ID: 29843

Название работы: Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения

Категория: Лекция

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Вывод: Звено 2ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2 либо постоянной времени и степенью затухания. Типовое звено это звено процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2ого порядка. Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев: статические звенья: Пзвено идеальное усилительное звено пропорциональное . Азвено 1ого порядка инерционное апериодическое звено 1ого порядка .

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-08-21

Размер файла: 295 KB

Работу скачали: 33 чел.

Лекция №3.

3.1. Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения.

      Нормализация дифференциального уравнения.

3.2. Структурная схема системы управления.

3.3. Уравнения и характеристики типовых звеньев систем управления.

3.4. Основные законы регулирования.

3.5. Типовые соединения звеньев и их характеристики.

3.1. Физический смысл коэффициентов дифференциального

  уравнения. Нормализация дифференциального уравнения.

Процессы в звене описываются дифференциальным уравнением 1-ого порядка:

              X                W             Y

Коэффициенты определяют свойства звена. Для выяснения физического смысла коэффициентов запишем это уравнение так, чтобы слагаемые имели размерность выходной переменной (т.е. поделим каждое слагаемое на a0):

В этом уравнении все слагаемые имеют размерность выходной величины y(t).

Коэффициент имеет размерность времени (с, мин, часы).

T – постоянная времени звена.

Коэффициент  является коэффициентом передачи звена.

Физический смысл T и K можно уточнить, если изобразить реакцию звена на ступенчатое воздействие.

 

X                                                                     Y

                                                                                                                       

                                                                       K

 1                         

                                                             t                                                                                 t

                                                                                     T      2T     3T     4T      5T

где  .

Из графика видно:

1.  К – коэффициент передачи звена, показывает во сколько раз выходной сигнал изменяется по сравнению с входным.
2.  Выходная величина принимает значение равное К при .

1.  На практике для экспоненциальных зависимостей принято считать установившимся время равное (3-5)Т:

при t=3T, y(t)=95% от установившегося значения

     при t=4T, y(t)=98,2% от установившегося значения

     при t=5T, y(t)=99,3% от установившегося значения.

    Т – фактически определяет длительность переходного процесса в системе 1-ого порядка.

Аналогично определяется физический смысл коэффициентов в дифференциальных уравнениях более высоких порядков.

Пусть процесс описывается дифференциальным уравнением 2-ого порядка:

Разделим это уравнение на a0:

;      ,   ,   .

a). ,

    T1 – [время]

    T2 – [время] 

б). ,

    T – [время]

     (кси) – [безразмерная] – степень затухания.

Вывод: Звено 2-ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2, либо           

            постоянной времени и степенью затухания.

Для расчёта на ЭВМ и для сравнения звеньев различной природы часто проводят нормализацию дифференциальных уравнений таким образом, что дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительных или нормированных переменных. Нормализацию производят относительно некоторого значения выходной величины y(t): значения переменной в рабочей точке или максимального значения переменной.

Для нормализации все слагаемые дифференциального уравнения делятся на это значение y0:

: y0

 

Введём для нормированных переменных новые обозначения:

,  ,  .

Тогда получим уравнение: .

В этом уравнении все слагаемые безразмерны => в таком виде удобно сравнивать звенья различной природы.

3.2. Структурная схема системы управления.

Для удобства математического описания и исследования систем в теории управления осуществляют их декомпозицию, т.е. система управления представляется в виде звеньев направленного действия и причинно следственных связей между ними.

Алгоритмическая или структурная схема системы управления – это динамическая модель системы в виде графического изображения системы уравнений динамики записанных в виде W(p) или в виде дифференциальных уравнений.

Например:

    U

                                                                           y

        _               Wp(p)                 Wo(p)    

     y

Если система задана в виде дифференциальных уравнений, то также можно изобразить её модель в виде графической схемы, при этом используются следующие обозначения:

а) умножитель (сигналы x1 и x2 перемножаются)

                x1

      x2                            x1 x2   

б) интегратор

      x1                    ∫x1dt

в) сумматор

                x1

    x2            –        x1+x2        

Методика построения структурной схемы по дифференциальным уравнениям:

1.  Дифференциальное уравнение разрешается относительно старшей производной.
2.  Изображается последовательность математических операций, формирующая выходную переменную y из входной переменной x.

Пример 1. Пусть дано дифференциальное уравнение системы 1-ого порядка:

.

