29829

Анализ импульсных систем управления

Лекция

Математика и математический анализ

Эквивалентная схема импульсной системы управления. Динамические характеристики разомкнутой системы управления. Эквивалентная схема замкнутой импульсной системы управления. Динамические характеристики замкнутой импульсной системы управления.

Русский

2013-08-21

282 KB

9 чел.

Лекция № 3.

Анализ импульсных систем управления.

1. Эквивалентная схема импульсной системы управления.

2. Прохождение сигнала через импульсную систему управления.

3. Динамические характеристики разомкнутой системы управления.

4. Эквивалентная схема замкнутой импульсной системы управления.

5. Динамические характеристики замкнутой импульсной системы управления.

3.1 Эквивалентная схема импульсной системы управления.

         Рассмотрим особенности импульсной системы управления и разработаем расчётную эквивалентную схему импульсной системы управления.

                                                W(p)

(t)                u(t)        (t)                т(t)                  u(t)                                                 рис. 3.1

                                                                                                                                                                                              

                                                 

      импульсное                         дельта-             формирователь

             звено                                    -модулятор             импульсов

        В таблице 3.2 приведены функции и частотные характеристики формирующих звеньев для некоторых типов импульсов.

                                                                                                                                      табл. 3.2

     Форма импульса                 Передаточная                            Wф(jw)                               Частотные

                                                    функция  Wф(p)                                                                характеристики

                                                                                                                                                    Wф

        S(t)                                          1 e-pТ                          sin (Т/2)                 Т    

    1                                                                                        Т                              

                                                                              p                                     Т/2                                    0       /       2  /      

                                                                                                                       e –jw(Т/2)                        -      

    0            Т         Т     t

                                                                                                                                                       Wф     

        s(t)                                                                               Т     sin4(Т/4)            Т/2

   1                                          2        (1- e-pТ/2)2        2        (Т/4)2      

                                                                                                                             0              2/    

                                              Т               p2                          e-jw(Т/2)                            

    0    1/2Т            Т      t                                                                                                  -2        

               

        s(t)                                                                                                                                      Wф 

                                                                /                     2Т        cos(Т/2)            2Т/                 5/2        

    1                                              Т                                                                              

   P2Т2+(/)2                                1-(2Т/2)2                        0    3 /2              

                                                   (1+e-pТ)                       e-jТ/2                                 -/2 - - - - - - - - -

   0         Т      Т   t                                                                       -3/2        

                                                                                                                                                    Wф    

         s(t)                                           Т                            Т                 1                     Т/3                  

    1                                                                                                                            

    pТ+3/                    3     [1+(Т/3)2]1/2               0     /    2/     

                                                                                                                                            

                             t                                                      e-jarctg(Т/3)             -/2  - - - - - - - - -                       

     0           Т         Т                                                                                                                                             

          Если используется амплитудно-импульсная модуляция прямоугольными импульсами длительностью Т , где 1 ,то Wф(p) = (1-e-jтp)/p = 1-z-j/p

Представим эквивалентную схему (рис.3.3):

                                                                                         Вычисл-ное               Демоду-                               рис.3.3     

                                                                             устр-во                    лятор

                                                                                            

u(t)            (t)                т(t)                    u(t)                    u(t)                    (t)                   y(t)

                                                                                                                                                                   

                                                                                                                                                                                                                            

                                           

   

           

        

          В импульсных системах в качестве вычислительных устройств и демодуляторов используются исполнительные механизмы, которые и формируют закон управления

(чаще всего реализуется интегральный закон управления). Таким образом преобразуем схему, исключив блок с WВУ(p):

                                                                                                                                              рис.3.4

                                                                         

u(t)            (t)                т(t)                    u(t)                    (t)                                               y(t)

                                                                                                                                                                   

                                                                                                           

                                                               

                                                                           непрерывная часть системы  

                                                                                                           

   

         Блок , состоящий из демодулятора и объекта (рис3.4), является непрерывной частью системы. Операторная передаточная функция непрерывной части системы следующая:                                                                      

Wнч(p) = Wдм(p) Wo(p)

       

       Если к непрерывной части отнести ещё и формирователь, то получится

приведённая непрерывная часть (рис3.5).

