29828

Алгебраические критерии устойчивости

Лекция

Математика и математический анализ

Алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии устойчивости. Запасы устойчивости СУ. Понятие об областях устойчивости.

Русский

2013-08-21

115.5 KB

26 чел.

Лекция № 5

5.1. Алгебраические критерии устойчивости.

5.2. Частотные критерии устойчивости.

5.3. Запасы устойчивости СУ.

5.4. Понятие об областях устойчивости.

* * * * *

Критерии  устойчивости – правила определения положения корней уравнения.

Критерии делятся на:

  •  Алгебраические (находятся корни характеристического уравнения)
  •  Частотные (строится годограф)

Исследование устойчивости системы управления осуществляется:

  1.  После расчета или проектирования каждой системы управления необходимо проверить её устойчивость.
  2.  При проектировании или расчете системы управления определяются такие параметры настройки, которые обеспечивают заданный запас устойчивости.

5.1. Алгебраические критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют по корням характеристического уравнения А(р) судить об устойчивости системы:

А(р)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0,

здесь А(р) – знаменатель

В свою очередь алгебраические критерии устойчивости делятся на:

  1.  Критерий устойчивости Рауса.
  2.  Критерий устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Рауса: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно выполнение условий Рауса:

  •  an > 0
  •  an-1 > 0
  •   > 0
  •  и т.д.

Критерий устойчивости Гурвица: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы при an > 0 все диагональные определители матрицы Гурвица были > 0:

 

1=an-1> 0

2=an-1an-2-anan-3 > 0

.  .  .

n=a0n-1 > 0

Для первого и второго порядков условия Рауса и Гурвица требуют положительности всех коэффициентов уравнения.

Критерий устойчивости Рауса наиболее экономичен по объему вычислений, удобен для программирования, поэтому широко применяется для анализа задач устойчивости на ЭВМ.

Эти критерии позволяет рассчитывать пакет прикладных программ ТАУ-2.

Алгебраические критерии не позволяют судить об удалённости системы от границ устойчивости. Интуитивно эту удаленность можно оценить силой неравенств.

5.2. Частотные критерии устойчивости.

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента, который состоит в следующем:

A(p)=anpn+an-1pn-1+ … +a0

A(j)=an(j)n+an-1(j)n-1+ … +a0

()=arg[A(j)],   (0;)

()-(0)=,

т.е. приращение аргумента комплексного характеристического полинома A(j), при изменении частоты от 0 до должно удовлетворять этому условию: .

Частотные критерии устойчивости:

  •  критерий Михайлова
  •  критерий Найквиста

Критерий Михайлова:

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф (АФХ) характеристического уравнения системы A(j) при изменении частоты  от 0 до , начинаясь на действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, или же поворачивался на угол  в положительном (против часовой стрелки) направлении.

Примеры годографов устойчивых систем n порядка:

На границе устойчивости система будет находиться тогда, когда годограф Михайлова будет проходить через начало координат:

 Гр.уст.

Выводы: 1)изменение коэффициента передачи в системе смещает годограф влево или вправо, т.е. изменяя К можно менять устойчивость системы.

       2)с увеличением порядка n системы более 4 (n=5,6,…) объем вычислений годографа Михайлова резко возрастает, поэтому лучше использовать более эффективные методы и критерии устойчивости.

Критерий Найквиста:

Критерий Найквиста позволяет судить о замкнутой системе по частотным свойствам разомкнутой системы, причем АФХ разомкнутой системы можно получить экспериментально и для использования критерия устойчивости не надо проводить аппроксимацию, кроме того, АФХ разомкнутой системы проще АФХ замкнутой.

x        W1     W2         y

X    W1   Y  

   W2

Кольцо обратной связи: W1W2=Wраз(p), здесь Wраз(p)-ОПФ разомкнутой системы.

Для критерия Найквиста существуют 3 модификации в зависимости от устойчивости разомкнутой системы и вида её ОПФ (статическая или астатическая):

  1.  Пусть разомкнутая система разомкнута и статическая, т.е. , при этом в системе нет нулевого корня, т.е. ни один корень не равен нулю. Если разомкнутая статическая система управления устойчива, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку      (-1;j0) при изменении частоты от 0 до .

      j

          +

     (-1;j0)

Система будет находится на границе устойчивости, если её годограф проходит через точку (-1;j0).

