29827

Правила преобразования структурных схем

Лекция

Математика и математический анализ

Передаточные функции замкнутой системы управления. Исходная схема системы управления может быть очень сложной. При этом должны сохраняться динамические свойства системы относительно входных и выходных сигналов. Пусть дана структурная схема системы управления: x b y _ Определим передаточную функцию системы по...

Русский

2013-08-21

183 KB

50 чел.

Лекция №4.

4.1. Правила преобразования структурных схем.

4.2. Передаточные функции замкнутой системы управления.

4.3. Методы анализа систем управления при детерминированных воздействиях.

4.4. Задачи анализа систем управления.

4.5. Анализ устойчивости.

4.1. Правила преобразования структурных схем.

Исходная схема системы управления может быть очень сложной. В этом случае её преобразуют до одной из типовых структур. Для преобразования используют свойства эквивалентности.

Одну схему будем заменять другой ей эквивалентной. При этом должны сохраняться динамические свойства системы относительно входных и выходных сигналов.

А) Перестановка узла и сумматора.

Правило 1. При перемещении сумматора через узел разветвления по направлению ветвления необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить такие же как перемещаемый узел суммирующие узлы.                                                 x3

 

                x2

                                     x3                                                                                  x2

       x1                                             x3    =>

                                                                            x1                                                      x3

     Условие эквивалентности: x3=x1+x2                            неэквивалентный                                      

                                                                                                     участок      

x3 формируется так, что x1+x2=x3.

Если при преобразовании нужно переместить сумматор через узел, то мы должны сохранить операцию суммирования неизменной.

Примечание: при эквивалентном преобразовании структурной схемы получаются неэквивалентные участки внутри схемы, т.е. правило эквивалентности справедливо для сигналов входных и выходных.

Правило 2. При перемещении сумматора через узел разветвления против направления ветвления необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить суммирующие узлы, отличающиеся от перемещаемого сумматора знаками прибавляемых величин.

                                                                                                                   x1

           x1                     x2   

                                                                                      x2         x2     

     x1                                           x3         =>

                                                                           x1                     x1+x2                x3

                                                                                           

                

                              

           Условие эквивалентности: x1=x3-x2 

                                           

Б) Перенос звена через узел. 

Правило 3. При перемещении звена через узел по направлению ветвления необходимо в подсоединённые к узлу ветви добавить звенья с передаточной функцией перемещаемого звена.

                                  y                                                        y

   x                                             y  

                                                           =>    

                                                                         x                                                         y

         

 Условие эквивалентности: y=xW.

Правило 4. При перемещении звена через узел против направления ветвления необходимо в подсоединённых к узлу ветвях добавить звено с передаточной функцией обратной передаточной функции перемещаемого звена.

                                                                                                         x  

          x

   x                                                  y

                                                              =>     x                                                 y

          

   Условие эквивалентности:.

С) Перенос сумматора через звено. 

Правило 5 аналогично правилу 3.

                                                                                                            x2 

           x2 

x1                                                   y

                                                              =>    

                                                                         x1                                                     y

Условие эквивалентности: .

Правило 6 аналогично правилу 4.

                                           x2                                            x2     

   x1                                                      y

                                                                    =>    

                                                                               x1                                                       y

Условие эквивалентности:

.

D) Перестановка узлов. 

E) Перестановка сумматор. 

Правило 7. Узлы и сумматоры можно менять местами.

              x1                    x2                                             x2                x1   

                                                               =>    

                1                        2                                            1                    2   

                   x2                       x4                                             x4                    x2   

                                                                        =>   

   x1                           x3                            y               x1                      x3                          y

Условие эквивалентности: .

Выводы: 1) Правила перестановки эквивалентны только для входных и выходных сигналов

                   преобразуемых участков схемы. Внутри участка образуются неэквивалентные  

                   зоны.

               2) Правила преобразования используются для упрощения сложных схем, имеющих  

                   структуру отличную от типовой.

Пример. Пусть дана структурная схема системы управления:   

   x                                                     b                                            y

                  _

Определим передаточную функцию системы по каналу xy.

Переносим звено с передаточной функцией W2 через узел b. По правилу 4 в отходящей ветви добавляется инверсное звено:

   x                                                                               b                        y

                    _

Звенья  и  соединены последовательно. Эквивалентная им передаточная функция будет равна:

.

Звенья  и  соединены параллельно. Эквивалентная им передаточная функция равна:

.