                                                                                                                                             рис.3.5

u(t)            (t)                т(t)                    u(t)                    (t)                                               y(t)

                                                                                                                                                                   

                                                                                                           

                                                

                                       приведённая непрерывная часть системы  

                                                                                                           

Операторная передаточная функция приведённой непрерывной части системы:

Wпнч(p) = Wф(p) Wнч(p)

         Таким образом эквивалентная структурная схема импульсной системы управления следующая (рис.3.6):

u(t)            (t)                т(t)                                  y(t)                                                         рис.3.6   

                                                                                                                                                                   

                                                                                                           

                                                                               

Выводы:

                1). Рассмотренная схема импульсного управления наиболее простая и  рас-                                                                                 

         пространённая. Закон управления  формируется исполнительным  меха-

         низмом. Чаще всего это интегральный закон.

    2). В импульсной системе управления  возможна реализация  более сложных

         законов управления, которые формируются с помощью корректитующих

         обратных связей. Такими обратными связями охватывается исполнитель-

         ный механизм, либо корректирующее звено, включающееся в цепь обрат-

         ной связи системы.

    3). При импульсной модуляции сигнал получает запаздывание относительно

         исходного сигнала.  Наименьшее запаздывание носит импульсный сигнал

         экспоненциальной формы (рис. 3.7)

                    S(t)             рис.3.7          

                            Сигнал с зап-нием

                        

                                                                      = 1/3 Т                                                                 

                                                Исх. сигнал

                                            

                                                                          t

    4). При синтезе импульсной системы управления необходимо выбирать зна-

         чения параметров, не ухудшающих качество управления по сравнению с

         непрерывными системами.

    5). В некоторых случаях при реализации специальных импульсных алгорит-

         мов качество импульсной  системы может быть лучше  чем непрерывной.  

         В импульсных системах могут возникать погрешности, характерные для

         дискретных систем, связанные с потерей инфор-ции при   дискритизации.

         Для  уменьшения  погрешности  нужно выбирать частоту дискритизации

         больше. Рекомендуется  выбирать  т= 50 max , где max-это максималь-

         ная частота обрабатываемых сигналов.

         Если на импульсную систему  действует периодическое  возмущение с пе-

         риодом  равным чётному количеству тактов Тв = 2Т, 4Т,  и т. д., то может

         оказаться, что регулятор вообще не  будет реагировать на изменение рас-

         согласования, вызванное этим  возмущением, т.е. система управления фи-

         зически окажется разомкнутой.  Для искажения такой ситуации интервал

         дискритизации Т<<Тmin в и Т<<Тнч .                                                                            

                                                                                                                                 рис.3.8              

              fв

                               Тв                                    t

                                                                     

        

                         sт(t)

                        0     Т       2Т     3Т     4Т                  t

3.2 Прохождение сигнала через импульсную систему управления.

    Рассмотрим разомкнутую импульсную систему управления (рис. 3.9)

                                 

                 (t)                т(t)                                  y(t)                                                         рис.3.9   

                                                                                                                                                            

                                                                                                                                              

                                                                      

        Произведём анализ данной системы спектральным методом. Для этого определим преобразование Фурье выходного сигнала.

 

Y( j) = Wпн(j)Eт(j)                                                                                         (1)

Eт(j) = {E(j) =F{(t)}}= 1 Т   E[j(+kт)]     ,  где т=2 Т

                                                     k=-

Таким образом, спектр выходного сигнала будет следующим:

                                   

Y(j)=Wпн(j)1 Т   E[j(+kт)]                                                           (2)

                                к=-  

Это говорит о том, что спектр выходного сигнала периодичен по частоте и существует на всей оси частот от  “- ”  до  “+ ”.

                                                                                                                      , k 

При k=0 из выражения(2)  Y(j)=1 ТWпн(j)E(j)+1 ТWпн(j)   E[j(+kт)]   (3) 

                                                                                                                                                                k= -    

Первое слагаемое в выражении(3)представляет собой спектр выходного сигнала, который имел бы место в непрерывной системе с комплексной передаточной функцией: W(j)=1ТWпн(j). Второе слагаемое-это сумма транспонированных спектральных составляющих. Она отображает влияние импульсного звена на спектр импульсного сигнала.