Изменяя коэффициент передачи системы, можно изменять положение годографа относительно точки (-1;j0) и тем самым изменять устойчивость системы. Таким образом мы по годографу разомкнутой системы судим об устойчивости замкнутой системы.

  1.  Пусть разомкнутая система астатическая, т.е. ,   

она имеет нулевые корни, а  здесь – порядок астатизма. Число  определяет число интегрирующих звеньев в системе. Полином А(р) не имеет корней в правой полуплоскости и на мнимой оси. Такую классификацию мы называли нейтральной. Система управления, астатическая, нейтральная в разомкнутом состоянии, будет устойчива при замыкании, если годограф разомкнутой системы с его дополнением к  не охватывает точку (-1;j0) на действительной оси.

Все эти системы не охватывают точку (-1;j0).

Изобразим годографы неустойчивых систем:

  1.  Пусть ОПФ разомкнутой системы равна:  такова,    

что характеристическое уравнение А(р) имеет m корней в    

правой полуплоскости (Re > 0). Это говорит о том, что  система неустойчива.

Система неустойчивая в разомкнутом состоянии будет асимптотически устойчива при замыкании, если при изменении частоты от 0 до годограф Wраз(j) m/2 раз охватывает точку (-1;j0) в положительном направлении, где m – число корней полинома А(р) лежащих в правой полуплоскости.

Рассмотрим пример:

m=2, Wраз(j) – неустойчивая система:

ВЫВОДЫ:

  1.  алгебраические критерии устойчивости используются при
  2.  критерий Михайлова удобно применять при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо  выяснить  влияние изменения структуры системы на ее устойчивость
  3.  критерий устойчивости  Найквиста – для сложных систем, если характеристики экспериментальные, кроме того позволяет исследовать системы, характеристики которых отличны от дробно рациональных
  4.  в вычислительном аспекте критерии Найквиста и Михайлова подобны
  5.  используя критерии устойчивости, можно определить параметры СУ, выводящие ее на границу устойчивости.

Так же разработан и широко используется логарифмический критерий устойчивости Найквиста:

  1.  Замкнутая система будет устойчива, если (ср)>0.
  2.  Замкнутая система будет устойчива, если для разомкнутой системы L()<0.

5.3. Запасы устойчивости СУ.

  Факта о наличии устойчивости системы иногда оказывается недостаточно, чаще требуется оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Это необходимо для того, что система, находящаяся по расчету близко к границе устойчивости при реализации может оказаться неустойчивой. Причиной этого может оказаться неточность реализации, неточности  математического описания системы, неучтенные возмущения и т.д.

  Алгебраические критерии устойчивости дают качественные понятия об устойчивости.

  Частотные критерии устойчивости дают представление о запасах устойчивости:

  1.  По фазе
  2.  По амплитуде L

- запас устойчивости по фазе

с – запас устойчивости по амплитуде (L=20*log(c))

При проектировании системы запасы устойчивости принято принимать следующими:

С = 0,2 0,4 (L 6  20 дБ)

= 30º 60º

5.4. Понятие об областях устойчивости.

Рассмотренные критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы управления с заданными параметрами или исследовать влияние параметров системы на её устойчивость, например определить критическое значение коэффициента передачи.

При проектировании системы важно знать не только то, что система устойчива, но важно также знать диапазон изменения параметров системы управления в пределах её устойчивости. Для этого строятся графики, определяющие граничные значения устойчивых параметров системы.

Рассмотрим построение границ устойчивости на примере. Пусть система управления состоит из П - регулятора и звена третьего порядка:

       U                             Wp(p)  Wo(p)                       Y

Wp(p)=Kp ;

Определить критическое значение коэффициента передачи системы, выводящее замкнутую систему на границу устойчивости.

РЕШЕНИЕ:

Решим с использованием критерия устойчивости Найквиста:

Wраз(j)= –1

   Wраз()=1

   

   ()= –

,

К=КрКо

 

 раз()= –3*arctg(T)= –

arctg(T)= / 3

T =   = / T

Подставляем  в первое уравнение и определяем Ккрит :

  Ккрит=8

Значит КоКр < 8, Кр=8/Ко

             kp

                                                                 

  Неуст.      Неуст.  

