29836

Построение фазовой траектории методом изоклин

Лекция

Математика и математический анализ

Построение фазовой траектории методом изоклин. Метод изоклин даёт направления касательных к фазовой траектории на фазовой плоскости.1 на семействе изоклин отметим точку А соответствующую начальным условиям из этой точки нужно провести два луча направления которых соответствуют углам наклона касательных данной изоклины и соседней разделить угол между лучами пополам и провести биссектрису до следующей изоклины пересечение биссектрисы со следующей изоклиной даёт следующую точку фазовой траектории далее процесс повторяется если...

Русский

2013-08-21

268.5 KB

112 чел.

Лекции 13-14.

 

  1.  Построение фазовой траектории методом изоклин.
  2.  Уравнения изоклин линейных систем второго порядка.
  3.  Фазовые портреты линейных систем второго порядка, типы особых точек.

Вопрос №1.

Метод изоклин даёт направления касательных к фазовой траектории на фазовой плоскости. Для построения фазовых траекторий используют следующую методику:

Пусть изоклины некоторой линейной системы имеют вид:

 O

Рис.1

  1.  на семействе изоклин отметим точку А соответствующую начальным условиям
  2.  из этой точки нужно провести два луча, направления которых соответствуют углам наклона касательных данной изоклины и соседней
  3.  разделить угол между лучами пополам и провести биссектрису до следующей изоклины
  4.  пересечение биссектрисы со следующей изоклиной даёт следующую точку фазовой траектории
  5.  далее процесс повторяется
  6.  если необходимо построить фазовый портрет, то изменяя начальные условия можно построить набор фазовых траекторий, который и будет портретом

Примечание: точность метода зависит от близости изоклин друг к другу, поэтому необходимо чтобы  разность углов наклона касательных соседних изоклин лежала в диапазоне 100 - 300, иначе возрастает погрешность фазовой траектории.

Вопрос №2.

 Запишем дифференциальное уравнение линейной автономной системы второго порядка и решим его:

 , где x=x(t)                                             (1)

 

 

найдем корни       (2)

свойства корней                                                            (3)

Из курса математики известно, что характер переходного процесса в системе зависит от расположения корней  и  на комплексной плоскости, то есть от соотношения между  и 1. Рассмотрим качественно зависимость переходных процессов от корней:

 

Рис.2

Получим уравнения изоклин:

для этого обозначим , тогда из уравнения (1) получим:

 

разделим второе уравнение на первое и получим уравнение интегральных кривых:

                                                                (4)

Чтобы получить фазовую траекторию нужно решить его и получить . Переменные не разделяются, поэтому построим фазовый портрет методом изоклин:

     обозначим       и выразим          (5)

(5) – уравнение изоклин для автономной линейной системы второго порядка.

 Выводы:

  1.  Уравнение (5) в пространстве переменных  и  есть уравнение линейное, то есть при любых значениях  и любых значениях параметра  уравнение изоклин линейно и график его прямая линия
  2.  Расположение изоклин в фазовом пространстве определяется корнями характеристического уравнения, то есть параметрами  и , наклон касательных к фазовой траектории параметром ,
  3.  Задавая различные значения  можно построить фазовый портрет системы
  4.  Изменяя  можно исследовать фазовый портрет системы при различном расположении корней характеристического уравнения

Вопрос №3.

 Случай А

Корни и  действительные, отрицательные

 

  1.  

Рис.3

1)             - изоклина вертикальных касательных

2)           - изоклина горизонтальных касательных (2-й и 4-й квадранты)

3)     - изоклина совпадает с осью

На фазовом портрете имеются особые направления притягивающие особые траектории. Особые направления образуются, если корни вещественны и уравнение интегральных кривых (4) совпадает с корнями уравнения, то есть и , а уравнение изоклин принимает вид :  и  

На особом направлении вектор фазовой скорости направлен вдоль изоклины. Определим уравнение особой траектории для нашего случая:

 

 

Подставим  в уравнение (5) :

 

Аналогично доказывается

 Выводы:

  1.  В случае вещественных корней образуются два особых направления и
  2.  В начале переходного процесса при больших значениях и фазовые траектории параллельны изоклине
  3.  В конце переходного процесса независимо от начальных условий и независимо от уравнения фазовой траектории все фазовые траектории имеют общую касательную
  4.  По изоклинам можно построить фазовый портрет  системы, по фазовому портрету, зная начальные условия, можно построить сам процесс

Например: пусть начальные условия в точке А

Рис.4

Существуют специальные методы построения переходных процессов по фазовым траекториям.

