29842

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. Моделирование объектов и систем управления начинается с их выделения из окружающей среды что всегда приводит к изучению принципов т.

Русский

2013-08-21

252 KB

106 чел.

ЛЕКЦИЯ 2.

2.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

2.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ.

2.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

2.4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

Моделирование объектов и систем управления начинается с их выделения из окружающей среды, что всегда приводит к изучению принципов, т.к. в природе всё является взаимосвязанным и взаимообусловленным. Для объяснения состояния и поведения объектов и систем управления вводят математические модели.

Взаимодействие системы со средой можно представить в виде системы разорванных причинно-следственных связей.

                 вх f                                                    вых y

                                         среда

 

В теории и расчётной практике объектами исследования оказываются три вида моделей:

  1.  Системы без связей со средой.

СУ                                     - модель СУ без связей со средой

  1.  Системы со связями со средой.

               

  1.  Модели расширенных систем.

                                                                     f                               y(t)

На содержательном уровне объекты управления и системы управления интегрируются как устройства получения, передачи и обработки информации. С другой стороны объекты управления и системы управления можно рассматривать преобразователями сигналов этой информации.

y(t) = Q{f(t)}

 Объект управления или система управления характеризуется множеством переменных вместе с отношениями между ними.

Q(,(n),(n)) = 0

 В зависимости от классов объектов и систем управления оператор может быть линейным или нелинейным.

Для линейного оператора выполняется принцип суперпозиции, однородности и аддитивности.

Q{ * f(t)} =  * {f(t)}

Q{f1(t) + f2(t)} = Q{f1(t)} + Q{f2(t)}

Q{i  * f i (t)} = i Q {f i (t)}

Если же эти принципы не выполняются, то оператор является нелинейным. Класс нелинейных операторов намного шире класса линейных.

Модель объекта или системы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их оператор преобразования. Можно выделить следующие классы моделей и операторов:

 

  1.  Линейные Л и нелинейные
  2.  Стационарные С и нестационарные
  3.  Детерминированные Д  и недетерминированные
  4.  Сосредоточенные (конечномерные) К и распределённые (бесконечномерные)  

Эти четыре признака биальтернативные, поэтому можно насчитать 16 классов непрерывных систем и 16 классов дискретных.

 

Простейший класс – 1 уровень.  (Одно отрицание)

ЛСКД  – имеет мощный математический аппарат для анализа и синтеза СУ.

– существует незначительное число общих методов аналитического исследования. В основном методы анализа и синтеза рассчитаны для частных случаев.

2-й уровень – 2 отрицания

 

3-й уровень – 3 отрицания

4-й уровень – 4 отрицания

Системы второго и выше уровней можно исследовать только путём вычислительных экспериментов с помощью компьютерной обработке информации.

 

Среда на входе системы моделируется автономными системами, генераторами воздействий.

                                       (t), 1(t)

                                                            ,               ,  

Данная схема справедлива только для детерминированных систем. А для случайных систем справедливы случайные сигналы типа белого шума.

Модели строятся для строго оговоренных взаимодействий. Линейные модели строят для малых отклонений  переменных от установившихся режимов. Иногда область адекватности ограничена малыми амплитудами входных воздействий, для которых следует учитывать: зону неустойчивости, сухое трение и т.д. Границу адекватности можно изобразить на плоскости амплитуд и частот воздействий.

 

                       Нелинейная модель                     

A

                                                                                Модель более

                                                                                              Сложной

                                                                                              Структуры

                         Линейная модель

                        Нелинейная модель                                

                                                             

Таким образом, модель оказывается не полностью определённой. При интерпретации моделей анализа и синтеза необходимо иметь это в виду и учитывать ограничения области адекватности.

2.2.

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ.

В зависимости от характера и объёма информации об исследуемом объекте выделяют два способа построения модели :

  1.  Аналитический способ
  2.  Экспериментальный способ

Аналитический способ

Аналитический способ применяется для построения моделей объектов хорошо изученной природы. В результате идеализации физических свойств объекта можно изобразить строение модели в виде схемы.

           R                       L

                                                   C

Подобные схемы являются моделями в которых информация об объекте управления представлена в наглядной форме с изображением графических образов, отображающих физическую природу, устройство и параметры объекта. С такими моделями работают электротехника, электроника и т.п.

Аналитический способ моделирования в теории управления складывается из двух этапов :

  1.  Построение схемы объекта
  2.  Преобразование схемы в математическое описание, требуемой для исследования формы.

При этом принципиальные решения производятся на первом этапе. Второй этап – это процедура преобразования форм представления модели. На этом этапе используются компьютерные программы, позволяющие автоматизировать составление уравнений по схемам.

