30043

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Эйлера модифицированный стр. В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный: Результаты вычислений должны содержать: точное значение уравнения приближенные значения графики Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге Кутта.

Русский

2013-08-22

232 KB

45 чел.

PAGE  11

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выполнил: студент гр. АЕ-52

Рахматуллин Д.Р.

                                                                                 Руководитель: Минина Е.Е.

Екатеринбург 2006

Содержание.

  1.  Введение - стр.3
  2.  Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши – стр.4
  3.  Постановка задачи – стр.4
  4.  Численные методы решения задачи Коши – стр.5
  5.  Метод Эйлера – стр.6
  6.  Метод Эйлера модифицированный – стр.8
  7.  Блок схема
  8.  Код программы – стр.10
  9.  Проверка в пакете MathCad – стр.12
  10.  Формы программы – стр.13
  11.  Заключение – стр.15
  12.  Литература – стр.16

Введение.

Информатика – это области человеческой деятельности, связанная с процессами преобразования информации с помощью компьютеров и их взаимодействием со средой применения.

Термин  и н ф о р м а т и к а возник в 60-х гг. во Франции для названия области, занимающейся автоматизированной обработкой информации с помощью электронных вычислительных машин.

В нашей стране подобная трактовка термина “информатика” утвердилась с момента принятия решения в 1983 г. На сессии годичного собрания Академии наук СССР об организации нового отделения информатики , вычислительной техники и автоматизации. Информатика трактовалась как “комплексная научная инженерская дисциплина, изучающая все аспекты разработки, проектирования, создания, оценки, функционирования основных на ЭВМ систем переработки информации, их применения и воздействия на различные области социальной практики”.

Информатика в таком понимании нацелена на разработку общих методологических принципов построения информационных моделей. Поэтому методы информатики применимы по всюду, где существует возможность описания объекта, явления, процесса и т.п. с помощью информационных моделей. Таким образом, информатика намного ускоряет решение математических задач.

Целью моей работы является изучение основ системы программирования Microsoft  Visual  Basic и приобретение начальных навыков разработки программного обеспечения для операционных систем  Windows.

В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный:

Результаты вычислений должны содержать:

- точное значение уравнения

- приближенные значения

- графики

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение      и начальное условие y(x0) = y0.  Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).

Существование решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|xx0| < a ;  |yy0| < b ,

то существует, по меньшей мере, одно решение  y = y(x), определённое в окрестности  |xx0| < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную  в R, то можно положить

N = max||    при    .

Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0, X] – области непрерывного изменения аргумента х множеством , состоящего из конечного числа точек  x0 < x1 < … < xn = X – сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом 

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0, X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2, …, yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

                                 (4.1)

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

  •  Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.
  •  Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой y = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.
  •  Явные методы, в которых функция Ф в выражении (4.1) не зависит от yn+1.
  •  Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

Метод Эйлера

Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).

2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок схема

Код программы.

Объявление переменных 

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, yE(50) As Single, yT(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Задание функции

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = -q / (1 + t ^ 2)

End Function

Задание переменных

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

N = Round((xk - x0) / h)

Форматирование таблицы

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix (0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix (0, 1) = "Y"

MSFlexGrid1.TextMatrix (0, 2) = "YE"

MSFlexGrid1.TextMatrix (0, 3) = "YT"

Решение методами

Max = 1

Min = 0.8

y(0) = y0

yE(0) = y0

yT(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + i * h

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

yE(i + 1) = Round(yE(i) + f(x(i) + h / 2, yE(i) + h / 2 * f(x(i), yE(i))) * h, 4)

yT(i) = Round(Exp(-Atn(x(i)) + 0.7854), 4)

If yT(i) > Max Then Max = yT(i)

If yT(i) < Min Then Min = yT(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix (i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix (i + 1, 1) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix (i + 1, 2) = Str(yE(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix (i + 1, 3) = Str(yT(i))

Next i

Построение графиков

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To N - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round (5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round (5400 - (yE(i) - Min) * ky)

z4 = Round (5400 - (yT(i) - Min) * ky)

z5 = Round (720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z6 = Round (5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round (5400 - (yE(i + 1) - Min) * ky)

z8 = Round (5400 - (yT(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z5, z6), vbGreen

Picture1.Line (z1, z3)-(z5, z7), vbRed

Picture1.Line (z1, z4)-(z5, z8)

Next i

End Sub

Выход из программы

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

Проверка в пакете MathCad.

