

Рассмотренный ранее алгоритм  работал с числовыми последовательностями. Каждый отсчет представляет собой некоторое число, поэтому алгоритм удобен для расчетов на ЭВМ. Для получения динамических характеристик вычислительного устройства (или ДСУ) необходимо перейти  от числовых последовательностей к -импульсным последовательностям, содержащим непрерывную переменную  t.   Получим алгоритм дискретной свертки    –импульсной последовательности.  Для этого представим:

             

xт(t)= x(k*T)* (t-k*T)                                                                                           (2.3)

           k=0

Аналогично представим:

             

yт(t)= y(k*T)* (t-k*T)                                                                                           (2.4)

           k=0

Тогда алгоритм дискретной свертки можно записать в следующем виде:

yт(t)+ a1*yт(t-T)+a2*yт(t-2*T)+…=bo*xт(t)+b1*xт(t-T)+…                                          (2.5)

или

                              

yт(t)= bk*x(t-k*T) -  ak*yт(t-k*T)                                                                        (2.5*)

             k=0                             k=1  

Выражение (2.5*) – алгоритм дискретной свертки –импульсной последовательности. Его можно также изобразить в виде структурной схемы. Она будет аналогичной схеме на рис.2.2, только вместо x(k) будет xт(t-k*T), на выходе вместо y(k) – yт(t).

В этом алгоритме присутствует непрерывная переменная t , поэтому для определения динамических характеристик ДСУ можем использовать интегральные преобразования классической математики.

Определим ОПФ:

                                                                                        -p*T

Lxт(t)=Xт(p) ;   L xт(t-T)=Xт(p)* e                      

                                                              

                                                                -p*k*T

Lyт(t)=Yт(p)          ; Lyт(t-k*T)=Yт(p)*e

Возьмем преобразование  Лапласа от правой и левой  частей (2.5) и вынесем общие множители:

                              -p*T          –p*2*T                                           -p*T           -p*2*T

Yт(p)*(1+a1*e  +a2*e      +…)=Xт(p)(bo+b1*e   +b2*e      +…)     

По определению:                                                         -p*k*T

                                                              -p*T              -p*2*T                        bk*e

             Yт(p)        bo+b1*e     +b2*e      +…        k=0

Wт(p) =             =                                             =

             Xт(p)                 -p*T              -p*2*T                                       -p*k*T

                           1+a1*e     +a2*e      +…           1+ ak*e

                                                                               k=1

                             -p*k*T

                                 bk*e                                                   Xт(p)                       Yт(p)

                  k=0                                                

Wт(p) =                                         (2.6)

                              -p*k*T                                                                                    рис. 2.3

                1  ak*e

                      k=1

 

Если проанализировать  выражение (2.6), то видим, что в знаменателе стоит выражение 1+ …, характерное для систем с обратной связью, при этом «+» - для систем с оос., а «-» - для систем с пос.

Так как все характеристики ДСУ связаны друг с другом, то, зная ОПФ, можем определить КПФ и СПФ и временные характеристики системы  (рис. 2.3).

Определим КПФ, АЧХ, ФЧХ:

                                                    -p*k*T

                                                                  bk*e

                                         k=0

Wт(jw) = Wт(p)         =                                                                                             (2.7)                                                     

                        p=jw                         -p*k*T

                                        1  ak*e

                                              k=1

Wт(w)=Wт(jw)       

т(w)=arg Wт(jw)                                                                                     (2.8)        

Комплексные ОПФ, АЧХ, ФЧХ системы периодичны по частоте с интервалом периодичности             

          2*

wт=

         T

Находим СПФ:

                                                         -k

                                                                           bk*z

                                              k=0

Wт(z) = Wт(p)               =                                                                                        (2.9)                                                     

                          p*T                                  -k

                        e    =z            1  ak*z

                                                    k=1

Зная СПФ, легко построить структурную схему алгоритма обработки без промежуточных вычислений (без записи самого алгоритма обработки). Числитель СПФ показывает алгоритм обработки входного сигнала, знаменатель – алгоритм обработки выходного сигнала (рис. 2.4).

