29833

Нелинейные СУ

Лекция

Математика и математический анализ

Типовые нелинейные звенья и их характеристики. Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики. Линеаризация статических характеристик методы компенсационных и вибрационных линеаризации...

Русский

2013-08-21

266.5 KB

68 чел.

Лекция № 9,10.   Тема: “Нелинейные  СУ.”

  1.  Классификация и особенности нелинейных СУ.
  2.  Типовые нелинейные звенья и их характеристики.
  3.  Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики.
  4.  Линеаризация статических характеристик, методы компенсационных и вибрационных линеаризации.

  1.  Классификация и особенности нелинейных СУ.

До сих пор были рассмотрены линейные СУ, к которым применимы линейные системы уравнений. К нелинейным СУ относятся все СУ, которые не могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями.

Процессы в нелинейных СУ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, связывающие вход и выход СУ. Признаком нелинейного звена или СУ является: (см. рис. 1.1)

           X(t)                                  Y(t)

                                                                                    Рис. 1.1

Каждая СУ состоит из линейных и нелинейных звеньев. Наличие хотя бы одного нелинейного звена в СУ делает всю СУ нелинейной. По методам математического описания можно сделать следующую классификацию нелинейных звеньев:

           X(t)                                  Z(t)

                                                                             Рис. 1.2

1). Статические (безинерционные или звенья нулевого порядка), такие звенья описываются нелинейными статическими характеристиками Z = F(X), представляющие собой алгебраические уравнения. (рис. 1.3).

Пример:                   Z

                                                                     X

                                                                                 Рис. 1.3

2). Динамические нелинейные звенья (инерционные), процессы в которых описываются нелинейными дифференциальными уравнениями:

                                        (1.1)

В уравнении (1.1) есть несколько признаков нелинейности:

а) коэффициенты уравнений зависят от переменных.

б) степень производной в уравнении выше первой.

в) коэффициент передачи СУ зависит от входной, выходной величин и переменной t.

Уравнение будет нелинейным, если присутствует хотя бы один из этих признаков.

Динамические нелинейные звенья принято описывать типовыми нелинейными дифференциальными уравнениями:

а). Дифференциальное уравнение нулевого порядка n=0:   

б). Дифференциальное уравнение первого порядка n=1:     ,

в). Дифференциальное уравнение второго порядка n=2:    

Нелинейности нулевого и первого порядков можно представить в виде структурных схем, состоящих из безинерционного нелинейного звена и инерционного линейного звена с ОПФ

     X

                                                      Z                      X                                  Z                       Y

                        Рис.1.4                                                                          Рис.1.5

В дальнейшем будем рассматривать узкий класс инерционных нелинейных звеньев (рис. 1.5).

Для выяснения особенностей нелинейного звена с точки зрения преобразования сигнала рассмотрим два звена с линейной и нелинейной статической характеристикой (рис.1.6,1.7).

X                                           Z

          Z                               Z                                                    Z                             Z

                        z=kx                                                               

                            X                                            t                                          X                                      t

                                                                       

                        X                                                                                         X

                                                                                                                         

                                                                                                                                                       

                                                         

                                                                                                                         

          t                                                                                       t

                                                                                                                                                          

                         Рис.1.6                                                                         Рис.1.7

Графическим методом определим сигнал  на выходе нелинейного и линейного звена.

На выходе линейного звена - сигнал той же формы (рис.1.6).

Амплитуда сигнала на выходе нелинейного звена не связана с входным сигналом (рис.1.7).

Основные свойства нелинейного звена, отличающие его от линейного звена:

  1.  Если на входе нелинейного звена присутствует одночастотный сигнал частоты 1, то на выходе в спектре сигнал содержит бесконечное число гармонических составляющих на частоте ,
  2.  Амплитуда выходного сигнала может не зависеть от входного сигнала.
  3.  Форма выходного сигнала может не зависеть от формы от формы входного сигнала.
  4.  Если на вход нелинейного звена подать два гармонических колебания с частотой 1 и 2, то на выходе нелинейного звена будут составляющие с частотами 1, 2, k1, n2, , n,k =.
  5.  Если на вход нелинейного звена поступают сигналы сложной формы, то на выходе присутствуют гармоники всех спектральных составляющих входного сигнала и все комбинации частоты.

Особенности исследования НСУ:

  1.  К нелинейным звеньям не применим принцип суперпозиций, что существенно осложняет количественный и качественный анализ НСУ.
  2.  Не существует единого метода решения нелинейных дифференциальных уравнений. Нелинейное дифференциальное уравнение в общем случае вообще не имеет решения. Решение существует для малой части уравнений первого и второго порядков.
  3.  Так как не существует общих методов решения, то метод исследования определяется видом нелинейности, особенностями задачи и другими факторами. В основном применяются только приближенные методы, поэтому при анализе систем используют два этапа приближения:

а). Составляют нелинейное дифференциальное уравнение приблизительно описывающие процессы в системе. Если это уравнение можно решить, то говорят о точном решении.

б). Если составленное дифференциальное уравнение не имеет решение, то находят приближенное решение, в этом случае говорят о приблизительном решении.

