29835

Динамика нелинейных систем

Лекция

Математика и математический анализ

Метод фазовой плоскости. Метод фазовой плоскости. Пространство координат которое является фазовой характеристикой и ее производные называется пространством состояний системы. След перемещения изображающей точки в фазовом пространстве соответствует изменению состояния системы и называется фазовой траекторией.

Русский

2013-08-21

222 KB

27 чел.

- 11 -

Лекция №6

Динамика нелинейных систем

6.1. Задачи и методы исследования динамики нелинейных систем.

  1.   Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.
    1.   Основные понятия метода пространства состояния.
    2.   Фазовая плоскость и ее свойства.
    3.   Метод фазовой плоскости.
    4.   Метод изоклин.

6.1. Задачи и методы исследования динамики нелинейных систем.

  1.  Рассмотреть устойчивость СУ, выявить наличие автоколебаний и определить параметры системы.
  2.  Исследовать устойчивость автоколебательных движений.
  3.  Рассмотреть устойчивость СУ и выбрать регуляторы, уменьшающие или исключающие автоколебания.
  4.  Поиск возможных состояний равновесия СУ и исследование их устойчивости.
  5.  Исследование процессов перехода СУ к тому или иному устойчивому состоянию при разных начальных условиях.
  6.  Исследования зависимости картины возможных движений СУ от ее параметров и структуры.

Для решения вышеперечисленных задач используют следующие методы:

  1.  Точные методы исследования динамики
  2.  Методы пространства состояний.

а). Метод фазовой плоскости.

б). Метод изоклин.

Метод припасовывания.

  1.  Метод точечного преобразования.
  2.  Приближенные методы исследования динамики.

Используются, если нелинейная система управления

мало отличается от линейной.

  1.  Метод малого параметра.
  2.  Метод Пуанкаре.
  3.  Метод Ван дер Поля.
  4.  Метод Булгакова.
  5.  Приближенный метод исследования автоколебательных режимов.
  6.  Метод гармонической линеаризации

Используется, если искомые периодические решения мало отличаются от гармонических.

  1.  Если нелинейное дифференциальное уравнение можно линеаризовать, то в окрестности рабочей точки динамика нелинейной системы управления может быть изучена методами анализа линейной системы.

  1.  Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.

Обычно, любая система управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением, так как в системе присутствуют нелинейные звенья (реле, люфты и т.п.). Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить исходную нелинейную систему управления линейной, приближенно описывающую процессы в системе. Основной предпосылкой линеаризации является тот факт, что в режиме нормальной эксплуатации отклонения входной и выходной величины равны. Это позволяет разложить нелинейные функции, вход в уравнение, в ряд Тейлора.

Рассмотрим методику линеаризации на примере.

Пусть процессы в звене описываются некоторым уравнением первого порядка:

F(y,y’,x,x’)=0 (1) – НДУ

Обозначим параметры рабочей точки А:()

тогда отклонения от рабочей точки:

Из этих уравнений можно определить текущие координаты системы

Если подставить эти выражения в исходное уравнение,то получим следующее:

F(y+y,y’+y,x+x,x’+x’)=0

Функцию F можно разложить в ряд Тейлора в рабочей точке А и отбросить члены более высокого порядка малости, чем отклонение , тогда уравнение примет вид:

Вычтем из этого уравнения уравнение статики:

Получим искомое линеаризованное уравнение в отклонении от рабочей точки А:

  (2)

ЛДУ, линеаризованное дифференциальное уравнение

Коэффициенты этого уравнения (частные производные), если в них явно не входит переменная t, являются постоянными.

Чтобы получить уравнение (2), функция F должна обладать непрерывными частными производными по всем аргументами в окружности рабочей точки А. Кроме того отклонения должны быть достаточно малы, при этом общих рекомендаций о малости отклонения не существует. Величина малости определяется видом нелинейности.

6.3. Основные понятия метода пространства состояний.

Описание системы в пространстве состояний позволяет производить точные аналитические исследования динамического движения линейных и нелинейных систем при различных начальных условиях. Это описание дает наглядную картину в исследуемом режиме.

 

Введем основные понятия метода пространства состояний. Пусть свободно движущаяся, автономная в исследуемом режиме, СУ описывается дифференциальным уравнением первого порядка.

(I)

Такое представление – представление в форме Коши.

Решение системы уравнений (I), при заданных начальных условиях, дает возможность для каждой координаты состояния системы  определить описывающую ее функцию , а процесс, наблюдаемый в системе, изображают в виде линии в n-мерном пространстве координат состояния. Параметром этой линии является время t.

Например, состояние системы в некоторый момент времени t будет описываться:

или

В координатных осях пространства состояний системы мгновенное состояние можно изобразить в виде точки, называемой фазой системы или изображающей точкой.

 

Пространство координат, которое является фазовой характеристикой и ее производные, называется пространством состояний системы.

