29830

Метод корневого годографа

Лекция

Математика и математический анализ

Метод Dразбиения плоскости двух параметров В некоторых случаях критерии устойчивости позволяют проследить влияние параметров на устойчивость системы. Существуют специальные методы построения областей устойчивости. Пусть при некотором  = крит корень характеристического уравнения попадает на мнимую ось тогда при значении крит система находится на границе устойчивости. Если  это коэффициент передачи то при  крит система устойчива  = крит система находится на границе устойчивости  крит система неустойчива.

Русский

2013-08-21

145 KB

13 чел.

Лекция № 6

6.1. Метод корневого годографа

6.2. Метод Вышнеградского

6.3. Метод D-разбиения плоскости одного параметра

6.4. Метод D-разбиения плоскости двух параметров

В некоторых случаях критерии устойчивости позволяют проследить влияние параметров на устойчивость системы. Существуют специальные методы построения областей устойчивости.

6.1. Метод корневого годографа

Корневой годограф:

Пусть , где

D(p)=dnpn+dn-1pn-1+…+d0

di , i=(целые значения)

di функции параметров системы

Если приравнять D(p) к 0 и определить корни pi ,i=, то эти корни также будут функциями параметров системы.

pi=I()+ji()функция параметра

- чаще всего коэффициент передачи системы.

Если значение будем менять от 0 до , то все корни характеристического уравнения (pi ,i=) в пространстве комплексной плоскости будут перемещаться по некоторым траекториям.

Корневым годографом называется геометрическое место корней характеристического уравнения системы D(p)=0, при изменении одного из параметров системы от 0 до .

Пусть при некотором = крит корень характеристического уравнения попадает на мнимую ось, тогда при значении крит система находится на границе устойчивости. Если - это коэффициент передачи, то при < крит система устойчива, = крит система находится на границе устойчивости, > крит система неустойчива.

Пример:

Пусть система управления имеет , D(p)=0 имеет 3 корня: p1= –0,5*K

              p2,3= (K-10)jK

Определить и изобразить график корневого годографа и определить Ккрит для системы.

К

p1

p2,3

0

1

2

5

10

15

0

-0,5

-1

-2,5

-5

-7,5

-10

-9 j

-8 j2

-5 j5

j10

5 j15

Из графика видно, что Ккрит=10 

Система устойчива при K<10

Метод корневого годографа для ручного счета сложен, если порядок уравнения > 3.

6.2. Метод Вышнеградского

Уравнение:

a0p3+a1p2+a2p+a3=0

путем замены переменных можно представить в форме Вышнеградского:

z3+Az2+Bz+1=0

, ,

Параметры А и В называются параметрами Вышнеградского. Если рассмотреть плоскость параметров А и В для их положительных значений, то изображению мнимой оси в комплексной плоскости будет соответствовать уравнение АВ=1 в плоскости Вышнеградского, т.е. АВ=1 – граница устойчивости.

Кроме определения устойчивых и неустойчивых областей Вышнеградский построил кривые, позволяющие судить о форме переходного процесса.

Недостатки метода:

  1.  Область применения метода ограничена уравнениями третьего порядка.
  2.  Исследуемые параметры системы, например Кр и Т неявным образом входят в параметры А и В. Поэтому выявление областей устойчивости в пространстве параметров системы требует дополнительных трудоемких расчетов.

Критерий Вышнеградского совпадает с критерием Гурвица, если записать:

=

  1.  A > 0
  2.  AB-1 > 0 AB > 1

Метод Вышнеградского удобен для качественного анализа и для количественных расчетов в настоящее время не применяется.

6.3. Метод D-разбиения плоскости одного параметра

Задана , требуется определить влияние на устойчивость системы, т.е. границы изменения в устойчивом состоянии.

Представим D(p)=R(p)+ *Q(p), где - линейно входит в уравнение.

Перейдем к D(j)=R(j)+*Q(j), если D(j) приравнять к 0, то из этого уравнения мы определим , фактически это отношение – функция, т.е. - комплексный параметр, если изменить от 0 до , то комплексная функция (j) опишет некоторую кривую, которую будем называть границей D-разбиения. Поскольку при построении этой кривой полагали p=jw, т.е. предполагалось движение по мнимой оси комплексной плоскости, то полученная кривая D-разбиения трансформирует мнимую ось в плоскость параметра (j) 

Т.к. (j) симметрична относительно вещественной оси, то её дополняют зеркальным отражением.

