29828

Алгебраические критерии устойчивости

Лекция

Математика и математический анализ

Алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии устойчивости. Запасы устойчивости СУ. Понятие об областях устойчивости.

Русский

2013-08-21

115.5 KB

26 чел.

Лекция № 5

5.1. Алгебраические критерии устойчивости.

5.2. Частотные критерии устойчивости.

5.3. Запасы устойчивости СУ.

5.4. Понятие об областях устойчивости.

* * * * *

Критерии  устойчивости – правила определения положения корней уравнения.

Критерии делятся на:

  •  Алгебраические (находятся корни характеристического уравнения)
  •  Частотные (строится годограф)

Исследование устойчивости системы управления осуществляется:

  1.  После расчета или проектирования каждой системы управления необходимо проверить её устойчивость.
  2.  При проектировании или расчете системы управления определяются такие параметры настройки, которые обеспечивают заданный запас устойчивости.

5.1. Алгебраические критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют по корням характеристического уравнения А(р) судить об устойчивости системы:

А(р)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0,

здесь А(р) – знаменатель

В свою очередь алгебраические критерии устойчивости делятся на:

  1.  Критерий устойчивости Рауса.
  2.  Критерий устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Рауса: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно выполнение условий Рауса:

  •  an > 0
  •  an-1 > 0
  •   > 0
  •  и т.д.

Критерий устойчивости Гурвица: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы при an > 0 все диагональные определители матрицы Гурвица были > 0:

 

1=an-1> 0

2=an-1an-2-anan-3 > 0

.  .  .

n=a0n-1 > 0

Для первого и второго порядков условия Рауса и Гурвица требуют положительности всех коэффициентов уравнения.

Критерий устойчивости Рауса наиболее экономичен по объему вычислений, удобен для программирования, поэтому широко применяется для анализа задач устойчивости на ЭВМ.

Эти критерии позволяет рассчитывать пакет прикладных программ ТАУ-2.

Алгебраические критерии не позволяют судить об удалённости системы от границ устойчивости. Интуитивно эту удаленность можно оценить силой неравенств.

5.2. Частотные критерии устойчивости.

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента, который состоит в следующем:

A(p)=anpn+an-1pn-1+ … +a0

A(j)=an(j)n+an-1(j)n-1+ … +a0

()=arg[A(j)],   (0;)

()-(0)=,

т.е. приращение аргумента комплексного характеристического полинома A(j), при изменении частоты от 0 до должно удовлетворять этому условию: .

Частотные критерии устойчивости:

  •  критерий Михайлова
  •  критерий Найквиста

Критерий Михайлова:

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф (АФХ) характеристического уравнения системы A(j) при изменении частоты  от 0 до , начинаясь на действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, или же поворачивался на угол  в положительном (против часовой стрелки) направлении.

Примеры годографов устойчивых систем n порядка:

На границе устойчивости система будет находиться тогда, когда годограф Михайлова будет проходить через начало координат:

 Гр.уст.

Выводы: 1)изменение коэффициента передачи в системе смещает годограф влево или вправо, т.е. изменяя К можно менять устойчивость системы.

       2)с увеличением порядка n системы более 4 (n=5,6,…) объем вычислений годографа Михайлова резко возрастает, поэтому лучше использовать более эффективные методы и критерии устойчивости.

Критерий Найквиста:

Критерий Найквиста позволяет судить о замкнутой системе по частотным свойствам разомкнутой системы, причем АФХ разомкнутой системы можно получить экспериментально и для использования критерия устойчивости не надо проводить аппроксимацию, кроме того, АФХ разомкнутой системы проще АФХ замкнутой.

x        W1     W2         y

X    W1   Y  

   W2

Кольцо обратной связи: W1W2=Wраз(p), здесь Wраз(p)-ОПФ разомкнутой системы.

Для критерия Найквиста существуют 3 модификации в зависимости от устойчивости разомкнутой системы и вида её ОПФ (статическая или астатическая):

  1.  Пусть разомкнутая система разомкнута и статическая, т.е. , при этом в системе нет нулевого корня, т.е. ни один корень не равен нулю. Если разомкнутая статическая система управления устойчива, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку      (-1;j0) при изменении частоты от 0 до .

      j

          +

     (-1;j0)

Система будет находится на границе устойчивости, если её годограф проходит через точку (-1;j0).

Изменяя коэффициент передачи системы, можно изменять положение годографа относительно точки (-1;j0) и тем самым изменять устойчивость системы. Таким образом мы по годографу разомкнутой системы судим об устойчивости замкнутой системы.