Если система автономна, то пространство состояний называется фазовым состоянием.

  

А   

 

  

 

Если система находится в свободном или вынужденном движении, то с течением времени координаты изображающей точки изменятся, и фаза системы переместится.

След перемещения изображающей точки в фазовом пространстве соответствует изменению состояния системы и называется фазовой траекторией.

 Фазовый портрет – совокупность фазовых траекторий для всех возможных начальных условий вместе с особыми точками и особыми траекториями.

Если система находится в состоянии равновесия, то изображающая точка не перемещается с течением времени, находясь в состоянии покоя.

 Особыми точками фазовой траектории называются точки равновесия системы, в них система находится в состоянии покоя. Особые точки располагаются на оси переменных Х.

 Предельным циклом или особой траекторией пространства состояний называется замкнутая изолированная траектория, по которой изображающая точка перемещается неограниченно долго. Предельным циклам соответствуют периодические установившиеся режимы

Основы геометрической теории динамических систем, как математической дисциплины, были заложены в 1811 году.

Использование этих методов в технических приложениях начал Мандельштам. Продолжили – Андропов, Емельянов, Портрягин.

При использовании метода пространства состояний и его геометрической интерпретации с ростом размерности исследуемого пространства трудности возрастают. Наиболее разработаны методы исследования для систем второго (фазовое пространство – фазовая плоскость) и третьего (фазовое пространство трех координат) порядка.

При разработке математических моделей неизбежно приходится прибегать к физическим законам, которые чаще всего выражаются дифференциальными алгебраическими уравнениями, которые легко приводятся к описанию в пространстве состояний. Таким образом, описание в пространстве состояний является самым естественным из всех форм математического описания объектов и систем управления.

6.4. Фазовая плоскость и ее свойства.

Пусть система описывается ЛДУ второго порядка в форме Коши:

тогда свободное движение этой системы можно изобразить на фазовой плоскости с координатами: .

Для отыскания уравнения фазовой траектории перепишем исходное уравнение в виде системы уравнений:

Исключим из этих уравнений переменную времени t, разделив первое уравнение на второе:

Решением этого уравнения является функция :

Свойства фазовой плоскости

  1.  Фазовые траектории линейных систем не пересекаются в неособых точках, то есть через любую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек проходит единственная интегральная кривая (теорема Коши).
  2.  Рассмотрим некоторый переходный процесс и поставим ему в соответствие фазовую траекторию.

 Х 2    Y

1

1 3  2

   t     X 

 

  3

Рассмотрим точку 1: х>0,y>0, при этом с течением времени у уменьшается, а х увеличивается.

Рассмотрим точку 2: х=MAX,y=0, при этом с течением времени х уменьшается, а |у| увеличивается.

Рассмотрим точку 3: х>0,y<0

В верхней полуплоскости фазовой плоскости с увеличением времени t изображающая точка двигается слева направо, а в нижней – наоборот. То есть изображающая точка движется по фазовой траектории по часовой стрелке. В точке у=0 производная ,    .

Фазовая траектория пересекает ось Х под прямым углом и |Х|=Хmax (Х принимает максимальное значение).

Значению у=0 или f(x,y)=0 соответствует особая точка на оси Х или остановка движения системы.

  1.  Особые точки и замкнутые траектории типа предельных циклов могут быть устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от того, служат ли они точкой притяжения или отталкивания для окрестных траекторий.

Примеры

Особая точка устойчивого, неустойчивого типа:

у у

х х

Особые траектории или предельные циклы

Устойчивого, неустойчивого типа:

 У У

 X Х

  1.  Линии на фазовой плоскости, которые служат элементами притяжения или отталкивания окрестных траекторий называются сепаратрисами.

  1.  Для линейных систем управления есть лишь одна особая точка или особая траектория. Характерная для этой точки траектория охватывает всю плоскость.

  1.  Нелинейная система с кусочно-линейным звеном делит всю фазовую плоскость на зоны линейности. Уравнение линий переключения зависит от вида нелинейности.

Все пространство состояний делится на листы, каждый лист соответствует одной зоне линейности. Закон движения изображающей точки в пределах листа определяется своим дифференциальным уравнением. Границы фазовых портретов (границы листов) соединяются в соответствии с видом нелинейности. Таким образом, фазовая траектория на всей плоскости нелинейной системы определяется сшиванием фазовых траекторий разных листов, которое производится без разрыва второго рода.

1 лист 2 лист 3 лист

   А

6.5. Метод фазовой плоскости

Метод используется для линейных, нелинейных систем первого, второго, третьего порядка в дифференциальных уравнениях которых можно разделить переменные.

В уравнениях общего вида переменные неразделимы, поэтому метод справедлив для некоторых частных случаев.

