29843
Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения
Лекция
Математика и математический анализ
Вывод: Звено 2ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2 либо постоянной времени и степенью затухания. Типовое звено это звено процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2ого порядка. Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев: статические звенья: Пзвено идеальное усилительное звено пропорциональное . Азвено 1ого порядка инерционное апериодическое звено 1ого порядка .
Русский
2013-08-21
295 KB
37 чел.
Лекция №3.
3.1. Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения.
Нормализация дифференциального уравнения.
3.2. Структурная схема системы управления.
3.3. Уравнения и характеристики типовых звеньев систем управления.
3.4. Основные законы регулирования.
3.5. Типовые соединения звеньев и их характеристики.
3.1. Физический смысл коэффициентов дифференциального
уравнения. Нормализация дифференциального уравнения.
Процессы в звене описываются дифференциальным уравнением 1-ого порядка:
X W Y
Коэффициенты определяют свойства звена. Для выяснения физического смысла коэффициентов запишем это уравнение так, чтобы слагаемые имели размерность выходной переменной (т.е. поделим каждое слагаемое на a0):
В этом уравнении все слагаемые имеют размерность выходной величины y(t).
Коэффициент имеет размерность времени (с, мин, часы).
T постоянная времени звена.
Коэффициент является коэффициентом передачи звена.
Физический смысл T и K можно уточнить, если изобразить реакцию звена на ступенчатое воздействие.
X Y
K
1
t t
T 2T 3T 4T 5T
где .
Из графика видно:
при t=3T, y(t)=95% от установившегося значения
при t=4T, y(t)=98,2% от установившегося значения
при t=5T, y(t)=99,3% от установившегося значения.
Т фактически определяет длительность переходного процесса в системе 1-ого порядка.
Аналогично определяется физический смысл коэффициентов в дифференциальных уравнениях более высоких порядков.
Пусть процесс описывается дифференциальным уравнением 2-ого порядка:
Разделим это уравнение на a0:
; , , .
a). ,
T1 [время]
T2 [время]
б). ,
T [время]
(кси) [безразмерная] степень затухания.
Вывод: Звено 2-ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2, либо
постоянной времени и степенью затухания.
Для расчёта на ЭВМ и для сравнения звеньев различной природы часто проводят нормализацию дифференциальных уравнений таким образом, что дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительных или нормированных переменных. Нормализацию производят относительно некоторого значения выходной величины y(t): значения переменной в рабочей точке или максимального значения переменной.
Для нормализации все слагаемые дифференциального уравнения делятся на это значение y0:
: y0
Введём для нормированных переменных новые обозначения:
, , .
Тогда получим уравнение: .
В этом уравнении все слагаемые безразмерны => в таком виде удобно сравнивать звенья различной природы.
3.2. Структурная схема системы управления.
Для удобства математического описания и исследования систем в теории управления осуществляют их декомпозицию, т.е. система управления представляется в виде звеньев направленного действия и причинно следственных связей между ними.
Алгоритмическая или структурная схема системы управления это динамическая модель системы в виде графического изображения системы уравнений динамики записанных в виде W(p) или в виде дифференциальных уравнений.
Например:
U
y
_ Wp(p) Wo(p)
y
Если система задана в виде дифференциальных уравнений, то также можно изобразить её модель в виде графической схемы, при этом используются следующие обозначения:
а) умножитель (сигналы x1 и x2 перемножаются)
x1
x2 x1 x2
б) интегратор
x1 ∫x1dt
в) сумматор
x1
x2 x1+x2
Методика построения структурной схемы по дифференциальным уравнениям:
Пример 1. Пусть дано дифференциальное уравнение системы 1-ого порядка:
.
Изобразим структурную схему.
Для этого разрешим данное уравнение относительно старшей производной:
.
Чертим структурную схему:
x y y
y
Пример 2. Пусть дано дифференциальное уравнение системы 2-ого порядка:
Разрешаем его относительно старшей производной и чертим схему:
x y y y
y
y
3.3. Уравнения и характеристики типовых звеньев
систем управления.
Типовое звено это звено, процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2-ого порядка.
В дальнейшем реальную систему управления будем представлять моделью, составленной из типовых звеньев, соединённых друг с другом в соответствии с причинно-следственными связями.
Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев:
.
.
; при .
j
+ p1, p2 вещественные.
p2 p1
; при .
j
p1
+ p1, p2 комплексно-сопряженные корни.
p2
; при .
j
p1
+ p1, p2 мнимые корни.
p2
Если на вход любого из выше приведённых звеньев подать единичное ступенчатое воздействие 1(t), то после завершения переходных процессов на выходе звена будет выходной сигнал у=K*1(t).
.
.
.
.
Tи время изодрома.
.
.
Особенность этих звеньев реакция звена формируется интегрированием входного
сигнала.
.
.
.
.
.
.
.
Кроме данных классов типовых звеньев в системах используются особые динамические звенья.
j
p2 p1 + , .
.
а) неминимально фазовые
j
p1 p2
+
б) минимально фазовые
j
p1
+
Неустойчивые звенья получаются из всех ранее рассмотренных типовых звеньев, если в знаменателе, хотя бы у одного из коэффициентов изменить знак на минус.
