29827

Правила преобразования структурных схем

Лекция

Математика и математический анализ

Передаточные функции замкнутой системы управления. Исходная схема системы управления может быть очень сложной. При этом должны сохраняться динамические свойства системы относительно входных и выходных сигналов. Пусть дана структурная схема системы управления: x b y _ Определим передаточную функцию системы по...

Русский

2013-08-21

183 KB

50 чел.

Лекция №4.

4.1. Правила преобразования структурных схем.

4.2. Передаточные функции замкнутой системы управления.

4.3. Методы анализа систем управления при детерминированных воздействиях.

4.4. Задачи анализа систем управления.

4.5. Анализ устойчивости.

4.1. Правила преобразования структурных схем.

Исходная схема системы управления может быть очень сложной. В этом случае её преобразуют до одной из типовых структур. Для преобразования используют свойства эквивалентности.

Одну схему будем заменять другой ей эквивалентной. При этом должны сохраняться динамические свойства системы относительно входных и выходных сигналов.

А) Перестановка узла и сумматора.

Правило 1. При перемещении сумматора через узел разветвления по направлению ветвления необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить такие же как перемещаемый узел суммирующие узлы.                                                 x3

 

                x2

                                     x3                                                                                  x2

       x1                                             x3    =>

                                                                            x1                                                      x3

     Условие эквивалентности: x3=x1+x2                            неэквивалентный                                      

                                                                                                     участок      

x3 формируется так, что x1+x2=x3.

Если при преобразовании нужно переместить сумматор через узел, то мы должны сохранить операцию суммирования неизменной.

Примечание: при эквивалентном преобразовании структурной схемы получаются неэквивалентные участки внутри схемы, т.е. правило эквивалентности справедливо для сигналов входных и выходных.

Правило 2. При перемещении сумматора через узел разветвления против направления ветвления необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить суммирующие узлы, отличающиеся от перемещаемого сумматора знаками прибавляемых величин.

                                                                                                                   x1

           x1                     x2   

                                                                                      x2         x2     

     x1                                           x3         =>

                                                                           x1                     x1+x2                x3

                                                                                           

                

                              

           Условие эквивалентности: x1=x3-x2 

                                           

Б) Перенос звена через узел. 

Правило 3. При перемещении звена через узел по направлению ветвления необходимо в подсоединённые к узлу ветви добавить звенья с передаточной функцией перемещаемого звена.

                                  y                                                        y

   x                                             y  

                                                           =>    

                                                                         x                                                         y

         

 Условие эквивалентности: y=xW.

Правило 4. При перемещении звена через узел против направления ветвления необходимо в подсоединённых к узлу ветвях добавить звено с передаточной функцией обратной передаточной функции перемещаемого звена.

                                                                                                         x  

          x

   x                                                  y

                                                              =>     x                                                 y

          

   Условие эквивалентности:.

С) Перенос сумматора через звено. 

Правило 5 аналогично правилу 3.

                                                                                                            x2 

           x2 

x1                                                   y

                                                              =>    

                                                                         x1                                                     y

Условие эквивалентности: .

Правило 6 аналогично правилу 4.

                                           x2                                            x2     

   x1                                                      y

                                                                    =>    

                                                                               x1                                                       y

Условие эквивалентности:

.

D) Перестановка узлов. 

E) Перестановка сумматор. 

Правило 7. Узлы и сумматоры можно менять местами.

              x1                    x2                                             x2                x1   

                                                               =>    

                1                        2                                            1                    2   

                   x2                       x4                                             x4                    x2   

                                                                        =>   

   x1                           x3                            y               x1                      x3                          y

Условие эквивалентности: .

Выводы: 1) Правила перестановки эквивалентны только для входных и выходных сигналов

                   преобразуемых участков схемы. Внутри участка образуются неэквивалентные  

                   зоны.

               2) Правила преобразования используются для упрощения сложных схем, имеющих  

                   структуру отличную от типовой.

Пример. Пусть дана структурная схема системы управления:   

   x                                                     b                                            y

                  _

Определим передаточную функцию системы по каналу xy.

