29833

Нелинейные СУ

Лекция

Математика и математический анализ

Типовые нелинейные звенья и их характеристики. Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики. Линеаризация статических характеристик методы компенсационных и вибрационных линеаризации...

Русский

2013-08-21

266.5 KB

67 чел.

Лекция № 9,10.   Тема: “Нелинейные  СУ.”

  1.  Классификация и особенности нелинейных СУ.
  2.  Типовые нелинейные звенья и их характеристики.
  3.  Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики.
  4.  Линеаризация статических характеристик, методы компенсационных и вибрационных линеаризации.

  1.  Классификация и особенности нелинейных СУ.

До сих пор были рассмотрены линейные СУ, к которым применимы линейные системы уравнений. К нелинейным СУ относятся все СУ, которые не могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями.

Процессы в нелинейных СУ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, связывающие вход и выход СУ. Признаком нелинейного звена или СУ является: (см. рис. 1.1)

           X(t)                                  Y(t)

                                                                                    Рис. 1.1

Каждая СУ состоит из линейных и нелинейных звеньев. Наличие хотя бы одного нелинейного звена в СУ делает всю СУ нелинейной. По методам математического описания можно сделать следующую классификацию нелинейных звеньев:

           X(t)                                  Z(t)

                                                                             Рис. 1.2

1). Статические (безинерционные или звенья нулевого порядка), такие звенья описываются нелинейными статическими характеристиками Z = F(X), представляющие собой алгебраические уравнения. (рис. 1.3).

Пример:                   Z

                                                                     X

                                                                                 Рис. 1.3

2). Динамические нелинейные звенья (инерционные), процессы в которых описываются нелинейными дифференциальными уравнениями:

                                        (1.1)

В уравнении (1.1) есть несколько признаков нелинейности:

а) коэффициенты уравнений зависят от переменных.

б) степень производной в уравнении выше первой.

в) коэффициент передачи СУ зависит от входной, выходной величин и переменной t.

Уравнение будет нелинейным, если присутствует хотя бы один из этих признаков.

Динамические нелинейные звенья принято описывать типовыми нелинейными дифференциальными уравнениями:

а). Дифференциальное уравнение нулевого порядка n=0:   

б). Дифференциальное уравнение первого порядка n=1:     ,

в). Дифференциальное уравнение второго порядка n=2:    

Нелинейности нулевого и первого порядков можно представить в виде структурных схем, состоящих из безинерционного нелинейного звена и инерционного линейного звена с ОПФ

     X

                                                      Z                      X                                  Z                       Y

                        Рис.1.4                                                                          Рис.1.5

В дальнейшем будем рассматривать узкий класс инерционных нелинейных звеньев (рис. 1.5).

Для выяснения особенностей нелинейного звена с точки зрения преобразования сигнала рассмотрим два звена с линейной и нелинейной статической характеристикой (рис.1.6,1.7).

X                                           Z

          Z                               Z                                                    Z                             Z

                        z=kx                                                               

                            X                                            t                                          X                                      t

                                                                       

                        X                                                                                         X

                                                                                                                         

                                                                                                                                                       

                                                         

                                                                                                                         

          t                                                                                       t

                                                                                                                                                          

                         Рис.1.6                                                                         Рис.1.7

Графическим методом определим сигнал  на выходе нелинейного и линейного звена.

На выходе линейного звена - сигнал той же формы (рис.1.6).

Амплитуда сигнала на выходе нелинейного звена не связана с входным сигналом (рис.1.7).

Основные свойства нелинейного звена, отличающие его от линейного звена:

  1.  Если на входе нелинейного звена присутствует одночастотный сигнал частоты 1, то на выходе в спектре сигнал содержит бесконечное число гармонических составляющих на частоте ,
  2.  Амплитуда выходного сигнала может не зависеть от входного сигнала.
  3.  Форма выходного сигнала может не зависеть от формы от формы входного сигнала.
  4.  Если на вход нелинейного звена подать два гармонических колебания с частотой 1 и 2, то на выходе нелинейного звена будут составляющие с частотами 1, 2, k1, n2, , n,k =.
  5.  Если на вход нелинейного звена поступают сигналы сложной формы, то на выходе присутствуют гармоники всех спектральных составляющих входного сигнала и все комбинации частоты.

