30049

Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: у х у 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

127.71 KB

3 чел.

1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


у

х


у

3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур

End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)


Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1


chastnoe

C=ex+1-y*x


5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad

Заключение



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63885. Трансформация социальных стереотипов 20.92 KB
  Социальные стереотипы прежде всего это упрощенные схематизированные образы социальных объектов разделяемые достаточно большим числом членов социальных групп. Так например бывают этнические и религиозные профессиональные идеологические возрастные и другие стереотипы.
63886. Социальная ответственность бизнеса в мировой экономике 83.5 KB
  Однако несмотря на актуальность феномена КСО общепринятого точного определения для социальной ответственности нет. Несмотря на отсутствие единого и общепринятого определения КСО это понятие обычно относится к процессу принятия решений в бизнесе осуществляемому в привязке к этическим ценностям следованию...
63887. Групповое взаимодействие в социокультурном процессе: ролевые ожидания и нормы 25.24 KB
  То что делает человек в значительной мере объясняется пониманием им своей роли. Окружающие следят за точностью выполнения этой программы с тем чтобы поведение человека соответствовало его роли. Разнообразие групповых норм требует от участников некой гибкости ролевой тактики человек в разных группах имеет отличительные роли.
63888. Общая характеристика правовых конфликтов в Интернете в современной России 44.12 KB
  Интернет и высокие технологии самим своим появлением преобразовали наше социальное и культурное пространство отрицать мы этого не можем. Множество возможностей для общения нам дают современные технологии Интернет: читать книги смотреть фильмы посещать музеи...
63889. Социокультурная статика и социокультурная динамика 41.5 KB
  Статика и динамика культуры это понятия отражающие состояния покоя неизменности культуры и те изменения которые происходят в культуре во взаимодействии различных культур. Традиции существуют во всех формах духовной культуры. Благодаря им развивается общество так как молодое поколение усваивает достигнутый...
63890. Социальные стереотипы в трансформационном аспекте 46.5 KB
  Социальные стереотипы в трансформационном аспекте XXI век век развития информационных технологий инноваций всего человечества. Стереотипы это предубеждения людей определенные клише которые создавались на протяжении многих лет...
63891. О необходимости формирования профессиональных ориентаций школьников 42 KB
  Выбор профессии профессионального учебного заведения для многих является не просто задачей. Согласно полученным данным большинство опрошенных школьников 52 не имеют четких представлений о своей будущей профессии: 30 не определились 22 затруднились ответить.
63892. Социальные смыслы деятельности 31.24 KB
  Во все времена любая деятельность человека социокультурная в том числе имела широкое влияние на процессы происходящие в обществе. Но что же такое деятельность Под деятельностью понимают специфический способ активного взаимодействия с окружающим миром процесс...
63893. Неформальный социальный контроль 37.5 KB
  В научной литературе существует такой тип социального контроля как неформальный. Данный тип социального контроля является основанным на одобрении или же в зависимости от поступка осуждении друзей знакомых родственников учителей коллег и других социальных групп.