xт(t) 

                       bo                                                                                                             yт(t)

                      b1                               -a1

…                                                  …

                         рис. 2.4

  1.  Импульсная характеристика ДСУ

Для ДСУ удобной временной характеристикой является импульсная характеристика. Ее принято записывать также как и дискретный сигнал:

        

gт(t)=gk* (t-k*T)                                                                                                (2.10)

       k=0

 Импульсная характеристика может быть представлена в виде z-преобразования:

                              -k

Zgт(t)=Gт(z)=gk*z                                                                                           (2.11)

                                  k=0

Выводы:  

  1.  Импульсная характеристика дискретной системы представляется в виде своих отсчетов.
  2.  z-преобразование импульсной характеристики физически реализуемой системы содержит переменную z в отрицательных степенях .

Определим связь импульсной характеристики с другими характеристиками системы:

Wт(z)=Gт(z)

           -k

       bk*z                         

   k=0                                                              -k               -2*k

                               =  go+g1*z  + g2*z    +…                                                      (2.12)                                                     

                  -k

 1+  ak*z

      k=1

Выводы:

  1.  Если полином числителя СПФ делится на полином знаменателя без остатка, то СПФ Wт(z) будет содержать ряд с конечным числом членов

                N             -k

Wт(z)=gk*z

         k=0

Такие системы называются системами с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Они обрабатывают сигнал без обратной связи.

  1.  Если полином числителя СПФ не делится на полином знаменателя, то СПФ будет иметь бесконечное число членов ряда

                        -k

Wт(z)=gk*z

         k=0

Такие системы называются системами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Они обрабатывают сигнал с обратной связью.

3. Если характеристики ДСУ   Wт(z), Wт(p),Wт(jw) выражаются в виде ряда, то коэффициентами ряда являются отсчеты импульсной характеристики.

4.Импульсную характеристику ДСУ можно определить экспериментально либо рассчитать. Для этого необходимо на вход системы подать единичный импульс. Тогда дискретная последовательность на выходе yт(t)=gт(t).

  1.  Рекурсивный и нерекурсивный алгоритмы обработки.

Опр.  Нерекурсивным алгоритмом  обработки называется алгоритм дискретной обработки без обратной связи. При этом ИХ может быть конечной или бесконечной. (рис. 2.5)

СПФ:

                   (N)      -k            Yт(z)

Wт(z)=gk*z      =                                                                                                (2.13)

               k=0                         Xт(z)

xт(t)

                      go                                              yт(t)=go*xт(t)+g1*xт(t-T)+…

                      g1

                       рис. 2.5

Опр. Рекурсивным алгоритмом обработки называется алгоритм обработки дискретного сигнала с обратной связью.

                            -k

                               bk*z                         

                    k=0                                      Yт(z)         

Wт(z)  =                                =                                                                             (2.14)                                                                               

                                         -k                        Xт(z)

                1+  ak*z

                      k=1

Структурная схема алгоритма представлена на рис.2.4

  1.  Передаточная функция вычислительного устройства

                                 цифрового регулятора.

Реальные СУ наряду с дискретными элементами содержат элементы, работающие в непрерывном времени.

Рассмотрим структурные схемы следящих СУ:

Непрерывная  СУ :

U(t)                 (t)                      (t)                                  y(t)

              

                -

                                     рис. 2.6

                                        

Дискретная СУ:                                                                 

 U(t)               (t)                  т(t)               т(t)                   (t)                        y(t)              

             -

                                элементы дискретного действия                          непр. элемент

Wф(p) – ОПФ формирователя непрерывного сигнала

                                        рис. 2.7

Импульсная СУ:

   U(t)                 (t)                 и(t)                и(t)                 (t)                          y(t)

                

                     -                 дискретные     элементы                      непр.      элементы

                                                    рис. 2.8

Цифровая СУ:

U(t)              (t)               ц(t)               ц(t)               (t)                        y(t)

          -

           -

                                                     рис. 2.9

Во всех системах осуществляется преобразование: непрерывный сигнал  в дискретный, обработка дискретного сигнала и обратное преобразование дискретного сигнала в непрерывный.

