29988

РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Контрольная

Математика и математический анализ

Эти значения x называются корнями уравнения 3. ak например для уравнения вида ax2 bx c = 0 его корни выражаются формулой: . В большинстве же случаев аналитическую запись корней уравнения найти очень сложно или в принципе невозможно такие уравнения называются трансцендентными и поэтому приходится решать уравнение численным способом. Отделение корней На данном этапе определяются те интервалы области изменения переменной x в каждом из которых расположен один и только один корень уравнения 3.

Русский

2013-08-22

5.23 MB

134 чел.

. Решение трансцендентных уравнений

РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Постановка задачи

Во многих инженерных и научных задачах возникает необходимость решения уравнений вида:

F(x, a1, a2, ..., ak) = 0

(3.1)

где F - заданная непрерывная функция;

x – неизвестная величина, подлежащая определению;

a1, a2, ..., ak – известные параметры функции F.

Решить уравнение (3.1) - это значит найти такое значение (или такие значения) неизвестной x, при которых уравнение (3.1) превращается в тождество. Эти значения x называются корнями уравнения (3.1).

Только для простейших уравнений удается найти решение в аналитическом виде, т.е. записать формулу

x = f(a1, a2, ..., ak) ,

выражающую искомую величину x явным образом через параметры a1, a2, ..., ak, например, для уравнения вида

ax2 + bx + c = 0

его корни выражаются формулой:

.

В большинстве же случаев аналитическую запись корней уравнения найти очень сложно или в принципе невозможно (такие уравнения называются трансцендентными), и поэтому приходится решать уравнение численным способом.

Существует несколько различных методов численного решения трансцендентных уравнений, но все они предполагают выполнение двух этапов: первый из них называется "отделение корней", второй - "уточнение корней". Ниже рассматривается один из способов отделения корней и четыре метода уточнения корней - метод дихотомий, метод хорд, метод касательных и метод простых итераций.

3.2. Отделение корней

На данном этапе определяются те интервалы области изменения переменной x, в каждом из которых расположен один и только один корень уравнения (3.1). По сути дела на этом этапе определяются грубые приближения значений x с погрешностью, определяемой длиной каждого найденного интервала. Полностью автоматизировать процесс отделения корней, пожалуй, невозможно, так как в нем обязательно присутствует элемент субъективного, интуитивного подхода к решению задачи. Иногда, например, интервал, в котором расположен корень, удается получить из физической сущности решаемой задачи.

При выполнении этого этапа с использованием ЭВМ обычно проводится "табулирование" функции F(x, a1, a2, ..., ak), т.е. построение таблицы ее значений при различных значениях x, следующих друг за другом с некоторым шагом h:

x

F(x)

x1

F1

x2

F2

. . .

. . .

xn

Fn

где   xi+1 = xi + h ;  Fi = F(xi);  i = 1,2,...,n-1.

Например, таблица значений функции  x2 - 12 lnx + 6 sin x  на промежутке [1,10] c шагом h = 1 имеет вид:

x

F(x)

 1.0

 6.05

2.0

 0.72

3.0

- 3.99

4.0

- 6.01

5.0

- 1.03

6.0

11.75

7.0

28.42

8.0

43.74

9.0

55.79

10.0

67.72

В качестве границ искомых интервалов выбираются такие соседние значения x, в которых соответствующие значения F(x) имеют разные знаки, так как изменение знака функции на некотором интервале означает в силу ее непрерывности, что где-то в пределах этого интервала график функции пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение F(x) = 0 имеет корень. В частности, на основании данных из приведенной выше таблицы можно сделать вывод, что уравнение x2 - 12 lnx + 6 sin x = 0 на промежутке [1,10] имеет по крайней мере два корня: в интервале (2,3) и в интервале (5,6).

Рис.3.1. Алгоритм отделения корней

табулированием функции

При выполнении этого этапа нужно проявлять определенную осторожность: во-пеpвых, одинаковые знаки функции F на концах интервала (xi, xi+1) не означают, что на этом интервале нет корней - их может быть, например, два; во-втоpых, при разных знаках на концах интервала здесь может оказаться не один корень, а три или, например, пять.

В приводимой на рис.3.1 схеме алгоритма отделения корней использованы следующие обозначения:

xН, xК - соответственно левая и правая границы промежутка табулирования функции F(x);

x - текущая точка табулирования;

 ;

В0, В1 - знаки функции F(x) соответственно в предыдущей и текущей точках табулирования.

В соответствии с данной блок-схемой  производится не просто табулирование функции, а, кроме того, анализ знака функции в каждой новой точке и вывод сообщения при его изменении.