Особенности исследования НСУ:

  1.  К нелинейным звеньям не применим принцип суперпозиций, что существенно осложняет количественный и качественный анализ НСУ.
  2.  Не существует единого метода решения нелинейных дифференциальных уравнений. Нелинейное дифференциальное уравнение в общем случае вообще не имеет решения. Решение существует для малой части уравнений первого и второго порядков.
  3.  Так как не существует общих методов решения, то метод исследования определяется видом нелинейности, особенностями задачи и другими факторами. В основном применяются только приближенные методы, поэтому при анализе систем используют два этапа приближения:

а). Составляют нелинейное дифференциальное уравнение приблизительно описывающие процессы в системе. Если это уравнение можно решить, то говорят о точном решении.

б). Если составленное дифференциальное уравнение не имеет решение, то находят приближенное решение, в этом случае говорят о приблизительном решении.

  1.  Приближенные методы не дают полного представления обо всех динамических свойствах СУ, так как справедливы только в окрестностях рабочей точки.
  2.  Для НСУ существует усложненное понятие устойчивости, так как коэффициент передачи, а, следовательно, и устойчивость в НСУ зависят от режима работы, величины нагрузки, величины возмущения.
  3.  В НСУ возможно возникновение особых режимов автоколебаний: устойчивых незатухающих колебаний, принципиально невозможных в линейных СУ. Существует большой класс нелинейных автоколебательных СУ, в которых колебания являются нормальным режимом работы (генераторы, мультивибраторы…).

  1.  Типовые нелинейные звенья и их характеристики.

Для удобства анализа НСУ водится понятие типовых нелинейных характеристик. Рассмотрим некоторые из них:

а). Нелинейные звенья с однозначно непрерывными характеристиками:

  1.  Нелинейность типа насыщение или ограничение.

                         z

                   b

        -a                    a             x                                  (2.1)

                        -b     

                   Рис.2.1    

Такой характеристикой обладают все усилители.

  1.  Нелинейность типа зона неустойчивости.

                        z                                                                 (2.2)

 

            -a                a            x                   

                             

          

                 Рис.2.2

 Такой характеристикой обладают двух тактовые усилители мощности.

  1.  Нелинейность типа насыщение с зоной нечувствительности.

                                                                       z

                                                                     c

                                                   -b        -a       a        b        x                  

                                                                           

                                                                      -c              Рис.2.3

                                                                                 (2.3)

б). Звенья с однозначными разрывными характеристиками (релейные звенья).

  1.  Двухпозиционное реле (идеальное реле).

                         z

                   b

                                              x                                             (2.4)

                             

                        -b

                     Рис.2.4

  1.  Трехпозиционное реле

                         z

                   b

        -a                    a            x                                   (2.5)

                        -b     

                  Рис.2.5

    в). Звенья с двухзначными характеристиками.

  1.  Двухпозиционное реле с гистерезисом

                         z

                     

                   b

        -a                     a            x                                  (2.6)

                        -b     

                              Рис.2.6

  1.  Трехпозиционное реле с гистерезисом.

                         z

                   c

         -a      -b     b   a             x                              (2.7)

                        -c     

                             Рис.2.7

Вывод:

Рассмотренные типовые нелинейные звенья обладают нечетно-симметричными характеристиками.

  1.  Типовые соединения нелинейных звеньев и их характеристики.

В некоторых системах может быть несколько нелинейных звеньев, соединенных друг с другом. Удобно использовать типовые соединения звеньев: последовательное, параллельное, соединение с обратной связью. Определим эквивалентные статические характеристики типовых соединений. Будем использовать два положения:

а) Нелинейные звенья будем считать однонаправленными.

б) Соединения звеньев не влияют на их характеристики.

  1.  Последовательное соединение нелинейных звеньев (рис.3.1).

X                                   Y                                 Z

                                       Рис.3.1

известны статические характеристики: Y(X),Z(Y)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                             Y                                                                        Y

Z                                                                                                                                X

                             Z                                                                        Z

Z                                                                                                                                   X

                                                              Рис.3.2

Если при последовательном соединении результирующая характеристика линейна, то такие характеристики называют взаимно-обратными.

