29837

Методика построения фазового портрета автономной нелинейной системы управления

Лекция

Математика и математический анализ

Методика построения фазового портрета автономной нелинейной системы управления. Анализ нелинейной системы управления в частотной области. Методика построения фазового портрета автономной нелинейной системы управления. Для нелинейной системы управления с кусочнолинейной статической характеристикой при построении фазового портрета используется следующий подход: На статической характеристике определяются зоны линейности.

Русский

2013-08-21

320.5 KB

61 чел.

                       Лекция №15-16 (8).

  1.  Методика построения фазового портрета автономной                          нелинейной  системы управления.
  2.  Методы построения переходных процессов в нелинейной системе управления.
  3.  Анализ нелинейной системы управления в частотной области.

    Гипотеза фильтра.

  1.  Принцип  гармонического баланса.
  2.  Комплексный коэффициент передачи нелинейного звена.
  3.  Анализ автоколебаний в нелинейной системе управления.

1. Методика построения фазового портрета автономной нелинейной системы управления.

Для нелинейной системы управления с кусочно-линейной статической характеристикой при построении фазового портрета используется следующий подход: 

На статической характеристике определяются зоны     линейности. Как правило, это зоны с постоянным коэффициентом передач.

Вся фазовая плоскость разбивается на листы, которые соответствуют каждой зоне линейности. В пределах листа строятся фазовые траектории для линейной системы. На границах зон листы сшиваются.

Методика построения фазового портрета автономной нелинейной системы управления:

  1.  Изобразить структурную схему автономной нелинейной системы управления.
  2.  Изобразить статическую кусочно-линейную характеристику нелинейного безынерционного звена  и записать аналитическое выражение этой характеристики для каждой зоны линейности.
  3.  По известной операторной передаточной функции линейного звена записать дифференциальное уравнение, используя при этом уравнение замыкания.

Получить уравнение интегральных кривых. Для этого в дифференциальном уравнении произвести замену переменных и исключить время t.

  1.  Фазовое пространство в соответствие с характеристикой нелинейного звена разбить на линейные листы.
  2.  Для каждого листа фазовой плоскости записать уравнение интегральных кривых.
  3.  Если в уравнении интегральных кривых переменные разделяются, то уравнение необходимо проинтегрировать с учетом постоянных  интегрирования.

    Для каждого  линейного листа фазового пространства  найти      решения, при этом постоянные интегрирования записать в общем, виде.

    Если необходимо построение одной фазовой траектории при заданных начальных условиях, то по начальным условиям нужно определить постоянную интегрирования и построить фазовую траекторию.

  1.  Если необходимо построить фазовый портрет системы, то необходимо задавать различные значения постоянной интегрирования и построить фазовый портрет.
  2.  На фазовых траекториях указать направление движения изображающей точки (по часовой стрелке).
  3.  Если заданы начальные условия, то на фазовом портрете определить начальные точки и, двигаясь параллельно фазовым траекториям, изобразить траекторию движения точки в нелинейной системе.

Все фазовые траектории проходят параллельно друг другу и не пересекаются.

Необходимо проанализировать фазовую траекторию:  определить состояние равновесия системы (вид особой точки или  траектории); определить количество циклов до затухания переходного процесса; определить состояние незатухающих колебаний, параметры незатухающих колебаний (амплитуду, форму, период, частоту); построить переходный процесс и решить вопрос об устойчивости процесса.

Пример построения:

Требуется  построить фазовый портрет нелинейной системы с линейным звеном:  

                                                                               

и нелинейным безынерциальным звеном, имеющим статическую характеристику типа трехпозиционное реле (Рис.1):

а=1, в=2

                                                         Z

                                                 в

  

                                      а                        а                        y1                               

                                                               

                                         в                           

                                                                

Решение: 

  1.  

