29827

Правила преобразования структурных схем

Лекция

Математика и математический анализ

Передаточные функции замкнутой системы управления. Исходная схема системы управления может быть очень сложной. При этом должны сохраняться динамические свойства системы относительно входных и выходных сигналов. Пусть дана структурная схема системы управления: x b y _ Определим передаточную функцию системы по...

Русский

2013-08-21

183 KB

50 чел.

Лекция №4.

4.1. Правила преобразования структурных схем.

4.2. Передаточные функции замкнутой системы управления.

4.3. Методы анализа систем управления при детерминированных воздействиях.

4.4. Задачи анализа систем управления.

4.5. Анализ устойчивости.

4.1. Правила преобразования структурных схем.

Исходная схема системы управления может быть очень сложной. В этом случае её преобразуют до одной из типовых структур. Для преобразования используют свойства эквивалентности.

Одну схему будем заменять другой ей эквивалентной. При этом должны сохраняться динамические свойства системы относительно входных и выходных сигналов.

А) Перестановка узла и сумматора.

Правило 1. При перемещении сумматора через узел разветвления по направлению ветвления необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить такие же как перемещаемый узел суммирующие узлы.                                                 x3

 

                x2

                                     x3                                                                                  x2

       x1                                             x3    =>

                                                                            x1                                                      x3

     Условие эквивалентности: x3=x1+x2                            неэквивалентный                                      

                                                                                                     участок      

x3 формируется так, что x1+x2=x3.

Если при преобразовании нужно переместить сумматор через узел, то мы должны сохранить операцию суммирования неизменной.

Примечание: при эквивалентном преобразовании структурной схемы получаются неэквивалентные участки внутри схемы, т.е. правило эквивалентности справедливо для сигналов входных и выходных.

Правило 2. При перемещении сумматора через узел разветвления против направления ветвления необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить суммирующие узлы, отличающиеся от перемещаемого сумматора знаками прибавляемых величин.

                                                                                                                   x1

           x1                     x2   

                                                                                      x2         x2     

     x1                                           x3         =>

                                                                           x1                     x1+x2                x3

                                                                                           

                

                              

           Условие эквивалентности: x1=x3-x2 

                                           

Б) Перенос звена через узел. 

Правило 3. При перемещении звена через узел по направлению ветвления необходимо в подсоединённые к узлу ветви добавить звенья с передаточной функцией перемещаемого звена.

                                  y                                                        y

   x                                             y  

                                                           =>    

                                                                         x                                                         y

         

 Условие эквивалентности: y=xW.

Правило 4. При перемещении звена через узел против направления ветвления необходимо в подсоединённых к узлу ветвях добавить звено с передаточной функцией обратной передаточной функции перемещаемого звена.

                                                                                                         x  

          x

   x                                                  y

                                                              =>     x                                                 y

          

   Условие эквивалентности:.

С) Перенос сумматора через звено. 

Правило 5 аналогично правилу 3.

                                                                                                            x2 

           x2 

x1                                                   y

                                                              =>    

                                                                         x1                                                     y

Условие эквивалентности: .

Правило 6 аналогично правилу 4.

                                           x2                                            x2     

   x1                                                      y

                                                                    =>    

                                                                               x1                                                       y

Условие эквивалентности:

.

D) Перестановка узлов. 

E) Перестановка сумматор. 

Правило 7. Узлы и сумматоры можно менять местами.

              x1                    x2                                             x2                x1   

                                                               =>    

                1                        2                                            1                    2   

                   x2                       x4                                             x4                    x2   

                                                                        =>   

   x1                           x3                            y               x1                      x3                          y

Условие эквивалентности: .

Выводы: 1) Правила перестановки эквивалентны только для входных и выходных сигналов

                   преобразуемых участков схемы. Внутри участка образуются неэквивалентные  

                   зоны.

               2) Правила преобразования используются для упрощения сложных схем, имеющих  

                   структуру отличную от типовой.

Пример. Пусть дана структурная схема системы управления:   

   x                                                     b                                            y

                  _

Определим передаточную функцию системы по каналу xy.

Переносим звено с передаточной функцией W2 через узел b. По правилу 4 в отходящей ветви добавляется инверсное звено:

   x                                                                               b                        y

                    _

Звенья  и  соединены последовательно. Эквивалентная им передаточная функция будет равна:

.

Звенья  и  соединены параллельно. Эквивалентная им передаточная функция равна:

.