       Уст.                                 

                      ko

 Неуст.       Неуст.

Для построения областей устойчивости применяются специальные методы:

  •  Метод Вышнеградского
  •  Метод корневого годографа
  •  Метод D-разбиения плоскости одного параметра
  •  Метод D-разбиения плоскости двух параметров


n=2

n=1

n=3

n=4

n=5

j

Re

j

                               Re

не уст.

на гран. уст.

уст.

j

-1

+

j

+

-1

j

=0

=

+

-

j

ср

-1

+

o

0

o

-1

+

c

j

неустойчивая область

устойчивая область

К

0   1   2    3   4    5    6   7  8    9   10   

c


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66941. Внеклассное мероприятие по английскому языку «Великобритания» 35.5 KB
  Thank you, and now I want you to know more about our teams. Let introduce with our teams. The competition consists of several tasks. The 1st task is to answer the questions about Great Britain. If your answer is correct the team will get one point. If your answer is wrong the second team will be allowed to give the answer.
66942. Досліджую свою оселю 72.5 KB
  Мета: вчити учнів досліджувати своє довкілля, робити висновки зі своїх досліджень, формувати у дітей уявлення про різноманітність архітектурних споруд, викликати інтерес до пізнання через дослідження, розвивати прагнення прикрасити, зробити комфортнішою свою оселю...
66943. Від пірамід до хмарочосів 1.16 MB
  Мета заходу: ознайомити учнів – випускників шкіл з професією будівельника, показати велич та красу цієї професії, довести, що професія будівельника – це постійний пошук та нескінченна творчість, допомогти дитині зробити професійний вибір відповідно своїм здібностям, інтересам, нахилам.
66944. Закріплення звукового значення букви «ґе». Опрацювання тексту «Ґави і Галаган» 76 KB
  Хід уроку Організаційний момент Вчитель Стали діти рівненько привітайте один одного посмішками починаємо наш урок читання. Рідну мову ми вивчаємо ЇЇ любимо не забуваємо Вчитель Як ми будемо працювати Учні Працюватимемо старанно. Щоб почути у кінці Що у нашім першім класі Діти просто молодці...
66945. ПРОЩАВАЙ, БУКВАРИКУ, НАШ РОЗУМНИЙ ДРУЖЕ! МИ ТОБІ, БУКВАРИКУ, ДЯКУЄМО ДУЖЕ! 153 KB
  Мета. Узагальнити і систематизувати знання учнів з навчання грамоти, розвивати мовлення, логічне мислення, вміння читати, спостережливість, увагу,допитливість. Виховувати повагу один до одного, інтерес до навчання. Під музику до зали заходять діти.
66946. Праздник букваря 64.37 KB
  Учитель: Сегодня мы собрались, чтоб отметить первую маленькую победу в вашей жизни. Вы закончили знакомство с алфавитом, гласными и согласными звуками, научились складывать буквы в слоги, слоги - в слова, слова в предложения. Научились читать и писать.
66947. Свято Букваря 148 KB
  Дорогі діти, шановні батьки і гості. Сьогодні урочисте Свято Букваря. Ще вчора наші першокласники перегорнули останню сторінку цієї книги вони закінчили знайомитись з літерами. Сьогодні ми святкуємо першу перемогу наших наймолодших школярів.
66948. Свято Букварика 49 KB
  Ясне сонечко проміння Посилає щедро в клас Це воно напевно знає Що сьогодні свято в нас 2 учень В першім класі урочистий День прощання з Букварем. Пригадайно як колись ти Був маленьким школярем 3 учень Є святкових днів багато На листках календаря А між ними й наше свято вшанування Букваря...
66949. Прощание с Букварем 98.5 KB
  Оформление: сцена в актовом зале празднично украшена плакатами с изображением сказочных героев, буквами русского алфавита, шарами, гирляндами «Прощай, школа», «Здравствуй, лето!», выставка книг. До начала праздника звучат детские песни. Затем раздается звуковой сигнал. Выходит ведущая.