Таким образом, процесс на выходе дискретного элемента представляет собой результат математических или логических преобразований информации по предписанной программе. Дискретный элемент состоит при этом из преобразователя (преобразует непрерывный сигнал в дискретный, импульсный, цифровой), вычислительного устройства и формирующего преобразователя, преобразовывающего дискретный, импульсный, цифровой сигнал в непрерывный.

При дальнейшем рассмотрении в качестве дискретного элемента будем рассматривать элемент, представляющий собой следующую структуру (рис. 2.10):

W(p) - -модулятор       ;  Wву(p) – вычислительное устройство

Wф(p) - формирователь

(t)                                                                                (t)

                       цифровой регулятор  

                                     рис. 2.10

Тогда передаточная функцмя цифрового регулятора примет вид:

Wцр(p)=W(p)*Wву(p)*Wф(p)                                                                               (2.15)

Техническая реализация алгоритма обработки осуществляется выбором программы работы вычислительного устройства. В технических системах для реализации алгоритма используются специализированные процессоры. По существу все алгоритмы работы ВУ цифровых регуляторов делятся на 2 класса:

  1.  Регуляторы, реализующие алгоритмы – аналоги непрерывных законов управления.
  2.  Цифровые регуляторы, реализующие специфические законы управления, не имеющие аналогов  в непрерывной области (например, алгоритмы конечной длительности).

Определим Wву(p), реализующего непрерывный закон управления Wp(p). При рассмотрении будем использовать следующие допущения:

  •   Будем пренебрегать ошибками дискретизации и квантования

W(p)*Wф(p)1

                    2)   Будем полагать , что  Wцр(p)=Wp(p)

При этих предположениях:

                Wp(p)

Wву(p)=

             W(p)*Wф(p)

Таким образом нужно определить W(p), Wф(p)  - ?

В качестве модулятора используем простейший вид -  -модулятор, импульсная характеристика которого

        1                                         1

g(t)=         *(t)           W(p)=           

        T                                         T

В качестве формирователя выберем фиксатор нулевого порядка с импульсной характеристикой            gф(t)=1(t)-1(t-T)

g                                                                                                                  -1                                      

                                                   oo        1       1     -p*T      1           -p*T       1 z

                                               Wф(p)=              *e    =       *(1-e    )=

 1                                                            p       p              p                      p

                           

            

            T                  t

Меньшую погрешность дают фиксаторы  большего порядка:

-   фиксатор 1 порядка

     11  1+p*T          -1    2

 Wф=           *  1-z         

         p*T

-   фиксатор 2 порядка

                                   2      2

        22    2+3*p*T+2*p *T               -1   3

Wф =                                 *   1z

                    3       2

               2*p * T

Сравнительные характеристики при приближении фиксаторами различного порядка приведены на рис. 2.11

    Sn

                                                                                        S(t) – приходящий сигнал

                                                                                                         11

                                                                                         S1(t) при  Wф

                                                                                                         22

                                                                                         S2(t) при Wф

                                                           t

                               рис. 2.11

Подставляем найденные W(p) и Wф(p):

                         T*p

Wву(p)= Wp(p)*                                                                                                     (2.16)

                               -1             

                       1 z

Получили ОПФ ВУ в ДСУ с –модулятором и фиксатором нулевого порядка, реализующую закон управления, аналогичный непрерывному закону управления Wp(p). Если в СУ используются другие виды модуляторов и демодуляторов, нужно использовать другие формулы для  ОПФ.

  1.   Алгоритмы и типовые дискретные структурные схемы

                            цифровых регуляторов

На практике наиболее удобно использовать и наибольшее распространение получили типовые непрерывные законы управления: П-, И-, ПИ-законы. Определим дискретные аналоги типовых законов управления: дискретный П-, дискретный И-, дискретный ПИ-законы.

