29838

Преобразование линейной системой спектральных плотностей стационарного случайного процесса

Лекция

Математика и математический анализ

Задачи исследования линейной системы управления при стационарных случайных воздействиях. 7 Если на входе системы случайный процесс то на выходе тоже случайный процесс и между входом и выходом существует зависимость. Определим взаимную спектральную плотность случайного процесса на входе и выходе линейной системы управления : Определим спектральную плотность между x и y: Взаимодействие двух процессов определяется и...

Русский

2013-08-21

322 KB

11 чел.

Лекция 10

  1.  Преобразование линейной системой спектральных плотностей стационарного случайного процесса.
  2.  Расчет дисперсии ошибки линейных  систем   управления  при  случайных    воздействиях.
  3.  Задачи исследования линейной системы управления при стационарных случайных воздействиях.
  4.  Фильтрация помехи с преобразованием сигнала (min 2).
  5.  Структурно - параметрический синтез оптимальных по точности систем при стационарных воздействиях.

1.Преобразование линейной системой спектральных плотностей стационарного случайного процесса.

 

           (7)

Если на входе системы случайный процесс, то на выходе тоже случайный процесс, и между входом и выходом существует зависимость.

Определим взаимную спектральную плотность случайного процесса на входе и выходе линейной системы управления :

                              

Определим спектральную плотность между x и y:

                 

Взаимодействие двух процессов определяется и дисперсией, поэтому средняя мощность центрированных случайных процессов на входе и выходе линейных систем управления определяются следующим образом:

      

      

В системе управления нам интересна дисперсионная ошибка:

       

Dy и D определяют стационарную погрешность СУ или ее динамическую точность.

Как правило, на систему управления воздействуют, как минимум, 2 случайных процесса:

  1.  помеха (возмущающее воздействие f(t));
  2.  случайные воздействия по управляющему каналу.

В связи с этим рассмотрим изменение статистических характеристик выходного сигнала при воздействии двух взаимосвязанных стационарных случайных процессов:

                    

    

                                                                      

Тогда спектральная плотность выходного сигнала Sy(w),будет складываться из:

            ,

т.к. процессы взаимосвязаны, тогда

        

Если на систему действует два взаимно независимых процесса, то                                   , тогда

                        

Если x и f независимы, то дисперсия выходного сигнала также будет представлять собой сумму дисперсии на выходе, обусловленной случайным процессом x, и дисперсии, обусловленной случайным процессом f:

                               .

2.Расчет дисперсии ошибки линейных  систем   управления  при  случайных    воздействиях.

Рассмотрим  структурную схему следящей системы управления:

 

u(t)-задающий сигнал

f(t)-помеха

(t)-ошибка управления

При расчётах динамической точности  систем управления исследуют  ошибку управления: (t)=u(t) - y(t). Если y(t) или f(t) случайные процессы, то (t) тоже случайная функция. Ее можно представить в виде:

                                                                                                       где - регулярная составляющая центрированного случайного процесса.

Регулярная составляющая ошибки определяется как реакция линейной СУ на регулярные внешние воздействия:

                            

                            

                           

                           

В частном случае, когда регулирующее воздействие отсутствует или постоянно, а случайное воздействие представляет собой стационарный случайный процесс, то есть                    ,

математическое ожидание ошибки можно определить из уравнения статики:

                 

Центрированные случайные процессы, кроме математического ожидания, задаются корреляционными функциями и спектральными плотностями.

В частных случаях, когда внешние воздействия не содержат регулирующих составляющих и представляют собой центрированный стационарный случайный процесс, критерием динамической точности СУ является дисперсия, которая рассчитывается:  

                                                           (8)

Чтобы по известной спектральной плотности рассчитать дисперсию, необходимо вычислить интеграл по формуле (8). В общем случае это сложная задача. Для ее решения используют 3 способа:

а:  Непосредственно расчет интеграла по формуле(8)

б:  Аналитический метод с помощью стандартных интегралов

в: Графический метод интегрирования

Рассмотрим методы б и в.

