29843

Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Вывод: Звено 2ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2 либо постоянной времени и степенью затухания. Типовое звено это звено процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2ого порядка. Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев: статические звенья: Пзвено идеальное усилительное звено пропорциональное . Азвено 1ого порядка инерционное апериодическое звено 1ого порядка .

Русский

2013-08-21

295 KB

34 чел.

Лекция №3.

3.1. Физический смысл коэффициентов дифференциального уравнения.

      Нормализация дифференциального уравнения.

3.2. Структурная схема системы управления.

3.3. Уравнения и характеристики типовых звеньев систем управления.

3.4. Основные законы регулирования.

3.5. Типовые соединения звеньев и их характеристики.

3.1. Физический смысл коэффициентов дифференциального

  уравнения. Нормализация дифференциального уравнения.

Процессы в звене описываются дифференциальным уравнением 1-ого порядка:

              X                W             Y

Коэффициенты определяют свойства звена. Для выяснения физического смысла коэффициентов запишем это уравнение так, чтобы слагаемые имели размерность выходной переменной (т.е. поделим каждое слагаемое на a0):

В этом уравнении все слагаемые имеют размерность выходной величины y(t).

Коэффициент имеет размерность времени (с, мин, часы).

T – постоянная времени звена.

Коэффициент  является коэффициентом передачи звена.

Физический смысл T и K можно уточнить, если изобразить реакцию звена на ступенчатое воздействие.

 

X                                                                     Y

                                                                                                                       

                                                                       K

 1                         

                                                             t                                                                                 t

                                                                                     T      2T     3T     4T      5T

где  .

Из графика видно:

  1.  К – коэффициент передачи звена, показывает во сколько раз выходной сигнал изменяется по сравнению с входным.
  2.  Выходная величина принимает значение равное К при .

  1.  На практике для экспоненциальных зависимостей принято считать установившимся время равное (3-5)Т:

при t=3T, y(t)=95% от установившегося значения

     при t=4T, y(t)=98,2% от установившегося значения

     при t=5T, y(t)=99,3% от установившегося значения.

    Т – фактически определяет длительность переходного процесса в системе 1-ого порядка.

Аналогично определяется физический смысл коэффициентов в дифференциальных уравнениях более высоких порядков.

Пусть процесс описывается дифференциальным уравнением 2-ого порядка:

Разделим это уравнение на a0:

;      ,   ,   .

a). ,

    T1 – [время]

    T2 – [время] 

б). ,

    T – [время]

     (кси) – [безразмерная] – степень затухания.

Вывод: Звено 2-ого порядка характеризуется либо двумя постоянными времени T1 и T2, либо           

            постоянной времени и степенью затухания.

Для расчёта на ЭВМ и для сравнения звеньев различной природы часто проводят нормализацию дифференциальных уравнений таким образом, что дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительных или нормированных переменных. Нормализацию производят относительно некоторого значения выходной величины y(t): значения переменной в рабочей точке или максимального значения переменной.

Для нормализации все слагаемые дифференциального уравнения делятся на это значение y0:

: y0

 

Введём для нормированных переменных новые обозначения:

,  ,  .

Тогда получим уравнение: .

В этом уравнении все слагаемые безразмерны => в таком виде удобно сравнивать звенья различной природы.

3.2. Структурная схема системы управления.

Для удобства математического описания и исследования систем в теории управления осуществляют их декомпозицию, т.е. система управления представляется в виде звеньев направленного действия и причинно следственных связей между ними.

Алгоритмическая или структурная схема системы управления – это динамическая модель системы в виде графического изображения системы уравнений динамики записанных в виде W(p) или в виде дифференциальных уравнений.

Например:

    U

                                                                           y

        _               Wp(p)                 Wo(p)    

     y

Если система задана в виде дифференциальных уравнений, то также можно изобразить её модель в виде графической схемы, при этом используются следующие обозначения:

а) умножитель (сигналы x1 и x2 перемножаются)

                x1

      x2                            x1 x2   

б) интегратор

      x1                    x1dt

в) сумматор

                x1

    x2            –        x1+x2        

Методика построения структурной схемы по дифференциальным уравнениям:

  1.  Дифференциальное уравнение разрешается относительно старшей производной.
  2.  Изображается последовательность математических операций, формирующая выходную переменную y из входной переменной x.