Структурная схема автономной  нелинейной системы управления (Рис.2):           

                                         

2.  Аналитическое выражение статической характеристики:                

3.Для составления дифференциального уравнения запишем      уравнение замыкания:

                                       

        

В соответствии с преобразованием Лапласа систему преобразуем к следующему виду:

Тогда дифференциальное уравнение имеет вид:

Обозначим:  ,  тогда:

 

                  (разделим второе уравнение на первое)

Получим уравнение интегральных кривых:

              

Дальнейшее решение задачи определяется тем, разделяются переменные или нет:

  •  если переменные разделяются в уравнении , то определяется фазовая траектория   ;
  •  если переменные не разделяются, то необходимо представить    и решить задачу методом изоклин.

4. Фазовое пространство разбиваем на листы (Рис.3):

                                                  

5.  Для каждого листа записываем уравнение интегральных кривых:

[1]:            

[2]:                    

[3]:               

  1.  Решим каждое дифференциальное уравнение:

Для листа [1]:    

                       

                           

                    

                           

                           

Обозначим:          

                          

                           

Для листа [2]:     

                               

Для листа [3]:     

                                                     

                           

    

7. Задавая различные значения постоянной интегрирования с уравнениях  строим фазовый портрет системы (Рис.3).

  1.  Методы построения переходных процессов в нелинейной системе управления.

Классификация методов построения переходных процессов в нелинейной системе управления:

  1.  Аналитические методы расчета переходных процессов
  2.  Графические методы
  3.  Построение переходных процессов с помощью ПК.

  •  Рассмотрим аналитический метод расчета:

Пусть нелинейная система состоит из нелинейного безынерционного звена и инерционного линейного звена (Рис.4,5). Определим сигнал на выходе системы управления, если известно аналитическое выражение входного сигнала, статическая характеристика нелинейного звена и ОПФ линейного звена.

а)

б)

                                                 

В общем случае:   перестановка нелинейного статического звена и линейного звена при последовательном соединении недопустимы (исключение составляет звено запаздывания).

  •  Рассмотрим графический метод расчета:

 

  1.  Построение переходных процессов нелинейных систем с линейным А-звеном
  2.  Метод припасовывания, аналогичный методу наложения
  3.  Построение переходных процессов по фазовой траектории.

На современном этапе первые два способа потеряли свою актуальность. Предпочтение здесь надо отдавать использованию ПК. Третий срособ  используется для изучения систем чаще, в виду своей наглядности. Для исследования надо также использовать ПК.

Рассмотрим построение переходных процессов по фазовой           траектории (3 способ):

1). Фазовая траектория (Рис.6) представляет собой фазовую траекторию стандартного переходного процесса линейной системы 1-го или 2-го порядков (Рис.7).                                                          

                                                                               

                                                                    

        

                                                                                                                       

Уравнение (3) справедливо  только для предельного цикла типа эллипс. Если фазовая траектория имеет другую форму, то формулы будут другие , например:

а) для параболических отрезков   

в) для прямоугольного предельного цикла           

2). Если фазовая траектория существенно отличается от стандартной, то используются специальные графические методы, дающие возможность нанести на траекторию специальные метки, между которыми изображающая точка проходит за один и тотже интервал t.

Метод равнобедренных треугольников:

1)     Строится фазовая траектория, задаются начальные условия.

2)  Выбирается расчитанный интервал времени t – интервал построения переходного процесса. Чем меньше интервал t, тем больше точность метода. Интервал t можно выбрать по формуле:

Расчет t производится так:

задается ;

 расчитывается ;

расчитывается t.

  1.  Изображаются под фазовой траекторией  оси x,t. Ось t разбивается на интервалы t. Строятся равнобедренные треугольники с углами и (Рис.8).
  2.  Строится переходный процесс (Рис.9): 

Вывод:

  1.  Графические методы наглядны и просты, и используются для качественного анализа.
  2.  Аналитические методы дают точные результаты, но довольно сложны, поэтому требуется использование ПК. Аналитическое решение существует только для частных случаев. Широкое применение получили также численные методы.

  1.  Анализ нелинейной системы управления в частотной   области. Гипотеза фильтра.