Рассмотрим его на примере второго порядка:

Исключим время из уравнения, для этого поделим второе на первое:

 Разделим переменные:

Решим уравнение:

 Разделим полученное выражение на b2:

  •  уравнение эллипса в координатах (х,у)

 A b

D  B

   

 C b

Особую траекторию можно рассматривать если решить дифференциальное уравнение известными методами, построить график переходного процесса Х и У.

р1

 

р2

 

Амплитуда Хm и фаза m определяются из начальных условий.

х=0

 

X b

a c t

 d

Y b

a c t

 d

Гармонический колебательный процесс соответствует эллиптической траектории.

Выводы: 

  1.  При чисто мнимых комплексно-сопряженных корнях дифференциальное уравнение имеет решение в виде незатухающих гармонических колебаний.
  2.  В фазовом пространстве этому решению соответствует эллипс. Задавая различные значения постоянной интегрирования можно получить фазовый портрет системы.
  3.  По фазовой траектории можно рассчитать переходный процесс и наоборот.

  1.  Первый период колебаний Т соответствует перемещению изображающей точки в фазовом пространстве на 3600.
  2.  Изображающая точка движется в фазовом пространстве по часовой стрелке.
  3.  В фазовом пространстве нет переменной t, но параметры фазовой траектории связаны с переменной t.
  4.  Начало координат для эллиптической фазовой траектории – это особая точка – точка равновесия системы.
  5.  Особая точка, окруженная фазовой траекторией, называется особой точкой типа центр.

  1.  Метод изоклин.

В большинстве случаев переменные в уравнениях второго и третьего порядка неразделимы. В этом случае для построения фазовой траектории или фазового портрета используется метод изоклин.

 Изоклиной называется геометрическое место точек, у которых угол наклона касательной к фазовой траектории одинаков.

изоклина

У

 х

Рассмотрим методику получения уравнения изоклины.

 

Пусть система описывается уравнением:

Правые части уравнений определяются дифференциальными  уравнениями системы или видом фазовой траектории, которую необходимо построить. Исключим переменную t и получим уравнение интегральных кривых:

Обозначим: ,

по физическому смыслу:  - угол наклона к оси Х.

Если это уравнение разрешить относительно У, то мы получим, что  или . Эта зависимость определяет геометрическое место точек в пространстве Х,У с постоянным значением h либо . Задавая различные значения , где k=1,2,…, а , можно построить сетку изоклин.

В пространстве изоклин особое место занимают изоклины вертикальных и горизонтальных касательных.

Уравнение изоклины вертикальной касательной:

, , т.е. , т.е. ось Х:

у

х

Уравнение изоклины горизонтальной касательной:

 , , т.е. ,

Т.е. изоклина горизонтальной касательной может совпадать с осью у, а может с ней и не совпадать, кроме того уравнение этой изоклины может быть уравнением прямрй, либо криволинейной зависимостью:

У У

А А

х   х

Точка пересечения изоклин горизонтальных и вертикальных касательных является точка равновесия системы или точка покоя и называется особой точкой.

Выводы:

  1.  Изоклине горизонтальных касательных соответствует точка фазовой плоскости в которой фазовая траектория проходит параллельно оси Х.
  2.  Изоклине вертикальных касательных соответствует точка фазовой плоскости, в которой фазовая траектория проходит параллельно оси У.
  3.  При построении семейства изоклин на фазовой плоскости справедливы правила:

А). Изоклина горизонтальных касательных всегда совпадает с осью Х. Отклонение Х в этой точке принимает экстремальное значение – максимум или минимум.

Б). Особые точки – точки равновесия системы расположены только на оси Х, там, где она пересекается с изоклиной горизонтальных касательных.

В). На изоклине для удобства в нескольких точках отмечается направление касательных, на них необходимо поставить стрелку, которая показывает направление движения изображающей точки по фазовому пространству.

Г). При расчетах необходимо помнить, что  - периодическая функция (для углов ).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63595. УПРАВЛİННЯ ГРОШОВИМИ ПОТОКАМИ 410.43 KB
  Поняття грошового потоку Грошовий потік можна визначити як сукупність послідовно розподілених у часі подій які пов’язані із відособленим та логічно завершеним фактом зміни власника грошових коштів у зв’язку з виконанням договірних зобов’язань...
63597. АНТИЧНАЯ ФИЛОСОФИЯ 220.5 KB
  Своим характером и направленностью содержания особенно методом философствования она отличается от древних восточных философ ских систем и является собственно первой в истории попыткой рационального постижения окружающего мира.
63601. Економічна оцінка ресурсів, витрат і результатів виробничої діяльності 261.5 KB
  Засоби виробництва дані природоюземлякорисні копалинилісвітервода тощодо виробничих фондів не належать Функціональне призначення: Основні фонди: Оборотні фонди: багаторазово беруть участь у повністю витрачаються у кожному процесі виробництва протягом...
63602. Политическая система современного общества 230.9 KB
  Место государства в политической системе общества; Роль партий и общественных объединений в политической системе общества; Политическая деятельность в обществе реализуется в рамках политической системы.