И:

             kp                                                                  1                т(z)

Wp(p)=                   Wву(p)=kp*T*                  =

             p                                                    -1              т(z)

                                                           1z

                      -1

т(z)*(1-z   )=kp*T*т(z)

т(t)-т(t-T)=kp*T*т(t)

т(t)=kp*T*т(t)                                                                                                    (2.17)

Структурная схема  приведена на рис. 2.12:

т(t)                                                   т(t)

             kp*T

                                

                                -

      

рис. 2.12

П :

         Wp(p)=kp

                             T*p         используем               т(z)

          Wву(p)=kp*            =   допущение  1)    =kp=                                                        (2.18)

                                         -1                                               т(z)

                                 1z

Структурная схема приведена на рис. 2.13:

т(t)                   т(t)

           kp

     рис. 2.13

ПИ:

                 k2             k1*p+k2

Wp(p)=k1+            =  

                    p                   p

                                 T                       T*p                   T               используем

Wву= (k1*p+k2)*                     =  k1*                 + k2*                =    допущение 1)     =

                                                          -1                                 -1                                    -1

                                1z                   1z                   1z

 

                                                 -1

                   1               k1*(1z  ) +k2*T          т(z)

=k1+ k2*                    =                               =   

                                     -1                                 -1                               

                  1z                   1z                      т(z)

         

                      -1                                       -1

т(z)*(1z  )=т(z)*(k1k1*z  +k2*T)

                                                                         -1

т(t)= (k1+k2*T)*т(t)-k1*т(t)*z                                                                            (2.19)

Структурная схема на рис. 2.14

        т(t)                                                               т(t)

                         k1+k2*T

                         - k1

                             

                                       рис. 2.16


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56426. ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СПК «ПОБЕДА» ЕРАВНИНСКОГО РАЙОНА 456.5 KB
  В последнее десятилетие произошли кардинальные изменения во многих сферах экономической деятельности, в том числе в системе оплаты труда и отчислений страховых взносов в социальные фонды.
56427. ДЕЯКІ ТАБЛИЦІ ТА АЛГОРИТМИ, ЯКІ ДОПОМАГАЮТЬ УЧНЯМ 36 KB
  Навчити учня вчитися, забезпечити його такою системою знань і умінь, які необхідні для подальшої самоосвіти, розвинути його творчу особистість повинна сьогодні школа. Вона не може дати людині запас знань на все життя...
56428. Внедрение информационных технологий в начальной школе - важный фактор развития способностей ребенка 32.5 KB
  Ведь с помощью компьютера можно получить увидеть или услышать определённую информацию: текст кроссворд картинку звук аудиозапись текстовый материал видеозапись просмотр любого развивающего...
56429. НАЙРОЗУМНІШИЙ 109 KB
  Питання охоплюють мовознавчий матеріал з тем Словосполучення та просте речення та Складносурядні та складнопідрядні речення оскільки бажано гру проводити під час тижня української мови...
56430. ПІДГОТОВКА ВЧИТЕЛЯ ДО РЕАЛІЗАЦІЇ ОЗДОРОВЧОЇ ФУНКЦІЇ ОСВІТИ 114 KB
  Актуальність статті передбачає пропаганду здорового способу життя дітей та молоді через проведення батьківських лекторіїв конференцій тренінгів круглих столів лекцій практичних занять для батьків та учнівської молоді.
56431. КРЕВСЬКА УНІЯ ТА СПРОБИ ЇЇ РЕАЛІЗАЦІЇ НА УКРАЇНСЬКИХ ЗЕМЛЯХ 311.5 KB
  Колишня київська Русь могла сплачувати щедру данину, мала розгалужені торговельні шляхи була спроможна надати Литві матеріальні ресурси і поповнення до війська. Не останню роль відігравав і династичний чинник - правляча литовська династія мала численних нащадків, що потребували власних уділів.
56432. Hörtexte und Aufgaben 138.5 KB
  Diese von mir gebildeten Aufgaben werden nach dem Hören des Textes gemacht. Sie haben nur eine Kontrollfunktion: Was haben die Schüler verstanden? Solche Aufgaben helfen dem Deutschlehrer bei der Arbeit an der Entwicklung der Sprechfertigkeit Hören.
56433. London. Known and Unknown 644.5 KB
  Objectives: to revise vocabulary and grammar of the topic; to summarize knowledge on the topic; to develop listening, reading, writing and speaking skills; to practice pair and group work.
56434. Перспективні напрямки розвитку санаторно-курортної діяльності 902 KB
  Система санаторно-курортних закладів розвивалась в межах державної системи охорони здоров`я, її послуги були соціально орієнтованими і достатньо дешевими для громадян (за рахунок фонду соціального страхування та інших джерел фінансування)