Существует несколько методов анализа нелинейных систем в частотной области. Все методы основаны на линеаризации свойств нелинейной системы, и называются методами гармонической линеаризации. Такие методы позволяют решить:

  1.  Исследование  условий возникновения автоколебаний в нелинейной системе;
  2.  Расчитать параметры колебаний и исследовать условия их устойчивости;
  3.  Исследовать условия отсутствия автоколебаний в системе.

Методы гармонической линеаризации сводят анализ нелинейной системы к анализу линейной системы в частотной  области.

Рассмотрим безынерционное нелинейное звено с нечетно-симметричной характеристикой:

Подадим на вход звена гармоническое колебание:

В силу свойств нелинейного звена на выходе появится негармонический сигнал, постоянная составляющая которого равна нулю. Негармонический сигнал на выходе можно разложить  в ряд Фурье:

Для нечетно-симметричных  характеристик синусоидальная составляющая равна нулю, тогда комплексные амплитуды можно рассчитать по следующим формулам:

Если этот интеграл существует, то это будет комплексная функция, зависящая от номера гармоники k и амплитуды :

Таким образом, при прохождении гармонического сигнала через безынерционное нелинейное звено форма сигнала искажается, следовательно, в спектре сигнала нелинейного звена присутствуют гармоники, амплитуды и фазы которых зависят от номера гармоники k и от .

                           Гипотеза фильтра.

Рассмотрим автономную нелинейную систему, состоящую из линейного и нелинейного звеньев:

На входе нелинейного звена:

Тогда на выходе нелинейного звена:

Если этот сигнал подать на линейную часть системы, то в спектре сигнала y(t) будут присутствовать такие же спектральные составляющие:

 

Рассмотрим графически спектральные составляющие системы (Рис.10):

Рис.10

Формулировка:

Если в системе выполняется условие, что  Wлин(k1)0 (для любых k>1), то отношение  (для любых k>1) и все  гармонические составляющие спектра сигнала z(t) на выходе нелинейного звена, кроме первой гармоники, полностью подавляются линейной частью системы. Сигнал y(t) на выходе системы определяется только первой гармоникой сигнала z(t).

Подведем итог:

Если в некоторой системе выполняется гипотеза фильтра, то всеми спектральными составляющими, кроме первой гармоники, на выходе системы можно пренебречь. Таким образом структура нелинейное звено – линейное звено заменяется эквивалентной структурой:

                                 

4, Принцип   гармонического   баланса.

Принцип гармонического баланса определяет условия существования в системе автоколебательного режима.

Рассмотрим автономную систему управления (Рис.11):

Рис.11

Подадим на вход нелинейного звена сигнал: .

Положим, что линейная часть системы удовлетворяет гипотезе фильтра: , тогда на выходе линейной части сигнал:

Запишем уравнение замыкания для рассматриваемой системы:

 или же во временной форме:

Из этих уравнений можно записать уравнения гармонического баланса:

         

    1. Баланс амплитуд:                  

 

      2. Баланс фаз:

При выполнении условия гармонического баланса в системе циркулирует по замкнутому контуру один и тотже  гармонический сигнал. Сдвиг выходного сигнала по фазе на по каналу XY и плюс сдвиг по фазе на в цепи обратной связи соответствуют существованию в системе положительной обратной связи (ОС).

5, Комплексный  коэффициент  передачи  нелинейного  звена.

    В нелинейной системе удобно ввести понятие комплексного коэффициента передачи, но он будет отличаться по смыслу от К.П.Ф линейной системы, так как будет зависеть от амплитуды входного сигнала. Комплексный коэффициент передачи можно рассматривать при выполнении гипотезы фильтра.

Опр.   Комплексным коэффициентом нелинейного звена называется         отношение первой гармоники нелинейного звена к амплитуде выходного сигнала: 

 Опр. Функции  и  называются коэффициентами гармонической   линеаризации.

Физический смысл комплексного коэффициента передачи нелинейного звена: показывает зависимость амплитуды и фазы                  первой гармоники выходного сигнала от амплитуды входного сигнала; комплексный коэффициент передачи не зависит от частоты, а зависит от амплитуды.

