29831

Селективная инвариантность к степенным воздействиям

Лекция

Математика и математический анализ

Условие селективной абсолютной инвариантности: Wf pk = 0 pk k = 1n 4 для всех корней воздействия Если возмущение имеет изображение с полюсами pk а передаточная функция системы на этих полюсах равна 0 то система будет абсолютно инвариантна к этому возмущению. В этом случае И система обладает селективной абсолютной инвариантностью абсолютной т. Говорят что система является астатической относительно ступенчатого возмущения. когда ОПФ имеет двукратный нулевой нуль и система селективно абсолютно...

Русский

2013-08-21

193.5 KB

7 чел.

ЛЕКЦИЯ  №7

7.1. Формы инвариантности.

7.2. Селективная инвариантность к степенным воздействиям.

7.3. Селективная инвариантность к гармоническому воздействию.

7.4. Стационарные режимы СУ: статические и астатические системы.

7.5. Ошибки управления.

       Условия инвариантности одноконтурных СУ.

7.1.

Формы инвариантности.

       Под инвариантностью СУ понимается независимость некоторых её переменных от воздействия.

Управляемая переменная y в общем случае зависит как от задающего воздействия u, так и от возмущающего воздействия f. Переменная y должна быть инвариантна к возмущению f  и ковариантна к u.

Будем считать систему асимптотически устойчивой, т.е.

                                                                                                     Re pi < 0, i = 1,n.

Это означает, что свободная составляющая со временем затухает до 0.

Запишем изображение выходного сигнала y при нулевых начальных условиях и одновременном действии задания u и возмущения f .

Y(p) = Wu (p)U(p) + Wf (p)F(p)

Из этого уравнения можно записать условие абсолютной инвариантности и абсолютной ковариантности.

        Условие абсолютной инвариантности:      Wf (p) = 0,   p                               (1)

(независимость y от f)

        Условие абсолютной ковариантности:     Wu (p) = 1,   p                              (2)   

Если в системе выполняется условие (1), то составляющая выходного сигнала, обусловленная возмущением будет складываться из свободной составляющей и вынужденной.

yf (t) = yсв (t) + yвын (t) = 0

(т.к. yсв (t) = 0 и yвын (t) = 0, если выполняется условие (1))

Если в системе начальные условия ненулевые, усв (t) 0, то условие (1) на практике оказывается физически нереализуемым. На практике обойти условие абсолютной инвариантности можно, если поставить условие инвариантности до .

        Условие инвариантности до :      |Wf (p)|  ,   p                                       (3)

При выполнении условия (3) на ОПФ накладывается ограничение по степени и высоте полинома числителя.

                                                              B(p)         Y(p)

                             Wf (p) =               =      

                                              A(p)         F(P)  

В этом случае окажется ограниченной вынужденная составляющая.

        Форма инвариантности, когда обеспечивается малость установившейся реакции системы на некоторые типы воздействий, называется селективной инвариантностью.

        Если имеется некоторое возмущение F(p), имеющее полюсы pk, k = 1,n, то можно говорить о селективной абсолютной инвариантности.  

        Условие селективной абсолютной инвариантности:    Wf (pk) = 0,  pk, k = 1,n    (4)   

(для всех корней воздействия)

Если возмущение имеет изображение с полюсами pk, а передаточная функция системы на этих полюсах равна 0, то система будет абсолютно инвариантна к этому возмущению.

На практике чаще говорят о селективной инвариантности до .

        Условие селективной инвариантности до :     Wf (pk)  < ,   pk                            (5)

(pk – полюса изображения воздействия)

Из этого условия следует, что нужно минимизировать значение модуля передаточной функции системы по возмущению в той области комплексной плоскости, где размещены полюсы изображения воздействия. При этом необходимо также минимизировать числитель передаточной функции на всех полюсах изображения воздействия. Это будет соответствовать уменьшению установившейся реакции.

B(pk)

Wf (p) =                    ,  k = 1,n

A(pk)

В общем случае существенным условием инвариантности является отсутствие резонанса в системе, т.е. отсутствие совпадения полюсов изображений воздействия и ОПФ. Для лучшего подавления возмущения необходжимо отдалять полюса передаточной функции от полюсов воздействия.

        Условия ковариантности могут быть получены аналогичным образом и представлены в аналогичных формах(абсолютная, селективная ковариантность и ковариантность до ).

         Совпадение реакции системы y(t) с заданием возможно, если

B(pk)

                  Wu (pk) =                ,   k,  pk полюсы изображения задания U(p)

A(pk)      

Wu (pk) должна иметь полюсы, близкие к полюсам изображения задания. В этом случае задание проходит через систему без искажения, не изменяя амплитудных и фазовых сдвигов, наилучшим вариантом является равенство числителя и знаменателя на всех полюсах.