  1.  Приближенные методы не дают полного представления обо всех динамических свойствах СУ, так как справедливы только в окрестностях рабочей точки.
  2.  Для НСУ существует усложненное понятие устойчивости, так как коэффициент передачи, а, следовательно, и устойчивость в НСУ зависят от режима работы, величины нагрузки, величины возмущения.
  3.  В НСУ возможно возникновение особых режимов автоколебаний: устойчивых незатухающих колебаний, принципиально невозможных в линейных СУ. Существует большой класс нелинейных автоколебательных СУ, в которых колебания являются нормальным режимом работы (генераторы, мультивибраторы…).

  1.  Типовые нелинейные звенья и их характеристики.

Для удобства анализа НСУ водится понятие типовых нелинейных характеристик. Рассмотрим некоторые из них:

а). Нелинейные звенья с однозначно непрерывными характеристиками:

  1.  Нелинейность типа насыщение или ограничение.

                         z

                   b

        -a                    a             x                                  (2.1)

                        -b     

                   Рис.2.1    

Такой характеристикой обладают все усилители.

  1.  Нелинейность типа зона неустойчивости.

                        z                                                                 (2.2)

 

            -a                a            x                   

                             

          

                 Рис.2.2

 Такой характеристикой обладают двух тактовые усилители мощности.

  1.  Нелинейность типа насыщение с зоной нечувствительности.

                                                                       z

                                                                     c

                                                   -b        -a       a        b        x                  

                                                                           

                                                                      -c              Рис.2.3

                                                                                 (2.3)

б). Звенья с однозначными разрывными характеристиками (релейные звенья).

  1.  Двухпозиционное реле (идеальное реле).

                         z

                   b

                                              x                                             (2.4)

                             

                        -b

                     Рис.2.4

  1.  Трехпозиционное реле

                         z

                   b

        -a                    a            x                                   (2.5)

                        -b     

                  Рис.2.5

    в). Звенья с двухзначными характеристиками.

  1.  Двухпозиционное реле с гистерезисом

                         z

                     

                   b

        -a                     a            x                                  (2.6)

                        -b     

                              Рис.2.6

  1.  Трехпозиционное реле с гистерезисом.

                         z

                   c

         -a      -b     b   a             x                              (2.7)

                        -c     

                             Рис.2.7

Вывод:

Рассмотренные типовые нелинейные звенья обладают нечетно-симметричными характеристиками.

  1.  Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики.

В некоторых системах может быть несколько нелинейных звеньев, соединенных друг с другом. Удобно использовать типовые соединения звеньев: последовательное, параллельное, соединение с обратной связью. Определим эквивалентные статические характеристики типовых соединений. Будем использовать два положения:

а) Нелинейные звенья будем считать однонаправленными.

б) Соединения звеньев не влияют на их характеристики.

  1.  Последовательное соединение нелинейных звеньев (рис.3.1).

X                                   Y                                 Z

                                       Рис.3.1

известны статические характеристики: Y(X),Z(Y)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                             Y                                                                        Y

Z                                                                                                                                X

                             Z                                                                        Z

Z                                                                                                                                   X

                                                              Рис.3.2

Если при последовательном соединении результирующая характеристика линейна, то такие характеристики называют взаимно-обратными.

  1.  Параллельное соединение нелинейных звеньев (рис.3.3).

известны статические характеристики: Z(X),Z(X)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                 Z                                           X                                   

                  a                                                                                                                Z

                                            X

               Z

                            b             X

                 Z

                   a        b               X                    Рис.3.3

Если при параллельном соединении результирующая характеристика линейна и k=1, то такие звенья называют взаимно дополнительными или эквивалентными.

  1.  Соединение с обратной связью (рис.3.4).

известны статические характеристики: Z(X),Z(X)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                 X

                          X                                             Z

          +

                       Z

             Z                                                            Z

                                                  X                                                                 Z

             Z,Z

                                       

                                                                                                           X,X,Z  

 

                            a b   c            a+b  b+c

                                                                      Рис.3.4

Соединение с обратной связью также может быть использовано для линеаризации характеристик.

  1.  Линеаризация статических характеристик, методы компенсации.

По характерному влиянию на систему, нелинейные звенья разделяют на два типа:

  1.  Нелинейные звенья, специально вводимые в систему в виде корректирующих звеньев для улучшения статических или динамических характеристик, для улучшения качества СУ.
  2.  Нелинейные звенья, являющиеся частью системы, так как по физической природе все звенья системы управления нелинейные. В этом случае  нелинейности системы управления ухудшают качественные показатели.

Рассмотрим способы коррекции статических характеристик нелинейных звеньев, позволяющие в некотором случае произвести линеаризацию.

Определение: линеаризация статических характеристик нелинейных звеньев называется технической линеаризацией.

Для технической линеаризации используют два способа:

  1.  Применяют компенсирующие нелинейности.
  2.  Используют вибрационную линеаризацию.

  1.  Если последовательно с нелинейным звеном включить другое нелинейное звено, статическая характеристика которого взаимно обратная исходному звену, то результирующая характеристика будет линейна.

