29828

Алгебраические критерии устойчивости

Лекция

Математика и математический анализ

Алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии устойчивости. Запасы устойчивости СУ. Понятие об областях устойчивости.

Русский

2013-08-21

115.5 KB

26 чел.

Лекция № 5

5.1. Алгебраические критерии устойчивости.

5.2. Частотные критерии устойчивости.

5.3. Запасы устойчивости СУ.

5.4. Понятие об областях устойчивости.

* * * * *

Критерии  устойчивости – правила определения положения корней уравнения.

Критерии делятся на:

  •  Алгебраические (находятся корни характеристического уравнения)
  •  Частотные (строится годограф)

Исследование устойчивости системы управления осуществляется:

  1.  После расчета или проектирования каждой системы управления необходимо проверить её устойчивость.
  2.  При проектировании или расчете системы управления определяются такие параметры настройки, которые обеспечивают заданный запас устойчивости.

5.1. Алгебраические критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют по корням характеристического уравнения А(р) судить об устойчивости системы:

А(р)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0,

здесь А(р) – знаменатель

В свою очередь алгебраические критерии устойчивости делятся на:

  1.  Критерий устойчивости Рауса.
  2.  Критерий устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Рауса: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно выполнение условий Рауса:

  •  an > 0
  •  an-1 > 0
  •   > 0
  •  и т.д.

Критерий устойчивости Гурвица: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы при an > 0 все диагональные определители матрицы Гурвица были > 0:

 

1=an-1> 0

2=an-1an-2-anan-3 > 0

.  .  .

n=a0n-1 > 0

Для первого и второго порядков условия Рауса и Гурвица требуют положительности всех коэффициентов уравнения.

Критерий устойчивости Рауса наиболее экономичен по объему вычислений, удобен для программирования, поэтому широко применяется для анализа задач устойчивости на ЭВМ.

Эти критерии позволяет рассчитывать пакет прикладных программ ТАУ-2.

Алгебраические критерии не позволяют судить об удалённости системы от границ устойчивости. Интуитивно эту удаленность можно оценить силой неравенств.

5.2. Частотные критерии устойчивости.

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента, который состоит в следующем:

A(p)=anpn+an-1pn-1+ … +a0

A(j)=an(j)n+an-1(j)n-1+ … +a0

()=arg[A(j)],   (0;)

()-(0)=,

т.е. приращение аргумента комплексного характеристического полинома A(j), при изменении частоты от 0 до должно удовлетворять этому условию: .

Частотные критерии устойчивости:

  •  критерий Михайлова
  •  критерий Найквиста

Критерий Михайлова:

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф (АФХ) характеристического уравнения системы A(j) при изменении частоты  от 0 до , начинаясь на действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, или же поворачивался на угол  в положительном (против часовой стрелки) направлении.

Примеры годографов устойчивых систем n порядка:

На границе устойчивости система будет находиться тогда, когда годограф Михайлова будет проходить через начало координат:

 Гр.уст.

Выводы: 1)изменение коэффициента передачи в системе смещает годограф влево или вправо, т.е. изменяя К можно менять устойчивость системы.

       2)с увеличением порядка n системы более 4 (n=5,6,…) объем вычислений годографа Михайлова резко возрастает, поэтому лучше использовать более эффективные методы и критерии устойчивости.

Критерий Найквиста:

Критерий Найквиста позволяет судить о замкнутой системе по частотным свойствам разомкнутой системы, причем АФХ разомкнутой системы можно получить экспериментально и для использования критерия устойчивости не надо проводить аппроксимацию, кроме того, АФХ разомкнутой системы проще АФХ замкнутой.

x        W1     W2         y

X    W1   Y  

   W2

Кольцо обратной связи: W1W2=Wраз(p), здесь Wраз(p)-ОПФ разомкнутой системы.

Для критерия Найквиста существуют 3 модификации в зависимости от устойчивости разомкнутой системы и вида её ОПФ (статическая или астатическая):

  1.  Пусть разомкнутая система разомкнута и статическая, т.е. , при этом в системе нет нулевого корня, т.е. ни один корень не равен нулю. Если разомкнутая статическая система управления устойчива, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку      (-1;j0) при изменении частоты от 0 до .

      j

          +

     (-1;j0)

Система будет находится на границе устойчивости, если её годограф проходит через точку (-1;j0).

Изменяя коэффициент передачи системы, можно изменять положение годографа относительно точки (-1;j0) и тем самым изменять устойчивость системы. Таким образом мы по годографу разомкнутой системы судим об устойчивости замкнутой системы.