После построения границы D-разбиения необходимо отметить предполагаемые области устойчивости. Для этого границу D-разбиения штрихуют по следующим правилам:

  1.  при изменении частоты от - до + в плоскости корней характеристического уравнения устойчивая область расположена слева от линии оси. Также штрихуем левую часть кривой от - до +.
  2.  Часть плоскости, в сторону которой направлены штрихи, является предполагаемой областью устойчивости, ей дают название D(0). 
  3.  По физическому смыслу параметры системы – вещественные величины, поэтому в качестве устойчивых значений параметров будем рассматривать только вещественную ось, т.е. [R1,R2] система устойчива; [R1,R2] – система неустойчива.
  4.  В большинстве случаев исследуемый параметр может принимать только положительные значения, тогда [R0,R2]система устойчива; [R0,R2] – система неустойчива.

Выводы: 1) Результаты, полученные по методу D-разделения нельзя считать окончательными. Для окончательного решения вопроса об устойчивости системы надо выбрать какое-то значение параметра из предполагаемой области устойчивости (например R3), подставить в D(p) и проверить устойчивость системы по любому критерию. Если система устойчива, то полученная область D(0) является устойчивой.

   2) Расчеты по методу D-разбиения достаточно сложны, обычно этот метод используют для расчетов на ЭВМ (пакет TAY2), т.к. метод хорошо поддается программированию.

Пример:

Построить границу замкнутой системы управления и определить Кгран, при котором замкнутая система устойчива.

Посчитаем:

D(p)=K+(1+2p)(1+0,5p)=K+1+2,5p+p2

D(j)=K+1+j2,5-2=(K+1-2)+j(2,5)

D(j)=0, тогда

K(j)=(2-1)-j2,5 

0

1

K

-1

-2,5j

-j

K>-1, ограничиваем до К>0, тогда Кгран=0

6.4. Метод D-разбиения плоскости двух параметров

При исследовании систем, в некоторых случаях необходимо построить область устойчивости в пространстве двух и более параметров.

Рассмотрим два параметра: и . Надо сгруппировать D(p) так: D(p)= *P(p)+*Q(p)+R(p)=0

Kp=

4

Далее положим p=j, тогда P(p),Q(p) и R(p) будут содержать действительную и мнимую составляющие; тогда из уравнения D(j)=0 мы можем получить:

Разделим уравнение на действительные и мнимые составляющие:

С учетом этих двух систем можно записать:

В этих уравнениях R1 и R2 не зависят от переменных и , поэтому переносим их вправо:

В этой системе два уравнения и два неизвестных и , т.е. эта система разрешима.

.

Все определители являются функциями частоты:

=F()

1=F1()

2=F2()

Поэтому и решения и - также функции частоты.

Задавая различные от 0 до можно построить границу разделения плоскости и , при этом между и существует функциональная зависимость, т.е. =f()

Например:

Функциональная зависимость получается в том случае, когда 0.

Тогда каждому значению частоты соответствуют значения и . Эта граница является трансформацией мнимой оси пространства комплексных корней.

Кривая D-разбиения плоскости двух параметров обладает следующими свойствами:

  1.  D-кривая несимметрична относительно вещественной оси, т.е.  ()=-(-) ;
  2.  Достаточно построить D-кривую только для частот >0;

для частот <0 она будет повторяться и идти этим же самым образом.

  1.  Если при некотором значении частоты =1 все определители  системы равны нулю, то система неразрешима, и одно из уравнений системы приводит к уравнению прямой. Такая прямая называется особой прямой. В большинстве  случаев особые прямые получаются при =0 или при =.

Для определения устойчивости системы в плоскости параметров и необходимо выделить устойчивые и неустойчивые области. Выделение таких областей происходит с помощью специальной штриховки.

Правила штриховки:

>0       <0

  1.  граница штрихуется слева при движении в сторону  возрастания , если >0 и справа – если  <0.
  2.  т.к. граница D-разбиения при >0 и <0 совпадает, то граница штрихуется дважды с одной и той же стороны
  3.  штриховка особых прямых одинарная и производится так, чтобы вблизи точек пересечения с D-кривой заштрихованные и не заштрихованные области прямой и кривой совпадали.

Теперь мы можем выделить устойчивые и неустойчивые области.

Выводы:

  1.  при построении границы D-разбиения следует правильно  ориентировать оси :

    горизонтальная – 1-ый параметр уравнения

    вертикальная – 2-ой параметр уравнения ;

  1.  При построении D-кривой может оказаться, что на некоторой частоте =0 и дальше <0, в этом случае штриховка должна быть изменена:

  Если имеется особая прямая, то её штриховка тоже меняется.