  1.  Переходные процессы апериодические
  2.  Фазовые траектории образуют особую точку  О типа “ устойчивый узел ”

Случай Б

Корни и  комплексно-сопряженные, с отрицательной действительной частью

Рис.5

1)             - изоклина вертикальных касательных

2)           - изоклина горизонтальных касательных (2-й и 4-й квадранты)

3)     - изоклина совпадает с осью

 Выводы:

  1.  Комплексные корни с отрицательной действительной частью дают затухающие по экспоненте колебательные процессы
  2.  Фазовая траектория представляет собой сходящуюся к центру логарифмическую спираль
  3.  Время движения изображаемой точки приблизительно можно определить:

  1.  Фазовая траектория образует особую точку О типа “устойчивый фокус”
  2.  По фазовому портрету для заданных начальных условий можно построить фазовую траекторию

Случай В

Корни и  комплексно-сопряженные, с положительной действительной частью

 

Рис.6

1)             - изоклина вертикальных касательных

2)           - изоклина горизонтальных касательных (1-й и 3-й квадранты)

3)     - изоклина совпадает с осью

 Выводы:

  1.  Комплексные корни с положительной действительной частью дают расходящиеся по экспоненте колебательные процессы
  2.  Фазовые траектории представляют собой расходящиеся из центра логарифмические спирали
  3.  На фазовом портрете образуется особая точка О  типа “неустойчивый фокус”
  4.  Изображаемая точка движется по фазовой траектории, удаляясь от точки равновесия в бесконечность

Случай Г

Корни и  действительные, положительные

Рис.7

1)             - изоклина вертикальных касательных

2)           - изоклина горизонтальных касательных (1-й и 3-й квадранты)

3)     - изоклина совпадает с осью

На фазовом портрете есть два особых направления:

-           (1-й и 3-й квадранты)

-

 Выводы:

  1.  На фазовом портрете есть особые направления  и , притягивающие окрестные траектории
  2.  Фазовые траектории образуют особую точку О типа  “неустойчивый узел”
  3.  Фазовый портрет представляет собой зеркальное отражение портрета с особой точкой О  типа устойчивый узел
  4.  Такому фазовому портрету соответствует неустойчивый апериодический процесс

Случай Д

Корни и  действительные, разных знаков

Важным является также соотношение между модулями этих корней:

1.            2.           3.                      .

Рис.8

 Выводы:

  1.  На фазовом портрете есть особые направления  и , расположенные под углом 450 к оси OX
  2.  Особое направление  служит сепаратрисой фазовых траекторий, по обе стороны от которой изображаемая точка удаляется от седла асимптотически по второй сепаратрисе   в диаметрально противоположных направлениях
  3.  Фазовый портрет имеет характерный вид седла, поэтому особая точка называется седло
  4.  Вдоль сепаратрисы   изображаемая точка приближается к условию равновесия, однако сама сепаратриса неустойчива, так как сколь угодно малые отклонения неограниченно возрастают с течением времени
  5.  В зависимости от соотношения между модулями  и  изоклина горизонтальных касательных отклоняется от оси OY  и может быть в 1-ом и 2-ом или во 2-ом и 4-ом квадрантах. Углы наклона особых направлений будут отличаться от 450

