30049

Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: у х у 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

127.71 KB

3 чел.

1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


у

х


у

3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур

End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)


Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1


chastnoe

C=ex+1-y*x


5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad

Заключение



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14335. Вимірювання фізичних величин та обробка результатів. Методичка 619.5 KB
  МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМУ З ФІЗИКИ €œВимірювання фізичних величин та обробка результатів€ для студентів спеціальностей Методичні рекомендації до лабораторного практикуму з фізики: €œВимірювання фізичних величин та обробка результа
14336. Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона 242.5 KB
  Лабораторная работа №5 Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки результатов экспериментальных данных в судостроении Задача: выполнить статическую обрабо...
14337. Якорное устройство судна. Экспериментальная оценка уравнения цепной линии 270.5 KB
  Тема: Якорное устройство судна. Экспериментальная оценка уравнения цепной линии. Цель работы: Ознакомление с характеристиками и физическим явлением используемом в якорном устройстве. Задача: Определить основные параметры формы тяжелой гибкой нити усилия натя...
14338. Швартовное устройство судна. Экспериментальная оценка формулы Эйлера 542.5 KB
  Лабораторная работа №1 Тема: Швартовное устройство судна. Экспериментальная оценка формулы Эйлера. Цель работы: ознакомление с характеристиками и физическим явлением используемом в швартовном устройстве. Задача: определить коэффициент трения f между канатом...
14339. Грузовое устройство судна. Экспериментальная оценка грузоподъемности и коэффициента полезного действия талей 428.5 KB
  Лабораторная работа № 2 Тема: Грузовое устройство судна. Экспериментальная оценка грузоподъемности и коэффициента полезного действия талей. Цель работы: Ознакомление с характеристиками и физическим явлением используемом в грузовом устройстве. Задача: Опре...
14340. Якорное устройство судна. Экспериментальная оценка уравнения цепной линии 341 KB
  Лабораторная работа №3 Тема: Якорное устройство судна. Экспериментальная оценка уравнения цепной линии. Цель работы: Ознакомление с характеристиками и физическим явлением используемом в якорном устройстве. Задача: Определить основные параметры формы тяжелой г...
14341. Личностный дифференциал 85.5 KB
  Личностный дифференциал Методика личностного дифференциала ЛД разработана на базе современного русского языка и отражает сформировавшиеся в нашей культуре представления о структуре личности. Методика ЛД адаптирована сотрудниками психоневрологического института и...
14342. Методика Ценностные ориентации» М.Рокича 43 KB
  Методика Ценностные ориентации М.Рокича Система ценностных ориентации определяет содержательную сторону направленности личности и составляет основу ее отношений к окружающему миру к другим людям к себе самой основу мировоззрения и ядро мотивации жизненной актив
14343. ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ МЕТОДИКА (М. Рокич) 41.5 KB
  ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ МЕТОДИКА М. Рокич Обзор Тест личности направленный на изучение ценностномотивационной сферы человека. Система ценностных ориентаций определяет содержательную сторону направленности личности и составляет основу ее отношений к окружающем