30049

Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: у х у 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

127.71 KB

3 чел.

1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y’=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


у

х


у

3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=1,3785.

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур

End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)


Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1


chastnoe

C=ex+1-y*x


5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad

Заключение



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62412. Общество как система. Подсистемы общества и их взаимосвязь 280.21 KB
  Подсистемы общества и их взаимосвязь Время 2 часа Вопросы: Общество как целостная динамичная система. Краткая характеристика подсистем общества и их взаимосвязь Первый вопрос: Общество как целостная динамичная система Социология наука изучающая общество.
62414. ПОНЯТИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОГРЕССА 27.5 KB
  Общественный прогресс – совокупность всех поступательных изменений в обществе, его развитие от простого к сложному, переход с более низкого уровня на более высокий. Периоды развития общества: прогресс (от лат. progressus – движение вперед) – направление развития, для которого характерен переход от низшего к высшему...
62418. Принципи стильового оформлення презентацій. Основні принципи дизайну слайдів 35.62 KB
  Мета: навчальна: навчити учнів оформляти слайди згідно принципу стильвого оформлення презентації та основним принципам дизайну слайдів; розвивальна: розвивати вміння та навички редагувати слайди за допомогою додавання та зміни тексту розміщення на слайдах графічних зображень вдалого стильового оформлення та дизайну естетичний смак...
62419. Транскрипционные значки и их произношение 35.06 KB
  he city was built on the swampy land at the mouth of the River Neva. Prominent European and Russian architects worked here. The new capital grew rapidly in wealth and beauty. When World War I began in 1914, the German-sounding name St.
62420. Правовое обеспечение профессиональной деятельности 25.66 KB
  ХП как отрасль права это совокупность правовых норм регулирующих предпринимательские отношения и тесно связанные с ними иные в т. Хозяйственные правоотношения это урегулированные нормами права отношения между субъектами складывающиеся по поводу и в процессе хозяйственной...