При проектировании систем управления, когда некоторые элементы не существуют в природе, аналитический метод является единственным возможным.

Экспериментальный способ

Экспериментальный способ применяется тогда, когда свойства объекта недостаточно изучены или происходящие явления достаточно сложны.

                                   x                                      y

Существует два способа построения моделей экспериментальным способом :

  1.  Активный способ.
  2.  Пассивней способ.

При построении модели активным способом производится активный эксперимент с объектом управления путём подачи на него типовых воздействий. При пассивном методе регистрируется поведение объекта в режиме нормальной эксплуатации.

В результате обработки данных эксперимента получаются данные о модели в нужной форме. Операции получения информации о модели называются идентификацией. В результате идентификации получаются типа вход-выход.

                     f(t)                                y(t)              f(t)                            y(t)

При идентификации используются математические модели трёх типов :

  1.  Детерминированные
  2.  Статистические
  3.  Адаптивные
  4.  Комбинированные (как совокупность первых трёх)

Детерминированные математические модели описываются ОПФ вида

Статистические модели описываются набором статистических параметров и функций распределения, при этом используется корреляционный, дисперсионный и регрессивный анализ.

Адаптивные модели используются для объектов и систем управления с недостаточной априорной информацией об их свойствах.

Очевидно, чем точнее модель, тем выше точность результатов проектирования системы, однако при сложных моделях резко возрастает трудоёмкость синтеза и проектирования системы. Поэтому используют два типа моделей объектов :

  1.  Приближенные (упрощенные) на этапе синтеза и проектирования
  2.  Точные на этапе анализа и наладки систем управления

Таким образом, выбор того уровня сложности, который делает модель полезной, определяется использованием.

Идентификация объекта или системы управления проводится на определённом уровне качества, определяемым критериями идентификации или адекватности модели или объекта.

Интегральный квадратичный критерий :

Детерминированную модель можно получить несколькими способами :

  1.  Получение передаточной функции объекта с помощью экспериментальной переходной или импульсной характеристик.

Wo (p)          h э (t), g э (t)

При получении модели таким методом, выделяет два вида идентификации

Грубая идентификация

Эксперимент           Уточненный эксперимент

Уточнённая идентификация

   Идентификация по номограммам     Идентификация по площадям

  1.  Определение Wo (p) по экспериментальной Wo ( j).

Для определения Wo (jw) используются сигналы вида

                                   ,                      ,  

Таким образом, на практике задача идентификации рассматривается в более простой форме. На основе априорных сведений об объекте управления определяется его структура и математическая модель. В эту модель входят набор параметров, значения которых неизвестны и подлежат оценке, то есть на практике распространена параметрическая идентификация.

2.3.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

Основными формами линейных непрерывных стационарных детерминированных (ЛСДК) операторов преобразования входного сигнала x(t) в выходной y(t) являются :

  1.  Дифференциальные уравнения.
  2.  Операторная передаточная функция W(p).
  3.  Импульсная g(t) и переходная h(t) характеристики.
  4.  Комплексная передаточная функция W(j), амплитудно-частотная характеристика W(), фазо-частотная характеристика ().

Дифференциальные уравнения

(1)

С начальными условиями

Операторная передаточная функция W(p)

;

Определим ОПФ для дифференциального уравнения (1).

L{ } равно

L{ }

- полиномиальная форма

, где Pj нули W(p), которые получаются из B(p) = 0, а Pi полюса W(p), которые получаются из A(p) = 0

Структура Q задаётся степенями n = deg A  и числителя m = deg B. Параметрами Q являются коэффициенты полиномов A и B. ОПФ W(p) является функцией свойств системы или объекта и не зависит от вида воздействия. Поэтому W(p) – это модель системы в пространстве преобразования Лапласа.

Импульсная g(t) и переходная h(t) характеристики

Переходной характеристикой называется отношение реакции системы на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях.

;  при ненулевых начальных условиях

,  при нулевых начальных условиях

Импульсной характеристикой называется отношение реакции системы на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.

;  при ненулевых начальных условиях

,  при нулевых начальных условиях

 ;  

Временные характеристики одной системы однозначно связаны друг с другом

,

,

Комплексная передаточная функция W(jw), амплитудно-частотная характеристика W(w), фазо-частотная характеристика (w).

 

может быть изображена на комплексной плоскости в виде годографа.