Пример 1. Пусть дано дифференциальное уравнение системы 1-ого порядка:

.

Изобразим структурную схему.

Для этого разрешим данное уравнение относительно старшей производной:

.

Чертим структурную схему:

               

x                                       y                                   y

                                                                   y

                                     

                                                              

                                                    

Пример 2. Пусть дано дифференциальное уравнение системы 2-ого порядка:

Разрешаем его относительно старшей производной и чертим схему:

                    

x                                                                     y’’                        y                                 y

                                       –                    –

                                                                                             y

                                                                  

                                                                                    

                                                                                                                          y

                                                                          

3.3. Уравнения и характеристики типовых звеньев

систем управления.

Типовое звено – это звено, процессы в котором описываются дифференциальным уравнением не выше 2-ого порядка.

В дальнейшем реальную систему управления будем представлять моделью, составленной из типовых звеньев, соединённых друг с другом в соответствии с причинно-следственными связями.

Рассмотрим классификацию типовых динамических звеньев:

  1.  статические звенья:
  •  П-звено – идеальное усилительное звено (пропорциональное)

     .

  •  А-звено 1-ого порядка – инерционное апериодическое звено 1-ого порядка

      .

  •  А-звено 2-ого порядка – инерционное апериодическое звено 2-ого порядка

      ;   при .

                                      j

                                                +             p1, p2 – вещественные.

                p2    p1                                              

                                

  •  К-звено – звено 2-ого порядка (колебательное)

            ;   при .

     

                                      j

                       p1

                                                

                                                   +            p1, p2 – комплексно-сопряженные корни.

                       p2

    

  •  консервативное звено 2-ого порядка

     ;    при .

                               j

                                 

                              p1

                                          +           p1, p2 – мнимые корни.

                              p2

Если на вход любого из выше приведённых звеньев подать единичное ступенчатое воздействие 1(t), то после завершения переходных процессов на выходе звена будет выходной сигнал у=K*1(t).

  1.  астатические звенья (интегрирующие):
  •  И-звено 1-ого порядка – идеальное интегрирующее звено 1-ого порядка

      .

  •  И-звено n-ого порядка – идеальное интегрирующее звено n-ого порядка

      .

  •  инерционное интегрирующее звено 1-ого порядка

      .

  •  ПИ-звено 1-ого порядка – изодромное 1-ого порядка (пропорционально-интегральное)

      .

     Tи – время изодрома.

            .

  •  ПИ-звено 2-ого порядка – изодромное 2-ого порядка

            .

     Особенность этих звеньев – реакция звена формируется интегрированием входного     

     сигнала.

  1.  дифференцирующие звенья (форсирующие):
  •  Д-звено 1-ого порядка – идеальное дифференцирующее звено 1-ого порядка

      .

  •  Д-звено n-ого порядка – дифференцирующее звено n-ого порядка

      .

  •  РД-звено – инерционное дифференцирующее звено 1-ого порядка (реальное дифференцирующее звено)

      .

  •  ПД-звено – пропорционально дифференцирующее звено (форсирующее 1-ого порядка)

.

  •  ПДИ-звено – пропорционально дифференциально интегрирующее 1-ого порядка

      .

  •  пропорционально дифференциально форсирующее звено 2-ого порядка

      .

  •  форсирующее звено 2-ого порядка

      .

Кроме данных классов типовых звеньев в системах используются особые динамические звенья.

  1.  Особые динамические звенья:
  •  устойчивые, неминимально фазовые звенья (в мостовых измерительных цепях)

      

                         j

                         

          p2                        p1       +              ,   .   

                                               

      .

  •  неустойчивые звенья – содержат полюсы в правой полуплоскости:

а) неминимально фазовые

                                       j

                                               

                                                                                p1       p2         

                                                                                                        +

     б) минимально фазовые

                                                     j

                                                                                  p1

                                                                                                      +

Неустойчивые звенья получаются из всех ранее рассмотренных типовых звеньев, если в знаменателе, хотя бы у одного из коэффициентов изменить знак на минус.