B(p1)        B(p2)                 B(pl)

           =                = … =               1   

A(p1)        A(p2)                 A(pl)  

        Рассмотрим условия инвариантности и ковариантности применительно к АЧХ системы по каналам задания и возмущения.

  

|Wf(iw)|                                                                      |Wu(iw)|

                                                          АЧХ реальных                   1                       абс.ковар.  

                                          инв. до          систем                       

                                                                                                                                             ковар. до  

                                                                                                                                                              

              0    абс. инв-на                          w                               0                                        w   

ВЫВОД:

         Реальные системы обладают такими АЧХ и передаточными функциями, что условия абсолютной инвариантности и ковариантности для них невыполнимы. Следовательно, можно говорить об инвариантности и ковариантности с точностью до в определённом диапазоне частот.

7.2

Селективная инвариантность к степенным воздействиям.

Такой степенной ряд является типовым воздействием:

     Рассмотрим селективную инвариантность к типовым воздействиям такого вида.

Будем считать что ОПФ системы по возмущению известна  

  1.  Рассмотрим первый вид воздействия.

            ,    

yуст можно рассчитать по теореме о конечном значении оригинала:

Анализ результата:

  1.  Для статических систем, имеющих ОПФ вида          , где k – статический коэффициент передачи системы по каналу возмущения.
  2.  Чем меньше k, тем меньше yуст.
  3.  В такой системе достигается селективная инвариантность до .

Рассмотрим случай, когда единичное ступенчатое воздействие подаётся на вход системы с ОПФ вида  , A(p) и B(p) – полиномы, не содержащие множителя р.

Говорят, что ОПФ имеет нулевой нуль, т.е. . В этом случае

И система обладает селективной абсолютной инвариантностью (абсолютной, т.к. ошибка равна 0, а селективной, т.к. воздействие ступенчатое).

Говорят, что система является астатической относительно ступенчатого возмущения.

 2.  Рассмотрим второй вид воздействия.

       , следовательно

Определим предельное значение реакции по теореме о конечном значении оригинала.

 Анализ результата:  

  1.  Если , тогда .

В этом случае имеет место селективная инвариантность до .

2.  , т.е. когда ОПФ имеет двукратный нулевой нуль

и  система селективно абсолютно инвариантна. В этом случае говорят, что система обладает астатизмом второго порядка, т.е. она обеспечивает абсолютную инвариантность для степенного сигнала второго порядка.

3.    Рассмотрим воздействие вида , тогда  ,

, т.е. ОПФ имеет -тый нуль.

 

Анализ результата:

  1.    l, yуст=0

Система обладает селективной абсолютной инвариантностью в установившемся режиме и порядком астатизма .

  1.   = l, p0 = l, тогда

Система обладает селективной инвариантностью до в установившемся состоянии и нулевым порядком астатизма.

  1.    l, yуст =

Система управления неработоспособна, не обладает астатизмом.

Рассмотрим это графически:

 f      y

                                                  f(t)                    y2(t) – селективно инвариантна до 

              в установившемся режиме

                                                                           (система статическая по возмущению)                  

                                                                          y2(t)                                       y1(t)  селективно абсолютно инвариантна                                               

                                                                                                        в установившемся режиме     

                                                                t                           (система астатическая по возмущению)             

                                                       y1(t)        

  

                                                                                                T

7.3

Селективная инвариантность к гармоническому воздействию.

       Пусть в СУ с передаточной функцией по каналу возмущения Wf (p) приложено гармоническое воздействие   тогда ,  расположены на мнимой оси. Установившаяся реакция на это воздействие будет также гармонической .

В соответствии со спектральным методом можно рассчитать амплитуду реакции

Анализ результата:

  1.  Если |Wf (jwf )| мал, то имеет место селективная инвариантность до .

Для селективной абсолютной инвариантности рассмотрим какими условиями должна обладать передаточная функция системы.

Отсюда видно, для того чтобы система компенсировала действующее возмущение, необходимо, чтобы числитель ОПФ B(p) содержал сомножитель .

Тогда , , т.е. система скомпенсировала возмущение, действующее на входе. Такая система является селективно абсолютно инвариантной.

7.4.

Стационарные режимы СУ. Статические и астатические системы.

        В конечном итоге рассмотренная теория инвариантности и ковариантности определяет поведение системы в стационарном режиме после окончания переходного процесса и говорит, по существу, о точности системы.

Как любая динамическая система, СУ может находиться в одном из двух режимов: в стационарном (установившемся) или переходном режиме.