Поясним графически полученный результат (рис.3.10):

                                                                                                                                           рис.3.10

                                                                                            Eт(j)

                                                                                        Wпн()

                                                                            E(j)                   

                                                                                                            

                                               -т         -гр  0   гр           т              гр1   

                                                                                                                                      

                                                                         ТY()

                                                                                                                                      

Будем считать выполнимыми условия теоремы Котельникова. Ширина спектра сигнала т (рис.3.10) ограничена частотой гр и т 2гр . Полоса пропускания приведённой непрерывной части [-гр1,гр1] .

Выводы:

                1). Наличие дельта-модулятора в импульсной системе приводит к  появ-

                     лению в спектре дискретного сигнала т(t) высокочастотных составля-

                     ющих, которых не было во входном (t) сигнале. В спектре выходного

                     сигнала y(t) также имеются высокочастотные составляющие, которых не

                     было в спектре входного сигнала.

                2). В силу этого невозможно определить комплексную передаточную функ-

                     цию методом линейных систем, т.е. выразить как отношение:

                          

                3). Можно рассмотреть случай, когда гр1 т или же выбрать тгр+гр1.

                    

                                                                                            E(j)                                      рис.3.11

                                                  

                                                  

                                                                

                                                          

                                                        -т          -гр       гр гр1     т                       

             

                                                                  

                                                       

                                                        

                                                                

                                                                                                  

                      Вторым слагаемым в выражении (3) можно пренебречь и спектр выход-

                      ного сигнала будет следующим:  Y(j) =1 ТWпн(j)E(j) т.е. выходной

                      сигнал будет эквивалентен входному сигналу у некоторой непрерывной

                      системы с КПФ: 1/Т Wпн(j)  (рис.3.12)

                                                                                                                                        рис.3.12

                                E(j)         Y(j)

                                                  

                                                                                                                                                     

                                                                                                      

                      На практике условие:тгр+гр1 (4) выполняется, если постоянная вре-

                      мени Тнч  интервала дискритизации. Однако даже при выполнении ус-

                      ловия (4) импульсное звено оказывает влияние на свойства системы, т.к.

                      Wпн(j) = Wф(j)Wнч(j).

Главный вывод:

                               Между спектрами аналоговых сигналов y(t) и (t) в общем случае

                      нет пропорциональной связи. Следовательно, полученную эквивалент-

                      ную схему импульсной системы нельзя использовать для расчёта дина-

                      мических характеристик системы.

 

3.3 Динамические характеристики разомкнутой импульсной системы управления.

  

          Преобразуем схему разомкнутой импульсной системы управления таким образом, чтобы можно было ввести понятие передаточной функции.

            

                                                                                                   y(t)                                  рис.3.13

                  (t)                т(t)                                                                                             

                                                                                                                                                    yт(t)        

                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                                                  

Расчётная эквивалентная схема разомкнутой импульсной системы управления (рис.3.14):

                                                                   y(t)                                                                  рис.3.14

                                              (t)                                                                                                yт(t)        

                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                          gпн (t)                                                             

                                                 gт пн(t) =  gпн к (t-kt)

                                                                                                                k=0

СПФ: Wт.р(z) = gпн kz-k

КПФ: Wт.р(j) = gпн ke-jkт

ОПФ: Wт.р(p) = gпн k e-pkт

Выводы:

              1). Если ОПФ приведённой  непрерывной части представляет собой отноше-

                   ние полиномов:  ,  т.е. дробно-рациональную функцию, то

                   СПФ импульсной системы имеет вид:  , т.е. тоже дробно-ра-

                   циональная  функция. (При этом  степени  знаменателей совпадают , а сте-

                   пень числителя B(z) равна n-1).