Перерисовываем структурную схему:

  x                                                                    b                y

                      _  

Звенья и соединены последовательно. Эквивалентная им передаточная функция равна:

.

В итоге структурная схема примет вид:

   x                                                                   b             y

                    _

Получилась схема с отрицательной обратной связью. Её передаточная функция равна:

4.2. Передаточные функции замкнутой

системы управления.

Простейшие одноконтурные системы всегда содержат отрицательные обратные связи, создающие в системе замкнутый контур. Многоконтурные системы всегда можно свести к типовому виду одноконтурной системы путём преобразований.

Рассмотрим типовую структурную схему одноконтурной системы управления и определим входящие в неё блоки:

  •  устройство сравнения;
  •  ошибка;
  •  регулятор;
  •  сумматор;
  •  объект.

  U                                           f1                                                f2 

                                                                                                                         y

     _   

U – задание;

– ошибка управления, рассогласование;

– управляющее воздействие;

y – выходной сигнал;

f1, f2 – возмущающие воздействия.

Для целей анализа будем использовать следующие виды передаточных функций:

  1.  передаточная функция по заданию

     .

  1.  передаточная функция по ошибке при воздействии U:

     .

  1.  передаточная функция ошибки управления по заданию:

     

  1.  передаточная функция ошибки системы по возмущению:

     

Эти передаточные функции позволяют рассчитывать реакцию системы на любое воздействие.

Пример.      =>     .

В общем случае на систему действует несколько возмущений. Т.к. система линейна, то применим принцип суперпозиции и получим

.

Например, если на систему действует задание U и возмущение f1, то

.

Знаменатели операторных передаточных функций одной системы одинаковы.

Характеристические уравнения системы  характеризуют внутренние свойства системы, её свободное движение.

Операторные передаточные функции и характеристические уравнения определяются только параметрами системы и не зависят от внешних воздействий.

4.3. Методы анализа систем управления при

детерминированных воздействиях.

Все детерминированные сигналы с точки зрения теории управления можно разбить на:

  1.  типовые;
  2.  сложные.

К типовым будем относить такие сигналы как: 1(t), (t), Smcos0t. Определить реакцию системы на типовые воздействия можно, решив дифференциальное уравнение системы, либо классическим методом, либо операторным. Реакцию системы на гармоническое воздействие можно определить спектральным методом.

Сложные сигналы – это сигналы, форма которых отличается от типовых.

Для анализа прохождения сложных сигналов через систему можно использовать 3 способа:

  1.  если имеется L-изображение по Лапласу этого сигнала, то найти оригинал можно по таблицам соответствия;
  2.  методы интегралов наложения, интеграл Дюамеля;
  3.  спектральный метод.

Рассмотрим кратко последние два метода.

  1.  Основаны на принципе наложения и применимы только для линейных систем.

Исходной информацией является аналитическое выражение входного сигнала, переходная, либо импульсная характеристика системы:

x(t), h(t), g(t).

 x(t)                       y(t)                         x(t)                          y(t)

Выходной сигнал y(t) определяется с помощью математической операции: свёртки 2-ух функций

Выводы: 1.   Методы интегралов наложения позволяют аналитически рассчитать реакцию

                           на сложные воздействия, заданные аналитически.

  1.  Если в интегралах наложения операцию умножения заменить на  

     суммирование, то можно рассчитать реакцию системы, если входной сигнал              

     или характеристики заданы в таблице, либо в графической форме, минуя

     операцию аппроксимации.

  1.  Такая особенность методов интегралов наложения позволяет использовать их

     для расчётов, что увеличивает ценность методов и делает их современными.

Пример.  На вход системы с импульсной характеристикой  подан сигнал x(t)=8t.   

               Найти выходной сигнал y(t) с помощью интегралов наложения.

.

  1.  Спектральный метод основан на принципе суперпозиции и применим только для линейных систем.

Исходная информация: x(t), W(j).

 x(t)                                 y(t)

Методика расчёта:

  1.  Определить преобразование Фурье входного сигнала ;
  2.  Определить преобразование Фурье выходного сигнала ;
  3.  С помощью обратного преобразования Фурье определить .

Рассмотренный алгоритм применим для непериодических сигналов, комплексная спектральная плотность которых определяется интегралом Фурье, т.е. сигналы имеют непрерывный спектр по оси частот.

Для периодических сигналов, имеющих дискретный спектр, задача решается с помощью рядов Фурье аналогично.

