30051

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk] с шагом h и начальным условием y (x0 )=y0 Дано дифференциальное уравнение:

Русский

2013-08-22

332.5 KB

5 чел.

Министерство информационных технологий и связи РФ

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: студент гр. МЕ-72

Кохленко И. В.

Проверил: Минина Е.Е.

Екатеринбург

2008г.


Содержание


Введение

Постановка задачи и математическая модель.

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk]  с шагом h  и начальным условием            y (x0 )=y0

Дано дифференциальное уравнение: (y2*2x*y)dx+x2dx=0

Начальные условия: x0=1, xk=2, h=0.1, y0=0.2

Общее решение:  y=x2/(c+x)

Методы решения: метод Рунге-Кутта и метод Эйлера модифицированный


Описание численных методов (применительно к конкретной задаче)

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

c начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательность значения yi  искомой функции y определяется по формуле:

yi+1 = yi +∆ yi

где

∆ yi= 1/6* ( k1+2k2+2k3+k4 ), i=0,1,2…

а числа k1 ω , k2 ω, k3 ω , k4 ω на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1= h * f ( x1, y1 )

k2= h * f ( x1+h/2, y1+ k1/2 )

k3= h * f ( x1+h/2, y1+ k2/2 )

k4= h * f ( x1+h, y1+k3 )

Метод Рунге-Кутта легко программируется и обладает значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Метод Эйлера модифицированный

Этот метод часто используют для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

xi узлы сетки,

yi значения интегральной функции в узлах

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Метод Эйлера модифицированный

Блок-схемы программ и основных подпрограмм

Для решения задачи и составления программы составим основные блок-схемы, которые приведены ниже.

  1.  Подпрограмма метода Эйлера модифицированного

 

 


2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. Алгоритм функции

 

 


4. Подпрограмма общего решения функции и поиска
max и min x и y.


5. Алгоритм программы



Решение задачи в
Mahtcad


 



End

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

О

y=y(x)

x

y

em(i)<miny

Miny=em(i)

End

(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

o(i) = Round(3 * (x(i) - 1) / x(i), 3)

If o(i) > maxy Then maxy = o(i)

If o(i) < miny Then miny = o(i)

i = 1, …, n

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

Obchee

End

f=b/a*(2-b/a)

f (a,b)

x(i) = x0 + i * h

k1 = h * f(x, rk )

k2 = h * f(x + (h / 2), rk  + (k1 / 2))

k3 = h * f(x + (h / 2), rk + (k2 / 2))

k4 = h * f(x + h, rk  + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

rk (i + 1) = rk (i) + k

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

RungeKutt (x0,xk,y0,n,rk)

End

x = x0 + i * h

em(i + 1) = em(i) + h * f(x + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x, em(i))

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

EilerM(x0,xk,y0,n,em)

em(i)>maxy

C=(x^2/y)-x

n=(xk-x0)/h

Start

EilerM

RungeKutt

Obchee

x=x0+i*h

i=0,..,n-1

x0,xk,y0,h

Maxy=em(i)

Label 1

Label 2

Label 3

Label 4

Label 5

Label 6

Text1

Text2

Text3

Text4

Command1

Command2

Picture1

Label7

Label9

Label11

Label8

Label10

Label12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45168. Современная система государственного управления в России 26.07 KB
  Мирная преемственность власти это важнейший элемент политической стабильности о которой мы с вами мечтали к которой стремились которой добивались.Отставка правительства Примакова приход к власти премьер-министра Степашина углубил государственный кризис в стране и только утверждение в должности нового Президента России привело к укреплению государственных институтов власти всех уровней. Новая команда Президента поставила перед собой цель: выстроить четко работающую исполнительную вертикаль власти добиться правовой дисциплины и...
45170. Древнейшие государства и государственные образования на территории Восточно-Европейской равнины 15.53 KB
  Расселение славян происходило в VI VIII вв. В то же время происходило разделение славян на три ветви: южную западную и восточную. К южным славянам относятся нынешние болгары сербы хорваты и др. По берегам рек шло расселение славянских племен: строились поселения вначале небольшие деревушки а затем большие села и города.
45171. Государственные институты Киевской Руси 33.2 KB
  В политической системе Киевской Руси сочеталось три разных элемента: монархический аристократический. Князь исконно на Руси рассматривался как защитник церкви.Боярство Киевской Руси институт еще достаточно не замкнутый.
45172. Управленческая модель новгородской республики. История ГУ 31.5 KB
  Необычна судьба Новгорода в истории русского средневековья. Однако уникальность исторического опыта Новгорода проявлялась прежде всего в том что в системе древнерусских земель и княжеств это был самый крупный городгосударство где не существовало правящей династии князей. Вплоть до этого времени киевские князья без особого успеха боролись с древней ещё племенной традицией вечевой власти Новгорода постепенно отдавая городу всё больше прав. боярство и купечество Новгорода используя народное движение добились политической независимости от...
45173. Распространению христианства на Руси 24.41 KB
  Её появление обычно связывают с так называемым Фотиевым крещением Руси в первой половине 860х годов. Ряд историков предполагает что первыми крестителями русинов могли быть братья Кирилл и Мефодий отправленные Фотием с миссией в Хазарию. Традиционная историография относит Крещение Руси к 988 году хотя по мнению некоторых церковных историков есть основания полагать 987 более вероятной датой.
45174. Русь в структуре золотоордынского управления 25.5 KB
  Ордынское иго надолго затормозило экономическое развитие Руси разрушило ее сельское хозяйство подорвало русскую культуру привело к падению роли городов в политической и экономической жизни Руси к резкому сокращению населения страны особенно городского. Дань 14 различных видов и тягостей истощала экономику Руси мешала ей оправиться после разорения. Значительно ухудшилось международное положение Руси были разорваны древние торговые и культурные связи Руси с соседними странами. Под власть Литвы попали западнорусские города Смоленск...
45175. Великое Княжество Литовское 41 KB
  Образование Великого княжества Литовского было ускорено необходимостью объединиться для борьбы с агрессией немецких крестоносцев усилившейся с начала XIII в. Вхождение в состав Великого княжества Литовского русских украинских белорусских земель с более развитыми общественными отношениями и культурой содействовало дальнейшему развитию общественноэкономических отношений в Литве. Это а также различия в уровне общественноэкономического развития и этническая неоднородность отдельных частей Великого княжества Литовского обусловили отсутствие...
45176. Механизмы и институты власти в Московском централизованном государстве 15- начале 16 вв 149.93 KB
  Он был главой Российского государства и обладал широким кругом прав: издавал законы осуществлял государственное руководство имел судебные полномочия. С падением власти удельных князей великий князь стал подлинным властелином всей территории государства. Централизация государства явилась внутренним источником усиления великокняжеской власти а падение Золотой Орды внешним. Власть великого князя была ещё ограничена другими органами раннефеодального государства прежде всего Боярской думой.