  1.  Параллельное соединение нелинейных звеньев (рис.3.3).

известны статические характеристики: Z(X),Z(X)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                 Z                                           X                                   

                  a                                                                                                                Z

                                            X

               Z

                            b             X

                 Z

                   a        b               X                    Рис.3.3

Если при параллельном соединении результирующая характеристика линейна и k=1, то такие звенья называют взаимно дополнительными или эквивалентными.

  1.  Соединение с обратной связью (рис.3.4).

известны статические характеристики: Z(X),Z(X)

   определить:  Z(X)

  Решение:

                 X

                          X                                             Z

          +

                       Z

             Z                                                            Z

                                                  X                                                                 Z

             Z,Z

                                       

                                                                                                           X,X,Z  

 

                            a b   c            a+b  b+c

                                                                      Рис.3.4

Соединение с обратной связью также может быть использовано для линеаризации характеристик.

  1.  Линеаризация статических характеристик, методы компенсации.

По характерному влиянию на систему, нелинейные звенья разделяют на два типа:

  1.  Нелинейные звенья, специально вводимые в систему в виде корректирующих звеньев для улучшения статических или динамических характеристик, для улучшения качества СУ.
  2.  Нелинейные звенья, являющиеся частью системы, так как по физической природе все звенья системы управления нелинейные. В этом случае  нелинейности системы управления ухудшают качественные показатели.

Рассмотрим способы коррекции статических характеристик нелинейных звеньев, позволяющие в некотором случае произвести линеаризацию.

Определение: линеаризация статических характеристик нелинейных звеньев называется технической линеаризацией.

Для технической линеаризации используют два способа:

  1.  Применяют компенсирующие нелинейности.
  2.  Используют вибрационную линеаризацию.

  1.  Если последовательно с нелинейным звеном включить другое нелинейное звено, статическая характеристика которого взаимно обратная исходному звену, то результирующая характеристика будет линейна.

Если параллельно нелинейному звену включить звено, имеющее взаимно дополнительную статическую характеристику, то результирующая характеристика будет линейна.

Аналогично решается задача с помощью соединения с обратной связью.

Пример:

известна статическая характеристика: Z(X),

определить:  Z(X) так, чтобы Z(X) была линейна

                                                             

                                                                                Z

    X

                                                                                        

                                                    X                                                              X

                    -a            a                                            -a             a

                               Z

                 -a                a

                                                                X

                                                 Рис.4.1

При использовании компенсирующей нелинейности необходимо следить за тем, чтобы нелинейность была физически реализуема.

Компенсирующее нелинейное звено может быть выполнено в виде математических моделей (электрических, электронных схем,…) и необязательно по физической природе должны совпадать с линеаризуемым звеном.

Если нелинейность обусловлена характеристикой самого объекта, то линеаризация может быть осуществлена с помощью математической модели.

  1.  Вибрационная линеаризация.

Это наиболее эффективный и распространенный способ технической линеаризации. Он особенно эффективен, если в системе существуют гистерезисные или релейные нелинейности.

Сущность метода: на медленно изменяющийся полезный сигнал на входе звена накладывается периодическая переменная составляющая, большей, по сравнению с

входным сигналом частоты. На выходе звена эта составляющая отфильтровывается

низко частотной линейной частью системы (рис.4.2).

Рассмотрим сущность метода более подробно:

                 

                 +                                                       НЧ

  1.  

                                                        

                                         Рис.4.2

X - медленно изменяющийся полезный сигнал.

X - быстро изменяющийся периодический сигнал.

z = z+z

Для нелинейных систем принцип наложения неприменим, тогда

z = f(x) и z = f(x)

Действие x зависит от формы сигнала. Наиболее часто:

1.                                   

2.

3.

