29833

Нелинейные СУ

Лекция

Математика и математический анализ

Типовые нелинейные звенья и их характеристики. Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики. Линеаризация статических характеристик методы компенсационных и вибрационных линеаризации...

Русский

2013-08-21

266.5 KB

68 чел.

Лекция № 9,10.   Тема: “Нелинейные  СУ.”

  1.  Классификация и особенности нелинейных СУ.
  2.  Типовые нелинейные звенья и их характеристики.
  3.  Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики.
  4.  Линеаризация статических характеристик, методы компенсационных и вибрационных линеаризации.

  1.  Классификация и особенности нелинейных СУ.

До сих пор были рассмотрены линейные СУ, к которым применимы линейные системы уравнений. К нелинейным СУ относятся все СУ, которые не могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями.

Процессы в нелинейных СУ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, связывающие вход и выход СУ. Признаком нелинейного звена или СУ является: (см. рис. 1.1)

           X(t)                                  Y(t)

                                                                                    Рис. 1.1

Каждая СУ состоит из линейных и нелинейных звеньев. Наличие хотя бы одного нелинейного звена в СУ делает всю СУ нелинейной. По методам математического описания можно сделать следующую классификацию нелинейных звеньев:

           X(t)                                  Z(t)

                                                                             Рис. 1.2

1). Статические (безинерционные или звенья нулевого порядка), такие звенья описываются нелинейными статическими характеристиками Z = F(X), представляющие собой алгебраические уравнения. (рис. 1.3).

Пример:                   Z

                                                                     X

                                                                                 Рис. 1.3

2). Динамические нелинейные звенья (инерционные), процессы в которых описываются нелинейными дифференциальными уравнениями:

                                        (1.1)

В уравнении (1.1) есть несколько признаков нелинейности:

а) коэффициенты уравнений зависят от переменных.

б) степень производной в уравнении выше первой.

в) коэффициент передачи СУ зависит от входной, выходной величин и переменной t.

Уравнение будет нелинейным, если присутствует хотя бы один из этих признаков.

Динамические нелинейные звенья принято описывать типовыми нелинейными дифференциальными уравнениями:

а). Дифференциальное уравнение нулевого порядка n=0:   

б). Дифференциальное уравнение первого порядка n=1:     ,

в). Дифференциальное уравнение второго порядка n=2:    

Нелинейности нулевого и первого порядков можно представить в виде структурных схем, состоящих из безинерционного нелинейного звена и инерционного линейного звена с ОПФ

     X

                                                      Z                      X                                  Z                       Y

                        Рис.1.4                                                                          Рис.1.5

В дальнейшем будем рассматривать узкий класс инерционных нелинейных звеньев (рис. 1.5).

Для выяснения особенностей нелинейного звена с точки зрения преобразования сигнала рассмотрим два звена с линейной и нелинейной статической характеристикой (рис.1.6,1.7).

X                                           Z

          Z                               Z                                                    Z                             Z

                        z=kx                                                               

                            X                                            t                                          X                                      t

                                                                       

                        X                                                                                         X

                                                                                                                         

                                                                                                                                                       

                                                         

                                                                                                                         

          t                                                                                       t

                                                                                                                                                          

                         Рис.1.6                                                                         Рис.1.7

Графическим методом определим сигнал  на выходе нелинейного и линейного звена.

На выходе линейного звена - сигнал той же формы (рис.1.6).

Амплитуда сигнала на выходе нелинейного звена не связана с входным сигналом (рис.1.7).

Основные свойства нелинейного звена, отличающие его от линейного звена:

  1.  Если на входе нелинейного звена присутствует одночастотный сигнал частоты 1, то на выходе в спектре сигнал содержит бесконечное число гармонических составляющих на частоте ,
  2.  Амплитуда выходного сигнала может не зависеть от входного сигнала.
  3.  Форма выходного сигнала может не зависеть от формы от формы входного сигнала.
  4.  Если на вход нелинейного звена подать два гармонических колебания с частотой 1 и 2, то на выходе нелинейного звена будут составляющие с частотами 1, 2, k1, n2, , n,k =.
  5.  Если на вход нелинейного звена поступают сигналы сложной формы, то на выходе присутствуют гармоники всех спектральных составляющих входного сигнала и все комбинации частоты.