  •  трансцендентные звенья:

 звено запаздывания

   

    – неминимально фазовое устойчивое звено

Решением уравнения  является бесконечное число полюсов в левой полуплоскости и бесконечное число нулей в правой полуплоскости.

  •  иррациональные звенья:

     ; ;

     Такими передаточными функциями описываются звенья с распределёнными        

     параметрами, они моделируются уравнениями в частных производных, зависящих от   

     пространственных координат и времени.

3.4. Основные законы регулирования.

Рассмотрим типовую структурную схему системы управления:

     U                                                     f(t)

                                                                                       y

        –

                                                                        

Основные функции регулятора в системе управления:

при появлении отклонения  по заданному закону регулирования выработать управляющее воздействие , сводящее ошибку регулирования e к нулю, либо к некоторому заданному минимальному значению min. Аналогично регулятор должен реагировать и на возмущающее воздействие, устраняя ошибку по возмущению.

Основная задача разработки системы управления – выбор структуры системы, т.е. выбор наиболее подходящего для данного объекта закона регулирования и его параметров. При этом необходимо выполнение следующих условий:

  1.  желательно, чтобы система работала с отрицательной обратной связью, т.е. подавала на вход регулятора информацию о действительном значении выходной величины y в текущий момент времени;
  2.  регулятор вступает в действие только после того, как появится рассогласование . Выполнение этого условия ведёт к тому, что ошибка регулирования e принципиально не может быть полностью устранена, а сводится до допустимого минимума, определяемого чувствительностью системы.
  3.  повышение точности работы системы, т.е. отработка малых рассогласований возможна при больших коэффициентах усиления системы. Однако, значение коэффициента усиления сверху ограничено техническими возможностями аппаратуры и возможностью потери устойчивости системы. При больших коэффициентах усиления, знак обратной связи может стать положительным, и система будет самопроизвольно возбуждаться (генератор).
  4.  увеличение коэффициента усиления системы без потери устойчивости возможно путём усложнения закона регулирования, т.е. усложнения структуры и конструкции системы, что приводит к её удорожанию.

Вывод: задача выбора наиболее приемлемого закона регулирования сводится к отысканию  

            разумного компромисса между точностью, устойчивостью и простотой системы  

            управления.

Рассмотрим типовые законы регулирования:

  1.  И-закон (интегральный) или И-регулятор

     

     

     И-регулятор производит перемещение регулирующего органа пропорционально интегралу  

     от отклонения регулируемой величины или скорость перемещения регулирующего органа

     пропорциональна изменению регулируемой величины. В динамическом отношении этот  

     закон подобен интегрирующему звену.   

     

W()                                                                       h(t)

 

                                                                                                                                    t

                                                            

  ()                                                                       g(t)

        0                                                                       K 

                                                                                                                               t

     И – регулятор сдвигает фазу на  при любой частоте.

  1.  П-закон (пропорциональный) или П-регулятор

      – уравнение регулятора.

      П-регулятор производит перемещение регулирующего органа пропорционально    

      отклонению регулируемой величины. В динамическом отношении П-регулятор подобен   

      П-звену.

         

   W()                                                               h(t)

         K                                                           K*1(t)

                                                                                                                                  t

     ()                                                               g(t)

                                                                                      K*(t)

                                                                                                                                  t

           0

  1.  ПИ-закон (пропорционально интегральный) или ПИ-регулятор

Закон является комбинацией пропорционального и интегрального законов регулирования.

      , где Ти – время изодрома или постоянная интегрирования.

      .

      ПИ-регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально ошибке отклонения и

      интегралу от неё или скорость перемещения регулирующего органа пропорциональна

      ошибке регулирования и скорости изменения ошибки.