Выводы: 1. Основная трудность в использовании спектрального метода связана со

                   сложностью вычисления обратного преобразования Фурье. Более просто такая

                   задача решается с помощью преобразования Лапласа.

               2. Ввиду этого спектральный метод для определения y(t) используется редко.

                   Однако он имеет огромное значение для анализа прохождения сигнала в

                   частотной области. В этом случае просто решается задача качественного

                   анализа искажения формы сигнала на выходе системы управления.  

4.4. Задачи анализа систем управления.

Анализ систем управления состоит в изучении их общесистемных свойств, условий выполнения своих функций и достижения заданных целей. В результате анализа качественно констатируются свойства поведения системы в целом и количественно оценивается степень удовлетворения требований к процессу управления.

Анализ должен объяснять почему система с определённой структурой причинно-следственных взаимосвязей элементов с известными характеристиками имеет то или иное поведение.

Безусловными требованиями к свойствам системы являются:

  •  устойчивость движений системы;
  •  инвариантность управляемых переменных к возмущениям и ковариантных к задающим сигналам;
  •  грубость (робастность, параметрическая инвариантность), т.е. ограниченная чувствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов или связей.

Основные задачи анализа систем управления, решаемыми методами теории управления:

  •  установление фактов устойчивости, инвариантности, робастности;
  •  построение характеристик и вычисление показателей качества;
  •  вывод об удовлетворительном или неудовлетворительном поведении системы.

4.5. Анализ устойчивости.

Устойчивость системы управления по начальным условиям (по Ляпунову) – это свойство системы.

Если система устойчива, то затухают все составляющие свободных движений, вызванных любыми ненулевыми начальными условиями.

Свойства устойчивости линейных непрерывных систем анализируются по моделям типа Мс (модель собственно системы без внешних воздействий) в любой форме их математического описания.

Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной автономной системы n-ого порядка:

.

Возьмём преобразование Лапласа от правой и левой частей с учётом начальных условий:

– учитывает начальное условие.

Свободное движение системы описываются:

.

Форма Yсв(t) зависит от корней характеристического полинома A(p)=0:

а) если корни pi полинома – простые, то  (1),

       где A(p) – производная полинома A(p).

б) если корни pi полинома – кратные, тогда вместо Ci в (1) появятся полиномы от переменной t 

   со степенями ниже кратности корня.

Исследуем влияние расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости на процессы Yсв(t) для 3-х случаев расположения корней. 

  1.  Корни левые:

                 j                                        y

                 

         p1

                                        +     

                                                                                       t

  <0      

                 j                               y  

         p1

   

                                       +                                        t

        p2

Система устойчива.

  1.  Корни мнимые:

           j                                     y

 

          p1 

                                 +

                                                                               t

=0

           j                                         y    

          p1    

                                                                                                t

          p2    

Система нейтральна.

  1.  Корни правые:

                    j                                        y

                             p1 

                                          +

                                                                                             t

>0

                    j                                        y          

                              p1 

                                                                                                         t

                                          +

                              p2  

Система неустойчива.

Выводы: 1. Система устойчива, если корни полинома расположены в левой полуплоскости

                   комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней меньше 0.

2. Система неустойчива, если корни полинома расположены в правой полуплоскости

   комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней больше 0.

3. Если хотя бы одна пара корней расположена на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости.

  1.  Если хотя бы один корень расположен в начале координат, то система нейтральна

Необходимым и достаточным условием устойчивости является затухание экспонент, т.е. отрицательность действительной части корней.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома были расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Если система не автономна, т.е. находится под внешним воздействием, то переходный процесс в системе y(t) можно представить суммой свободного и вынужденного движения:

.

Если система асимптотически устойчива, то с течением времени процессы в системе стремятся к некоторому установившемуся значению:

.

Система является устойчивой по входу, если при любом ограниченном воздействии f(t) её реакция y(t) является ограниченной. Это свойство выполняется, если:

  •  система асимптотически устойчива (корни левые);
  •  операторная передаточная функция системы W(p) физически реализуема, т.е. степень полинома числителя меньше, либо равна степени полинома знаменателя.

При определении устойчивости по характеристическому полиному вначале следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости.

Для того чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части, все его коэффициенты должны быть одного знака, например «+».