  1.  метод D-разбиения требует строгого соблюдения формальных  процедур, иначе его применение может привести к грубым  ошибкам .
  2.  найденные области устойчивости должны проверяться на устойчивость одним  их  известных  методов  для произвольной  точки  из  области D(0). Если при  выбранных  параметрах  система устойчива, то область D(0) будет устойчива.
  3.  Метод D-разбиения считается обобщенным критерием устойчивости, т.к. все рассмотренные ранее критерии могут быть доказаны, исходя из представления границы D-разбиения.
  4.  Для систем высокого порядка число варьируемых параметров может быть равно 3,4 и т.д. В трехмерном случае получается некоторый объем устойчивости, ограниченный трехмерной поверхностью – границей устойчивости. В общем случае N варьируемых параметров области устойчивости представляют собой многомерный объем в N-мерном пространстве.
  5.  С помощью метода D-разбиения целесообразно проводить расчеты на ЭВМ с использованием пакетов программ (TAY2 и др.)


-10

-10

10

+

j

А

В

1

2

3

4

АВ>1

АВ<1

R1

R3

R2

R0

j

j

+

+

Плоскость корней

=0

=

=0

=

Уст.

Неуст.

D(0)

D(1)

D(1)

D(1)

j

+

D(1)

D(0)

2,5

-2,5

-1

=0

=0

Особая

прямая

Граница

D-разбиения

D(0)

D(0)

D(0)

D(1)

D(1)

D(1)

D(1)

D(1)

D(0)

D(1)

D(0)

D(0)

D(1)

>0

=0

<0

=

=0

=0


Данной работой Вы можете всегда поделиться с другими людьми, они вам буду только благодарны!!!
Кнопки "поделиться работой":

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6940. Природа как предмет философского рассмотрения. Экзаменационные вопросы по философии 1.31 MB
  Экзаменационные вопросы по философии Природа как предмет философского рассмотрения. Угроза экологической катастрофы. Основные концепции выхода из современного экологического кризиса. Являясь, по сути, неотъемлемой частью Природы, Человечество в свои...
6941. Вопросы с ответами к экзамену по философии (стандарт) 2011 год 1005.5 KB
  Вопросы к экзамену по философии (стандарт) 2011 год Понятие мировоззрения, его структура и функции. Исторические типы мировоззрения. Философия как феномен культуры. Предмет философии. Типы философского мировоззрения. Философия Древнег...
6942. Философия и философские направления. 1.02 MB
  1 вопрос. познавательный статус и функции философии.Философия (от греч. phileo - люблю, sophia - мудрость) - любовь к мудрости.Философия - это наука о всеобщем, она - свободная и универсальная область человеческого знания, п...
6943. Основные вопросы философии и основные направления философии 947 KB
  Основной вопрос философии и основные направления философии. Основной вопрос философииесть вопрос об отношении мышления и бытия, духа и природы, объективного и субъективного, психического и физического, материального и идеального, материи и ...
6944. Философия. Шпаргалка. Мировоззрение, его структура и исторические типы 876.5 KB
  Вопросы для подготовки к экзамену по философии 1. Мировоззрение, его структура и исторические типы. МИРОВОЗЗРЕНИЕ - система обобщенных взглядов на мир и место человека в нем, на отношение людей к окружающей их действительности и самим себе, а ...
6945. Философия. Предмет философии и ее категории. Шпаргалка 832 KB
  1.Мировоззрение, его сущность, структура и исторические виды. Основа мировозрения дана нам при рождении, далее развитие идет по спирали, и, если заботливые руки тебя держали, зрение открывало горизонты и дали, раскрывая смысл последующих знаний. Сущ...
6946. Философия, ее предмет, предназначение и функции 912 KB
  Философия, ее предмет, предназначение и функции. Функции философии: Регулятивные и организующие(методология)-определение способов достижения какой-либо цели (фундаментальные методы, например, исторический метод–всегда есть резон ...
6947. Философия. Ответы на экзаменационные билеты 860 KB
  Мировоззрение и его структура. Миф, религия и философия как исторические типы мировоззрения. Мировоззрение - совокупность взглядов, оценок, принципов, определяющих самое общее видение, понимание мира, места в нем человека, а также - жизненные поз...
6948. Шпаргалка по философии. Предмет и методы философского знания 837.5 KB
  Предмет философии. Предмет философии не соответствует обыденному пониманию этого слова. В обыденном смысле философия - рассуждения проводимые на досуге за чашкой чая, или стаканом (обязательно граненым) водки о предметах составляющих объе...