Изобразим структурную схему.

Для этого разрешим данное уравнение относительно старшей производной:

.

Чертим структурную схему:

               

x                                       y’                                   y

                                                                   y

                                     

                                                              

                                                    

Пример 2. Пусть дано дифференциальное уравнение системы 2-ого порядка:

Разрешаем его относительно старшей производной и чертим схему:

                    

x                                                                     y’’                        y’                                 y

                                       –                    –

                                                                                             y’

                                                                  

                                                                                    

                                                                                                                          y

                                                                          

3.3. Уравнения и характеристики типовых звеньев

систем управления.

Типовое звено – это звено, процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2-ого порядка.

В дальнейшем реальную систему управления будем представлять моделью, составленной из типовых звеньев, соединённых друг с другом в соответствии с причинно-следственными связями.

Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев:

1.  статические звенья:

•  П-звено – идеальное усилительное звено (пропорциональное)

     .

•  А-звено 1-ого порядка – инерционное апериодическое звено 1-ого порядка

      .

•  А-звено 2-ого порядка – инерционное апериодическое звено 2-ого порядка

      ;   при .

                                      j

                                                +             p1, p2 – вещественные.

                p2    p1                                              

                                

•  К-звено – звено 2-ого порядка (колебательное)

            ;   при .

     

                                      j

                       p1

                                                

                                                   +            p1, p2 – комплексно-сопряженные корни.

                       p2

    

•  консервативное звено 2-ого порядка

     ;    при .

                               j

                                 

                              p1

                                          +           p1, p2 – мнимые корни.

                              p2

Если на вход любого из выше приведённых звеньев подать единичное ступенчатое воздействие 1(t), то после завершения переходных процессов на выходе звена будет выходной сигнал у=K*1(t).

1.  астатические звенья (интегрирующие):

•  И-звено 1-ого порядка – идеальное интегрирующее звено 1-ого порядка

      .

•  И-звено n-ого порядка – идеальное интегрирующее звено n-ого порядка

      .

•  инерционное интегрирующее звено 1-ого порядка

      .

•  ПИ-звено 1-ого порядка – изодромное 1-ого порядка (пропорционально-интегральное)

      .

     Tи – время изодрома.

            .

•  ПИ-звено 2-ого порядка – изодромное 2-ого порядка

            .

     Особенность этих звеньев – реакция звена формируется интегрированием входного     

     сигнала.

1.  дифференцирующие звенья (форсирующие):

•  Д-звено 1-ого порядка – идеальное дифференцирующее звено 1-ого порядка

      .

•  Д-звено n-ого порядка – дифференцирующее звено n-ого порядка

      .

•  РД-звено – инерционное дифференцирующее звено 1-ого порядка (реальное дифференцирующее звено)

      .

•  ПД-звено – пропорционально дифференцирующее звено (форсирующее 1-ого порядка)

.

•  ПДИ-звено – пропорционально дифференциально интегрирующее 1-ого порядка

      .

•  пропорционально дифференциально форсирующее звено 2-ого порядка

      .

•  форсирующее звено 2-ого порядка

      .

Кроме данных классов типовых звеньев в системах используются особые динамические звенья.

1.  Особые динамические звенья:

•  устойчивые, неминимально фазовые звенья (в мостовых измерительных цепях)

      

                         j

                         

          p2                        p1       +              ,   .   

                                               

      .

•  неустойчивые звенья – содержат полюсы в правой полуплоскости:

а) неминимально фазовые

                                       j

                                               

                                                                                p1       p2         

                                                                                                        +

     б) минимально фазовые

                                                     j

                                                                                  p1

                                                                                                      +

Неустойчивые звенья получаются из всех ранее рассмотренных типовых звеньев, если в знаменателе, хотя бы у одного из коэффициентов изменить знак на минус.

•  трансцендентные звенья:

 звено запаздывания

   

    – неминимально фазовое устойчивое звено

Решением уравнения  является бесконечное число полюсов в левой полуплоскости и бесконечное число нулей в правой полуплоскости.

•  иррациональные звенья:

     ; ;

     Такими передаточными функциями описываются звенья с распределёнными        

     параметрами, они моделируются уравнениями в частных производных, зависящих от   

     пространственных координат и времени.

3.4. Основные законы регулирования.