Часто используют соотношение: 

Рассмотрим комплексные коэффициенты передачи некоторых видов нелинейных звеньев (Таблица 1):

                                                                                        

                                                                                             Таблица 1.

                         

                         

                       

                      

                          

                         

                        

Выводы:

  1.  Гармонический сигнал при прохождении через нелинейное звено  с нечетно-симметричной  однозначной нелинейностью не сдвигается по фазе, годограф лежит на действительной оси, Q=0.
  2.  При прохождении гармонического сигнала  с неоднозначными или несимметричными характеристиками Q0, сигнал получает сдвиг по фазе, годограф расположен в комплексном пространстве.

2

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57558. Інтегрований урок “Любить свій край – це значить все любити” (Інтеграція з біологією та географією) 69.5 KB
  Мета уроку : повторити й поглибити знання учнів про займенник як частину мови його морфологічні ознаки; з’ясувати яку синтаксичну роль виконує в реченні займенник та які існують розряди займенників за значенням...
57559. Зречення принципів та ідеалів – шлях до успіху? (Б. Брехт «Життя Галілея», І. Багряний «Тигролови») 68 KB
  Уроки літератури є ефективними, якщо вони перетворюються на уроки життя. Життя – непередбачуване, гірке і солодке, одноманітне і барвисте, часом сумне чи радісне, але дивовижне й цікаве. А найголовніше (що дуже шкода) — дається один раз.
57560. МНОЖЕННЯ ЧИСЛА 2. РIЗНОМАНIТНIСТЬ ТВАРИН I ПТАХIВ 81.5 KB
  Мета: математика: перевірити знання учнів із теми Множення числа 2, формувати уміння знаходити значення виразів, які містять табличні випадки множення числа 2, розв’язувати задачі на множення, продовжувати змінювати приклади на додавання прикладами на множення...
57561. тематика й астрономія Що спільного між заходом Сонця в Донецьку і функцією синус Мотивація і плануван. 60 KB
  За допомогою відривного календаря легко помітити момент сходу та заходу Сонця для різних міст України на кожне число кожного місяца. Перше що залежить від різниці довготи Києва та інших міст України додається до часу сходу та заходу...
57562. Поезія і музика - це завжди неповторність, якийсь безсмертний дотик до душі... 84.5 KB
  Діти сьогодні у нас незвичайний урок. Учитель музики Діти з давніхдавен люди захоплювались не лише барвами природи а й її неповторними звуками і намагались наслідувати їх у своїх музичних творах. Учитель Дійсно вершиною художньої зображальності Вівальді...
57563. Інтегрований урок: Математика. Народознавство 58 KB
  Мета: Закріпити навички додавання і віднімання круглих десятків і сотень, навчити додавати трицифрові числа виду 520+340, вдосконалювати вміння розв’язувати розширені задачі на зведення до одиниці...
57564. Математично-географічна подорож з тем «Раціональні числа» і «Гідросфера» 70.5 KB
  Навчальна: навчити застосовувати знання з тем Додатні і від’ємні числа Координатна пряма Модуль Порівняння чисел до розв’язування задач з географічним змістом; сформувати поняття болото показати причини їх утворення...
57565. Мовою математики про природу 92.5 KB
  Узагальнити й систематизувати навички виконання арифметичних дій з багатоцифровими числами; закріпити вміння розвязувати задачі, рівняння; вдосконалювати навички роботи з іменованими числами; збагачувати знання учнів цікавинками про природу. Розвивати логічне мислення, память, пізнавальні інтереси учнів...
57566. Traditional Chinese medicine 104.5 KB
  TCM therpy lrgely consists of Chinese herbl medicine cupuncture dietry therpy nd tui n mssge. Prior to this Chinese medicine ws minly prcticed within fmily linege systems. The term Clssicl Chinese medicine CCM usully refers these medicl prctices tht rely on theories nd methods dting from before the fll of the Qing Dynsty 1911.