                                                                                             j

                                                             =                      +

       

                                                                                                                      =0

        

  Wp()                                                                        h(t)

                                                                                        K

  

                                                                                                                                             t

    ()                                                                         g(t)

                                                                                            K*(t)

                                                                              

                                                                                                                                                t  

  1.  ПИД-закон (пропорционально интегрально дифференцирующий) или ПИД-регулятор

      , где Tи – время изодрома,

                                                                      Тд – постоянная дифференцирования

      

      Скорость перемещения регулирующего органа прямо пропорциональна скорости и

      ускорению регулируемой величины.

       

       

Выводы: 1) чем сложнее закон регулирования, тем больше вариантов его технической  

                   реализации;

  1.  в настоящее время типовые законы реализованы в серийных регуляторах, настройки которых позволяют установить расчетные значения коэффициентов уравнения, благодаря этому, один и тот же серийный регулятор может реализовать любой типовой закон, т.е. может работать на объектах с различными характеристиками;
  2.  решение задачи по выбору регулятора производится в следующем порядке:
  3.  на основании изучения объекта, характеристик возмущений, требований технологий, ассортимента аппаратуры выбирается достаточно простой закон регулирования;
  4.  производится расчёт настройки регулятора, т.е. определяются численные значения параметров настройки: k, Ти, Тд, при которых динамические и статические параметры системы удовлетворяют критерию оптимальности;
  5.  производится анализ качества работы системы при найденных настройках, т.е. определяются наиболее характерные показатели процесса регулирования.
  6.  если в результате предварительного анализа окажется, что система не удовлетворяет поставленным требованиям по качеству, то её нужно усложнить, использую более сложный закон регулирования, либо изменив конфигурацию системы, введя корректирующие звенья.
  7.  Окончательная проверка качества работы системы, производится на реальной системе после её монтажа и наладки.

3.5. Типовые соединения звеньев и их характеристики.

При моделировании сложной системы управления типовые звенья соединяются друг с другом в соответствии с необходимой обработкой информации в системе.

Принято все возможные варианты соединения звеньев классифицировать типовыми соединениями:

  1.  последовательное;
  2.  параллельное;
  3.  параллельное встречное (с обратной связью):

а) с положительной обратной связью;

б) с отрицательной обратной связью.

При замене реальной системы типовыми соединениями необходимо выполнение 2-ух условий:

  1.  характеристики каждого звена в соединении не зависят от характеристик соседних звеньев  

     и от вида соединения;

  1.  в звене и в соединении сигналы однонаправлены, т.е. сигнал от входа звена направлен к выходу, предполагается отсутствие обратной связи, т.е. выходной сигнал не влияет на входной через звено.

При выполнении этих двух условий операторная передаточная функция каждого звена в соединении не зависит от параметров других звеньев.

Направление сигнала обозначается стрелкой.

Характеристики звеньев:

  1.  последовательное соединение звеньев

X(p)                           Y1(p)                              Y(p)              X(p)                             Y(p)

                                                                                            

Определим W(p) эквивалентного соединения.

Переходная характеристика соединения h(t) не выражается простой комбинацией переходных характеристик звеньев h1(t) и h2(t):

.

Аналогично и импульсная характеристика g(t) не выражается g1(t) и g2(t):

.

  1.  параллельное соединение звеньев

 

                                                    Y1(p)

X(p)                                                           Y(p)             X(p)                              Y(p)

                                                                                     

                                                   

                                                    Y2(p)

Определим W(p) эквивалентного соединения:

.

.

Характеристики W(), () и L() не являются простой комбинацией соответствующих характеристик звеньев.

  1.  соединения с обратной связью

  X(p)               X1(p)                                        Y(p)

                 _

                                                                                             X(p)                                Y(p)

                                                                                       

                     X2(p)

     а) положительная обратная связь

         X1(p)=X(p)+X2(p)

         X(p)=X1(p)–X2(p)

          .

 

     б) отрицательная обратная связь

         X1(p)=X(p)–X2(p)

         X(p)=X1(p)+X2(p)

          .

Выводы: 1) Если в звене прямой передачи операторную передаточную функцию можно

                   записать в виде W1(p)=kW3(p), где k=const, то операторная передаточная функция  

                   системы с отрицательной обратной связью примет вид:

.

                    Если k достаточно велико (), то

.