                                                                   j

                                                                     

                                                                  

                                                                                

                                                                                                                      +

- амплитудно-частотная характеристика АЧХ

      

          W

                                                                                           

- фазо-частотная характеристика ФЧХ

         

                                                                                            

Выводы :

  1.  Если на систему действует сигнал со смежным спектром, то  будет показывать с каким коэффициентом передачи сигнала будут его параметры.
  2.  Идеальная система не искажает форму выходного сигнала и должна обладать следующими характеристики

       W

 

                                                                          

      

                                                                          

  1.  В теории управления особенно для задач синтеза систем управления используется ещё один способ представления  это логарифмические характеристики.

, Дб – логарифмическая АЧХ.

Если диапазон изменения  и  велик, то вводится понятие декады. Декада – это диапазон, в котором частота изменяется в 10 раз.

             1              2             3             4              5             6        Lg

        

            10           100        1000       10000    100000    1000000    

2.4.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Обычно системы управления описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, так как в системах присутствует нелинейность нескольких действий.

Линеаризации поддаются только системы удовлетворяющие следующим требованиям :

  1.  Отклонения x(t) и y(t) должны быть достаточно малы относительно рабочей точки.
  2.  Нелинейная функция обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности рабочей точки.

Для СУ основой линеаризации является тот факт, что в режиме нормальной эксплуатации системы, отклонения входных и выходных величин малы. Если выполняется второе условие линеаризации, то нелинейные функции, входящие в состав уравнения, можно разложить в ряд Тейлора.

Линеаризация дифференциальных уравнений первого порядка

            (1)

- параметры рабочей точки

     

      

      

       

Из последнего вычтем уравнение статики. Получим исходное линеаризованное уравнение в рабочей точке А.

Коэффициенты постоянны, если в уравнение (1) не входит t.

Иногда знак приращения в уравнениях опускается и уравнение принимает вид :

Выводы :

  1.  Линеаризация уравнений невозможна при скачкообразных нелинейных функциях F.

  1.  Такие скачкообразные характеристики имеют релейные звенья. Их изучение производится в нелинейных системах управления.

Определить :

,  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

554. Проблема личности в Средневековой философии 96.5 KB
  Формирование термина личность в патристике. Главным произведением Аристотеля об ούσία является Метафизика. Отметим, что у Василия Великого впервые в богословской традиции указывается на различие между ούσία и ύπόστασις через существование и количество некоторых не известных признаков.
555. Кодирование и представление информации в ЭВМ 95.5 KB
  Арифметические и логические основы ЭВМ. Системы счисления. Представление данных и их кодирование. Типы данных. Структура данных. Способ представления изображения произвольных чисел с помощью некоторого конечного множества символов.
556. Психологічні особливості творчої діяльності учнів на уроках іноземної мови 2.36 MB
  Дослідження креативного навчання методом психологічного експерименту. Психологічні основи розвитку творчої особистості. Креативний підхід до вивчення іноземної мови. Творча діяльність, її особливості.
557. Производство картофеля в мире 97 KB
  Наибольший ежегодный прирост валового сбора картофеля относительно предыдущих лет. По прогнозам аналитиков, ожидается, что в 2011-2015 гг. продажи картофеля в мире будут расти в среднем на 1,3% в год. Картофель — важный источник пищи, рабочих мест и доходов в развивающихся странах, где за последние 15 лет объем производства увеличился более чем в два раза.
558. Технология постановки задачи для построения информационной технологии (АИТ) 76.5 KB
  Ознакомление с ролью пользователя в постановке задачи создания АИТ и АИС. Определение организационно-экономической сущности задачи создания АИС. Краткое описание предметной области решаемой задачи. Потребители результирующей информации и способы ее отправки и доставки.
559. Утопический социализм 78 KB
  Фантастическое описание будущего строя, условия материальной жизни общества. Утопический социализм и его основные черты. Исторические этапы человеческого общества, Сен-Симон Клод Андри де Рувуа. Будущий общественный строй, Теория страстей Фурье.
560. Становление современной научной картины мира. Движение. Пространство. Время 86.5 KB
  Проблема пространства и времени в истории философии и науке. К диаметрально противоположным утверждениям относительно делимости пространства и времени пришли атомисты. Материя и движение. Абсолютность движения и относительность покоя. Основные типы движения. Понятие развития.
561. Теория развития систем 79.5 KB
  Системные представления в практической деятельности человека. Системность как свойство материи. Эволюция системных представлений. Первая естественнонаучная (механическая) картина мира. Немецкая классическая философия. Теоретическое естествознание XIX-XX веках. Общая теория систем Л. Берталанфи.
562. Социальная политика в современных условиях 88 KB
  Цели, задачи и объекты социальной политики в Российской Федерации. Базовая система предпосылок концепции социальной политики. Социальная напряженность в обществе и ее зависимость от социальной политики государства. Социальное управление как средство реализации социальной политики.