Особенности исследования НСУ:

  1.  К нелинейным звеньям не применим принцип суперпозиций, что существенно осложняет количественный и качественный анализ НСУ.
  2.  Не существует единого метода решения нелинейных дифференциальных уравнений. Нелинейное дифференциальное уравнение в общем случае вообще не имеет решения. Решение существует для малой части уравнений первого и второго порядков.
  3.  Так как не существует общих методов решения, то метод исследования определяется видом нелинейности, особенностями задачи и другими факторами. В основном применяются только приближенные методы, поэтому при анализе систем используют два этапа приближения:

а). Составляют нелинейное дифференциальное уравнение приблизительно описывающие процессы в системе. Если это уравнение можно решить, то говорят о точном решении.

б). Если составленное дифференциальное уравнение не имеет решение, то находят приближенное решение, в этом случае говорят о приблизительном решении.

  1.  Приближенные методы не дают полного представления обо всех динамических свойствах СУ, так как справедливы только в окрестностях рабочей точки.
  2.  Для НСУ существует усложненное понятие устойчивости, так как коэффициент передачи, а, следовательно, и устойчивость в НСУ зависят от режима работы, величины нагрузки, величины возмущения.
  3.  В НСУ возможно возникновение особых режимов автоколебаний: устойчивых незатухающих колебаний, принципиально невозможных в линейных СУ. Существует большой класс нелинейных автоколебательных СУ, в которых колебания являются нормальным режимом работы (генераторы, мультивибраторы…).

  1.  Типовые нелинейные звенья и их характеристики.

Для удобства анализа НСУ водится понятие типовых нелинейных характеристик. Рассмотрим некоторые из них:

а). Нелинейные звенья с однозначно непрерывными характеристиками:

  1.  Нелинейность типа насыщение или ограничение.

                         z

                   b

        -a                    a             x                                  (2.1)

                        -b     

                   Рис.2.1    

Такой характеристикой обладают все усилители.

  1.  Нелинейность типа зона неустойчивости.

                        z                                                                 (2.2)

 

            -a                a            x                   

                             

          

                 Рис.2.2

 Такой характеристикой обладают двух тактовые усилители мощности.

  1.  Нелинейность типа насыщение с зоной нечувствительности.

                                                                       z

                                                                     c

                                                   -b        -a       a        b        x                  

                                                                           

                                                                      -c              Рис.2.3

                                                                                 (2.3)

б). Звенья с однозначными разрывными характеристиками (релейные звенья).

  1.  Двухпозиционное реле (идеальное реле).

                         z

                   b

                                              x                                             (2.4)

                             

                        -b

                     Рис.2.4

  1.  Трехпозиционное реле

                         z

                   b

        -a                    a            x                                   (2.5)

                        -b     

                  Рис.2.5

    в). Звенья с двухзначными характеристиками.

  1.  Двухпозиционное реле с гистерезисом

                         z

                     

                   b

        -a                     a            x                                  (2.6)

                        -b     

                              Рис.2.6

  1.  Трехпозиционное реле с гистерезисом.

                         z

                   c

         -a      -b     b   a             x                              (2.7)

                        -c     

                             Рис.2.7

Вывод:

Рассмотренные типовые нелинейные звенья обладают нечетно-симметричными характеристиками.

  1.  Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики.

В некоторых системах может быть несколько нелинейных звеньев, соединенных друг с другом. Удобно использовать типовые соединения звеньев: последовательное, параллельное, соединение с обратной связью. Определим эквивалентные статические характеристики типовых соединений. Будем использовать два положения:

а) Нелинейные звенья будем считать однонаправленными.

б) Соединения звеньев не влияют на их характеристики.

  1.  Последовательное соединение нелинейных звеньев (рис.3.1).

X                                   Y                                 Z

                                       Рис.3.1

известны статические характеристики: Y(X),Z(Y)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                             Y                                                                        Y

Z                                                                                                                                X

                             Z                                                                        Z

Z                                                                                                                                   X

                                                              Рис.3.2

Если при последовательном соединении результирующая характеристика линейна, то такие характеристики называют взаимно-обратными.