Переносим звено с передаточной функцией W2 через узел b. По правилу 4 в отходящей ветви добавляется инверсное звено:

   x                                                                               b                        y

                    _

Звенья  и  соединены последовательно. Эквивалентная им передаточная функция будет равна:

.

Звенья  и  соединены параллельно. Эквивалентная им передаточная функция равна:

.

Перерисовываем структурную схему:

  x                                                                    b                y

                      _  

Звенья и соединены последовательно. Эквивалентная им передаточная функция равна:

.

В итоге структурная схема примет вид:

   x                                                                   b             y

                    _

Получилась схема с отрицательной обратной связью. Её передаточная функция равна:

4.2. Передаточные функции замкнутой

системы управления.

Простейшие одноконтурные системы всегда содержат отрицательные обратные связи, создающие в системе замкнутый контур. Многоконтурные системы всегда можно свести к типовому виду одноконтурной системы путём преобразований.

Рассмотрим типовую структурную схему одноконтурной системы управления и определим входящие в неё блоки:

  •  устройство сравнения;
  •  ошибка;
  •  регулятор;
  •  сумматор;
  •  объект.

  U                                           f1                                                f2 

                                                                                                                         y

     _   

U – задание;

– ошибка управления, рассогласование;

– управляющее воздействие;

y – выходной сигнал;

f1, f2 – возмущающие воздействия.

Для целей анализа будем использовать следующие виды передаточных функций:

  1.  передаточная функция по заданию

     .

  1.  передаточная функция по ошибке при воздействии U:

     .

  1.  передаточная функция ошибки управления по заданию:

     

  1.  передаточная функция ошибки системы по возмущению:

     

Эти передаточные функции позволяют рассчитывать реакцию системы на любое воздействие.

Пример.      =>     .

В общем случае на систему действует несколько возмущений. Т.к. система линейна, то применим принцип суперпозиции и получим

.

Например, если на систему действует задание U и возмущение f1, то

.

Знаменатели операторных передаточных функций одной системы одинаковы.

Характеристические уравнения системы  характеризуют внутренние свойства системы, её свободное движение.

Операторные передаточные функции и характеристические уравнения определяются только параметрами системы и не зависят от внешних воздействий.

4.3. Методы анализа систем управления при

детерминированных воздействиях.

Все детерминированные сигналы с точки зрения теории управления можно разбить на:

  1.  типовые;
  2.  сложные.

К типовым будем относить такие сигналы как: 1(t), (t), Smcos0t. Определить реакцию системы на типовые воздействия можно, решив дифференциальное уравнение системы, либо классическим методом, либо операторным. Реакцию системы на гармоническое воздействие можно определить спектральным методом.

Сложные сигналы – это сигналы, форма которых отличается от типовых.

Для анализа прохождения сложных сигналов через систему можно использовать 3 способа:

  1.  если имеется L-изображение по Лапласу этого сигнала, то найти оригинал можно по таблицам соответствия;
  2.  методы интегралов наложения, интеграл Дюамеля;
  3.  спектральный метод.

Рассмотрим кратко последние два метода.

  1.  Основаны на принципе наложения и применимы только для линейных систем.

Исходной информацией является аналитическое выражение входного сигнала, переходная, либо импульсная характеристика системы:

x(t), h(t), g(t).

 x(t)                       y(t)                         x(t)                          y(t)

Выходной сигнал y(t) определяется с помощью математической операции: свёртки 2-ух функций

Выводы: 1.   Методы интегралов наложения позволяют аналитически рассчитать реакцию

                           на сложные воздействия, заданные аналитически.

  1.  Если в интегралах наложения операцию умножения заменить на  

     суммирование, то можно рассчитать реакцию системы, если входной сигнал              

     или характеристики заданы в таблице, либо в графической форме, минуя

     операцию аппроксимации.

  1.  Такая особенность методов интегралов наложения позволяет использовать их

     для расчётов, что увеличивает ценность методов и делает их современными.

Пример.  На вход системы с импульсной характеристикой  подан сигнал x(t)=8t.   

               Найти выходной сигнал y(t) с помощью интегралов наложения.

.

  1.  Спектральный метод основан на принципе суперпозиции и применим только для линейных систем.

