30049

Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: у х у 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

127.71 KB

3 чел.

1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


у

х


у

3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур

End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)


Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1


chastnoe

C=ex+1-y*x


5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad

Заключение



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73860. Налоговое право как подотрасль финансового права 58 KB
  Налоговое право как подотрасль финансового права. Понятие подотрасли налогового права и его место в системе финансового права. Налоговое право в качестве подотрасли финансового права начинает формироваться с конца 20 века в связи с законодательным установлением в Российской Федерации системы налогообложения нового типа. Подотрасль налогового права включает всю совокупность юридических норм осуществляющих правовое регулирование в сфере налогообложения.
73861. Федеральные налоги и сборы 341 KB
  Налогоплательщиками налога на добавленную стоимость признаются: организации; индивидуальные предприниматели; лица признаваемые налогоплательщиками налога на добавленную стоимость в связи с перемещением товаров через таможенную границу Таможенного союза определяемые в соответствии с таможенным законодательством Таможенного союза и законодательством Российской Федерации о таможенном деле. Освобождение не применяется также в отношении обязанностей возникающих в связи с ввозом товаров на территорию Российской Федерации и иные территории...
73862. Региональные и местные налоги 166.5 KB
  Исходя из этого в юридической конструкции каждого регионального местного налога можно выделить две группы элементов: нормативное содержание которых строго устанавливается федеральным законом для их неизменного действия на всей территории Российской Федерации;
73863. Соотношение понятий «налоговая система», «система налогообложения» и «система налогов» 125.5 KB
  Опираясь на выработанные в науке теоретические характеристики отдельных сторон налоговой системы, представляется возможным рассматривать налоговую систему как сложное правовое, социальное, экономическое и политическое явление общественной жизни и сложную систему, включающую комплекс взаимосвязанных и взаимообусловливающих друг друга элементов. Можным выделить следующие образующие налоговую систему элементы
73864. Налогово-правовые нормы и отношения 179 KB
  Именно поэтому нормы входящие в состав юридической конструкции конкретного налога являются изначально обязывающими и императивными за исключением нормы устанавливающей льготы. Закон не предусматривает диспозитивного регулирования отношения возникающего между налогоплательщиком и государством по поводу уплаты налога. Все юридические характеристики элементов юридической конструкции конкретного налога не имеют альтернативы а метод воздействия норм на отношение при их реализации является императивным методом. При этом установление...
73865. Контрольно-налоговое производство 183.5 KB
  Система налогового администрирования и контроля складывается в составе налоговой системы России с марта 1991 года с момента образования налоговых органов. Это: налоговые органы; система норм права на основании которых строится контрольнонадзорная деятельность налоговых органов; правоотношения складывающиеся в процессе деятельности налоговых органов в том числе правоотношения возникающие при осуществлении налогового процесса и налогового производства. Последовательное исследование этих правовых категорий позволяет выявить место и роль...
73866. Налоговая ответственность за налоговые правонарушения в сфере налогообложения 275.5 KB
  Под юридической ответственностью за нарушения налогового законодательства понимается совокупность принудительных мер посредством которых государство воздействует на нарушителя применяя меры карательного характера в качестве наказания в установленных Налоговым кодексом РФ случаях и порядке.
73867. РОССИЯ И МИР В НАЧАЛЕ ХХ ВЕКА 83.5 KB
  Банкирские дома в экономической жизни пореформенной России. в России завершилось формирование системы крупнокапиталистического производства. В России начался бурный рост капиталистических монополий. В начале века в России шел процесс монополизации промышленности возникали крупные синдикаты которые пользуясь поддержкой самодержавия захватывали основные рынки сбыта монопольно распоряжались производством.