30049

Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: у х у 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

127.71 KB

3 чел.

1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


у

х


у

3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур

End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)


Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1


chastnoe

C=ex+1-y*x


5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad

Заключение



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22024. Свечение, сопровождающее биохимические реакции 131.5 KB
  В последнее время все больший интерес привлекает собственное сверхслабое свечение клеток и тканей животных и человека которое обусловлено реакциями свободных радикалов: радикалов липидов и кислорода а также окиси азота соединениями играющими огромную роль в жизни организма а при определенных условиях и развитии ряда патологических состояний. свечение сопровождающее химические реакции называется хемилюминесценцией ХЛ. Процессы жизнедеятельности как теперь стало известно практически всегда сопровождаются очень слабым...
22025. Собственное свечение клеток и тканей животных 78.5 KB
  Строение Фазовые переходы липидов в мембранах Диффузия как результат случайных блужданий частиц Диффузия ионов при наличии электрического поля Кинетика реакций цепного окисления липидов Cвечение сопровождающее биохимические реакции Активированная хемилюминесценция и биолюминесценция как инструмент в медикобиологических исследованиях Метод электронного парамагнитного резонанса Кинетика химических реакций Кальциевый насос животной клетки Реакции окисления восстановления .
22026. Метод ДСК 195 KB
  Температуры плавления некоторых синтетических фосфолипидов Жирные кислоты Название остатка жирной кислоты Сокращённое название фосффолипида Температура плавления Tc oC 14:0 Миристоил ДМЛ 23 16:0 Пальмитоил ДПЛ 41 18:0 Стеароил ДСЛ 58 18:1 Олеил ДОЛ 21цисформа Полное название фосфолипидов: ДМЛ 12димиристоилфосфатидилхолин еще одно возможное сокращение ДМФХ€ и так далее. На первом этапе нас будут интерессовать три из них: Температура фазового перехода плавления Tc. T полуширина фазового перехода Tc температура...
22027. Активированная хемилюминесценция и биолюминесценция 114 KB
  Так например комплекс редкоземельного иона европия Eu3 c антибиотиком хлортетрациклином усиливает ХЛ при окислении липидов почти в 1000 раз. Хемилюминесцентный иммунный анализ По идеологии хемилюминесцентный иммунный анализ не отличается от радиоиммунного с той только разницей что вместо радиоактивномеченных субстратов или антител используются субстраты и антитела меченные соединением которое вступает в реакции сопровождающиеся хемилюминесценцией в присутствии перекиси водорода и катализатора обычно это фермент пероксидаза....
22028. Биологические мембраны Строение, свойства, функции 403 KB
  Клеточная или цитоплазматическая мембрана окружает каждую клетку. Ядро окружено двумя ядерными мембранами: наружной и внутренней. Все внутриклеточные структуры: митохондрии эндоплазматический ретикулум аппарат Гольджи лизосомы пероксисомы фагосомы синаптосомы и т представляют собой замкнутые мембранные везикулы пузырьки.
22029. Мембранные потенциалы 232.5 KB
  Более подробно межфазные и поверхностные потенциалы будут рассмотрены позже а сейчас мы рассмотрим как повлияет на перенос ионов наличие на мембране трансмембранного потенциала. Однако липидная часть мембраны состоит всегото из двух слоёв молекул фосфолипидов причём размеры подвижных звеньев цепей жирных кислот в этих молекулах соизмеримы с размерами ионов которые передвигаются внутри мембраны. Это заставляет при рассмотрении переноса ионов в мембране отказаться от полностью макроскопического подхода к явлениям и рассматривать процессы на...
22030. Перемещения иона в мембране 347 KB
  В случа переноса ионов через биомембраны за ось Х можно принять ось нормальную к мембране и направленную изнутри везикулы например клетки наружу см. Как же перемещается ион в толще липидного слоя мембраны В разделе 1 говорилось о том что такое перемещение возможно благодаря перестройке конфигурации жирнокислотных цепей и образованию нового кинка . Движение иона поперёк мембраны путём перескакивания из одного кинка в другой. На рисунке показаны не разные молекулы фосфолипидов в бислое а разные стадии процесса переноса иона...
22031. Системы передачи с временным разделением каналов 139 KB
  Напомним что для преобразования аналогового сигнала в цифровой используются операции ДИСКРЕТИЗАЦИЯ КВАНТОВАНИЕ КОДИРОВАНИЕ. Значение шума квантования зависит от количества уровней квантования скорости изменения сигнала и от спосрба выбора шага квантования. не зависит от а } = где вероятность попадания сигнала в iю зону квантования. зависит лишь от шага квантования и не зависит от уровня сигнала.
22032. Дельта - модуляция (кодирование с предсказанием) (ДИКМ) 158.5 KB
  Основные параметры характеристики компрессии по А закону приведены в таблице: № сегмента Вид кодовой комбинации P XYZ ABCD Относительный интервал изменения входного сигнала Значение шага квантования относительно Uогр 0 P 000 ABCD 0  1 128 1 2048 1 P 001 ABCD 1 128  1 64 1 2048 2 P 010 ABCD 1 64  1 32 1 1024 3 P 011 ABCD 1 32  1 16 1 512 4 P 100 ABCD 1 16  1 8 1 256 5 P 101 ABCD 1 8  1 4 1 128 6 P 110 ABCD 1 4  1 2 1 64 7 P 111 ABCD 1 2  1 1 32 Кодовая комбинация и есть код квантованного сигнала P  ABCD ...