Рассмотрим типовую структурную схему системы управления:

     U                                                     f(t)

                                                                                       y

        –

                                                                        

Основные функции регулятора в системе управления:

при появлении отклонения  по заданному закону регулирования выработать управляющее воздействие , сводящее ошибку регулирования e к нулю, либо к некоторому заданному минимальному значению min. Аналогично регулятор должен реагировать и на возмущающее воздействие, устраняя ошибку  по возмущению.

Основная задача разработки системы управления – выбор структуры системы, т.е. выбор наиболее подходящего для данного объекта закона регулирования и его параметров. При этом необходимо выполнение следующих условий:

1.  желательно, чтобы система работала с отрицательной обратной связью, т.е. подавала на вход регулятора информацию о действительном значении выходной величины y в текущий момент времени;
2.  регулятор вступает в действие только после того, как появится рассогласование . Выполнение этого условия ведёт к тому, что ошибка регулирования e принципиально не может быть полностью устранена, а сводится до допустимого минимума, определяемого чувствительностью системы.
3.  повышение точности работы системы, т.е. отработка малых рассогласований возможна при больших коэффициентах усиления системы. Однако, значение коэффициента усиления сверху ограничено техническими возможностями аппаратуры и возможностью потери устойчивости системы. При больших коэффициентах усиления, знак обратной связи может стать положительным, и система будет самопроизвольно возбуждаться (генератор).
4.  увеличение коэффициента усиления системы без потери устойчивости возможно путём усложнения закона регулирования, т.е. усложнения структуры и конструкции системы, что приводит к её удорожанию.

Вывод: задача выбора наиболее приемлемого закона регулирования сводится к отысканию  

            разумного компромисса между точностью, устойчивостью и простотой системы  

            управления.

Рассмотрим типовые законы регулирования:

1.  И-закон (интегральный) или И-регулятор

     

     

     И-регулятор производит перемещение регулирующего органа пропорционально интегралу  

     от отклонения регулируемой величины или скорость перемещения регулирующего органа

     пропорциональна изменению регулируемой величины. В динамическом отношении этот  

     закон подобен интегрирующему звену.   

     

W()                                                                       h(t)

 

                                                                                                                                    t

                                                            

  ()                                                                       g(t)

        0                                                                       K 

                                                                                                                               t

     И – регулятор сдвигает фазу на  при любой частоте.

1.  П-закон (пропорциональный) или П-регулятор

      – уравнение регулятора.

      П-регулятор производит перемещение регулирующего органа пропорционально    

      отклонению регулируемой величины. В динамическом отношении П-регулятор подобен   

      П-звену.

         

   W()                                                               h(t)

         K                                                           K*1(t)

                                                                                                                                  t

     ()                                                               g(t)

                                                                                      K*(t)

                                                                                                                                  t

           0

1.  ПИ-закон (пропорционально интегральный) или ПИ-регулятор

Закон является комбинацией пропорционального и интегрального законов регулирования.

      , где Ти – время изодрома или постоянная интегрирования.

      .

      ПИ-регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально ошибке отклонения и

      интегралу от неё или скорость перемещения регулирующего органа пропорциональна

      ошибке регулирования и скорости изменения ошибки.

                                                                                             j

                                                             =                      +

       

                                                                                                                      =0

        

  Wp()                                                                        h(t)

                                                                                        K

  

                                                                                                                                             t

    ()                                                                         g(t)

                                                                                            K*(t)

                                                                              

                                                                                                                                                t  

1.  ПИД-закон (пропорционально интегрально дифференцирующий) или ПИД-регулятор

      , где Tи – время изодрома,

                                                                      Тд – постоянная дифференцирования

      

      Скорость перемещения регулирующего органа прямо пропорциональна скорости и

      ускорению регулируемой величины.