звено запаздывания
неминимально фазовое устойчивое звено
Решением уравнения является бесконечное число полюсов в левой полуплоскости и бесконечное число нулей в правой полуплоскости.
; ;
Такими передаточными функциями описываются звенья с распределёнными
параметрами, они моделируются уравнениями в частных производных, зависящих от
пространственных координат и времени.
3.4. Основные законы регулирования.
Рассмотрим типовую структурную схему системы управления:
U f(t)
y
Основные функции регулятора в системе управления:
при появлении отклонения по заданному закону регулирования выработать управляющее воздействие , сводящее ошибку регулирования e к нулю, либо к некоторому заданному минимальному значению min. Аналогично регулятор должен реагировать и на возмущающее воздействие, устраняя ошибку по возмущению.
Основная задача разработки системы управления выбор структуры системы, т.е. выбор наиболее подходящего для данного объекта закона регулирования и его параметров. При этом необходимо выполнение следующих условий:
Вывод: задача выбора наиболее приемлемого закона регулирования сводится к отысканию
разумного компромисса между точностью, устойчивостью и простотой системы
управления.
Рассмотрим типовые законы регулирования:
И-регулятор производит перемещение регулирующего органа пропорционально интегралу
от отклонения регулируемой величины или скорость перемещения регулирующего органа
пропорциональна изменению регулируемой величины. В динамическом отношении этот
закон подобен интегрирующему звену.
W() h(t)
t
() g(t)
0 K
t
И регулятор сдвигает фазу на при любой частоте.
уравнение регулятора.
П-регулятор производит перемещение регулирующего органа пропорционально
отклонению регулируемой величины. В динамическом отношении П-регулятор подобен
П-звену.
W() h(t)
K K*1(t)
t
() g(t)
K*(t)
t
0
Закон является комбинацией пропорционального и интегрального законов регулирования.
, где Ти время изодрома или постоянная интегрирования.
.
ПИ-регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально ошибке отклонения и
интегралу от неё или скорость перемещения регулирующего органа пропорциональна
ошибке регулирования и скорости изменения ошибки.
j
= +
=0
Wp() h(t)
K
t
() g(t)
K*(t)
t
, где Tи время изодрома,
Тд постоянная дифференцирования
Скорость перемещения регулирующего органа прямо пропорциональна скорости и
ускорению регулируемой величины.
Выводы: 1) чем сложнее закон регулирования, тем больше вариантов его технической
реализации;
3.5. Типовые соединения звеньев и их характеристики.
При моделировании сложной системы управления типовые звенья соединяются друг с другом в соответствии с необходимой обработкой информации в системе.
Принято все возможные варианты соединения звеньев классифицировать типовыми соединениями:
а) с положительной обратной связью;
б) с отрицательной обратной связью.
При замене реальной системы типовыми соединениями необходимо выполнение 2-ух условий:
и от вида соединения;
При выполнении этих двух условий операторная передаточная функция каждого звена в соединении не зависит от параметров других звеньев.
Направление сигнала обозначается стрелкой.
Характеристики звеньев:
X(p) Y1(p) Y(p) X(p) Y(p)
Определим W(p) эквивалентного соединения.
Переходная характеристика соединения h(t) не выражается простой комбинацией переходных характеристик звеньев h1(t) и h2(t):
.
Аналогично и импульсная характеристика g(t) не выражается g1(t) и g2(t):
.
Y1(p)
X(p) Y(p) X(p) Y(p)
Y2(p)
Определим W(p) эквивалентного соединения:
.
.
Характеристики W(), () и L() не являются простой комбинацией соответствующих характеристик звеньев.
X(p) X1(p) Y(p)
_
X(p) Y(p)
X2(p)
а) положительная обратная связь
X1(p)=X(p)+X2(p)
X(p)=X1(p)X2(p)
.
б) отрицательная обратная связь
X1(p)=X(p)X2(p)
X(p)=X1(p)+X2(p)
.
Выводы: 1) Если в звене прямой передачи операторную передаточную функцию можно
записать в виде W1(p)=kW3(p), где k=const, то операторная передаточная функция
системы с отрицательной обратной связью примет вид:
.
Если k достаточно велико (), то
.
Следовательно, при больших коэффициентах передачи звена прямой передачи
динамические свойства системы с отрицательной обратной связь не зависят от
свойств звена прямой передачи, а определяются только свойствами звена
обратной связи.
используются для коррекции динамических характеристик регуляторов, объектов
и систем управления.
∫
∫
∫
∫
Wp
Wo
W1(p)
W2(p)
W(p)
W1(p)
W2(p)
W(p)
W1(p)
W2(p)
W(p)
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
62650. | Здоровые зубы – здоровью любы | 852.17 KB | |
Что больше всего привлекает ваше внимание в этот момент Зубы У этих улыбающихся людей ослепительные красивые улыбки Это потому что у них здоровые а значит красивые зубы. Однако просмотрев эти фотографии мы можем убедиться что не на всякие зубы приятно смотреть. | |||
62651. | Системный блок и его «начинка» | 19.55 KB | |
Цели: Образовательные: познакомить с системным блоком познакомить с внутренней комплектацией системного блока Развивающие: развивать умение разбираться в названия начинки системного блока. | |||