              2). Если непрерывная часть импульсной системы имеет запаздывание = kT ,то

                   СПФ разомкнутой системы с запаздыванием:  

                   Такую же передаточную функцию будет   иметь система, запаздывание ко-

                   торой лежит в интервале   (k-1)T << kT  .

              3). Для  представления передаточной функции разомкнутой импульсной сис-

                   темы можно  использовать  полученные  ранее соотношения между спект-

                   ром  дискретного сигнала и  спектром  исходного  непрерывного сигнала.

                   .

                   Аналогичную  зависимость можно  записать и  для  КП функций, т.е.  КП

                   функцию можно выразить через отсчёты импульсной характеристики или

                   же через КП функцию непрерывной части.

                    

                    

                   Таким образом,  КПФ и ОПФ  разомкнутой   импульсной  системы перио-

                   дичны по частоте.

                   Периодичность  определяется  по мнимой оси,  поэтому эти характеристи-

                   ки принято рассматривать вдоль действительной оси на комплексной пло-

                   скости в диапазоне частот  или  (рис.3.15).        

                                                             j                                                                                                        рис.3.15

                                                                                т/2   

                                                                                                                                          

                                                                                --т2..                                          +                                 

                                      Таким образом, КПФ разомкнутой системы  т. е. Wт.р(j)  обладает                         

                   всеми свойствами КП функции дискретной системы, т.е. она периодична

                   ло частоте и симметрична относительно мнимой оси.    

              4). Если тактовая частота тгр+гр1 ,то :                               

                        

                              

                    Динамические характеристики разомкнутой системы  используются при

                    исследовании  устойчивости импульсных  систем, при анализе и синтезе

                    импульсных систем. Зная системную  передаточную  функцию разомкну-

                    той системы, можно олределить сигнал y(t) на выходе импульсной систе-

                    мы по алгоритму:

                    

                    В учебной и справочной  литературе  можно найти  таблицы функциона-

                    льно - связывающие  пространство  переменных  p,t,z .  Этими таблицами

                    можно воспользоваться для определения характеристик разомкнутой им-

                    пульсной системы, имея характеристики приведённой непрерывной части

                    системы. К сожалению, класс функций, имеющих такие соотношения огра

                    ничен.

Пример:

Определить передаточные функции разомкнутой ИСУ .

Решение:

1ый – метод: 

                      

                     

2ой – метод: {с использованием таблиц соответствий}  

                     

          (1)

                                                 (2)

3.4  Эквивалентная схема замкнутой импульсной системы управления.

u(t)            (t)                т(t)                                  y(t)                                                      рис.3.16   

                                                                                                                                                                   

                                                                                                           

                                                                               

На рис.3.16 представлена расчётная эквивалентная схема замкнутой импульсной системы управления.

                                                                                           y(t)

u(t)             (t)               т(t)                                                                                              рис.3.17   

                                                                                                                                 yт(t)                                  

                                                                                                           

                                                                               

                     

                

                                                                                           y(t)

 u(t)               uт(t)           т(t)                                                                                              рис.3.18   

                                                                                                                                 yт(t)                                  

                                                                                                           

                                                                               

Докажем, что схема (рис.3.17) эквивалентна предыдущей (рис.3.18):

(1) т(t) = [u(t)-y(t)]т  =

(2) т(t) = uт(t)-yт(t) =                =  

Следовательно, схемы (рис.3.17 и рис.3.18) эквивалентны.

Выделим из полученной схемы часть системы с дискретным выходом, т.е.:

u(t)             (t)                             y(t)                                                                                  рис.3.19

                                                                                                                                                                   

                                                                                                           

                                                                               

На рис.3.19 представлена расчётная эквивалентная схема замкнутой импульсной системы управления.

3.5 Динамические характеристики замкнутой импульсной системы управления.

Анализ:

          Основные результаты разомкнутой системы справедливы и для передаточной функции замкнутой системы:

1).      Если приведённая непрерывная часть импульсной системы имеет ограниченную полосу пропускания гр1  и  т  гр+гр1 , где гр – ширина спектра входного сигнала, гр1- ширина полосы пропускания разомкнутой системы:

 ,  

2).      Практически это условие выполняется, если постоянная времени непрерывной части системы  Tнч>>T.