Исходная информация: x(t), W(j).

 x(t)                                 y(t)

Методика расчёта:

  1.  Определить преобразование Фурье входного сигнала ;
  2.  Определить преобразование Фурье выходного сигнала ;
  3.  С помощью обратного преобразования Фурье определить .

Рассмотренный алгоритм применим для непериодических сигналов, комплексная спектральная плотность которых определяется интегралом Фурье, т.е. сигналы имеют непрерывный спектр по оси частот.

Для периодических сигналов, имеющих дискретный спектр, задача решается с помощью рядов Фурье аналогично.

Выводы: 1. Основная трудность в использовании спектрального метода связана со

                   сложностью вычисления обратного преобразования Фурье. Более просто такая

                   задача решается с помощью преобразования Лапласа.

               2. Ввиду этого спектральный метод для определения y(t) используется редко.

                   Однако он имеет огромное значение для анализа прохождения сигнала в

                   частотной области. В этом случае просто решается задача качественного

                   анализа искажения формы сигнала на выходе системы управления.  

4.4. Задачи анализа систем управления.

Анализ систем управления состоит в изучении их общесистемных свойств, условий выполнения своих функций и достижения заданных целей. В результате анализа качественно констатируются свойства поведения системы в целом и количественно оценивается степень удовлетворения требований к процессу управления.

Анализ должен объяснять почему система с определённой структурой причинно-следственных взаимосвязей элементов с известными характеристиками имеет то или иное поведение.

Безусловными требованиями к свойствам системы являются:

  •  устойчивость движений системы;
  •  инвариантность управляемых переменных к возмущениям и ковариантных к задающим сигналам;
  •  грубость (робастность, параметрическая инвариантность), т.е. ограниченная чувствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов или связей.

Основные задачи анализа систем управления, решаемыми методами теории управления:

  •  установление фактов устойчивости, инвариантности, робастности;
  •  построение характеристик и вычисление показателей качества;
  •  вывод об удовлетворительном или неудовлетворительном поведении системы.

4.5. Анализ устойчивости.

Устойчивость системы управления по начальным условиям (по Ляпунову) – это свойство системы.

Если система устойчива, то затухают все составляющие свободных движений, вызванных любыми ненулевыми начальными условиями.

Свойства устойчивости линейных непрерывных систем анализируются по моделям типа Мс (модель собственно системы без внешних воздействий) в любой форме их математического описания.

Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной автономной системы n-ого порядка:

.

Возьмём преобразование Лапласа от правой и левой частей с учётом начальных условий:

– учитывает начальное условие.

Свободное движение системы описываются:

.

Форма Yсв(t) зависит от корней характеристического полинома A(p)=0:

а) если корни pi полинома – простые, то  (1),

       где A(p) – производная полинома A(p).

б) если корни pi полинома – кратные, тогда вместо Ci в (1) появятся полиномы от переменной t 

   со степенями ниже кратности корня.

Исследуем влияние расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости на процессы Yсв(t) для 3-х случаев расположения корней. 

  1.  Корни левые:

                 j                                        y

                 

         p1

                                        +     

                                                                                       t

  <0      

                 j                               y  

         p1

   

                                       +                                        t

        p2

Система устойчива.

  1.  Корни мнимые:

           j                                     y

 

          p1 

                                 +

                                                                               t

=0

           j                                         y    

          p1    

                                                                                                t

          p2    

Система нейтральна.

  1.  Корни правые:

                    j                                        y

                             p1 

                                          +

                                                                                             t

>0

                    j                                        y          

                              p1 

                                                                                                         t

                                          +

                              p2  

Система неустойчива.

Выводы: 1. Система устойчива, если корни полинома расположены в левой полуплоскости

                   комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней меньше 0.

2. Система неустойчива, если корни полинома расположены в правой полуплоскости

   комплексной плоскости, т.е. действительная часть корней больше 0.

3. Если хотя бы одна пара корней расположена на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости.

  1.  Если хотя бы один корень расположен в начале координат, то система нейтральна

Необходимым и достаточным условием устойчивости является затухание экспонент, т.е. отрицательность действительной части корней.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома были расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Если система не автономна, т.е. находится под внешним воздействием, то переходный процесс в системе y(t) можно представить суммой свободного и вынужденного движения:

.

