загрузка...

29830

Метод корневого годографа

Лекция

Математика и математический анализ

Метод Dразбиения плоскости двух параметров В некоторых случаях критерии устойчивости позволяют проследить влияние параметров на устойчивость системы. Существуют специальные методы построения областей устойчивости. Пусть при некотором  = крит корень характеристического уравнения попадает на мнимую ось тогда при значении крит система находится на границе устойчивости. Если  это коэффициент передачи то при  крит система устойчива  = крит система находится на границе устойчивости  крит система неустойчива.

Русский

2013-08-21

145 KB

12 чел.

Лекция № 6

6.1. Метод корневого годографа

6.2. Метод Вышнеградского

6.3. Метод D-разбиения плоскости одного параметра

6.4. Метод D-разбиения плоскости двух параметров

В некоторых случаях критерии устойчивости позволяют проследить влияние параметров на устойчивость системы. Существуют специальные методы построения областей устойчивости.

6.1. Метод корневого годографа

Корневой годограф:

Пусть , где

D(p)=dnpn+dn-1pn-1+…+d0

di , i=(целые значения)

di функции параметров системы

Если приравнять D(p) к 0 и определить корни pi ,i=, то эти корни также будут функциями параметров системы.

pi=I()+ji()функция параметра

- чаще всего коэффициент передачи системы.

Если значение будем менять от 0 до , то все корни характеристического уравнения (pi ,i=) в пространстве комплексной плоскости будут перемещаться по некоторым траекториям.

Корневым годографом называется геометрическое место корней характеристического уравнения системы D(p)=0, при изменении одного из параметров системы от 0 до .

Пусть при некотором = крит корень характеристического уравнения попадает на мнимую ось, тогда при значении крит система находится на границе устойчивости. Если - это коэффициент передачи, то при < крит система устойчива, = крит система находится на границе устойчивости, > крит система неустойчива.

Пример:

Пусть система управления имеет , D(p)=0 имеет 3 корня: p1= –0,5*K

              p2,3= (K-10)jK

Определить и изобразить график корневого годографа и определить Ккрит для системы.

К

p1

p2,3

0

1

2

5

10

15

0

-0,5

-1

-2,5

-5

-7,5

-10

-9 j

-8 j2

-5 j5

j10

5 j15

Из графика видно, что Ккрит=10 

Система устойчива при K<10

Метод корневого годографа для ручного счета сложен, если порядок уравнения > 3.

6.2. Метод Вышнеградского

Уравнение:

a0p3+a1p2+a2p+a3=0

путем замены переменных можно представить в форме Вышнеградского:

z3+Az2+Bz+1=0

, ,

Параметры А и В называются параметрами Вышнеградского. Если рассмотреть плоскость параметров А и В для их положительных значений, то изображению мнимой оси в комплексной плоскости будет соответствовать уравнение АВ=1 в плоскости Вышнеградского, т.е. АВ=1 – граница устойчивости.

Кроме определения устойчивых и неустойчивых областей Вышнеградский построил кривые, позволяющие судить о форме переходного процесса.

Недостатки метода:

  1.  Область применения метода ограничена уравнениями третьего порядка.
  2.  Исследуемые параметры системы, например Кр и Т неявным образом входят в параметры А и В. Поэтому выявление областей устойчивости в пространстве параметров системы требует дополнительных трудоемких расчетов.

Критерий Вышнеградского совпадает с критерием Гурвица, если записать:

=

  1.  A > 0
  2.  AB-1 > 0 AB > 1

Метод Вышнеградского удобен для качественного анализа и для количественных расчетов в настоящее время не применяется.

6.3. Метод D-разбиения плоскости одного параметра

Задана , требуется определить влияние на устойчивость системы, т.е. границы изменения в устойчивом состоянии.

Представим D(p)=R(p)+ *Q(p), где - линейно входит в уравнение.

Перейдем к D(j)=R(j)+*Q(j), если D(j) приравнять к 0, то из этого уравнения мы определим , фактически это отношение – функция, т.е. - комплексный параметр, если изменить от 0 до , то комплексная функция (j) опишет некоторую кривую, которую будем называть границей D-разбиения. Поскольку при построении этой кривой полагали p=jw, т.е. предполагалось движение по мнимой оси комплексной плоскости, то полученная кривая D-разбиения трансформирует мнимую ось в плоскость параметра (j) 

Т.к. (j) симметрична относительно вещественной оси, то её дополняют зеркальным отражением.