  1.  Параллельное соединение нелинейных звеньев (рис.3.3).

известны статические характеристики: Z(X),Z(X)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                 Z                                           X                                   

                  a                                                                                                                Z

                                            X

               Z

                            b             X

                 Z

                   a        b               X                    Рис.3.3

Если при параллельном соединении результирующая характеристика линейна и k=1, то такие звенья называют взаимно дополнительными или эквивалентными.

  1.  Соединение с обратной связью (рис.3.4).

известны статические характеристики: Z(X),Z(X)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                 X

                          X                                             Z

          +

                       Z

             Z                                                            Z

                                                  X                                                                 Z

             Z,Z

                                       

                                                                                                           X,X,Z  

 

                            a b   c            a+b  b+c

                                                                      Рис.3.4

Соединение с обратной связью также может быть использовано для линеаризации характеристик.

  1.  Линеаризация статических характеристик, методы компенсации.

По характерному влиянию на систему, нелинейные звенья разделяют на два типа:

  1.  Нелинейные звенья, специально вводимые в систему в виде корректирующих звеньев для улучшения статических или динамических характеристик, для улучшения качества СУ.
  2.  Нелинейные звенья, являющиеся частью системы, так как по физической природе все звенья системы управления нелинейные. В этом случае  нелинейности системы управления ухудшают качественные показатели.

Рассмотрим способы коррекции статических характеристик нелинейных звеньев, позволяющие в некотором случае произвести линеаризацию.

Определение: линеаризация статических характеристик нелинейных звеньев называется технической линеаризацией.

Для технической линеаризации используют два способа:

  1.  Применяют компенсирующие нелинейности.
  2.  Используют вибрационную линеаризацию.

  1.  Если последовательно с нелинейным звеном включить другое нелинейное звено, статическая характеристика которого взаимно обратная исходному звену, то результирующая характеристика будет линейна.

Если параллельно нелинейному звену включить звено, имеющее взаимно дополнительную статическую характеристику, то результирующая характеристика будет линейна.

Аналогично решается задача с помощью соединения с обратной связью.

Пример:

известна статическая характеристика: Z(X),

определить:  Z(X) так, чтобы Z(X) была линейна

                                                             

                                                                                Z

    X

                                                                                        

                                                    X                                                              X

                    -a            a                                            -a             a

                               Z

                 -a                a

                                                                X

                                                 Рис.4.1

При использовании компенсирующей нелинейности необходимо следить за тем, чтобы нелинейность была физически реализуема.

Компенсирующее нелинейное звено может быть выполнено в виде математических моделей (электрических, электронных схем,…) и необязательно по физической природе должны совпадать с линеаризуемым звеном.

Если нелинейность обусловлена характеристикой самого объекта, то линеаризация может быть осуществлена с помощью математической модели.

  1.  Вибрационная линеаризация.

Это наиболее эффективный и распространенный способ технической линеаризации. Он особенно эффективен, если в системе существуют гистерезисные или релейные нелинейности.

Сущность метода: на медленно изменяющийся полезный сигнал на входе звена накладывается периодическая переменная составляющая, большей, по сравнению с

входным сигналом частоты. На выходе звена эта составляющая отфильтровывается

низко частотной линейной частью системы (рис.4.2).

Рассмотрим сущность метода более подробно:

                 

                 +                                                       НЧ

  1.  

                                                        

                                         Рис.4.2

X - медленно изменяющийся полезный сигнал.

X - быстро изменяющийся периодический сигнал.

z = z+z

Для нелинейных систем принцип наложения неприменим, тогда

z = f(x) и z = f(x)

Действие x зависит от формы сигнала. Наиболее часто:

1.                                   

2.

3.