3.3. Метод дихотомии

Пусть на этапе отделения корней получены две точки A и B (A<B), между которыми находится корень уравнения (3.1), т.е. такие точки, в которых знаки значений функции F(x) противоположны (см. рис.3.2): sign F(A) sign F(B).

Метод дихотомии, называемый еще методом половинного деления, заключается в следующем:

1) определяется середина отрезка [A,B]:

;

(3.2)

2) вычисляется значение функции в этой точке - F(P) и его знак sign F(P);

3) корень уравнения (3.1) находится в той половине отрезка [A,B], на концах которой функция F(x) имеет разные знаки. Если это будет половинка [A,P], то перенесем точку B в точку P; если же половинка [P,B], то перенесем точку A в точку P. Благодаря этой операции длина отрезка [A,B], на котором находится корень уравнения, уменьшилась вдвое, т.е. можно сказать, что значение корня определено с точностью до длины полученного отрезка.

Каждое новое повторение действий 1,2,3 будет давать все более точные значения корня уравнения. Повторение этого процесса следует прекращать, когда длина отрезка [A,B] станет меньше заранее заданного значения , являющегося в данном случае ошибкой ограничения, т.е. неравенство

B - A <

(3.3)

является критерием окончания вычислительного процесса.

Рис.3.3. Алгоритм метода

дихотомии

Если величина  задана очень малая, то вблизи корня значения F(x) могут оказаться сравнимыми с погрешностью ее вычисления, т.е. при подходе к корню вычислительный процесс может попасть в так называемую "полосу шума", и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому кроме точности  надо задавать в алгоритме ширину "полосы шума" 1 и прекращать процесс при попадании в него, т.е. неравенство F(P) | < 1 является дополнительным  критерием окончания вычислительного процесса.

Схема алгоритма представлена на рис.3.3.

Рис.3.2. Геометрическая интерпретация метода

дихотомии


3.4. Метод хорд

Пусть так же, как в методе дихотомий, известны две точки A и B (A<B), для которых sign F(A) sign F(B). В методе хорд (см. рис.3.4), в отличие от метода дихотомий, в качестве очередного приближения P берется точка пересечения с осью абсцисс хорды, соединяющей точки (A,F(A)) и (B, F(B)).

Рис.3.4. Геометрическая интерпретация метода хорд

Уравнение прямой, проходящей через эти две точки запишем в виде: Y(x) = k x + c .

Коэффициенты k и c определяются из условий:

 F(A) = k A + c ;    F(B) = k B + c .

Решая эту систему из двух уравнений, получим:

; c = F(A) - k A .

Точка P пересечения этой прямой с осью ОX определяется из уравнения

 kP + c = 0.

Решая его, окончательно получаем:

.

(3.4)

В методе хорд нельзя использовать в качестве критерия окончания вычислительного процесса неравенство (3.3), так как, как видно из рис.3.4, величина BA не стремится к нулю. В данном методе, как и в рассматриваемых ниже, вычислительный процесс следует прекращать при выполнении неравенства

,

(3.5)

т.е. если расстояние между двумя соседними приближениями к корню меньше заранее заданной величины .

Алгоритм метода хорд, следовательно, отличается от алгоритма метода дихотомий формулой вычисления приближения P (вместо (3.2) использется (3.4) )и критерием окончания вычислительного процесса (вместо (3.3) использется (3.5) ).

Блок-схему для метода хорд предлагается разработать самостоятельно.

3.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Графическая интерпретация метода представлена на рис.3.5. Предположим, что каким-либо способом найдено начальное приближение х0 к истинному корню. Например, при использовании отделения корней, в качестве х0 можно взять левую или правую границу промежутка, содержащего корень уравнения F(x) = 0, либо любую другую точку из этого промежутка. В точке х0 вычислим значение функции F(x), а также значение ее производной F (x). Следующее приближение к корню, т.е. точку х1 определим, как пересечение оси ОХ с касательной к кривой F(x) в точке х0:

Аналогичным образом, вычислив значения F(x) и F (x), в точке х1, можно получить  приближение х2:

В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:

(3.6)

где каждое новое значение хk (k=1, 2, 3, …) будет располагаться все ближе к истинному корню х*., т.е. будет представлять собой все более точное приближение к решению уравнения F(x) = 0.

Рис.3.5. Метод Ньютона

Рис.3.6. Модифицированный

метод Ньютона

Процесс уточнения корня по формуле (3.6) следует прекращать, когда выполнится условие , т.е. когда расстояние между двумя соседними приближениями станет меньше заранее заданной точности .

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10-5 – 10-6 достигается за 4-5 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждом шаге не только левой части F(x) уравнения, но и ее первой производной.

Алгоритм метода Ньютона представлен на рис. 3.7.