После построения границы D-разбиения необходимо отметить предполагаемые области устойчивости. Для этого границу D-разбиения штрихуют по следующим правилам:

  1.  при изменении частоты от - до + в плоскости корней характеристического уравнения устойчивая область расположена слева от линии оси. Также штрихуем левую часть кривой от - до +.
  2.  Часть плоскости, в сторону которой направлены штрихи, является предполагаемой областью устойчивости, ей дают название D(0). 
  3.  По физическому смыслу параметры системы – вещественные величины, поэтому в качестве устойчивых значений параметров будем рассматривать только вещественную ось, т.е. [R1,R2] система устойчива; [R1,R2] – система неустойчива.
  4.  В большинстве случаев исследуемый параметр может принимать только положительные значения, тогда [R0,R2]система устойчива; [R0,R2] – система неустойчива.

Выводы: 1) Результаты, полученные по методу D-разделения нельзя считать окончательными. Для окончательного решения вопроса об устойчивости системы надо выбрать какое-то значение параметра из предполагаемой области устойчивости (например R3), подставить в D(p) и проверить устойчивость системы по любому критерию. Если система устойчива, то полученная область D(0) является устойчивой.

   2) Расчеты по методу D-разбиения достаточно сложны, обычно этот метод используют для расчетов на ЭВМ (пакет TAY2), т.к. метод хорошо поддается программированию.

Пример:

Построить границу замкнутой системы управления и определить Кгран, при котором замкнутая система устойчива.

Посчитаем:

D(p)=K+(1+2p)(1+0,5p)=K+1+2,5p+p2

D(j)=K+1+j2,5-2=(K+1-2)+j(2,5)

D(j)=0, тогда

K(j)=(2-1)-j2,5 

0

1

K

-1

-2,5j

-j

K>-1, ограничиваем до К>0, тогда Кгран=0

6.4. Метод D-разбиения плоскости двух параметров

При исследовании систем, в некоторых случаях необходимо построить область устойчивости в пространстве двух и более параметров.

Рассмотрим два параметра: и . Надо сгруппировать D(p) так: D(p)= *P(p)+*Q(p)+R(p)=0

Kp=

4

Далее положим p=j, тогда P(p),Q(p) и R(p) будут содержать действительную и мнимую составляющие; тогда из уравнения D(j)=0 мы можем получить:

Разделим уравнение на действительные и мнимые составляющие:

С учетом этих двух систем можно записать:

В этих уравнениях R1 и R2 не зависят от переменных и , поэтому переносим их вправо:

В этой системе два уравнения и два неизвестных и , т.е. эта система разрешима.

.

Все определители являются функциями частоты:

=F()

1=F1()

2=F2()

Поэтому и решения и - также функции частоты.

Задавая различные от 0 до можно построить границу разделения плоскости и , при этом между и существует функциональная зависимость, т.е. =f()

Например:

Функциональная зависимость получается в том случае, когда 0.

Тогда каждому значению частоты соответствуют значения и . Эта граница является трансформацией мнимой оси пространства комплексных корней.

Кривая D-разбиения плоскости двух параметров обладает следующими свойствами:

  1.  D-кривая несимметрична относительно вещественной оси, т.е.  ()=-(-) ;
  2.  Достаточно построить D-кривую только для частот >0;

для частот <0 она будет повторяться и идти этим же самым образом.

  1.  Если при некотором значении частоты =1 все определители  системы равны нулю, то система неразрешима, и одно из уравнений системы приводит к уравнению прямой. Такая прямая называется особой прямой. В большинстве  случаев особые прямые получаются при =0 или при =.

Для определения устойчивости системы в плоскости параметров и необходимо выделить устойчивые и неустойчивые области. Выделение таких областей происходит с помощью специальной штриховки.

Правила штриховки:

>0       <0

  1.  граница штрихуется слева при движении в сторону  возрастания , если >0 и справа – если  <0.
  2.  т.к. граница D-разбиения при >0 и <0 совпадает, то граница штрихуется дважды с одной и той же стороны
  3.  штриховка особых прямых одинарная и производится так, чтобы вблизи точек пересечения с D-кривой заштрихованные и не заштрихованные области прямой и кривой совпадали.

Теперь мы можем выделить устойчивые и неустойчивые области.

Выводы:

  1.  при построении границы D-разбиения следует правильно  ориентировать оси :

    горизонтальная – 1-ый параметр уравнения

    вертикальная – 2-ой параметр уравнения ;

  1.  При построении D-кривой может оказаться, что на некоторой частоте =0 и дальше <0, в этом случае штриховка должна быть изменена:

  Если имеется особая прямая, то её штриховка тоже меняется.