                                                                                                     

                             Z                                                        Z

                                                                                      

                                                                                 a

                                         X                                                                             t

                    a   2a

                                          X

                           A=a

                                        A=4a

             t                                          Рис.4.3

Анализ:

  1.  С ростом А, растет z вблизи зоны нечувствительности (рис.4.3), если А, z(x) становится линейной во всем диапазоне изменения х.
  2.  Для нелинейности типа зоны нечувствительности, наложение на входной сигнал х последованности импульсов прямоугольной формы, с амплитудой А=n*a, делает для постоянной составляющей х нелинейную характеристику линейной, на участке шириной (n-1)*2a (рис.4.3).
  3.  Более значим эффект линеаризации звеньев типа люфт. Она становится линейной уже при А=а.
  4.  Для нелинейностей типа ограничение и упор вибрационная линеаризация повышает ширину линейной зоны, что сопровождается уменьшением коэффициента усиления.
  5.  Рассматриваемый метод приводит к выводу о пользе СУ, в которых существуют малые автоколебания.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44842. Экологические риски. Экологическое страхование 36.5 KB
  Категории риска: приемлемый риск уровень риска с которым общество в целом готово мириться ради получения определенных благ или выгод в результате своей деятельность. Экологический риск – это возможность возникновения неблагоприятных экологических последствий вызванных опасными природными или антропогенными в том числе техногенными факторами – факторами риска. Факторы экологического риска – это природные и антропогенные воздействия которые способны вызвать нежелательные опасные изменения состояния окружающей среды и здоровья человека:...
44843. Оценка воздействия хозяйственной деятельности на окружающую среду 41 KB
  Оценка воздействия на окружающую среду предназначена для выявления характера интенсивности и степени опасности влияния любого вида планируемой хозяйственной деятельности на состояние окружающей среды и здоровье населения. В процедуре ОВОС участвуют заказчик исполнитель работ по оценке воздействия и общественность. Исполнитель физ или юр лицо осуществляющее проведение оценки воздействия на окружающую среду которому заказчик предоставил право на проведение работ по оценке воздействия на ОС.
44844. Охраняемые природные территории 38 KB
  Общая площадь ООПТ федго и регго значения состт свыше 56 млн. ООПТ регго значения зант площадь равную 3 млн. га 536 от площади ООПТ в нашем регионе.В РФ создано более 13 тысяч ООПТ федго регго и месго значения.
44845. Характерные особенности метода и методики экономического анализа. Классификация методов и приемов экономического анализа 41 KB
  Характерные особенности метода и методики экономического анализа. Классификация методов и приемов экономического анализа Метод – это способ подхода к изучению познанию и преобразованию реальной действительности. Методология – это учение о принципах построения и формах научного познания. Методология ЭА – более общее чем метод понятие; вбирающее в себя помимо метода знание о формировании экономических явлений их структурных связях и путях дальнейшего развития.
44847. Оболочка bash 39.55 KB
  Если в командной строке стоит commnd1 commnd2 то commnd2 выполняется в том и только в том случае если статус выхода из команды commnd1 равен нулю что говорит об успешном ее завершении. Аналогично если командная строка имеет вид commnd1 commnd2 то команда commnd2 выполняется тогда и только тогда когда статус выхода из команды commnd1 отличен от нуля. Итак первый этап поиск кода команды. Команды бывают встроенные те код которых включен в код самой оболочки и внешние код которых расположен в отдельном файле на диске.
44848. Цели обучения РЯ в школе. Формирования лингвистической, языковой и коммуникативной компетенции в процессе обучения РЯ 14.38 KB
  Цели того или иного школьного предмета в том числе русского языка определяются следующими факторами: социальным заказом; уровнем развития соответствующей науки в данном случае лингвистики; уровнем развития педагогики детской психологии и самой методики преподавания русского языка. Лингвистическая наука достаточно полно описала все уровни русского языка и все функциональностилистические разновидности русской речи. Это позволило поставить задачу изучения языка во всех его основных проявлениях. Методика преподавания русского языка...
44849. Культура речи как качество 15.93 KB
  Центральным понятием нормативного аспекта является понятие языковой нормы. Нормы литературного языка включают единнообразную систему образцов общепринятые элементы языка обусловленные правилами исполнения речевых средств исторически принятые в языковом коллективе. Нормы отражают процесс. Признаки языковой нормы.