3).       Если при этом спектр входного сигнала ограничен частотой гр , то замкнутая импульсная система ведёт себя также как замкнутая непрерывная система с КПФ разомкнутой части : Wр(j) = 1/TWпн(j).

4).   Если условия по выбору частоты т не выполняются, то  сказываются стробоскопические свойства импульсной системы, определяемые периодичностью КП функции замкнутой системы по оси частот и наложением спектров. При этом поведение импульсной системы существенно отличается от поведения аналогичной непрерывной системы.

5).   Условие  идентичности  импульсной  системы  и непрерывной системы определяется соотношением: тгр+гр1.

6).       Передаточные функции импульсной системы являются дробно-рациональными функциями относительно z. Порядок характеристического полинома знаменателя n равен порядку характеристического полинома непрерывной части системы. Если в системе есть запаздывание на к тактов, то порядок характеристического полинома знаменателя равен [n+к]. Порядок числителя в системе без запаздывания равен [n-1] ,  а в системе с запаздыванием равен [n] .   

7).  Передаточные функции замкнутой импульсной системы периодичны в пространстве переменной p по мнимой оси j. Поэтому эти характеристики принято рассматривать по мнимой оси в полосе частот  . В этом же диапазоне строится годограф разомкнутой или замкнутой системы управления.    

             


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51113. Разработка калькулятора с использованием формы и компонентов Button, Label и TextBox 64.94 KB
  Разработать калькулятор с использованием формы и компонентов Button, Label и TextBox. Сделать проверку вводимых значений, реализовать 4 действия: сложение, умножение, деление, вычитание. Код программы...
51114. Изучение переходных частотных типовых динамических звеньев 63.73 KB
  Сравнить полученные графики с табличными и сделать выводы. Теоретические сведения Частотными характеристиками называются формулы и графики характеризующие реакции звена или системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме – вынужденные синусоидальные колебания звена. В данном случае имеет место опережение по фазе так как график лежит в первой четверти. Форсирующее звено 2го порядка 1 3000 V К=15 Т1=7 Т2=5 150000 V
51116. Метрологическая надежность средств измерений 427.81 KB
  Метрологической надежностью называют способность СИ сохранять установленное значение метрологических характеристик в течение заданного времени при определенных режимах и условиях эксплуатации.
51117. Исследование частотных характеристик типовых динамических звеньев 24.84 KB
  Цель работы: исследование амплитудных и фазовых частотных характеристик типовых динамических звеньев. Задачи: Ознакомиться с программой для исследования амплитудной частотной АЧХ и фазовой частотной ФЧХ характеристик типовых динамических звеньев. Произвести снятие частотных характеристик для различных значений параметров.
51119. Реєстрація сигналів в MatLAB 613.88 KB
  Прочитати за допомогою функції load в робочу область сигнал ЕКГ, отриманий з допомогою комп’ютерного електрокардіографа та збережений у mat-файлі. Вивести графік, позначити вісі. (файл архіву ECG_rec.rar на сайті, обрати сигнал згідно номеру за списком; ЕКГ дискретизована з частотою 400 Гц, значення напруги в мілівольтах отримується діленням величин відліків на 500). Визначити (програмно) тривалість записаного сигналу.
51120. Исследование устойчивости системы автоматического регулирования с использованием критериев Гурвица и Михайлова 73.21 KB
  По критерию Михайлова система 1 устойчива график начинается на положительной вещественной полуоси проходит против часовой стрелки 3 квадранта система 2 неустойчива график проходит через 3 квадранта но не против часовой стрелки система 3 устойчива график проходит через точку 00. для системы третьего порядка критерий Гурвица сводится к положительности всех...
51121. Моделювання лінійних систем в часовій та частотній області 500.67 KB
  Сформувати два синусоїдальних сигнали частоти 3 та 20 Гц тривалістю1 с. Проілюструвати властивість адитивності системи, визначивши реакціюсистеми спочатку на кожний з сигналів окремо, а потім на суму цих сигналів.Проілюструвати властивість однорідності системи.