30051

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk] с шагом h и начальным условием y (x0 )=y0 Дано дифференциальное уравнение:

Русский

2013-08-22

332.5 KB

5 чел.

Министерство информационных технологий и связи РФ

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: студент гр. МЕ-72

Кохленко И. В.

Проверил: Минина Е.Е.

Екатеринбург

2008г.


Содержание


Введение

Постановка задачи и математическая модель.

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk]  с шагом h  и начальным условием            y (x0 )=y0

Дано дифференциальное уравнение: (y2*2x*y)dx+x2dx=0

Начальные условия: x0=1, xk=2, h=0.1, y0=0.2

Общее решение:  y=x2/(c+x)

Методы решения: метод Рунге-Кутта и метод Эйлера модифицированный


Описание численных методов (применительно к конкретной задаче)

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

c начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательность значения yi  искомой функции y определяется по формуле:

yi+1 = yi +∆ yi

где

∆ yi= 1/6* ( k1+2k2+2k3+k4 ), i=0,1,2…

а числа k1 ω , k2 ω, k3 ω , k4 ω на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1= h * f ( x1, y1 )

k2= h * f ( x1+h/2, y1+ k1/2 )

k3= h * f ( x1+h/2, y1+ k2/2 )

k4= h * f ( x1+h, y1+k3 )

Метод Рунге-Кутта легко программируется и обладает значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Метод Эйлера модифицированный

Этот метод часто используют для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

xi узлы сетки,

yi значения интегральной функции в узлах

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Метод Эйлера модифицированный

Блок-схемы программ и основных подпрограмм

Для решения задачи и составления программы составим основные блок-схемы, которые приведены ниже.

  1.  Подпрограмма метода Эйлера модифицированного

 

 


2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. Алгоритм функции

 

 


4. Подпрограмма общего решения функции и поиска
max и min x и y.


5. Алгоритм программы



Решение задачи в
Mahtcad


 



End

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

О

y=y(x)

x

y

em(i)<miny

Miny=em(i)

End

(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

o(i) = Round(3 * (x(i) - 1) / x(i), 3)

If o(i) > maxy Then maxy = o(i)

If o(i) < miny Then miny = o(i)

i = 1, …, n

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

Obchee

End

f=b/a*(2-b/a)

f (a,b)

x(i) = x0 + i * h

k1 = h * f(x, rk )

k2 = h * f(x + (h / 2), rk  + (k1 / 2))

k3 = h * f(x + (h / 2), rk + (k2 / 2))

k4 = h * f(x + h, rk  + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

rk (i + 1) = rk (i) + k

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

RungeKutt (x0,xk,y0,n,rk)

End

x = x0 + i * h

em(i + 1) = em(i) + h * f(x + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x, em(i))

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

EilerM(x0,xk,y0,n,em)

em(i)>maxy

C=(x^2/y)-x

n=(xk-x0)/h

Start

EilerM

RungeKutt

Obchee

x=x0+i*h

i=0,..,n-1

x0,xk,y0,h

Maxy=em(i)

Label 1

Label 2

Label 3

Label 4

Label 5

Label 6

Text1

Text2

Text3

Text4

Command1

Command2

Picture1

Label7

Label9

Label11

Label8

Label10

Label12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79774. Разработка устройства, позволяющего контролировать и управлять бытовым оборудованием через сеть GSM 388 KB
  При этом помимо необходимости охраны существует ещё необходимость отслеживать состояние бытового оборудования, прежде всего системы отопления, поскольку на значительной части территории России оставлять жилой доме без работающего отопления нельзя. При этом на рынке нет систем, предназначенных только для контроля работы системы отопления. Некоторые охранные сигнализации позволяют это делать, однако они их цена значительно выше, чем у специализированного устройства. Поэтому разработка устройства для удалённого контроля бытового оборудования целесообразна.
79775. Исследование взаимосвязи гендерных ролей и физического пола 214.5 KB
  Если век назад ребенок мог даже по внешнему виду определиться к какому полу принадлежит другой человек – взрослый подросток – длинные волосы прическа юбка брюки туфли ботинки косметика материал одежды то теперь его окружают мужчины с длинными волосами маникюром женщины коротко стриженные с бритым затылком в брюках рубашке не говоря уже о сигарете – это картины нашего мира сейчас. Упомяну и последнии коллекции Готье Ив Сен Лорана Версачче и еще ряда модельеров одевших мужчин в юбки. Гипотезой исследования было: современные...
79776. Моделирование на уроках информатики в начальных классах как способ развития логического мышления 250.5 KB
  Современное образование требует преодоления разрозненности учебных предметов. Каждой научной дисциплине свойственно свое особое сочетание формализованных и неформализованных методов моделирования явлений, процедур доказательства и объяснения....
79777. Исследование принципов и методов рабочих процедур видеопроизводства на основе систем управления контентом 9.25 MB
  В данной дипломной работе проведено исследование принципов и методов рабочих процедур видеопроизводства на основе систем управления контентом. Разработана система процедур рабочего процесса по работе с медиаданными, создана возможность автоматизации рабочих процедур при работе в видеомонтажных программах в видеостудии кафедры ИКТ. Разработан фирменный стиль экспериментального Интернет-телеканал МИЭМ-ТВ.
79779. Анализ формирования портфеля ценных бумаг в коммерческом банке 876 KB
  Теоретические основы формирования портфеля ценных бумаг. Анализ политики формирования портфеля ценных бумаг в ЗАО АБ Газпромбанк. Состав портфеля ценных бумаг банка и принципы его формирования. Оценка эффективности портфеля ценных бумаг банка.
79781. Разработка проекта по совершенствованию управления финансовой устойчивостью на предприятии «Вятка» 1.68 MB
  Теоретические аспекты управления финансовой устойчивостью предприятия. Краткая экономическая характеристика предприятия. Мероприятия по укреплению финансовой устойчивости предприятия. Разработка модели оптимизации финансовой устойчивости предприятия.
79782. Особенности исчисления налога на добавленную стоимость на предприятии сферы услуг (на примере ООО «НетСервис.ру») 567 KB
  Несмотря на то что НДС является относительно новым налогом он используется в качестве основной формы косвенного налогообложения в большинстве государств в разных частях света и находящихся на различных этапах экономического развития. Из стран с наиболее развитыми...