30051

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk] с шагом h и начальным условием y (x0 )=y0 Дано дифференциальное уравнение:

Русский

2013-08-22

332.5 KB

5 чел.

Министерство информационных технологий и связи РФ

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: студент гр. МЕ-72

Кохленко И. В.

Проверил: Минина Е.Е.

Екатеринбург

2008г.


Содержание


Введение

Постановка задачи и математическая модель.

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk]  с шагом h  и начальным условием            y (x0 )=y0

Дано дифференциальное уравнение: (y2*2x*y)dx+x2dx=0

Начальные условия: x0=1, xk=2, h=0.1, y0=0.2

Общее решение:  y=x2/(c+x)

Методы решения: метод Рунге-Кутта и метод Эйлера модифицированный


Описание численных методов (применительно к конкретной задаче)

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

c начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательность значения yi  искомой функции y определяется по формуле:

yi+1 = yi +∆ yi

где

∆ yi= 1/6* ( k1+2k2+2k3+k4 ), i=0,1,2…

а числа k1 ω , k2 ω, k3 ω , k4 ω на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1= h * f ( x1, y1 )

k2= h * f ( x1+h/2, y1+ k1/2 )

k3= h * f ( x1+h/2, y1+ k2/2 )

k4= h * f ( x1+h, y1+k3 )

Метод Рунге-Кутта легко программируется и обладает значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Метод Эйлера модифицированный

Этот метод часто используют для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

xi узлы сетки,

yi значения интегральной функции в узлах

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Метод Эйлера модифицированный

Блок-схемы программ и основных подпрограмм

Для решения задачи и составления программы составим основные блок-схемы, которые приведены ниже.

  1.  Подпрограмма метода Эйлера модифицированного

 

 


2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. Алгоритм функции

 

 


4. Подпрограмма общего решения функции и поиска
max и min x и y.


5. Алгоритм программы



Решение задачи в
Mahtcad


 



End

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

О

y=y(x)

x

y

em(i)<miny

Miny=em(i)

End

(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

o(i) = Round(3 * (x(i) - 1) / x(i), 3)

If o(i) > maxy Then maxy = o(i)

If o(i) < miny Then miny = o(i)

i = 1, …, n

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

Obchee

End

f=b/a*(2-b/a)

f (a,b)

x(i) = x0 + i * h

k1 = h * f(x, rk )

k2 = h * f(x + (h / 2), rk  + (k1 / 2))

k3 = h * f(x + (h / 2), rk + (k2 / 2))

k4 = h * f(x + h, rk  + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

rk (i + 1) = rk (i) + k

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

RungeKutt (x0,xk,y0,n,rk)

End

x = x0 + i * h

em(i + 1) = em(i) + h * f(x + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x, em(i))

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

EilerM(x0,xk,y0,n,em)

em(i)>maxy

C=(x^2/y)-x

n=(xk-x0)/h

Start

EilerM

RungeKutt

Obchee

x=x0+i*h

i=0,..,n-1

x0,xk,y0,h

Maxy=em(i)

Label 1

Label 2

Label 3

Label 4

Label 5

Label 6

Text1

Text2

Text3

Text4

Command1

Command2

Picture1

Label7

Label9

Label11

Label8

Label10

Label12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35480. Локальна політика безпеки 29.25 KB
  Мета: Навчитися максимально захищати систему від проникнення та відновлення паролю вбудованими методами до системи. Настроювання параметрів на кожнім з перерахованих кроків надають адміністраторам системи визначену волю дій у тому випадку коли співробітники компанії не виконують вимоги парольної політики на якомусь з етапів. Захист системи від несанкціонованого відновлення паролю Хід роботи: 1. За максимальними параметрами налагодити по крокам парольну безпеку системи використовуючи правила при встановленні паролю.
35481. Мережеві можливост системиі Windows 272.39 KB
  Нажать кнопку Пуск, а затем выбрать там пункт Выполнить. Ввести команду cmd, откроется командная строка ОС Windows. В командной строке необходимо ввести команду ipconfig /all. Отобразится полная информация об установленных сетевых адаптеров.
35482. Мережеві можливості системи Linux 27.77 KB
  Вы даёте fingerу имя пользователя или адрес email и он попытается связаться с соответствующим сервером чтобы получить от него имя пользователя номер офиса телефон и другую информацию.com finger может возвратить имя пользователя состояние почты телефонные номера и файлы типа €œdot plan€ и €œdot project€. по умолчанию предоставляются следующие данные: Имя пользователя Номер офиса Номер домашнего телефона Номер рабочего телефона Состояние логина Состояние email Содержимое файла. Пример: finger имя вашей учетной записи другой...
35483. Запуск команд у визначений час за допомогою команди at 15.89 KB
  Формат команди Опис at hh:mm Виконати завдання під час hh:mm у 24годинному форматі at hh:mm місяць день рік Виконати завдання під час hh:mm у 24годинному форматі у відповідний день at 1 Вивести список завдань у черзі; псевдонім команду atq at now count timeunits Виконати завдання через визначений час що задано параметром count відповідних одиницях тижнях днях чи годинник хвилинах at d jobJD Видалити завдання з ідентифікатором JobJD з черги; псевдонім команди atnn Планування виконання за допомогою сron і crontab синтаксис команд...
35484. Процесcы в Windows 143.5 KB
  Потоки Процессы инертны. Отвечают же за исполнение кода содержащегося в адресном пространстве процесса потоки. Поток thread некая сущность внутри процесса получающая процессорное время для выполнения. В каждом процессе есть минимум один поток.
35485. Процессы. Системные вызовы fork() и exec(). Нити 11.64 KB
  Процесс в Linux как и в UNIX это программа которая выполняется в отдельном виртуальном адресном пространстве. Когда пользователь регистрируется в системе автоматически создается процесс в котором выполняется оболочка shell например bin bash. Linux поддерживает параллельное или квазипараллельного при наличии только одного процессора выполнение процессов пользователя. Каждый процесс выполняется в собственном виртуальном адресном пространстве т.
35486. Режимы ядра и пользователя Windows 73.01 KB
  Windows NT раньше поддерживала несколько архитектур центральных процессоров включая PowerPC и Alpha современные версии Windows NT поддерживают только процессоры компании Intel и совместимые с ними модели например компании AMD. Страницы памяти которые содержат код в отличие от данных могут быть отмечены как предназначенные только для чтения пользовательскими процессами и кодом на уровне ядра Приложения которые выполняются в пользовательском режиме получают доступ к службам ядра Windows NT вызывая специальные инструкции допускающие...
35487. Информационные процессы 256 KB
  Будем различать данные знания и информацию: информацию можно получить после соответствующей обработки знаний или данных.ru : информацию по отраслям статистики; интегрированные базы данных; статистическую информацию первичных отчетов. Государственная система правовой информации включает: комплекс баз данных правовой информации содержащей более 340000 правовых актов; база данных действующего российского законодательства; база данных судебной статистики и т. Централизованное базируется на базах данных МЧС МВД и т.
35488. Информационные системы в экономике. Общая характеристика методов формирования решений 124.5 KB
  Принятие решения – это всегда выбор определенного направления деятельности из нескольких возможных. Следует различать два процесса: формирование решения и принятие решения. Формирование решения – это подготовка исходных данных и их обработка таким образом что бы было ясно последствия его принятия. Принятие решения – это изучение различных вариантов их последствий и утверждение одного из них.