  1.  Пусть разомкнутая система астатическая, т.е. ,   

она имеет нулевые корни, а  здесь – порядок астатизма. Число  определяет число интегрирующих звеньев в системе. Полином А(р) не имеет корней в правой полуплоскости и на мнимой оси. Такую классификацию мы называли нейтральной. Система управления, астатическая, нейтральная в разомкнутом состоянии, будет устойчива при замыкании, если годограф разомкнутой системы с его дополнением к  не охватывает точку (-1;j0) на действительной оси.

Все эти системы не охватывают точку (-1;j0).

Изобразим годографы неустойчивых систем:

  1.  Пусть ОПФ разомкнутой системы равна:  такова,    

что характеристическое уравнение А(р) имеет m корней в    

правой полуплоскости (Re > 0). Это говорит о том, что  система неустойчива.

Система неустойчивая в разомкнутом состоянии будет асимптотически устойчива при замыкании, если при изменении частоты от 0 до годограф Wраз(j) m/2 раз охватывает точку (-1;j0) в положительном направлении, где m – число корней полинома А(р) лежащих в правой полуплоскости.

Рассмотрим пример:

m=2, Wраз(j) – неустойчивая система:

ВЫВОДЫ:

  1.  алгебраические критерии устойчивости используются при
  2.  критерий Михайлова удобно применять при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо  выяснить  влияние изменения структуры системы на ее устойчивость
  3.  критерий устойчивости  Найквиста – для сложных систем, если характеристики экспериментальные, кроме того позволяет исследовать системы, характеристики которых отличны от дробно рациональных
  4.  в вычислительном аспекте критерии Найквиста и Михайлова подобны
  5.  используя критерии устойчивости, можно определить параметры СУ, выводящие ее на границу устойчивости.

Так же разработан и широко используется логарифмический критерий устойчивости Найквиста:

  1.  Замкнутая система будет устойчива, если (ср)>0.
  2.  Замкнутая система будет устойчива, если для разомкнутой системы L()<0.

5.3. Запасы устойчивости СУ.

  Факта о наличии устойчивости системы иногда оказывается недостаточно, чаще требуется оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Это необходимо для того, что система, находящаяся по расчету близко к границе устойчивости при реализации может оказаться неустойчивой. Причиной этого может оказаться неточность реализации, неточности  математического описания системы, неучтенные возмущения и т.д.

  Алгебраические критерии устойчивости дают качественные понятия об устойчивости.

  Частотные критерии устойчивости дают представление о запасах устойчивости:

  1.  По фазе
  2.  По амплитуде L

- запас устойчивости по фазе

с – запас устойчивости по амплитуде (L=20*log(c))

При проектировании системы запасы устойчивости принято принимать следующими:

С = 0,2 0,4 (L 6  20 дБ)

= 30º 60º

5.4. Понятие об областях устойчивости.

Рассмотренные критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы управления с заданными параметрами или исследовать влияние параметров системы на её устойчивость, например определить критическое значение коэффициента передачи.

При проектировании системы важно знать не только то, что система устойчива, но важно также знать диапазон изменения параметров системы управления в пределах её устойчивости. Для этого строятся графики, определяющие граничные значения устойчивых параметров системы.

Рассмотрим построение границ устойчивости на примере. Пусть система управления состоит из П - регулятора и звена третьего порядка:

       U                             Wp(p)  Wo(p)                       Y

Wp(p)=Kp ;

Определить критическое значение коэффициента передачи системы, выводящее замкнутую систему на границу устойчивости.

РЕШЕНИЕ:

Решим с использованием критерия устойчивости Найквиста:

Wраз(j)= –1

   Wраз()=1

   

   ()= –

,

К=КрКо

 

 раз()= –3*arctg(T)= –

arctg(T)= / 3

T =   = / T

Подставляем  в первое уравнение и определяем Ккрит :

  Ккрит=8

Значит КоКр < 8, Кр=8/Ко

             kp

                                                                 

  Неуст.      Неуст.  

       Уст.                                 

                      ko

 Неуст.       Неуст.

Для построения областей устойчивости применяются специальные методы:

  •  Метод Вышнеградского
  •  Метод корневого годографа
  •  Метод D-разбиения плоскости одного параметра
  •  Метод D-разбиения плоскости двух параметров


n=2

n=1

n=3

n=4

n=5

j

Re

j

                               Re

не уст.

на гран. уст.