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81519. Биологический код, понятия, свойства кода, коллинеарность, сигналы терминации 105.17 KB
  Генетический код и его свойства Необходимость кодирования структуры белков в линейной последовательности нуклеотидов мРНК и ДНК продиктована тем что в ходе трансляции: нет соответствия между числом мономеров в матрице мРНК и продукте синтезируемом белке; отсутствует структурное сходство между мономерами РНК и белка. Отсюда становится ясным что должен существовать словарь позволяющий выяснить какая последовательность нуклеотидов мРНК обеспечивает включение в белок аминокислот в заданной последовательности. Он позволяет шифровать...
81520. Роль транспортных РНК в биосинтезе белков. Биосинтез аминоацил-т-РНК. Субстратная специфичность аминоацил-т-РНК-синтетаз 125.71 KB
  У человека около 50 различных тРНК обеспечивают включение аминокислот в белок. тРНК называют адапторные молекулы так как к акцепторному концу этих молекул может быть присоединена определённая аминокислота а с помощью антикодона они узнают специфический кодон на мРНК. В процессе синтеза белка на рибосоме связывание антикодонов тРНК с кодонами мРНК происходит по принципу комплементарности и антипараллельности.
81521. Последовательность событий на рибосоме при сборке полипептидной цепи. Функционирование полирибосом. Посттрансляционный процессинг белков 111.26 KB
  Каждая эукариотическая мРНК кодирует строение только одной полипептидной цепи т. она моноцистронна в отличие от прокариотических мРНК которые часто содержат информацию о нескольких пептидах т. Кроме того на полицистронных мРНК синтез белка начинается до того как заканчивается их собственный синтез так как процессы транскрипции и трансляции не разделены.
81522. Адаптивная регуляция генов у про- и эукариотов. Теория оперона. Функционирование оперонов 127.06 KB
  Регуляция активности генов у прокариотов. В экспериментах гипотеза оперона получила полное подтверждение а предложенный в ней тип регуляции стали называть контролем синтеза белка на уровне транскрипции так как в этом случае изменение скорости синтеза белков осуществляется за счёт изменения скорости транскрипции генов т. Согласно теории Жакоба и Моно оперонами называют участки молекулы ДНК которые содержат информацию о группе функционально взаимосвязанных структурных белков и регуляторную зону контролирующую транскрипцию этих генов.
81523. Понятие о клеточной дифференцировке. Изменение белкового состава клеток при дифференцировке (на примере белкового состава полипептидных цепей гемоглобина) 105.05 KB
  Дифференцировка клеток определенного типа сводится к экспрессии в них комплекса генов специфичных для данной клеточной линии. Экспрессия этих генов в свою очередь контролируется регуляторными районами гена промоторами и энхансерами. Энхансеры регуляторные районы ДНК расположенные на некотором расстоянии от контролируемых ими генов но в том же локусе хромосомы. Для того чтобы промоторы и энхансеры тканеспецифических генов могли взаимодействовать с ТФ они должны быть открытыми т.
81524. Молекяулрные механизмы генетической изменчивости. Молекулярные мутации: типы, частота, значение 110.08 KB
  Молекулярные мутации: типы частота значение Классификация мутаций Тип мутаций Характер мутационных изменений Примеры последствий Геномный Изменение числа хромосом Болезнь Дауна появление дополнительной хромосомы 21 Хромосомные Общее число хромосом не меняется. Частота мутаций в половых клетках высока. Основные виды генных мутаций Виды мутаций Изменения в структуре ДНК Изменения в структуре белка ЗАМЕНА Без изменения смысла кодона Замена одного нуклеотида в кодоне Белок не изменён С изменением смысла кодона миссенсмутация ...
81525. Генетическая гетерогенность. Полиморфизм белков в популяции человека (варианты гемоглобина, гликозилтрансферазы, группоспецифических веществ и др) 107.01 KB
  Группы крови. Другой важный пример полиморфизма белков связанный с проблемой переливания крови существование в популяции людей 3 аллельных вариантов гена фермента гликозилтрансферазы А В и 0. Антитела к антигенам А и В обычно имеются в сыворотке крови людей на поверхности эритроцитов которых отсутствует соответшвующий антиген т. индивидуумы с антигенами А на поверхности эритроцитов продуцируют в сыворотку крови антитела к Вантигенам антиВ а люди с Вантигенами антитела к антигенам А антиА.
81526. Биохимические основы возникновения и проявления наследственных болезней (разнообразие, распространение) 104.52 KB
  За этой группой следуют белки модулирующие функции белков и участвующие в правильном сворачивании полипептидных цепей. Хорошо изученными наследственными заболеваниями связанными с нарушением синтеза α или βцепей НЬ являются талассемии. Синтез α и βцепей в норме регулируется таким образом что все молекулы протомеров используются на синтез тетрамера α2β2 Талассемии возникают как результат мутаций включающих замены или делеции одного или нескольких нуклеотидов а иногда и целого гена кодирующего структуру одного из протомеров....
81527. Основные системы межклеточной коммуникации: эндокринная, паракринная, аутокринная регуляция 100.4 KB
  По расстоянию от клетки продуцента гормона до клеткимишени различают эндокринный паракринный и аутокринный варианты регуляции. Клеткимишени могут отстоять от эндокринной клетки сколь угодно далеко. Пример: секреторные клетки эндокринных желёз гормоны из которых поступают в систему общего кровотока. Примеры: эндотелины вырабатываемые клетками эндотелия и воздействующие на эти же эндотелиальные клетки; Тлимфоциты секретирующие интерлейкины имеющие мишенями разные клетки в том числе и Тлимфоциты.