Перерисовываем структурную схему:

  x                                                                    b                y

                      _  

Звенья и соединены последовательно. Эквивалентная им передаточная функция равна:

.

В итоге структурная схема примет вид:

   x                                                                   b             y

                    _

Получилась схема с отрицательной обратной связью. Её передаточная функция равна:

4.2. Передаточные функции замкнутой

системы управления.

Простейшие одноконтурные системы всегда содержат отрицательные обратные связи, создающие в системе замкнутый контур. Многоконтурные системы всегда можно свести к типовому виду одноконтурной системы путём преобразований.

Рассмотрим типовую структурную схему одноконтурной системы управления и определим входящие в неё блоки:

  •  устройство сравнения;
  •  ошибка;
  •  регулятор;
  •  сумматор;
  •  объект.

  U                                           f1                                                f2 

                                                                                                                         y

     _   

U – задание;

– ошибка управления, рассогласование;

– управляющее воздействие;

y – выходной сигнал;

f1, f2 – возмущающие воздействия.

Для целей анализа будем использовать следующие виды передаточных функций:

  1.  передаточная функция по заданию

     .

  1.  передаточная функция по ошибке при воздействии U:

     .

  1.  передаточная функция ошибки управления по заданию:

     

  1.  передаточная функция ошибки системы по возмущению:

     

Эти передаточные функции позволяют рассчитывать реакцию системы на любое воздействие.

Пример.      =>     .

В общем случае на систему действует несколько возмущений. Т.к. система линейна, то применим принцип суперпозиции и получим

.

Например, если на систему действует задание U и возмущение f1, то

.

Знаменатели операторных передаточных функций одной системы одинаковы.

Характеристические уравнения системы  характеризуют внутренние свойства системы, её свободное движение.

Операторные передаточные функции и характеристические уравнения определяются только параметрами системы и не зависят от внешних воздействий.

4.3. Методы анализа систем управления при

детерминированных воздействиях.

Все детерминированные сигналы с точки зрения теории управления можно разбить на:

  1.  типовые;
  2.  сложные.

К типовым будем относить такие сигналы как: 1(t), (t), Smcos0t. Определить реакцию системы на типовые воздействия можно, решив дифференциальное уравнение системы, либо классическим методом, либо операторным. Реакцию системы на гармоническое воздействие можно определить спектральным методом.

Сложные сигналы – это сигналы, форма которых отличается от типовых.

Для анализа прохождения сложных сигналов через систему можно использовать 3 способа:

  1.  если имеется L-изображение по Лапласу этого сигнала, то найти оригинал можно по таблицам соответствия;
  2.  методы интегралов наложения, интеграл Дюамеля;
  3.  спектральный метод.

Рассмотрим кратко последние два метода.

  1.  Основаны на принципе наложения и применимы только для линейных систем.

Исходной информацией является аналитическое выражение входного сигнала, переходная, либо импульсная характеристика системы:

x(t), h(t), g(t).

 x(t)                       y(t)                         x(t)                          y(t)

Выходной сигнал y(t) определяется с помощью математической операции: свёртки 2-ух функций

Выводы: 1.   Методы интегралов наложения позволяют аналитически рассчитать реакцию

                           на сложные воздействия, заданные аналитически.

  1.  Если в интегралах наложения операцию умножения заменить на  

     суммирование, то можно рассчитать реакцию системы, если входной сигнал              

     или характеристики заданы в таблице, либо в графической форме, минуя

     операцию аппроксимации.

  1.  Такая особенность методов интегралов наложения позволяет использовать их

     для расчётов, что увеличивает ценность методов и делает их современными.

Пример.  На вход системы с импульсной характеристикой  подан сигнал x(t)=8t.   

               Найти выходной сигнал y(t) с помощью интегралов наложения.

.

  1.  Спектральный метод основан на принципе суперпозиции и применим только для линейных систем.

Исходная информация: x(t), W(j).

 x(t)                                 y(t)

Методика расчёта:

  1.  Определить преобразование Фурье входного сигнала ;
  2.  Определить преобразование Фурье выходного сигнала ;
  3.  С помощью обратного преобразования Фурье определить .

Рассмотренный алгоритм применим для непериодических сигналов, комплексная спектральная плотность которых определяется интегралом Фурье, т.е. сигналы имеют непрерывный спектр по оси частот.

