30049

Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: у х у 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

127.71 KB

3 чел.

1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


у

х


у

3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур

End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)


Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1


chastnoe

C=ex+1-y*x


5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad

Заключение



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21039. ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОМАТОВ 76 KB
  Краткие сведения об автоматах Автоматы это аппараты предназначенные для нечастых включений и отключений электрических цепей по команде оператора и автоматического отключения цепей при ненормальных режимах в них. Автоматы изготовляются на номинальные токи до 6000 А а отдельные серии до 2030 кА на номинальные напряжения до 660 В переменного тока и до 440 В постоянного тока. В зависимости от требовании к времени срабатывания и от назначения автоматы подразделяются на: 1 Небыстродействующие постоянного и переменного тока время...
21040. Исследование электромагнитных контакторов 67 KB
  Электромагнитный контактор представляет собой электромагнит постоянного или переменного тока по обмотке которого протекает ток. В качестве приводных электромагнитов постоянного тока обычно применяются клапанные Побразные электромагниты с внешним качающимся якорем рис. Кроме того необходимо иметь гибкое соединение для подвода тока к подвижному контакту. Исполнение дугогасительных систем контакторов зависит от рода и уровня тока коммутируемой цепи.
21041. Исследование герконовых реле 178.5 KB
  Ульянова Электротехнический факультет Кафедра электрических и электронных аппаратов ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №64 Исследование герконовых реле Выполнили студенты группы ЭТ2103: Кузнецов А. Лабораторная работа №64 Исследование герконовых реле Цель работы: изучение конструкций герконов и реле на их основе исследование параметров реле и геркона. Отечественной промышленностью выпускаются одно и многоконтактные реле на замыкание размыкание и переключение преимущественно с расположением герконов внутри катушки управления и с внешним...
21042. Виртуальные машины 207.5 KB
  Опять же необходимо указать имя и место сохранения создаваемого диска. Поэтому сразу выберите место для сохранения с учетом достаточности свободного пространства на реальном разделе жесткого диска. Отмечу некоторые особенности: к системе можно подключить три жестких диска. Напоследок рассмотрим процедуру создания нового виртуального жесткого диска.
21043. УСТАНОВКА ВИРТУАЛЬНОЙ МАШИНЫ и ОС WINDOWS XP 763 KB
  Представьте как это удобно если вы хотите разрешить виртуальной машине полный доступ к вашим файлам на реальной машине. При выборе этого пункта создается лишь файл виртуальной машины без дефолтного железа после чего открывается окно настройки и на образ навешиваются и настраиваются дополнительные виртуальные комплектующие сетевые адаптеры образа дисков и прочее. Нажмите кнопку Next На третьем экране нам предлагают ввести имя нашей виртуальной машины и место где мы ее разместим на физическом диске компьютера.
21044. Работа с файлами и дисками в ОС Windows XP 161.46 KB
  В 32битной ОС Windows XP в виде командной оболочки методом эмуляции реализован режим MSDOS позволяющий выполнять все указанные выше действия по работе с файлами и дисками. Подготовка к выполнению лабораторной работы К числу основных команд и служебных утилит используемых при работе с файлами дисками и томами в ОС Windows XP посредством командной оболочки относятся: Assoc Attrib Cacls Cd Chdir Chkdsk Chkntfs Comp Compact Convert Copy Date Del Dir Diskcomp Diskcopy Erase Fc Find Findstr Format Label Md Mkdir Move...
21045. Патофизиология гемостаза 37.5 KB
  Этиология патогенез и патогенетическая терапия наследственной и приобретенной патологии сосудистотромбоцитарного гемостаза. Этиология патогенез и патогенетическая терапия вторичных нарушений коагуляционного гемостаза. Функции системы гемостаза: В норме поддержание жидкого состояния крови При патологии повышение свертываемости крови Патология гемостаза делится на 2 группы: гиперкоагуляция гипокоагуляция МЕХАНИЗМЫ ГЕМОСТАЗА а тромбоцитарнососудистый б коагуляционный Оба механизма включаются одновременно.
21046. Патофизиология почек и кислотно-щелочного равновесия 19 KB
  ПЛАН ЛЕКЦИИ : Определение и классификация почечной недостаточности. Этиология патогенез принципы диагностики и патогенетической терапии острой почечной недостаточности. Этиология патогенез принципы диагностики и патогенетической терапии хронической почечной недостаточности. Классификация почечной недостаточности по этиопатогенезу: Преренальная характеризуется нарушением притока крови по a.
21047. Патофизиология язвенной болезни, голодание 54.5 KB
  Цель лекции: Изучить этиологию патогенез и принципы терапии язвенной болезни желудка и двенадцатиперстной кишки. Язвенная болезнь – это заболевание с наследственной предрасположенностью с полигенным типом наследования основным морфологическим субстратом которой является формирование одиночного либо множественных язвенных дефектов на слизистой желудка либо ДПК. Наиболее часто язвенные дефекты формируются в антральном отделе желудка и в луковице ДПК. Язвы тела и дна желудка наблюдаются редко и рассматриваются как предраковые изменения.