Формы программы

Заключение.

По результатам проведённой мной работы я выяснил, что решение дифференциальных уравнений предпочтительно модифицированным методом Эйлера, так как он является наиболее точным.

Литература

  1.  А.Ф.Грачев, В.В.Историна «Курсовой проект, курсовая и реферативная работа», методические указания.

  1.  В.А.Добряк, В.Д.Нехорошев «Ваша первая программа на Microsoft V. Basic».

  1.  Г.М.Финтенгольц  «Курс дифференциального и интегрального исчисления».

4.Н.В.Макарова учебник «Информатика».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16321. ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ СВЕТА 139 KB
  Лабораторная работа ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ СВЕТА Упражнение 1. Поляризация света при отражении от плоской границы. Явление Брюстера Описание лабораторной установки Оптическая схема установки представлена на рис.2.1. На оптичес...
16322. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ И НЕИЗВЕСТНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ САХАРНОГО РАСТВОРА ПРИ ПОМОЩИ ПОЛЯРИМЕТРА СМ – 3 164 KB
  Лабораторная работа ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ И НЕИЗВЕСТНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ САХАРНОГО РАСТВОРА ПРИ ПОМОЩИ ПОЛЯРИМЕТРА СМ 3 Описание лабораторной установки Поляриметр круговой СМ3 используемый в данной работе применяется для измерения угла вращения пл
16323. Определение удельного вращения и неизвестной концентрации сахарного раствора при помощи сахариметра СУ-3 244 KB
  Лабораторная работа Определение удельного вращения и неизвестной концентрации сахарного раствора при помощи сахариметра СУ3 Описание лабораторной установки Сахариметр СУ3 используемый в данной работе применяется для измерения угла вращения плоскости
16324. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И СРЕДНЕЙ ДИСПЕРСИИ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ РЕФРАКТОМЕТРА ИРФ-22 373.5 KB
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И СРЕДНЕЙ ДИСПЕРСИИ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ РЕФРАКТОМЕТРА ИРФ22 Методические указания содержат подробное описание одной лабораторной работы общего физического практикума по оптике. Целью работы является определение показателей пре...
16325. ИЗУЧЕНИЕ ВНЕШЕНЕГО ФОТОЭФФЕКТА 174.5 KB
  ИЗУЧЕНИЕ ВНЕШЕНЕГО ФОТОЭФФЕКТА Теоретическая часть Описание явления. Свет падающий на вещество передает этому веществу энергию в результате чего могут возникать разнообразные эффекты. Среди этих явлений важное место занимает внешний фотоэлектрический эффект ...
16326. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКЛА ПРИ ПОМОЩИ МИКРОСКОПА 137.5 KB
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКЛА ПРИ ПОМОЩИ МИКРОСКОПА Теоретическая часть В основе определения показателя преломления стекла в данной работе используется один из фундаментальных законов геометрической оптики: закон преломления света. Согласно ...
16327. ИЗУЧЕНИЕ МИКРООБЪЕКТОВ ПРИ ПОМОЩИ МИКРОСКОПА 259.5 KB
  Лабораторная работа ИЗУЧЕНИЕ МИКРООБЪЕКТОВ ПРИ ПОМОЩИ МИКРОСКОПА Теоретические основы эксперимента Принцип действия микроскопа основан на формировании увеличенного изображения исследуемого объекта за счет увеличения угла зрения линзами. На рис.1 показан ход ...
16328. Поляризация света. Лабораторный практикум по общей физике 648.5 KB
  Поляризация света Лабораторный практикум по общей физике Оптика Содержание Часть I Теоретические основы эксперимента Электромагнитная природа света. Уравнения Максвелла Поперечность световой волны и поляризация света Поляризация при отражении
16329. Программирование алгоритмов линейной структуры 131.5 KB
  Лабораторная работа № 1 Программирование алгоритмов линейной структуры Цель: приобретение навыков программирования алгоритмов линейной структуры с помощью подпрограммыфункции вычисляющей значение арифметических выражений. Индивидуальные варианты лаборатор