29836
Построение фазовой траектории методом изоклин
Лекция
Математика и математический анализ
Построение фазовой траектории методом изоклин. Метод изоклин даёт направления касательных к фазовой траектории на фазовой плоскости.1 на семействе изоклин отметим точку А соответствующую начальным условиям из этой точки нужно провести два луча направления которых соответствуют углам наклона касательных данной изоклины и соседней разделить угол между лучами пополам и провести биссектрису до следующей изоклины пересечение биссектрисы со следующей изоклиной даёт следующую точку фазовой траектории далее процесс повторяется если...
Русский
2013-08-21
268.5 KB
119 чел.
Лекции 13-14.
Вопрос №1.
Метод изоклин даёт направления касательных к фазовой траектории на фазовой плоскости. Для построения фазовых траекторий используют следующую методику:
Пусть изоклины некоторой линейной системы имеют вид:
O
Рис.1
Примечание: точность метода зависит от близости изоклин друг к другу, поэтому необходимо чтобы разность углов наклона касательных соседних изоклин лежала в диапазоне 100 - 300, иначе возрастает погрешность фазовой траектории.
Вопрос №2.
Запишем дифференциальное уравнение линейной автономной системы второго порядка и решим его:
, где x=x(t) (1)
найдем корни (2)
свойства корней (3)
Из курса математики известно, что характер переходного процесса в системе зависит от расположения корней и на комплексной плоскости, то есть от соотношения между и 1. Рассмотрим качественно зависимость переходных процессов от корней:
Рис.2
Получим уравнения изоклин:
для этого обозначим , тогда из уравнения (1) получим:
разделим второе уравнение на первое и получим уравнение интегральных кривых:
(4)
Чтобы получить фазовую траекторию нужно решить его и получить . Переменные не разделяются, поэтому построим фазовый портрет методом изоклин:
обозначим и выразим (5)
(5) уравнение изоклин для автономной линейной системы второго порядка.
Выводы:
Вопрос №3.
Случай А
Корни и действительные, отрицательные
Рис.3
1) - изоклина вертикальных касательных
2) - изоклина горизонтальных касательных (2-й и 4-й квадранты)
3) - изоклина совпадает с осью
На фазовом портрете имеются особые направления притягивающие особые траектории. Особые направления образуются, если корни вещественны и уравнение интегральных кривых (4) совпадает с корнями уравнения, то есть и , а уравнение изоклин принимает вид : и
На особом направлении вектор фазовой скорости направлен вдоль изоклины. Определим уравнение особой траектории для нашего случая:
Подставим в уравнение (5) :
Аналогично доказывается
Выводы:
Например: пусть начальные условия в точке А
Рис.4
Существуют специальные методы построения переходных процессов по фазовым траекториям.
Корни и комплексно-сопряженные, с отрицательной действительной частью
Рис.5
1) - изоклина вертикальных касательных
2) - изоклина горизонтальных касательных (2-й и 4-й квадранты)
3) - изоклина совпадает с осью
Выводы:
Корни и комплексно-сопряженные, с положительной действительной частью
Рис.6
1) - изоклина вертикальных касательных
2) - изоклина горизонтальных касательных (1-й и 3-й квадранты)
3) - изоклина совпадает с осью
Выводы:
Корни и действительные, положительные
Рис.7
1) - изоклина вертикальных касательных
2) - изоклина горизонтальных касательных (1-й и 3-й квадранты)
3) - изоклина совпадает с осью
На фазовом портрете есть два особых направления:
- (1-й и 3-й квадранты)
-
Выводы:
Случай Д
Корни и действительные, разных знаков
Важным является также соотношение между модулями этих корней:
1. 2. 3. .
Рис.8
Выводы:
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
2458. | Відокремлене узгоджене і неузгоджене означення | 95.5 KB | |
Мета організації уроку: закріпити в учнів знання про означення та його види, сформувати знання випадків відокремлення узгоджених та неузгодженних означень, навчити учнів відокремлювати узгоджені та неузгодженні означення. | |||
2459. | Відокремлені прикладки, урок для 8 класу | 76.5 KB | |
Мета організації уроку: сформувати в учнів поняття про відокремлену прикладку на основі відтворення і поглиблення знань, умінь і навичок учнів з тем, отриманих на попередніх заняттях, навчити восьмикласників обґрунтовано вживати розділові знаки при відокремлених прикладках, знаходити і виправляти пунктуаційні помилки на вивченні правила. | |||
2460. | Особливості побудови наукового і художнього описів. Опис тварини. Усний вибірковий переказ тексту, що містить опис тварини | 35.72 KB | |
Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про особливості побудови художнього і наукового описів тварини, навчити правильно будувати текст-опис тваринки, знаходити основне, неповторне в образі тваринки і описувати свої спостереження, навчити школярів сприйняття та відтворення текстів, що містять опис тварини. | |||
2462. | Присвійні, вказівні займенники, їх відмінювання | 74 KB | |
Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття присвійних та вказівних займенників, уміння їх відмінювати. | |||
2463. | Відокремлені додатки | 59.5 KB | |
Мета організації уроку. Сформувати поняття про відокремлений додаток, навчити оформляти відокремлені додатки на письмі та використовувати набуті уміння на практиці. | |||
2464. | Степан Васильченко. Свекор | 54 KB | |
Ознайомити учнів з фактами життя письменника, які вплинули на формування світогляду, специфікою його майстерності та із змістом оповідання Свекор, розвивати навички виразного читання, переказу прозових творів; виховувати почуття любові, злагоди, взаємодопомоги та турботи у сім’ї. | |||
2465. | Письмовий твір-роздум на морально-етичну чи суспільну теми публіцистичного стилю | 39 KB | |
Мета організації уроку. Удосконалювати вміння учнів продукувати письмовий твір-роздум на морально-етичну тему, розвивати усне і писемне мовлення, сформувати в учнів вміння виділяти в тексті всі компоненти роздуму, розуміти їх призначення в організації висловлювання, а потім свідомо відтворювати їх у власному мовленні. | |||
2466. | Усний твір, що містить опис тварини. | 33.38 KB | |
Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про опис зовнішності тварини; навчити правильно будувати текст-опис зовнішності тварини, через зовнішність описати її характер, знаходити основне, неповторне в образі конкретної тварини і описувати свої спостереження. | |||