Для периодических сигналов, имеющих дискретный спектр, задача решается с помощью рядов Фурье аналогично.

Выводы: 1. Основная трудность в использовании спектрального метода связана со

                   сложностью вычисления обратного преобразования Фурье. Более просто такая

                   задача решается с помощью преобразования Лапласа.

               2. Ввиду этого спектральный метод для определения y(t) используется редко.

                   Однако он имеет огромное значение для анализа прохождения сигнала в

                   частотной области. В этом случае просто решается задача качественного

                   анализа искажения формы сигнала на выходе системы управления.  

4.4. Задачи анализа систем управления.

Анализ систем управления состоит в изучении их общесистемных свойств, условий выполнения своих функций и достижения заданных целей. В результате анализа качественно констатируются свойства поведения системы в целом и количественно оценивается степень удовлетворения требований к процессу управления.

Анализ должен объяснять почему система с определённой структурой причинно-следственных взаимосвязей элементов с известными характеристиками имеет то или иное поведение.

Безусловными требованиями к свойствам системы являются:

  •  устойчивость движений системы;
  •  инвариантность управляемых переменных к возмущениям и ковариантных к задающим сигналам;
  •  грубость (робастность, параметрическая инвариантность), т.е. ограниченная чувствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов или связей.

Основные задачи анализа систем управления, решаемыми методами теории управления:

  •  установление фактов устойчивости, инвариантности, робастности;
  •  построение характеристик и вычисление показателей качества;
  •  вывод об удовлетворительном или неудовлетворительном поведении системы.

4.5. Анализ устойчивости.

Устойчивость системы управления по начальным условиям (по Ляпунову) – это свойство системы.

Если система устойчива, то затухают все составляющие свободных движений, вызванных любыми ненулевыми начальными условиями.

Свойства устойчивости линейных непрерывных систем анализируются по моделям типа Мс (модель собственно системы без внешних воздействий) в любой форме их математического описания.

Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной автономной системы n-ого порядка:

.

Возьмём преобразование Лапласа от правой и левой частей с учётом начальных условий:

– учитывает начальное условие.

Свободное движение системы описываются:

.

Форма Yсв(t) зависит от корней характеристического полинома A(p)=0:

а) если корни pi полинома – простые, то  (1),

       где A(p) – производная полинома A(p).

б) если корни pi полинома – кратные, тогда вместо Ci в (1) появятся полиномы от переменной t 

   со степенями ниже кратности корня.

Исследуем влияние расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости на процессы Yсв(t) для 3-х случаев расположения корней. 

  1.  Корни левые:

                 j                                        y

                 

         p1

                                        +     

                                                                                       t

  <0      

                 j                               y  

         p1

   

                                       +                                        t

        p2

Система устойчива.

  1.  Корни мнимые:

           j                                     y

 

          p1 

                                 +

                                                                               t

=0

           j                                         y    

          p1    

                                                                                                t

          p2    

Система нейтральна.

  1.  Корни правые:

                    j                                        y

                             p1 

                                          +

                                                                                             t

>0

                    j                                        y          

                              p1 

                                                                                                         t

                                          +

                              p2  

Система неустойчива.

Выводы: 1. Система устойчива, если корни полинома расположены в левой полуплоскости

                   комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней меньше 0.

2. Система неустойчива, если корни полинома расположены в правой полуплоскости

   комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней больше 0.

3. Если хотя бы одна пара корней расположена на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости.

  1.  Если хотя бы один корень расположен в начале координат, то система нейтральна

Необходимым и достаточным условием устойчивости является затухание экспонент, т.е. отрицательность действительной части корней.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома были расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Если система не автономна, т.е. находится под внешним воздействием, то переходный процесс в системе y(t) можно представить суммой свободного и вынужденного движения:

.

Если система асимптотически устойчива, то с течением времени процессы в системе стремятся к некоторому установившемуся значению:

.

Система является устойчивой по входу, если при любом ограниченном воздействии f(t) её реакция y(t) является ограниченной. Это свойство выполняется, если:

  •  система асимптотически устойчива (корни левые);
  •  операторная передаточная функция системы W(p) физически реализуема, т.е. степень полинома числителя меньше, либо равна степени полинома знаменателя.

При определении устойчивости по характеристическому полиному вначале следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости.

Для того чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части, все его коэффициенты должны быть одного знака, например «+».