б: Аналитический метод с помощью стандартных интегралов.

Аналитический метод основан на представлении спектральных плотностей и КПФ системы дробно-рациональными функциями частоты:

                                  

                                                      (9)

где M(jw) – четная функция частоты.

                (10)

Особенностью такого представления  является то, что полином M(jw) содержит только чётные степени (jw) , а H(jw) для устойчивой СУ имеет все корни , расположенные в верхней полуплоскости корней.

Т.о.  

In – стандартный интеграл, имеются таблицы значений стандартных интегралов In.

Например для  n=1:     

                         n=2:    

Таким образом аналитический метод определения дисперсии проводится в следующем порядке:

  1.   определяется  спектральная плотность ошибки   S(w).
  2.  спектральная плотность представляется в виде (9).
  3.  рассчитываются коэффициенты полинома системы (10).
  4.  рассчитывается значениестандартного интеграла In.

в:  графический метод :

Для СУ , у которых n>4, аналитические расчёты  достаточно сложные, поэтому в инженерной практике используется графоаналитический метод расчета интегралов.

                           

                           

Можно построить графики и , и проинтегрировать их графически. Пусть для некоторой линейной системы управления задана спектральная плотность ошибки , -передаточная функция системы по каналу ошибки. Нужно определить .

После построения кривых, проинтегрируем и получим дисперсию, которая равна площади под кривой .

Как видно из графика, величина дисперсии зависит от расположения максимумов АЧХ и спектральной плотности ошибки. Величина дисперсии большая при совпадении этих максимумов .При выборе таких параметров системы, при которых максимумы оказываются разнесенными, можно добиться существенного уменьшения дисперсии,т.е. увеличения динамической точности. Таким образом, графоаналитический метод позволяет указать способы изменения частотной характеристики СУ таким образом, чтобы при заданных S внешних воздействий уменьшить D 

  1.  Задачи исследования линейной системы при стационарных случайных воздействиях.

Рассмотрим линейную систему, на вход которой действует одновременно полезный сигнал U(t) и помеха f(t):

При исследовании  линейной системы при случайных воздействиях обычно рассматривают две  задачи:

1) Идентификация объекта или системы

2) Фильтрация помехи с преобразованием сигнала.

Опр: Идентификацией называют определение математической модели объекта или системы с целью оценки его характеристик (статических или динамических).

  1.  Задача идентификации при случайных воздействиях состоит в следующем: как при заданной f(t) и известной y(t) определить W(p). Постановка и методы решения такой задачи и рассматриваются в специальном курсе моделирования.

2) В задаче фильтрации помехи с преобразованием сигнала необходимо: выбрать параметры линейного звена, при которых сигнал y(t) минимально отличается от заданного по условию задачи преобразованного рабочего сигнала yэт(t):

При этом: .

Как правило считается заданной. Если задача фильтрации решается для следящей СУ, то W(p) – передаточная функция замкнутой СУ, а , тогда выходной сигнал СУ будет равен заданию.

Если на выходе системы требуется получить производную от рабочего сигнала, то: .

Если требуется получить , то  и т.д.

При фильтрации и преобразовании рабочий сигнал  является полезным сигналом, а помеха  вносит дополнительную погрешность, которую необходимо уменьшить выбором ОПФ системы.

4.  Фильтрация помехи с преобразованием сигнала(min 2).

Для рассмотрения задачи составим структурную схему, состоящую из реальной системы, состоящей из  и некоторой фиктивной . При этом объединим сигналы и сформируем ошибку преобразования .

                             

На выходе системы формируется сигнал ошибки (t).

Будем считать статические характеристики сигналов  и  известными, при этом, в зависимости от степени детерминированности характеристик объекта , возможны две постановки задачи:

1) Выражение  известно и требуется, по известной  и статическим характеристикам сигналов  и , определить средний квадрат ошибки  и, варьируя параметры системы, минимизировать . Это задача анализа или параметрического синтеза.