Если система асимптотически устойчива, то с течением времени процессы в системе стремятся к некоторому установившемуся значению:

.

Система является устойчивой по входу, если при любом ограниченном воздействии f(t) её реакция y(t) является ограниченной. Это свойство выполняется, если:

  •  система асимптотически устойчива (корни левые);
  •  операторная передаточная функция системы W(p) физически реализуема, т.е. степень полинома числителя меньше, либо равна степени полинома знаменателя.

При определении устойчивости по характеристическому полиному вначале следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости.

Для того чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части, все его коэффициенты должны быть одного знака, например «+».

Для систем 1-ого и 2-ого порядков это условие является достаточным. Для систем порядка выше 2-ого необходимо выполнение дополнительных условий.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70230. Визвольні ідеї Г.Сковороди, Т.Шевченка, І.Франка 132 KB
  Національна природа інтелігента визначається не кількістю його декларацій про любов до Батьківщини а відповідністю власної духовної діяльності специфіці менталітету рідного народу і потребам його розвитку спричинених своєрідністю конкретної історичної ситуації.
70231. Соціально-політичні погляди М.Грушевського 49.5 KB
  Політична думка в Україні у XIX—XX ст. формувалася в умовах, коли зникав традиційний сільськогосподарський уклад життя і його змінювало індустріальне суспільство, коли відбувалися процеси національно-культурного й національно-політичного відродження України.
70232. Політична культура як засіб завоювання та здійснення влади 75.5 KB
  Політична психологія має певну структуру. Вона містить політичні потреби, інтереси, почуття, настрої, традиції тощо. Політичні потреби - це ті потреби, задоволення яких пов’язано зі здійсненням влади. Вони можуть лише тим чи іншим чином стосуватися влади, а можуть виявлятися безпосередньо...
70233. Критичний утопічний соціалізм 26.5 KB
  Вихідними пунктами його плану з одного боку стала переконаність у провідній ролі індустріалів у суспільному житті а з іншого його ставлення до організації промисловості як одного з найважливіших чинників досягнення суспільного блага. Мислитель розглядав державну владу як основний засіб...
70234. Розвиток і особливості політичної думки в Росії 51 KB
  Слов’янофільство - вияв приязні, симпатії до слов’янства, зацікавлення ним з боку різних громадсько-політичних та культурних діячів, які, виходячи з етнічної та мовної спорідненості слов’ян, підтримували ідею їхнього тісного єднання. Форми вияву слов’янофільства були найрізноманітнішими...
70235. Діалектико-матеріалістичні погляди К. Маркса, Ф.Енгельса, В.І. Леніна 99.5 KB
  Перший виклад диалектичного матерiалiзму здiйснений 6ув Марксом у групi праць, написаних мiж 1844-м i 1848 роком пiд впливом Фоєр6ахової матерiалiстичної iнтерпретацii Гегеля, i його можна вважати епiзодом у Марксовому зростаннi як революцiйного соцiалiста.
70236. Політичні концепції ХХ століття 72 KB
  Значною мірою на формування сучасної парадигми політичної науки вплинули праці німецького філософа соціолога історика Макса Вебера 1864-1920. Як бачимо вирішальне значення відведено вождеві й бюрократії другорядна роль парламенту що пояснюється негативною оцінкою їм політичних партій...
70237. Політичні погляди в Київській Русі 56 KB
  У IX—XII ст. в Київській Русі відбулося формування феодального суспільства і, звісно, стали розвиватися держава і право, політичні погляди, наука, література, філософія тощо. Важливу роль у цьому процесі, як і в усьому житті, відігравало християнство, яке сприяло розвиткові духовного...
70238. Платон, Сократ і проекти ідеального політичного устрою 36 KB
  Він вів пошуки раціонального логічно-понятійного обґрунтування обєктивного характеру етичних норм моральної природи держави і права. Основу нормального функціонування держави її благополуччя він вбачав у непорушності законів підпорядкуванні їм усіх громадян.