  1.  Пусть разомкнутая система астатическая, т.е. ,   

она имеет нулевые корни, а  здесь – порядок астатизма. Число  определяет число интегрирующих звеньев в системе. Полином А(р) не имеет корней в правой полуплоскости и на мнимой оси. Такую классификацию мы называли нейтральной. Система управления, астатическая, нейтральная в разомкнутом состоянии, будет устойчива при замыкании, если годограф разомкнутой системы с его дополнением к  не охватывает точку (-1;j0) на действительной оси.

Все эти системы не охватывают точку (-1;j0).

Изобразим годографы неустойчивых систем:

  1.  Пусть ОПФ разомкнутой системы равна:  такова,    

что характеристическое уравнение А(р) имеет m корней в    

правой полуплоскости (Re > 0). Это говорит о том, что  система неустойчива.

Система неустойчивая в разомкнутом состоянии будет асимптотически устойчива при замыкании, если при изменении частоты от 0 до годограф Wраз(j) m/2 раз охватывает точку (-1;j0) в положительном направлении, где m – число корней полинома А(р) лежащих в правой полуплоскости.

Рассмотрим пример:

m=2, Wраз(j) – неустойчивая система:

ВЫВОДЫ:

  1.  алгебраические критерии устойчивости используются при
  2.  критерий Михайлова удобно применять при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо  выяснить  влияние изменения структуры системы на ее устойчивость
  3.  критерий устойчивости  Найквиста – для сложных систем, если характеристики экспериментальные, кроме того позволяет исследовать системы, характеристики которых отличны от дробно рациональных
  4.  в вычислительном аспекте критерии Найквиста и Михайлова подобны
  5.  используя критерии устойчивости, можно определить параметры СУ, выводящие ее на границу устойчивости.

Так же разработан и широко используется логарифмический критерий устойчивости Найквиста:

  1.  Замкнутая система будет устойчива, если (ср)>0.
  2.  Замкнутая система будет устойчива, если для разомкнутой системы L()<0.

5.3. Запасы устойчивости СУ.

  Факта о наличии устойчивости системы иногда оказывается недостаточно, чаще требуется оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Это необходимо для того, что система, находящаяся по расчету близко к границе устойчивости при реализации может оказаться неустойчивой. Причиной этого может оказаться неточность реализации, неточности  математического описания системы, неучтенные возмущения и т.д.

  Алгебраические критерии устойчивости дают качественные понятия об устойчивости.

  Частотные критерии устойчивости дают представление о запасах устойчивости:

  1.  По фазе
  2.  По амплитуде L

- запас устойчивости по фазе

с – запас устойчивости по амплитуде (L=20*log(c))

При проектировании системы запасы устойчивости принято принимать следующими:

С = 0,2 0,4 (L 6  20 дБ)

= 30º 60º

5.4. Понятие об областях устойчивости.

Рассмотренные критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы управления с заданными параметрами или исследовать влияние параметров системы на её устойчивость, например определить критическое значение коэффициента передачи.

При проектировании системы важно знать не только то, что система устойчива, но важно также знать диапазон изменения параметров системы управления в пределах её устойчивости. Для этого строятся графики, определяющие граничные значения устойчивых параметров системы.

Рассмотрим построение границ устойчивости на примере. Пусть система управления состоит из П - регулятора и звена третьего порядка:

       U                             Wp(p)  Wo(p)                       Y

Wp(p)=Kp ;

Определить критическое значение коэффициента передачи системы, выводящее замкнутую систему на границу устойчивости.

РЕШЕНИЕ:

Решим с использованием критерия устойчивости Найквиста:

Wраз(j)= –1

   Wраз()=1

   

   ()= –

,

К=КрКо

 

 раз()= –3*arctg(T)= –

arctg(T)= / 3

T =   = / T

Подставляем  в первое уравнение и определяем Ккрит :

  Ккрит=8

Значит КоКр < 8, Кр=8/Ко

             kp

                                                                 

  Неуст.      Неуст.  

       Уст.                                 

                      ko

 Неуст.       Неуст.

Для построения областей устойчивости применяются специальные методы:

  •  Метод Вышнеградского
  •  Метод корневого годографа
  •  Метод D-разбиения плоскости одного параметра
  •  Метод D-разбиения плоскости двух параметров


n=2

n=1

n=3

n=4

n=5

j

Re

j

                               Re

не уст.

на гран. уст.

уст.

j

-1

+

j

+

-1

j

=0

=

+

-

j

ср

-1

+

o

0

o

-1

+

c

j

неустойчивая область

устойчивая область

К

0   1   2    3   4    5    6   7  8    9   10   

c


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60547. Загальна характеристика системи освіти США 55 KB
  У більшості селищ відкривалося граматичні школи в яких готували учні для подальшого навчання в університетах. Як результат до кінця IX століття школи змогли запропонувати учням вивчення латині тваринництва арифметики курси ведення домашнього господарства і догляду за дітьми та хворими.