                                                                                                     

                             Z                                                        Z

                                                                                      

                                                                                 a

                                         X                                                                             t

                    a   2a

                                          X

                           A=a

                                        A=4a

             t                                          Рис.4.3

Анализ:

  1.  С ростом А, растет z вблизи зоны нечувствительности (рис.4.3), если А, z(x) становится линейной во всем диапазоне изменения х.
  2.  Для нелинейности типа зоны нечувствительности, наложение на входной сигнал х последованности импульсов прямоугольной формы, с амплитудой А=n*a, делает для постоянной составляющей х нелинейную характеристику линейной, на участке шириной (n-1)*2a (рис.4.3).
  3.  Более значим эффект линеаризации звеньев типа люфт. Она становится линейной уже при А=а.
  4.  Для нелинейностей типа ограничение и упор вибрационная линеаризация повышает ширину линейной зоны, что сопровождается уменьшением коэффициента усиления.
  5.  Рассматриваемый метод приводит к выводу о пользе СУ, в которых существуют малые автоколебания.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34926. Возникновение, сущность, виды и функции денег 57 KB
  О наличии денег на хранении выдавался сертификат квитанция который удостоверял что деньги находятся у банкира на хранении и предъявитель сей бумаги получит определённую сумму. Со временем эти сертификаты стали иметь такую же силу как и реальные деньги. Так появились первые бумажные деньги возникшие из практики использования банковских сертификатов квитанций. Деньги специфический товар который является универсальным эквивалентом стоимости других товаров или услуг.
34927. Государственный бюджет 26 KB
  Деятельность государства по формированию рассмотрению утверждению исполнению бюджета а также составлению и утверждению отчёта об его исполнении формулировка касается бюджетов всех уровней входящих в бюджетную систему РФ называется бюджетный проце́сс. Если запланированные расходы бюджета превышают доходы бюджета то это называется бюджетный дефицит или дефицит бюджета. Когда при исполнении бюджета уровень дефицита бюджета превышает установленный при утверждении бюджета показатель или происходит значительное снижение ожидавшихся...
34928. Государственный долг. Экономический анализ государственного долга 28 KB
  Государственный долг возникает вследствие существования дефицита бюджета в определенные периоды времени. Когда расходы государства превышают его доходы, правительство вынужденно искать источники финансирования возникшего разрыва.
34929. Группы издержек производства 36.5 KB
  Внешние(явные, бухгалтерские) – денежные платежи, которые производит фирма за приобретенные ресурсы поставщику, обеспечивающие его таким доходом, чтобы он не направлял ресурсы в альтернативное производство, образует себестоимость
34930. Денежные теории 40 KB
  Фридмен реформировал количественную теорию денег основываясь на существующих разработках трансакционном варианте и. По мнению Фридмена деньги имеют значение для динамики цен и что важно именно количество денег а не процентные ставки влияют на состояние денежного рынка или условия выдачи кредитов. В монетаристском варианте количественной теории денег важное место отводится ожидаемым изменениям уровня цен как фактора действующего на размеры кассовых денежных резервов и других финансовых активов находящихся в распоряжении...
34931. Закон Оукена. Экономический смысл. Социально-экономические последствия безработицы 33 KB
  Социальноэкономические последствия безработицы. Закон Оукена эмпирическая зависимость между темпом роста безработицы и темпом роста ВНП в США начала 60х годов предполагающая что превышение уровня безработицы на 1 над уровнем естественной безработицы снижает реальный ВНП по сравнению с потенциальным на 25 . Y − Y Y = − Buc Y фактический ВНП Y потенциальный ВНП uc уровень циклической безработицы B эмпирический коэффициент чувствительности обычно принимается 2. Следствие из закона Оукена: Y1 − Y0 Y0 =...
34932. Законы Госсена и аксиомы порядкового подхода 42.5 KB
  Субъект будет распределять свои расходы таким образом что отношение предельной полезности к цене будет одинаковым для всех товаров и экономических услуг: U полезность xi количество iго товара или услуги pi цена iго товара или услуги Порядковый подход к анализу полезности и спроса базируется на следующих аксиомах: Аксиома полной совершенной упорядоченности. Аксиома транзитивности. Эта аксиома гарантирует согласованность предпочтений. Аксиома транзитивности содержит и еще одно утверждение а именно: если А В и В С то А С.
34933. Индексы цен 27.5 KB
  Методика принципов расчета индексов цен: определение набора товаров; выбор базовых объектов путем репрезентативной выборки предприятий различных отраслей торговли сферы услуг; выбор системы взвешивания показателей и формулы расчета индексов. Расчеты индексов цен обеспечивают построение индексов фактических цен и индексов средних цен. Индекс средних цен учитывает наряду с изменением цен на отдельные товары структурные изменения.