Существует два вида стационарных режимов:

  •  статический,
  •  динамический.  

Установившийся статический режим – режим, при котором система находится в состоянии покоя, все внешние воздействия и реакции самой системы не изменяются во времени.

Установившийся динамический режим – режим установившегося вынужденного движения, когда внешние воздействия изменяются по какому-либо закону, а система отслеживает этот закон.

Рассмотрим графические иллюстрации этих понятий:

                  рис.1                                           рис.2                                        рис.3

На рис.1 – установившийся статический режим, а на рис.2 и рис.3 – динамический.

По виду зависимости от внешнего воздействия различают

  1.  Статические СУ – это системы, в которых при возмущающем воздействии величина y(t) после окончания переходного процесса принимает значения, пропорциональные возмущающему воздействию. В этом случае между выходной и возмущающей величинами существует функциональная связь типа статической характеристики .
  2.  Астатические СУ – системы, в которых при внешнем воздействии f (t) по окончании переходного процесса выходная величина y принимает значение, равное заданному.

Примерами передаточных функций статических и астатических СУ могут быть:

p говорит о том, что в системе есть интегрирующие звенья.

Рассмотрим графические иллюстрации.

                                                                                                                                                     

    u     y                           u(t)                                  f    y

                                                     астатическая                             u(t)

                                                                                                                                                 

                                                  статическая                                                                   статическая  

                                                                        t                                                                           t

                                                                                                                                   астатическая        

Применительно к линейно-возрастающему сигналу возможны следующие варианты:

                                                                                         y2(t)

                                              u     t              u(t)

                                                                                           y1(t)

                                                                                                           y3(t)

                                                                                                               t

 y1(t)- соответствует астатической системе первого порядка (даёт постоянную ошибку).

y2(t) – соответствует астатической системе второго порядка (даёт нулевую ошибку на степенное воздействие первого порядка).

y3(t) -  соответствует астатической системе нулевого порядка (даёт бесконечную ошибку для линейно-возрастающего сигнала и конечную ошибку для нулевого сигнала).

                                          

7.5.

Ошибки управления. Условия инвариантности одноконтурных СУ.

Ошибкой управления будем называть установившуюся ошибку СУ при степенном воздействии 1(t), t, t2, …, tl  и рассчитывать её как  после окончания переходного процесса.

 

Рассмотрим ошибки и условия инвариантности одноконтурных СУ.

         Ошибка в системе управления может возникнуть при действии управляющего воздействия и возмущающего воздействия  либо при их одновременном действии.

А:       Ошибки по управляющему воздействию

             , где

              - изображение ошибки по заданию

            

           Анализ ошибок для различных вариантов:      

  1.  Если система статическая, т.е. передаточная функция имеет вид

                           

     Подадим ступенчатое воздействие, тогда  ,

     если учитывать, что

ВЫВОДЫ:

  1.  Система статическая, поэтому не содержит интеграторов.
  2.  Ошибка системы прямопропорциональна величине U0 и обратно пропорциональна kраз. Чем выше коэффициент передачи системы, тем меньше ошибка. Однако эта ошибка не может быть равна 0, т.к. коэффициент передачи реальных систем ограничен условиями устойчивости.
  3.  Система  селективно ковариантна до .
  4.  Система имеет нулевой порядок астатизма, т.к. не отрабатывает ступенческое воздействие.
  5.  Пусть система астатическая. Имеет передаточную функцию разомкнутой системы вида

                          ,     , тогда  

ВЫВОДЫ:

  1.  Разомкнутая система содержит одно интегрирующее звено.
  2.  Ошибка управления равна 0.
  3.  Система абсолютна ковариантна по заланию.
  4.  Система имеет первый порядок астатизма.

3.    Пусть     и на систему действует равномерная заводка , тогда

      

      

ВЫВОДЫ:

  1.  Разомкнутая система содержит интегрирующее звено, на входе сигнал постоянной скорости.
  2.  Ошибка управления постоянна.
  3.  Система ковариантна с точностью до .
  4.  Система имеет первый порядок астатизма, т.к. на степенное воздействие первой степени имеет конечную ошибку.
  5.  Ошибка управления прямопропорциональна величине задания и  обратно пропорциональна kраз.
  6.  Чтобы система была абсолютно ковариантна по заданию, изменяющемуся по закону , она должна содержать как минимум два интегрирующих звена в разомкнутом контуре и ОПФ должна иметь вид

     


f

Wo

Wp

y

U

-

f(t)

f

y

y2(t)

y1(t)

y(t)

y(t)

y(t)

U(t)