Для систем 1-ого и 2-ого порядков это условие является достаточным. Для систем порядка выше 2-ого необходимо выполнение дополнительных условий.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22813. Соціально-економічний розвиток У. у складі Росії у І пол. 19 ст 37 KB
  Для перевезення такої кількості використовувалися щонайменше 120130 тис. Приблизно в середині 40х років фабрична продукція активно витискує мануфактурну з ринку. із 146 тис. 50х років на У діяло 25 тис.
22814. Українське національне відродження 45.5 KB
  Період зародження нової української культури характеризується виникненням посиленого інтересу до історичної минувшини рідного народу його побуту і мистецьких здобутків. Котляревському належить велика заслуга й у відродженні української драматургії. Входження української культури в загальнослов’янський та світовий культурний процес 18401880 рр. на Правобережжі та поширення на ці землі українського національнокультурного руху з Лівобережжя у відповідь на посилену русифікаторську політику царизму зробило центром української романтики та...
22815. Українське питання 49.5 KB
  Українське питання Перша світова війна розпочата через суперечності між двома ворожими військовополітичними блоками що сформувалися на зламі ХІХХХ ст.Посилили суперечності що виникли між двома блоками національні питання у Східній Європі.Посилили суперечності що виникли між двома блоками національні питання у Східній Європі.Отже британський уряд задекларував намагання розв'язувати національні проблеми народів поневолених ворогами Антанти прагнучи використати національні питання як зброю проти держав австронімецького блоку.
22816. Україна в роки І Світової війни 33.5 KB
  АвстроУгорщина претендувала на Поділля та Волинь. Більшість західноукраїнців вирішили взяти бік АвстроУгорщини. Для досягнення цієї мети Союз вважав за доцільне співробітництво з Німеччиною та АвстроУгорщиною. Австроугорське командування повірило в провокаційні чутки розповсюджувані польською адміністрацією провінції про таємні симпатії українців до росіян унаслідок чого відступаючі габсбурзькі війська вдалися до переслідувань українців яких постраждали тисячі.
22817. Політичне становище в Україні після повалення царського режиму. Організація і діяльність Центральної ради. Проголошення Української Народної Республіки 38.5 KB
  2й військовий з'їзд червень того ж року запропонував Центральній Раді домогтися національної автономії України. Тоді ж у Києві відбувся 1й селянський з'їзд котрий також висловився за автономію України і обрав Раду селянських депутатів як складову частину Центральної Ради. відбулися переговори делегації ЦР із Тимчасовим урядом і Петроградською Радою щодо офіційного визнання автономії України у складі Росії. ЦР оприлюднила свій І Універсал в якому проголошувалась автономія України а Центральна Рада найвищим органом держави.
22818. Причини, основні завдання та особливості Лютневої (1917 р.) революції в Росії 29.5 KB
  революції в Росії. В Росії виникає двовладдя. Ліберальні депутати Державної Думи Росії сформували Тимчасовий уряд який спирався на буржуазію поміщиків на панівний клас інтереси яких виражав. Друга влада в Росії Петроградська влада робітничих та солдатських депутатів.
22819. Зовнішня політика УНР. Берестейській договір та його наслідки 33 KB
  У зовнішній політиці Директорії вдалося розширити міжнародні зв'язки УНР її визнали Угорщина Чехословаччина Голландія Італія. Не визнали УНР країни Антанти й відроджена Польща яка претендувала на Правобережну Україну. Не визнавши гетьманської адміністрації дипломати країн Антанти не збиралися визнавати й поновлену УНР.
22820. Проголошення ЗУНР та її злука з УНР 30 KB
  у Львові відбулося загальне собранне укр. політичних діячів Галичини і Буковини що обрало керівний орган Національний Рада що заявив про прагнення об'єднати усе західноукр. Национальный Рад увів війська у Львів і в Східну Галицню проголосив 18 листопада 1918 р утворення Западноукрдинской Народної республіки ЗУНР Президент Е. Було зроблене таке: для захисту республіки утворив власну Укр.
22821. Ассортимент товаров. Определения. Характеристика товарного ассортимента. Структура ассортимента. Формирование ассортимента. Ассортиментная политика 21.33 KB
  Одной из важнейших товароведных характеристик товаров является ассортиментная характеристика, которая определяет принципиальные различия между товарами разных видов и наименований. Ассортимент товара - перечень товаров, объединенных по какому-либо признаку и удовлетворяющие потребности человека.