Если параллельно нелинейному звену включить звено, имеющее взаимно дополнительную статическую характеристику, то результирующая характеристика будет линейна.

Аналогично решается задача с помощью соединения с обратной связью.

Пример:

известна статическая характеристика: Z(X),

определить:  Z(X) так, чтобы Z(X) была линейна

                                                             

                                                                                Z

    X

                                                                                        

                                                    X                                                              X

                    -a            a                                            -a             a

                               Z

                 -a                a

                                                                X

                                                 Рис.4.1

При использовании компенсирующей нелинейности необходимо следить за тем, чтобы нелинейность была физически реализуема.

Компенсирующее нелинейное звено может быть выполнено в виде математических моделей (электрических, электронных схем,…) и необязательно по физической природе должны совпадать с линеаризуемым звеном.

Если нелинейность обусловлена характеристикой самого объекта, то линеаризация может быть осуществлена с помощью математической модели.

  1.  Вибрационная линеаризация.

Это наиболее эффективный и распространенный способ технической линеаризации. Он особенно эффективен, если в системе существуют гистерезисные или релейные нелинейности.

Сущность метода: на медленно изменяющийся полезный сигнал на входе звена накладывается периодическая переменная составляющая, большей, по сравнению с

входным сигналом частоты. На выходе звена эта составляющая отфильтровывается

низко частотной линейной частью системы (рис.4.2).

Рассмотрим сущность метода более подробно:

                 

                 +                                                       НЧ

  1.  

                                                        

                                         Рис.4.2

X - медленно изменяющийся полезный сигнал.

X - быстро изменяющийся периодический сигнал.

z = z+z

Для нелинейных систем принцип наложения неприменим, тогда

z = f(x) и z = f(x)

Действие x зависит от формы сигнала. Наиболее часто:

1.                                   

2.

3.

                                                                                                     

                             Z                                                        Z

                                                                                      

                                                                                 a

                                         X                                                                             t

                    a   2a

                                          X

                           A=a

                                        A=4a

             t                                          Рис.4.3

Анализ:

  1.  С ростом А, растет z вблизи зоны нечувствительности (рис.4.3), если А, z(x) становится линейной во всем диапазоне изменения х.
  2.  Для нелинейности типа зоны нечувствительности, наложение на входной сигнал х последованности импульсов прямоугольной формы, с амплитудой А=n*a, делает для постоянной составляющей х нелинейную характеристику линейной, на участке шириной (n-1)*2a (рис.4.3).
  3.  Более значим эффект линеаризации звеньев типа люфт. Она становится линейной уже при А=а.
  4.  Для нелинейностей типа ограничение и упор вибрационная линеаризация повышает ширину линейной зоны, что сопровождается уменьшением коэффициента усиления.
  5.  Рассматриваемый метод приводит к выводу о пользе СУ, в которых существуют малые автоколебания.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

492. Поляризация диэлектриков 286.5 KB
  Ионно-релаксационная поляризация. Классификации диэлектриков. Спонтанная (сегнетоэлектрическая), дипольно-релаксационная, миграционная (межслоевая), остаточная (электретная) поляризация.
493. Газоснабжение и горячее водоснабжение жилого 6-и этажного здания 206.5 KB
  Гидравлический расчет подающих трубопроводов. Газоснабжение жилого здания. Гидравлические расчет систем горячего водоснабжения. Анализ циркуляционных трубопроводов.
494. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки 157.5 KB
  Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Числовые характеристики вариационных рядов. Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение. Исправленная выборочная дисперсия. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты.
495. Актуальные проблемы реформы местного самоуправления 909 KB
  Конституция Российской Федерации и проблемы развития компетенционных возможностей местного самоуправления. Реформа местного самоуправления: проблемы реализации. Проблемы законодательного обеспечения реформы местной власти.
496. Разработка и анализ алгоритма сортировки посредством выбора на основе разработки шаблона функции C++ 186 KB
  Основные классы методов сортировки. Исследование метода сортировки посредством выбора на основе шаблона функций C++. Анализ результатов тестирования рассматриваемого алгоритма, вывод о приоритетах и недостатках данного алгоритма и методах его реализации.
497. Водоснабжение и водоотведение 206 KB
  Водопровод жилого здания включает следующие элементы: ввод и водомерный узел, водопроводную сеть, запорную, водоразборную, регулирующую и предохранительную арматуру.
498. Фирма как несовершенный конкурент 233 KB
  Несовершенная конкуренция. Максимизация прибыли монополией. Олигополия. Модель ломаной кривой спроса. Монополия и ценовая дискриминация.
499. Мой мобильный телефон Nokia N8 245 KB
  Возможности предоставляемые Symbian. Типичная картонная упаковка синего цвета без каких-либо дизайнерских штрихов. Герметичность корпуса (пыль). Возможность просмотра видео без предварительного конвертирования.
500. Водоснобжение 5- этажного жилого дома 209 KB
  Гарантированный напор в точке подключения ввода составляет 30м. Расстояние от стены здания до водопроводной линии составляет 25 метров. Глубину промерзания грунта для Новгорода принимаем равной 1,3м.