уст.

j

-1

+

j

+

-1

j

=0

=

+

-

j

ср

-1

+

o

0

o

-1

+

c

j

неустойчивая область

устойчивая область

К

0   1   2    3   4    5    6   7  8    9   10   

c


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83758. Правовое регулирование земельного налога: общие положения, налогоплательщики, основные элементы налога, особенности местного (муниципального) законодательства 43.68 KB
  Плательщики налога Плательщиками налога признаются физические лица обладающие земельными участками признаваемыми объектом налогообложения в соответствии со ст. В отношении земельных участков используемых предназначенных для использования в предпринимательской деятельности налоговая база по налогу и исчисление суммы налога суммы авансовых платежей по налогу производится индивидуальными предпринимателями самостоятельно на основании сведений государственного кадастра недвижимости о каждом земельном участке. Ставки налога Налоговые ставки...
83759. Правовое регулирование налога на имущество физических лиц: общие положения, налогоплательщики, основные элементы налога, особенности местного (муниципального) законодательства 43.26 KB
  1991 № 20031 О налогах на имущество физических лиц далее Закон №20031. Плательщиками налога признаются физические лица собственники имущества признаваемого объектом налогообложения ст.2009 № 283ФЗ Ставки налога Ставки налога устанавливаются нормативными правовыми актами представительных органов местного самоуправления законами городов федерального значения Москвы и СанктПетербурга в зависимости от суммарной инвентаризационной стоимости объектов налогообложения.
83760. Правовое регулирование страховых взносов в государственные внебюджетные фонды: общие положения, налогоплательщики, основные элементы и особенности уплаты 40.83 KB
  В соответствии с пунктом 10 Положения о Государственном фонде занятости населения Российской Федерации утвержденного постановлением Верховного Совета Российской Федерации от 08. Статьей 22 Закона Российской Федерации от 19.91 О занятости населения в Российской Федерации в редакции Закона Российской Федерации от 15.92 N 33071 О внесении изменений и дополнений в Закон РСФСР О занятости населения в РСФСР установлено что Фонд занятости образуется за счет: обязательных страховых взносов работодателей; обязательных страховых взносов с...
83761. Налоги и сборы как источники государственных доходов. Роль налогов 44.13 KB
  Налоги и сборы неотъемлемый атрибут и органическая часть государства без них немыслима реализация задач и функций института государства. Являются финансовоэкономическим фундаментом института государства который состоит в изъятии части дохода извлекаемого из потребления факторов производства в пользу государства для формирования его централизованных финансовых ресурсов бюджета. Налог обязательный индивидуально безвозмездный платеж взимаемый с организаций и физических лиц в форме отчуждения принадлежащих им на праве собственности...
83762. Юридическое определение налога, сбора, пошлины. Их главные юридические черты 44.29 KB
  Универсального определения налога в котором были бы корректно отражены все его стороны в настоящее время не существует а различные определения налога обычно отражают либо те либо иные его особенности. Кроме того с течением времени представления о сути налога также меняются. Дать точное определение налога необходимо по ряду причин: 1 категория налог является главной для НП для финансов и ФП для экономики; 2 емкое определение понятия налог позволяет отделить его от других платежей; 3 правильная формулировка налога поможет четко...
83763. Функции налога 45.43 KB
  Сущность налогов как экономикоправовой категории их роль и общественное назначение могут быть раскрыты на основе их функций. Функции налогов выражают наиболее существенные главные черты правовых механизмов налогообложения и направлены на достижение конкретных задач стоящих перед НП. Существующие подходы к проблеме налоговых функций можно условно разделить на три группы: только фискальная функция; фискальная и регулирующая присущие высокоразвитым рыночным отношениям; многофункциональное проявление сущности налогов кроме фискальной и...
83764. Виды налогов и основания их классификации 46.97 KB
  В настоящее время система налогов и сборов Российской Федерации довольно обширна и в некоторой степени громоздка. Вместе с тем каждый налог индивидуален поскольку предполагает собственную правовую конструкцию и занимает строго определенное место не только в системе налогов и сборов но и в финансовой системе в целом. Выяснение местоположения каждого налога в финансовой системе координат способствует точному установлению механизма его введения определению уровня бюджета в который зачисляется каждый налог круга плательщиков и перечня...
83765. Налоговая система. Основы законодательства о налогах и сборах. Принципы налогообложения 48.43 KB
  Понятие НС сегодня следует отнести к дискуссионным вопросам и актуальному предмету исследования в сфере налогов.2: НС это совокупность налогов сборов пошлин и других платежей взимаемых в установленном порядке.: НС это совокупность установленных в государстве существенных условий налогообложения установленных НП и налоговым законодательством. 3 НК порядок установления и введения налогов часть 1 НК система налогов совокупность отдельных налогов обладающая организационноправовым и экономическим единством.
83766. Элементы юридического состава налога. Основные и факультативные. Понятие и их правовое значение 43.59 KB
  Обязанность плательщика по уплате налога устанавливается совокупностью элементов юридического состава налога. Элементы налога это внутренние исходные функциональные единицы которые в своей совокупности составляют юридическую конструкцию налога и придают им их универсальность. Обязательные существенные элементы юридического состава налога это элементы без которых налоговое обязательство и порядок его исполнения не могут считаться определенными.