30051

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk] с шагом h и начальным условием y (x0 )=y0 Дано дифференциальное уравнение:

Русский

2013-08-22

332.5 KB

5 чел.

Министерство информационных технологий и связи РФ

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: студент гр. МЕ-72

Кохленко И. В.

Проверил: Минина Е.Е.

Екатеринбург

2008г.


Содержание


Введение

Постановка задачи и математическая модель.

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk]  с шагом h  и начальным условием            y (x0 )=y0

Дано дифференциальное уравнение: (y2*2x*y)dx+x2dx=0

Начальные условия: x0=1, xk=2, h=0.1, y0=0.2

Общее решение:  y=x2/(c+x)

Методы решения: метод Рунге-Кутта и метод Эйлера модифицированный


Описание численных методов (применительно к конкретной задаче)

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

c начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательность значения yi  искомой функции y определяется по формуле:

yi+1 = yi +∆ yi

где

∆ yi= 1/6* ( k1+2k2+2k3+k4 ), i=0,1,2…

а числа k1 ω , k2 ω, k3 ω , k4 ω на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1= h * f ( x1, y1 )

k2= h * f ( x1+h/2, y1+ k1/2 )

k3= h * f ( x1+h/2, y1+ k2/2 )

k4= h * f ( x1+h, y1+k3 )

Метод Рунге-Кутта легко программируется и обладает значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Метод Эйлера модифицированный

Этот метод часто используют для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

xi узлы сетки,

yi значения интегральной функции в узлах

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Метод Эйлера модифицированный

Блок-схемы программ и основных подпрограмм

Для решения задачи и составления программы составим основные блок-схемы, которые приведены ниже.

  1.  Подпрограмма метода Эйлера модифицированного

 

 


2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. Алгоритм функции

 

 


4. Подпрограмма общего решения функции и поиска
max и min x и y.


5. Алгоритм программы



Решение задачи в
Mahtcad


 



End

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

О

y=y(x)

x

y

em(i)<miny

Miny=em(i)

End

(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

o(i) = Round(3 * (x(i) - 1) / x(i), 3)

If o(i) > maxy Then maxy = o(i)

If o(i) < miny Then miny = o(i)

i = 1, …, n

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

Obchee

End

f=b/a*(2-b/a)

f (a,b)

x(i) = x0 + i * h

k1 = h * f(x, rk )

k2 = h * f(x + (h / 2), rk  + (k1 / 2))

k3 = h * f(x + (h / 2), rk + (k2 / 2))

k4 = h * f(x + h, rk  + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

rk (i + 1) = rk (i) + k

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

RungeKutt (x0,xk,y0,n,rk)

End

x = x0 + i * h

em(i + 1) = em(i) + h * f(x + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x, em(i))

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

EilerM(x0,xk,y0,n,em)

em(i)>maxy

C=(x^2/y)-x

n=(xk-x0)/h

Start

EilerM

RungeKutt

Obchee

x=x0+i*h

i=0,..,n-1

x0,xk,y0,h

Maxy=em(i)

Label 1

Label 2

Label 3

Label 4

Label 5

Label 6

Text1

Text2

Text3

Text4

Command1

Command2

Picture1

Label7

Label9

Label11

Label8

Label10

Label12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10755. Нейросетевой детектор лжи 280.5 KB
  Нейросетевой детектор лжи Курсовая работа Содержание Введение История детектора лжи в России Детектор лжи в аэропортах Правовое применение полиграфа детектора лжи в России Отношение россиян к детектору лжи Разработка нейросетевого де...
10756. Распознавание речи при помощи нейронных сетей 657 KB
  Метод фильтрации шума Построение русских акустических моделей Требования при построении аудиокорпусов [Фонетические алфавиты Формирование базового русского фонетического словаря Словарь для распознавания ре...
10757. Практикум по многослойным нейронным сетям 115 KB
  Чтобы заинтересовать учеников, поставлена конкретная часто встречающаяся проблема, знакомая каждому школьнику. Учащийся знаком с этой областью на требуемом уровне. Ведь практически каждый из нас болел простудой и знает как это бывает..
10758. Системы синтеза речи с использованием нейронных сетей 403.5 KB
  Теоретическая часть Синтаксический анализатор Фундамент синтаксического анализа. Морфологический и предсинтаксический анализ Заключение Список литературы: Введение Первые говорящие машины пы...
10759. Распознавание автомобильных номеров с помощью нейронных сетей 171.5 KB
  Курсовая работа на тему: Распознавание автомобильных номеров с помощью нейронных сетей. Содержание Введение. 3 Постановка задачи 4 Глава 1. Существующие системы и методы распознавания 4 Глава 2. Шаблоннонейросетевой метод распознавания 8 Ито
10760. Определение АИС. Теория системного анализа 57.5 KB
  Определение АИС. Теория системного анализа Определение АИС организационная совокупность программнотехнических средств технологических процессов и функциональноопределенных групп работников обеспечивающих сбор представление и накопление информационных ресу...
10761. Метафизика и онтология 159.5 KB
  Метафизика и онтология В современной европейской философии проблема бытия попрежнему остается фундаментальной как и во всей предшествующей истории философии. Занимаясь ею философия как и прежде отстаивает свое отличие от науки религии искусства обнаруживая уни
10762. Онтология ПРОБЛЕМА БЫТИЯ В ИСТОРИИ ФИЛОСОФИИ 181 KB
  Онтология ПРОБЛЕМА БЫТИЯ В ИСТОРИИ ФИЛОСОФИИ. Онтология выделилась из учений о бытии природы натурфилософии как учение о самом бытии еще в древнегреческой философии. Хотя специального терминологического обозначения у него не было. Бытие – это чистое существова...
10763. Философское осмысление бытия. Философское понимание материи 104.5 KB
  Блок 1. Философское осмысление бытия Н. Лобковиц От субстанции к рефлексии. Пути западноевропейской метафизики. Если мы исходя из философии природы поставим вопрос: Что же есть в собственном смысле слова или соответственно Что означает быть или Что так