Для систем 1-ого и 2-ого порядков это условие является достаточным. Для систем порядка выше 2-ого необходимо выполнение дополнительных условий.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28918. Формирование однопартийного политического режима (1917-1940 гг.) 39.5 KB
  Это привело к подчинению государственных структур партии. Этот процесс шел параллельно с тенденцией превращения диктатуры пролетариата в диктатуру партии. В условиях однопартийной системы Советы превратились в придаток партии. Советы же оказываются лишь рычагом в руках партии для управления государством.
28919. Социально-экономическая политика советского государства (1921-1941 гг.) 41.5 KB
  Речь шла о необходимости превращения СССР из страны ввозящий машины и оборудование в страну производящую их. На рубеже 2030 годов руководство страны приняло курс на форсирование индустриального развития. Руководство страны решило выдвинуть лозунг догнать и перегнать в кратчайшие сроки в техникоэкономическом отношении передовые капиталистические страны. За ним стояло желание в кратчайшие сроки любой ценой ликвидировать отсталость страны и построить новое общество.
28920. НАЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА СОВЕТСКОГО ГОСУДАРСТВА. ОБРАЗОВАНИЕ СССР 23 KB
  ОБРАЗОВАНИЕ СССР После Октябрьской революции и победы большевиков одним из первых декретов новой власти стала Декларация прав народов России провозглашавшая равенство и суверенность всех народов их право на самоопределение вплоть до отделения и образования самостоятельных государств свободное развитие всех национальных меньшинств. После Гражданской войны начался процесс объединительного движения которое привело к образованию новой российской государственности СССР. съезд полномочных представителей данных республик I съезд Советов Союза...
28921. Культурное строительство в СССР (1921-1941 гг.) 40.5 KB
  Советский период это сложное и противоречивое явление в развитии не только нашей истории но и культуры. Отличительной особенностью советского периода истории культуры является огромная роль в ее развитии партии и государства. Государство взяло на себя финансирование всех отраслей культуры: образование материальнотехническое обеспечение все виды искусства установив строжайшую цензуру над литературой театром кинематографом учебными заведениями и т. В спецхранилищах оказались произведения писателей художников и других представителей...
28922. Советское государство и мир (1921-1941 гг.) 43.5 KB
  Согласно ему СССР поддерживал коммунистическое национально-освободительное движение в мире; прагматической концепции мирном сосуществовании государств с различным общественным строем. В результате СССР в основном сумел преодолеть состояние дипломатической изоляции. Япония развязала боевые действия против СССР и Монголии в районе реки ХалхинГол. для СССР стала реальной угроза войны на два фронта.
28923. Первый период ВОВ. Перестройка страны на военный лад 23.5 KB
  Начало войны стало катастрофой для Красной Армии. Обескровленная репрессиями и в результате оперативностратегических промахов уже за первые три недели войны Красная Армия потеряла около 850 тыс. Преодолев шок первых месяцев войны правящий режим СССР смог использовать такие преимущества как сверхцентрализация управления огромные природные и людские ресурсы обеспечив предельное напряжение всех сил народа. В результате в первые полгода войны несмотря на трудности связанные с немецким наступлением летомосенью 1941 удалось эвакуировать на...
28924. Коренной перелом в ходе войны и ее победоносное завершение. Значение Великой Победы 23.5 KB
  Коренной перелом в ходе войны и ее победоносное завершение. явилось периодом коренного перелома в ходе Великой Отечественной войны. Вопервых в этот период Красная Армия окончательно вырвала инициативу военных действий из рук врага и закрепила за собой до конца войны; вовторых наша армия провела большое летнее наступление против армий противника и тем самым похоронила фашистский миф о том что советские войска будто бы неспособны вести успешное наступление в летнее время; втретьих в этот период Красная Армия осуществляла массовое изгнание...
28925. Завершение Второй Мировой Войны 21 KB
  На конференции было решено не ограничивать сроки оккупации Германии для управления которой создавался союзный контрольный совет. В дни Потсдамской конференции произошло еще одно событие которому было суждено оказать серьезное влияние на послевоенную историю мира. На этой конференции американский президент Г. в соответствии с обязательствами принятыми на Ялтинской конференции СССР объявил Японии войну.
28926. Смутное время, его причины и последствия 28 KB
  Это первая в истории России гражданская война В апреле 1605 года царь Борис Годунов умер трон перешел к его сыну Федору В июне 1605 года Лжедмитрий с огромным войском вступил в Москву. Лжедмитрий 1 щедро раздавал деньги и земли дворянству чтобы заручиться его поддержкой был деятельным и энергичным. Шуйским подняли народ против поляков Лжедмитрий 1 был убит. В 1607 году появляется новый самозванец Лжедмитрий II личность которого так и не была установлена.