2) ОПФ системы  - неизвестна, необходимо так синтезировать систему, чтобы при известных и заданных статических характеристиках сигнала  и ,  и среднеквадратичная ошибка была минимальна, т.е.  - min. Это задача  структурного синтеза.

Рассмотрим первую из этих задач :

  1.  Запишем ошибку системы в операторной форме:

          

В соответствии с выражением, исходная структурная схема может быть представлена в следующем эквивалентном виде.

Если обозначить выходные сигналы  и , тогда спектральная плотность ошибки  может быть представлена:

                         

Распишем Sve и Sev:

                       

                       

С учётом этого спектральная плотность ошибки может быть переписана в следующем виде:

                                

Если выразить спектральные плотности ,  и  через известные характеристики ,  и КПФ звеньев можно получить следующие выражения для спектральной плотности :

           

                     

Если сигналы  и  на выходе системы некоррелированные, то  и  определяется как:

                         (12)

В этом выражении второе слагаемое вызвано искажением сигнала  звеном  в следствии отличия характеристик этого звена от эталона. Второе слагаемое вызвано помехой.

Определим среднеквадратичное значение ошибки при фильтрации и преобразовании помехи:

                                                             (11)

Для линейных систем  обычно представляет собой дробно-рациональную вещественную функцию и вычисление интеграла (11) сводится к определению суммы стандартных интегралов вида:

                       

Полученные выражения (11) и (12) позволяют определить параметры следящей системы оптимальной по минимуму среднеквадратичного отклонения.

Основным требованием, предъявляемым к следящим системам, является точное воспроизведение управляющего сигнала, в этом случае  и форма для спектральной плотности ошибки будет иметь вид:

  (12*)

                                       (13)

В этих формулах W(jw) – передаточная функция замкнутой СУ, она может быть рассчитана по известным  ОПФ объекта и регулятора, поэтому она является функцией параметров системы: , например Кпер, Т12,…..

Как правило решением этой задачи является определение параметров системы, минимальных среднеквадратичных отклонений.

   

Алгоритм расчёта параметров системы по минимуму .

  1.  Определить ОПФ системы ;
  2.  Определить ;
  3.  Представить  в стандартном виде: ;

     Определить коэффициенты полиномов Н и М;

  1.  Рассчитать , используя таблицы интегралов либо стандартные интегралы ;
  2.  Определить производные от ошибки по интересующим параметрам , приравнять к нулю. Определить оптимальные значения параметров a, обеспечивающих минимальное среднеквадратичное отклонение.
  3.  Реализовать в следящей системе найденные значения параметров .

Одним из вариантов решения может быть использование корректирующих устройств.

  1.  Синтез оптимальных по точности систем при стационарных случайных воздействиях.

Задача синтеза по сравнению с предыдущей является более общей, в этой задаче  заданы статические характеристики  и  и  и требуется найти выражение для , обеспечивающая минимальное среднеквадратичное отклонение.

Эта задача впервые была поставлена и решена академиком Колмогоровым, независимо от него  и иным способом - Винером.

В последующие годы эти результаты были доведены до практического применения и доступны для инженерного уровня.

Рассмотрим основные результаты Колмогорова – Винера.

                                            (14)

Если помеха и сигнал некоррелированные, то взаимные спектральные плотности и ,а .

В этом случае                      (15).

Для следящей СУ   и

                                                              (16).

Выводы: 1)  при выводе формул (14), (15), (16) на вид КПФ  не накладывалось никаких ограничений.

  1.  получаемая по этим формулам  вступает в противоречие с условием физической реализации, т.е. ОПФ имеет корни в правой полуплоскости, отсюда следует .

Решение (16) можно разбить на две составляющие: физически реализуемую и физически нереализуемую.

Для нахождения ОПФ  физически реализуемой системы применяются два способа, вытекающие из теории Колмогорова – Винера:

  1.  факторизация;
  2.  расщепление;

Задача факторизации:

Пусть в результате решения задачи получается:

                 

Представив , где (jw)соответствует реализуемому устойчивому звену. Функция (-jw) соответствует нереализуемой части, тогда:

                                             (17).

