30051

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk] с шагом h и начальным условием y (x0 )=y0 Дано дифференциальное уравнение:

Русский

2013-08-22

332.5 KB

5 чел.

Министерство информационных технологий и связи РФ

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: студент гр. МЕ-72

Кохленко И. В.

Проверил: Минина Е.Е.

Екатеринбург

2008г.


Содержание


Введение

Постановка задачи и математическая модель.

В работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка на отрезке [x0, xk]  с шагом h  и начальным условием            y (x0 )=y0

Дано дифференциальное уравнение: (y2*2x*y)dx+x2dx=0

Начальные условия: x0=1, xk=2, h=0.1, y0=0.2

Общее решение:  y=x2/(c+x)

Методы решения: метод Рунге-Кутта и метод Эйлера модифицированный


Описание численных методов (применительно к конкретной задаче)

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

c начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательность значения yi  искомой функции y определяется по формуле:

yi+1 = yi +∆ yi

где

∆ yi= 1/6* ( k1+2k2+2k3+k4 ), i=0,1,2…

а числа k1 ω , k2 ω, k3 ω , k4 ω на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1= h * f ( x1, y1 )

k2= h * f ( x1+h/2, y1+ k1/2 )

k3= h * f ( x1+h/2, y1+ k2/2 )

k4= h * f ( x1+h, y1+k3 )

Метод Рунге-Кутта легко программируется и обладает значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка
Метод Эйлера модифицированный

Этот метод часто используют для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y’= f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0

выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 +i h и yi = y(xi ), где i=0,1,2… 

xi узлы сетки,

yi значения интегральной функции в узлах

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Метод Эйлера модифицированный

Блок-схемы программ и основных подпрограмм

Для решения задачи и составления программы составим основные блок-схемы, которые приведены ниже.

  1.  Подпрограмма метода Эйлера модифицированного

 

 


2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. Алгоритм функции

 

 


4. Подпрограмма общего решения функции и поиска
max и min x и y.


5. Алгоритм программы



Решение задачи в
Mahtcad


 



End

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

О

y=y(x)

x

y

em(i)<miny

Miny=em(i)

End

(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

o(i) = Round(3 * (x(i) - 1) / x(i), 3)

If o(i) > maxy Then maxy = o(i)

If o(i) < miny Then miny = o(i)

i = 1, …, n

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

Obchee

End

f=b/a*(2-b/a)

f (a,b)

x(i) = x0 + i * h

k1 = h * f(x, rk )

k2 = h * f(x + (h / 2), rk  + (k1 / 2))

k3 = h * f(x + (h / 2), rk + (k2 / 2))

k4 = h * f(x + h, rk  + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

rk (i + 1) = rk (i) + k

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

RungeKutt (x0,xk,y0,n,rk)

End

x = x0 + i * h

em(i + 1) = em(i) + h * f(x + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x, em(i))

i = 1, …, n-1

h=(xk-x0)/n

EilerM(x0,xk,y0,n,em)

em(i)>maxy

C=(x^2/y)-x

n=(xk-x0)/h

Start

EilerM

RungeKutt

Obchee

x=x0+i*h

i=0,..,n-1

x0,xk,y0,h

Maxy=em(i)

Label 1

Label 2

Label 3

Label 4

Label 5

Label 6

Text1

Text2

Text3

Text4

Command1

Command2

Picture1

Label7

Label9

Label11

Label8

Label10

Label12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7441. Изучение основных положений теории игр, а также разработка игровой программы на языке программирования Turbo Pascal 134.5 KB
  Введение Большинство пользователей, как опытных, так и начинающих, не без удовольствия играют в компьютерные игры. Компьютерные игры сравнительно молодое явление, обладающее достаточно богатой историей, со своими падениями и взлетами. Их история нач...
7442. Технико-экономический проект развития ГТС 219 KB
  Технико-экономический проект развития ГТС Вариант № 08 Задание: На районированной городской телефонной сети с узлами входящих сообщений (УВС) планируется ввод в действие станции в одном из узловых районов. Исходные данные по ёмкости проектируе...
7443. Аналіз проходження сигналів в лінійному електричному колі спектральним методом 234 KB
  Аналіз проходження сигналів в лінійному електричному колі спектральним методом Основна мета роботи Основна мета роботи - засвоєння спектрального метода аналізу процесів шляхом розв‘язку задачі по визначенню реакції лінійного електричного ...
7444. Изучение устройства и работы компрессионных колец двигателя ЗМЗ-406 444 KB
  ВВЕДЕНИЕ Целью работы является изучение устройства и работы компрессионных колец двигателя ЗМЗ-406, а также их взаимодействие с деталями КШМ. Определить изнашиваемые и разрушающиеся поверхности, виды трения и износа. Изучить, как проводится восстано...
7445. Административно-правовое регулирование реализации прав, свобод и обязанностей граждан 206 KB
  Административно-правовое регулирование реализации прав, свобод и обязанностей граждан ПЛАН Введение Понятие и механизм административно-правового регулирования. Административно-правовое обеспечение прав и свобод граждан. Администрат...
7446. Система управленческого учета на предприятии ЗАО Мензелинский хлебозавод 201 KB
  Система управленческого учета на предприятии ЗАО Мензелинский хлебозавод ВВЕДЕНИЕ Переход к рыночным отношениям совершенно по-иному определяет место предприятия экономике. Эффективность его работы во многом зависит от управленческой деятельности, об...
7447. Расчет параметров и изучение структуры гидропривода агрегатного станка 359 KB
  ЗАДАНИЕ на курсовую работу по дисциплине: Гидравлика Тема проекта: Расчет параметров и изучение структуры гидропривода агрегатного станка Технические условия: диаметры трубопроводов гидролиний dтр=12 мм нагрузка на агрегатную головку в период рабоч...
7448. Исследование имиджа фирмы The Coca-Cola Company 89.9 KB
  Введение В современных рыночных условиях функционирует множество организаций, часть из которых является лидерами рынка, другие же распадаются, не выдержав конкуренции. Именно конкуренция заставляет организации бороться за право существования на рынк...
7449. Марковские модели систем 114.79 KB
  Марковские модели систем Введение Основные понятия теории Марковских цепей ввел А.А. Марков в 1907г. С тех пор эту теорию развивали многие ведущие математики. В последнее время обнаружилась важная роль цепей Маркова в биологических и социологических...