                    Следовательно, при больших коэффициентах передачи звена прямой передачи   

                    динамические свойства системы с отрицательной обратной связь не зависят от

                    свойств звена прямой передачи, а определяются только свойствами звена

                    обратной связи.

  1.  Системы с такой характеристикой называются предельными. Они широко

                    используются для коррекции динамических характеристик регуляторов, объектов       

                    и систем управления.

  1.  Отрицательная обратная связь существенно улучшает характеристики системы: стабилизирует коэффициент передачи; расширяет полосу пропускания; уменьшает уровень помех, попадающих в кольцо обратной связи; увеличивает динамический диапазон; увеличивает устойчивость системы; уменьшает нелинейные явления в кольце обратной связи.
  2.  Положительная обратная связь приводит к обратным результатам.
  3.  Все системы управления работают с отрицательной обратной связью. Применяются специальные меры, исключающие положительную обратную связь, приводящую к неустойчивой работе системы и её самовозбуждению.
  4.  Положительная обратная связь используется в специальных устройствах для генерации колебаний.


Х

X

Х

X

X

Wp

Wo

W1(p)

W2(p)

W(p)

W1(p)

W2(p)

W(p)

W1(p)

W2(p)

W(p)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42132. Программа ввода-вывода для КР 580 ВВ 55 макет М1 71 KB
  Формирование управляющего слова Оно формируется в виде восьмиразрядного управляющего слова. Управляющее слово 92 Разряды порта С индицируются Программа 1 0800 3Е92 MVI92 запись в регистр А цифра 92 управляющее слово 0802 D383 OUT 83 Запись управляющего слова в регистр управляющего слова параллельного адаптера К580 ВВ55 0804 DB80 IN 80 Принять в А байт из порта А 0806 32000B ST0B00 Записать из А в ячейку памяти 0B00 0809 3E55 MVI55 Записать в А число 55 080B D382 OUT 82 Вывести число 55 в порт С 080D C30000 JMP0000 Возврат в монитор В...
42136. Особливості написання власних назв 55.5 KB
  З великої букви пишуться ремарки які вказуюсь на ставлення слухачів до якоїсь особи інші ремарки стоять після закінченого речення: Мова категорія Загальнонародна вона характеризує відмінності народів а не суспільних класів Сучасна українська літературна мова. З великої букви також пишеться перше слово рубрики тексту якщо кожна рубрика закінчується крапкою; перше слово прямої мови після двокрапок; початкове слово постанови резолюції протоколу; після двокрапки за словами Слухали Ухвалили в протоколі. З великої букви...
42138. Лаборатоные работы в пакете EViews 463.5 KB
  Появится окно группы в котором можно создавать и работать с рядами рис. Создание просмотр и редактирование ряда данных Ряды данных можно создавать двумя способами. Создание пустого ряда в группе. В этом случае для создания ряда необходимо в открытой группе щелчком мыши активировать в самой верхней строке obs первую пустую ячейку и ввести название ряда затем нажать Enter и OK рис.
42139. Создание HTML-страницы для ввода данных 31.5 KB
  Теория В целом для создания HTMLкода чаще всего используются следующие теги: Теги начала и окончания HTMLстраницы html html Теги начала и окончания заголовка HTMLстраницы hed hed Теги начала и окончания названия HTMLстраницы title title Тег для установки кодировки HTMLстраницы met httpequiv= ContentType content= text html; chrset=windows1251 Теги начала и окончания основного тела HTMLстраницы body body Теги начала и окончания абзаца параграфа в теле HTMLстраницы p p Тег пропуска строки br Теги начала и...
42140. ПОДГОТОВКА И АНАЛИЗ ДАННЫХ 444 KB
  Очень часто происходит ситуация когда анализ данных проводимый между этапом сбора данных и собственно эконометрическим моделированием позволяет сократить количество лишней работы связанной с фактическим выбором модели и анализом технической информации во время моделирования. Предварительный анализ данных можно условно разделить на три этапа: графический анализ данных; фильтрация очистка рядов данных; анализ выборочных характеристик рассматриваемых рядов. Эконометрическое исследование проводится как минимум для двух рядов...