После этого решается задача расщепления:

                .

Полученное выражение представляется в виде двух составляющих:

                           

R(jw) – соответствует реализуемой части;

N(jw) – соответствует нереализуемой части;

Далее не реализуемая часть системы отбрасывается  и

(18) – формула Колмогорова – Винера.

Выводы:

  1.  Рассмотренный метод синтеза – структурно-параметрический, когда ко входу линейной системы приложен центрированный стационарный случайный процесс.
  2.  Полученное решение физически нереализуемо, поэтому с помощью факторизации и расщепления определяется  .  При этом погрешность будет больше минимальной.
  3.  В настоящее время разработаны методы синтеза при случайных воздействиях, приложенных в разных точках системы. При одновременном воздействии на систему регулирующих и случайных  сигналов и другие задачи.
  4.  Для структурно параметрического синтеза разработаны пакеты прикладных программ(ТАУ2, МАТКАД, МАТЛАБ).

 

8


Sx(w)

y(t)

(t)

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

 y

x(t)

W(jw)

y(t)

vU

e

f(t)

x(t)

W2(jw)

W1(jw)

Структурная схема СУ.

u(t)

f(t)

EMBED PBrush  

W2( jw)

W1( jw)

S(w)

w

 W(p)

 Wэт(p)

u(t)

f(t)

x(t)

y(t)

yэт(t)

Структурная схема ЛСУ.

u(t)

f(t)

 W(p)

 Wэт(p)

y(t)

yэт(t)

EMBED Equation.3  

EMBED PBrush  

 W(p)

EMBED Equation.3  

f(t)

u(t)

e(t)

v(t)

EMBED PBrush  

Известно: W(p),g(t).

Определить: Sy(w)=?  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2281. Педагогічна майстерність учителя 105.42 KB
  Визначити складові творчості учителя, створити креативне середовище, виховувати почуття відповідальності і гордості за обрану професію.
2282. Анализ потребительских качеств 94.94 KB
  Природа поведения потребителей. Влияние усовершенствования сервисного процесса на лояльность потребителей. Варианты действий клиентов, недовольных качеством обслуживания.
2283. Зведення і групування статистичних даних 18.04 KB
  Суть статистичного зведення та його види. Основні завдання і види групувань. Принципи і техніка побудови статистичних групувань. Ряди розподілу. Вторинне групування. Класифікація статистичних зведень.
2284. Політична ситуація в Україні 17.77 KB
  Характеризуючи політичну ситуацію в Україні, яка склалася на даний момент, можна сказати багато чого. Насамперед, головна зміна (а тепер і проблема міжнародного масштабу – не побоюсь цього виразу) – це зміна суспільного ладу на території нашої держави.
2285. Особенности благодарности и извинения в английском языке 20.16 KB
  Совершенствование навыка диалогической речи; Знакомство с страноведческим материалом, сравнение русской культуры с культурой англоговорящих стран, совершенствование навыка работы с текстом.
2286. Философия античности 21.51 KB
  Философия Платона. Философия Аристотеля. Концепция общества и государства в философии Платона и Аристотеля. Проблема мира, человека, познания в философии Эпикура, Стоиков и скептиков. Неоплатонизм.
2287. Конспект воспитательного мероприятия на тему Знакомство с ребятами 20.48 KB
  Цель: познакомиться с ребятами. найти к ним подход. заинтересовать детей в своей работе. Задача: узнать как можно больше о ребятах, о их интересах и предпочтениях.
2288. Особенности составления диалогов в английском языке 18.68 KB
  Повторение и представление диалогов, активизация стандартных языковых фраз. Работа с текстом домашнего задания. Проверяем лексические единицы текста. Работа с текстом Euro currency.
2289. Внеклассное мероприятие по теме Friends and Friendship 18.92 KB
  Внеклассное мероприятие провели студенты исторического факультета, IV курса. Внеклассное мероприятие проводилось на тему: Friends and Friendship.