Из формулы (3.6) видно что для вычисления каждого нового (текущего) приближения требуется знать лишь одно предыдущее приближение. Эти две величины в блок-схеме названы соответственно хТ и хП.

После ввода исходных данных переменной хП присваивается значение () для того, чтобы первая проверка условия

| хТхП | >

обязательно дала значение True.

Рис.3.7. Алгоритм метода Ньютона

На практике иногда применяется так называемый модифицированный метод Ньютона, который отличается от метода Ньютона тем, что первая производная от F(x) вычисляется лишь один раз в точке х0. Вычислительный процесс модифицированного метода Ньютона описывается формулой:

(3.7)

а его геометрическая иллюстрация приведена на рис. 3.6.

3.6. Метод простых итераций

Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:

x = (x).

(3.8)

Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней):  x = x 0.   Подставим  его  в  правую  часть (3.8) и получим новое приближение: x1 = (x0). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге:

xk = (xk-1) .

В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства:                                                  xk - xk-1 < .

Значение xk, удовлетворяющее ему, и есть корень уравнения (3.1).

Геометрическая интерпретация этого метода приведена на рис.3.8, 3.9. Здесь x* - истинное, искомое значение корня; x0 - начальное приближение к корню; x1, x2, x3 - очередные итерации.

Рис.3.8.

Рис.3.9.

При использовании этого метода возникает вопрос о его сходимости. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и приближениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11.

Рис.3.10.

Рис.3.11.

Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:

(x) < 1

(3.9)

Это условие является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс обязательно сходится; если же условие (3.9) не выполняется или выполняется не во всех точках

x0, x1, x2, ..., xk, ... ,

то заранее сказать что-либо конкретное о сходимости нельзя.

Итак, для решения уравнения F(x) = 0 методом простых итераций надо преобразовать его к уравнению вида x = (x) так, чтобы выполнялось условие (x) < 1. Сходимость к истинному корню будет тем быстрее, чем ближе к единице значение (x).

Для примера рассмотрим два разных преобразования одного и того же уравнения

lnx = 2 - x .

(3.10)

В виде (3.1) его можно записать либо

lnx - 2 + x = 0 ,

(3.11)

либо

2 - lnx - x = 0 ,

(3.12)

Оба уравнения приведем к виду (3.8) прибавлением x к правой и левой частям.

Уравнение (3.11) преобразуется к виду:

x = lnx - 2 + 2x ,

(3.13)

т.е. (x) = lnx - 2 + 2x .

Продифференцируем функцию (x):   (x) =  + 2 . Не трудно определить, что условие сходимости метода выполняется при -1 < x < -1/3 . Но на этапе отделения корней можно убедиться, что корень уравнения лежит в интервале (1,2), и вообще вся функция (x) из-за наличия логарифма определена лишь при x > 0. Это значит, что исходное уравнение преобразованием к виду (3.13) решить методом простых итераций невозможно.

Уравнение (3.12) преобразуется к виду:

x = 2 - lnx ,

(3.14)

т.е.  (x) = 2 - lnx . Продифференцируем функцию (x):   (x) = - . Условие сходимости метода выполняется при  x > 1. Это значит, учитывая область расположения корня, что вычислительный процесс метода простых итераций будет сходящимся, если исходное уравнение преобразовано к виду (3.14).

Существует более или менее универсальный способ преобразования уравнения (3.1) к виду (3.8):

F(x) = 0

C . F(x) = 0

C . F(x) + x = x

(3.15)

Здесь C - некоторый параметр, выбираемый из условия сходимости процесса.

Для примера попытаемся применить этот способ для решения уравнения (3.11). Условие сходимости (3.9) для преобразования (3.15) в общем виде выглядит так:

.

так как в этом неравенстве присутствует знак модуля, то оно распадается на два неравенства:

  и   

или

  и   .

(3.16)

Дальнейшее преобразование этих неравенств для получения условия на значения параметра С зависит от знака производной  в окрестности искомого корня.

Так как в уравнении (3.11) , то неравенства (3.16) для него выглядят так:

  и   .

(3.17)

В качестве окрестности корня уравнения (3.11) рассматриваем интервал [1, 2], полученный на этапе отделения корней. Вычислим значения производной  при х=1  и  х=2 :

  и   .

Так как производная в исследуемой окрестности положительна, то неравенства (3.17) можно записать так:

С < 0   и   C >

(3.18)

Подставим во второе из этих неравенств границы нашей окрестности и получим:

для х=1  →  С>-1 ,                      для х=2    C>-4/3 .

Следовательно, из (3.18) получаем

-1 < С < 0    или    -4/3 <С <0 .