       

       

Выводы: 1) чем сложнее закон регулирования, тем больше вариантов его технической  

                   реализации;

1.  в настоящее время типовые законы реализованы в серийных регуляторах, настройки которых позволяют установить расчетные значения коэффициентов уравнения, благодаря этому, один и тот же серийный регулятор может реализовать любой типовой закон, т.е. может работать на объектах с различными характеристиками;
2.  решение задачи по выбору регулятора производится в следующем порядке:
3.  на основании изучения объекта, характеристик возмущений, требований технологий, ассортимента аппаратуры выбирается достаточно простой закон регулирования;
4.  производится расчёт настройки регулятора, т.е. определяются численные значения параметров настройки: k, Ти, Тд, при которых динамические и статические параметры системы удовлетворяют критерию оптимальности;
5.  производится анализ качества работы системы при найденных настройках, т.е. определяются наиболее характерные показатели процесса регулирования.
6.  если в результате предварительного анализа окажется, что система не удовлетворяет поставленным требованиям по качеству, то её нужно усложнить, использую более сложный закон регулирования, либо изменив конфигурацию системы, введя корректирующие звенья.
7.  Окончательная проверка качества работы системы, производится на реальной системе после её монтажа и наладки.

3.5. Типовые соединения звеньев и их характеристики.

При моделировании сложной системы управления типовые звенья соединяются друг с другом в соответствии с необходимой обработкой информации в системе.

Принято все возможные варианты соединения звеньев классифицировать типовыми соединениями:

1.  последовательное;
2.  параллельное;
3.  параллельное встречное (с обратной связью):

а) с положительной обратной связью;

б) с отрицательной обратной связью.

При замене реальной системы типовыми соединениями необходимо выполнение 2-ух условий:

1.  характеристики каждого звена в соединении не зависят от характеристик соседних звеньев  

     и от вида соединения;

1.  в звене и в соединении сигналы однонаправлены, т.е. сигнал от входа звена направлен к выходу, предполагается отсутствие обратной связи, т.е. выходной сигнал не влияет на входной через звено.

При выполнении этих двух условий операторная передаточная функция каждого звена в соединении не зависит от параметров других звеньев.

Направление сигнала обозначается стрелкой.

Характеристики звеньев:

1.  последовательное соединение звеньев

X(p)                           Y1(p)                              Y(p)              X(p)                             Y(p)

                                                                                            

Определим W(p) эквивалентного соединения.

Переходная характеристика соединения h(t) не выражается простой комбинацией переходных характеристик звеньев h1(t) и h2(t):

.

Аналогично и импульсная характеристика g(t) не выражается g1(t) и g2(t):

.

1.  параллельное соединение звеньев

 

                                                    Y1(p)

X(p)                                                           Y(p)             X(p)                              Y(p)

                                                                                     

                                                   

                                                    Y2(p)

Определим W(p) эквивалентного соединения:

.

.

Характеристики W(), () и L() не являются простой комбинацией соответствующих характеристик звеньев.

1.  соединения с обратной связью

  X(p)               X1(p)                                        Y(p)

                 _

                                                                                             X(p)                                Y(p)

                                                                                       

                     X2(p)

     а) положительная обратная связь

         X1(p)=X(p)+X2(p)

         X(p)=X1(p)–X2(p)

          .

 

     б) отрицательная обратная связь

         X1(p)=X(p)–X2(p)

         X(p)=X1(p)+X2(p)

          .

Выводы: 1) Если в звене прямой передачи операторную передаточную функцию можно

                   записать в виде W1(p)=kW3(p), где k=const, то операторная передаточная функция  

                   системы с отрицательной обратной связью примет вид:

.

                    Если k достаточно велико (), то

.

                    Следовательно, при больших коэффициентах передачи звена прямой передачи   

                    динамические свойства системы с отрицательной обратной связь не зависят от

                    свойств звена прямой передачи, а определяются только свойствами звена

                    обратной связи.

1.  Системы с такой характеристикой называются предельными. Они широко

                    используются для коррекции динамических характеристик регуляторов, объектов       

                    и систем управления.

1.  Отрицательная обратная связь существенно улучшает характеристики системы: стабилизирует коэффициент передачи; расширяет полосу пропускания; уменьшает уровень помех, попадающих в кольцо обратной связи; увеличивает динамический диапазон; увеличивает устойчивость системы; уменьшает нелинейные явления в кольце обратной связи.
2.  Положительная обратная связь приводит к обратным результатам.
3.  Все системы управления работают с отрицательной обратной связью. Применяются специальные меры, исключающие положительную обратную связь, приводящую к неустойчивой работе системы и её самовозбуждению.
4.  Положительная обратная связь используется в специальных устройствах для генерации колебаний.

∫

∫

Х

X

Х

∫

∫

X

X

Wp

Wo

W1(p)

W2(p)

W(p)

W1(p)

W2(p)

W(p)

W1(p)

W2(p)

W(p)