  1.  метод D-разбиения требует строгого соблюдения формальных  процедур, иначе его применение может привести к грубым  ошибкам .
  2.  найденные области устойчивости должны проверяться на устойчивость одним  их  известных  методов  для произвольной  точки  из  области D(0). Если при  выбранных  параметрах  система устойчива, то область D(0) будет устойчива.
  3.  Метод D-разбиения считается обобщенным критерием устойчивости, т.к. все рассмотренные ранее критерии могут быть доказаны, исходя из представления границы D-разбиения.
  4.  Для систем высокого порядка число варьируемых параметров может быть равно 3,4 и т.д. В трехмерном случае получается некоторый объем устойчивости, ограниченный трехмерной поверхностью – границей устойчивости. В общем случае N варьируемых параметров области устойчивости представляют собой многомерный объем в N-мерном пространстве.
  5.  С помощью метода D-разбиения целесообразно проводить расчеты на ЭВМ с использованием пакетов программ (TAY2 и др.)


-10

-10

10

+

j

А

В

1

2

3

4

АВ>1

АВ<1

R1

R3

R2

R0

j

j

+

+

Плоскость корней

=0

=

=0

=

Уст.

Неуст.

D(0)

D(1)

D(1)

D(1)

j

+

D(1)

D(0)

2,5

-2,5

-1

=0

=0

Особая

прямая

Граница

D-разбиения

D(0)

D(0)

D(0)

D(1)

D(1)

D(1)

D(1)

D(1)

D(0)

D(1)

D(0)

D(0)

D(1)

>0

=0

<0

=

=0

=0


Данной работой Вы можете всегда поделиться с другими людьми, они вам буду только благодарны!!!
Кнопки "поделиться работой":

 

Подобные работы

54. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт в редакторі КОМПАС-ГРАФІК для Windows 996 KB
  Робота з панелями графічного креслярсько-конструкторського редактора КОМПАС-ГРАФІК для Windows, Ввід даних і виразів в поля Стічки параметрів об’єктів. Використання допоміжних побудов. Проставлення розмірів в КОМПАС-ГРАФІК для Windows.
60. Системний аналіз як науковий метод пізнання 243 KB
  Системний аналіз - науковий метод пізнання, що представляє собою послідовність дій з установлення структурних зв'язків між змінними або елементами досліджуваної системи. Спирається на комплекс загальнонаукових, експериментальних, природничих, статистичних, математичних методів.
76. Решение задач оптимизации. Метод равномерного симплекса после завершения одного оборота 770.5 KB
  Метод равномерного симплекса после завершения одного оборота в области расположения стационарной точки. Отработка навыков решения задач безусловной оптимизации функции нескольких переменных методами прямого поиска и отработка навыков решения задач безусловной оптимизации градиентными методами.
77. Разработка методики проектирования схемы малошумящего усилителя 498.5 KB
  Усилитель выполнен в виде монолитной микроволновой интегральной схемы, цепи усилителя состоят из элементов с сосредоточенными параметрами. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) усилителя без согласующих цепей.
89. Методическая трехзонная толкательная печь и ее характеристики 439 KB
  Печь для нагрева металла. Топливо – коксо-доменная смесь с теплотой сгорания 9100 кДж/м3. Температура нагрева металла 1215ºС. Конечное значение коэффициента теплоотдачи излучением. Свободная высота рабочего пространства над металлом по практическим данным.
130. Обучение математическому моделированию как основному методу решения текстовых задач в курсе алгебры основной школы 517 KB
  Психолого-педагогические основы обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы. Математическое моделирование – один из основных методов решения текстовых задач в основной школе. Методика обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации.
138. Теория и методология социологических исследований 1.54 MB
  Социология представляет собой профессиональный взгляд на мир человеческих отношений. Три типа социологического дискурса. Логика гипотетического рассуждения. Соотношение переменных и единиц исследования.
172. Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad 356 KB
  решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.
181. Инструментальные средства разработки электронных учебно-методических материалов 1.18 MB
  Инструментальные средства разработки ЭУММ. Сравнение различных типов инструментальных средств разработки. Выработка критериев сравнения инструментальных средств. Learning Content Development System - Community Version. IBM Workplace Collaborative Learning Authoring Tool.
206. Промышленные способы обработки металла методом литья 1.1 MB
  Понятие границы выливаемости в области затвердевания сплава. Характеристика основных промышленных способов плавления металлов и сплавов в литейном производстве. Понятие огнеупорных материалов и их классификация.