Выбирая меньший по длине из этих двух промежутков, окончательно получаем:

-1 < С < 0,

т.е. для любого значения С из интервала от –1 до 0 мы будем иметь сходящийся метод простых итераций для уравнения lnx - 2 + x = 0, преобразованного к виду x = (x), где (x)=С(lnx - 2 + x )+х. На практике в качестве конкретного значения С берется обычно средина найденного интервала. В нашем примере это будет С=-0,5

При использовании преобразования (3.15) условием окончания вычислительного процесса является выполнение неравенства

.

В приводимой на рис.3.12. блок-схеме использован описанный способ (3.15) преобразования исходного уравнения к виду (3.8). В программе необходимо указывать функцию F(x) и вводить вычисленный заранее параметр С и значение допустимой погрешности .

Рис.3.12. Алгоритм метода простых итераций:

В соответствии с этим алгоритмом программа должна осуществлять не более 100 итераций. Если за 100 итераций не достигнута требуемая точность, то программа выводит сообщение об отсутствии сходимости и прекращает работу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21605. СТАНДАРТИЗАЦИЯ РАЗРАБОТКИ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ 512.5 KB
  Стандарты входящие в ЕСКД устанавливают единые правила и положения по порядку разработки оформления и обращения конструкторской документации на изделия разрабатываемые и выпускаемые предприятиями всех отраслей промышленности России. Различают изделия основного производства предназначенные для поставки реализации и изделия вспомогательного производства предназначенные для собственного потребления предприятиемизготовителем. К деталям относят также изделия изготовляемые с применением сварки пайки склеивания и т. К сборочным...
21606. ТРЕБОВАНИЯ К РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЕ ПО УСЛОВИЯМ ЭКСПЛУАТАЦИИ 259 KB
  Стационарная РЭА. Транспортируемая РЭА. Портативная РЭА. Значения воздействующих факторов на группы РЭА.
21607. ЗАЩИТА АППАРАТУРЫ ОТ ВЛИЯНИЯ КЛИМАТИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ 439 KB
  Protection from climatic conditions of the usages Тема 5: ЗАЩИТА АППАРАТУРЫ ОТ ВЛИЯНИЯ КЛИМАТИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ Естествоиспытатель не принимает в расчет невероятное. Тепловой режим аппаратуры. Охлаждение аппаратуры.
21608. ЗАЩИТА АППАРАТУРЫ ОТ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ И ПОМЕХ 572.5 KB
  Виды механических воздействий на РЭА. Амортизация конструкции РЭА. Применение экранов в РЭА. Защита от механических воздействий [1 2] Виды механических воздействий на РЭА.
21609. ОБЕСПЕЧЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ РАБОТЫ АППАРАТУРЫ 518.5 KB
  Вероятность безотказной работы РЭА. Повышение надежности РЭА резервированием. Информационные методы повышения надежности РЭА. Расчет надежности РЭА.
21610. Работа с данными. Поиск и замена данных 279.5 KB
  Для поиска данных необходимо выполнить команду Правка Найти и во вкладке Найти диалогового окна Найти и заменить рис. Поиск данных во вкладке Найти диалогового окна Найти и заменить При поиске можно использовать подстановочные знаки. Результаты поиска данных во вкладке Найти диалогового окна Найти и заменить Для более детального поиска во вкладке Найти диалогового окна Найти и заменить см.
21611. Работа с форматами Excel. Копирование форматов 252.5 KB
  Ко всем выделенным фрагментам будет применен выбранный стиль. Копирование формата с использованием специальной вставки в диалоговом окне Специальная вставка Использование стилей О стилях Использование стилей обеспечивает единообразие оформления данных и ячеек во всей книге позволяет быстро устанавливать выбранный набор параметров форматирования а также мгновенно изменять оформление всех ячеек к которым применен один стиль. Для просмотра доступных стилей необходимо выполнить команду Формат Стиль. Список основных стилей приведен в...
21612. Создание и оформление диаграмм в Microsoft Excel 468 KB
  Диаграммы создаются на основе данных расположенных на рабочих листах. При необходимости в процессе или после создания диаграммы в нее можно добавить данные расположенные на других листах. Диаграмма может располагаться как графический объект на листе с данными не обязательно на том же где находятся данные взятые для построения диаграммы.
21613. СИСТЕМА МІЖНАРОДНИХ ЕКОНОМІЧНИХ ВІДНОСИН 194.5 KB
  Сучасний світ і середовище міжнародної економіки. Еволюція світового ринку та міжнародної економіки. Міжнародний поділ праці як основа розвитку міжнародних економічних відносин. Світовий ринок. Світове господарство та міжнародна мобільність факторів виробництва. Міжнародна економіка та її структура.