Uo

U,y

U,y

U,y

t

tуст

tуст

tуст

t

t

f

Wo

Wp

y

U

-

        u

     U


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22335. Структуры в языке Си: основные понятия. Массивы структур. Указатели на структуры. Вложение структур. Структуры и функции. Объединения. Перечисления. Определение и использование новых типов данных. Классы имен 45 KB
  Указатели на структуры. Структуры и функции. СТРУКТУРЫ В ЯЗЫКЕ СИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При решении задач вычислительной математики информационного обеспечения и системного программирования очень часто приходится сталкиваться с наборами данных имеющими достаточно сложную логическую организацию.
22336. Язык Си: историческая справка, общая характеристика, основные достоинства. Подготовка к выполнению и выполнение программ в операционной среде MS DOS. Элементы языка Си: множество символов, ключевые слова, константы и переменные, операции и операторы 35.5 KB
  В языке Си имеется большой набор управляющих конструкций для реализации циклических и разветвленных алгоритмов средства для блочного и модульного программирования а также возможность гибкого управления процессом выполнения программы. В заключение перечислим некоторые основные свойства языка Си: широкий набор управляющих конструкций для организации циклов и условных переходов обеспечивающих возможность написания гибких и хорошо структурированных программ; большой набор операторов и операций многие из...
22337. Понятие типа данных. Переменные и константы. Основные типы данных в языке Си: общая характеристика, машинное представление, описание данных в программе. Числовые, символьные и строковые константы 44 KB
  Арифметические операции и арифметические выражения. Операции отношения логические операции и логические выражения. Понятие типа включает в себя следующую информацию об элементе данных: допустимый набор значений которые объект этого типа может принимать в процессе работы программы совокупность всех указанных значений мы будем называть областью определения типа; состав операций которые разрешено выполнять над объектами данного типа; способ представления элемента данных рассматриваемого типа в памяти машины; ...
22339. Массивы переменные как однородные статические структуры данных. Строки символов. Инициализация переменных и массивов. Управляющие конструкции языка Си: синтаксис и семантика 47 KB
  Так например для представления строки содержащей 40 символов в программе необходимо иметь описание вида char string[41]; т. Имя функции и назначение: strcat добавление строки string2 в конец строки string1 Формат и описание аргументов: char strcatstring1 string2 char string1; Указатель на строкуприемник char string2; Указатель на строкуисточник Возвращаемое значение равно адресу начала стороки string1 т. Имя функции и назначение: strchr поиск первого вхождения символа sym в строку string...
22340. Преобразователи частоты (ПЧ) 264 KB
  Преобразователи частоты ПЧ Преобразователи частоты предназначены для переноса спектра радиосигнала из одной области радиочастотного диапазона в другую. Рисунок Перенос спектра сигнала преобразователем частоты Обобщенная структурная схема ПЧ приведена на рисунке 2. ПЧ состоит из нелинейного элемента НЭ смесителя фильтра промежуточной частоты ФПЧ и гетеродина Г. Рисунок 2 Структурная схема преобразователя частоты Смеситель можно представить шестиполюсником на который подаются напряжения преобразуемого сигнала uC и гетеродина...
22341. Детекторы радиосигналов 676.5 KB
  Амплитудные детекторы Амплитудный детектор устройство на выходе которого создается напряжение в соответствии с законом модуляции амплитуды входного гармонического сигнала. Если на входе АД действует напряжение ивх модулированное по амплитуде колебанием с частотой F то график изменения этого напряжения во времени и его спектр имеют вид показанный на рисунке 2а. Напряжение на выходе детектора ЕД рисунок 2б должно меняться в соответствии с законом изменения огибающей Uвх входного напряжения ивх. Таким образом напряжение на выходе АД...
22342. Прием цифровых сигналов при наличии шумов 191 KB
  Модуляция несущей происходит в передатчике и параметры модулированного сигнала полностью определяются выбранным методом модуляции и возможностями элементной базы. Ситуация усложняется еще тем что все параметры среды распространения сигнала определяются только статистически и в значительной степени приближенно. Функциональные схемы приемника цифровых сигналов Для высокочастотного сигнала типовой приемник имеет функциональную схему супергетеродина т.
22343. Синхронизация гетеродина приемника с несущей частотой 112.5 KB
  Вовторых применение оптимального фильтра максимизирующего отношение сигнал шум принятого сигнала также требует снятие отсчетов в строго определенные моменты времени. Эта необходимость возникает в том случае когда в приемнике используется когерентное детектирование ВЧ сигнала. Следовательно несущая и тактовая частоты должны быть восстановлены непосредственно в приемнике из принятого сигнала или получены от того же самого передатчика в виде опорного пилотсигнала. Параметры принятого сигнала Передаваемый и принимаемый сигналы...