30052

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов. Курсовая работа должно состоять из: программы написанной в Visual Basic которая решает дифференциальное уравнение и выводит решения уравнения полученные методом Эйлера модифицированного и методом РунгеКутта четвёртого порядка точности. И визуализирует их на графике в виде линий кривой прямой; пояснительной записки которая описывает методы решения и программу. Результаты решения предоставить в виде таблицы.

Русский

2013-08-22

588 KB

7 чел.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ

ГОУ ВПО «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУИКАЦИЙ И

ИНФОРМАТИКИ»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Курсовая работа по информатике

На теме: «Визуализация численных методов»

                                      

                                                 Выполнил: Савин Егор Андреевич
группа СЕ-81

                                 Руководитель: Тюпина Оксана Михайловна

                                                      

          

Екатеринбург

2009

Содержание

Введение                                                                        3

1. Постановка задачи и математическая модель                4

2. Описание используемых методов                                 6

           2.1. Метод Эйлера модифицированный                 6

           2.2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка                   8

3. Блок-схемы основных процедур                                 11

           3.1. Блок-схема основной процедуры                 13

           3.2. Блок-схема  функции                                  14

4. Виды формы проекта                                                 14

    4.1.Исходный вид для ввода данных                  14

           4.2.Итоговый вид с предоставленным решением и графиком                                                                            15

5. Листинг программы на языке Visual Basic                  16

6. Решение задачи в MathCAD                                       18

Вывод                                                                          19


Введение

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются с течением времени. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. И поэтому умение решать дифференциальные уравнения является необходимым фактором, для того чтобы наиболее полно понимать окружающий мир и процессы, происходящие в нём.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов.

Целью данной курсовой работы по теме «Визуализация численных методов» является решение дифференциального уравнения 1-го порядка  на отрезке  методом Эйлера и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Выполнив все расчёты выяснить, какой из методов более точный, сравнив выведенные значения с общим решением.

Курсовая работа должно состоять из:

  1.  программы, написанной в Visual Basic, которая решает дифференциальное уравнение и выводит решения уравнения, полученные методом Эйлера модифицированного и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. И визуализирует их на графике в виде линий (кривой, прямой);
  2.  пояснительной записки, которая описывает методы решения и программу.

 

Постановка задачи и математическая модель

Постановка задачи

Дано дифференциальное уравнение ием и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию. Результаты решения предоставить в виде таблицы. Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Математическая модель

Дано: 

дифференциальное уравнение:

общее решение:

Найти:

Y - массив значений искомого решения в узлах сетки.


2. Описание используемых методов

2.1. Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием .

Выберем шаг =0,1 и введём обозначения:

и , где  =0,1,2…,

                                    -узлы сетки,

                                    -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг  делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки А(,), С(, и В. Через точку А проведём прямую под углом , где

                           .

На этой прямой найдём точку С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина  характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


2.2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием .

Выберем шаг =0,1 и введём обозначения:

и , где  =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг  делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения  исходной функции  определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


3. Блок-схемы основных процедур

3.1. Блок-схема основной процедуры.

3.2. Блок-схема  функции.


4. Виды формы проекта

    4.1. Исходный вид для ввода данных.

    

4.2. Итоговый вид с предоставленным решением и графиком.


5. Листинг программы на языке
Visual Basic

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, m(50) As Single, s(50)    As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Dim k1, k2, k3, k4, y0 As Single

Dim n As integer

Function f(t, p As Single) As Single

f = t * Exp(-t ^ 2) - 2 * t * p

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

h = Val(Text3.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

n = Round((xk - x0) / h)

c = y0 / Exp(-x0 ^ 2) - x0 ^ 2 / 2

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y-Ob"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y-R4"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y-EM"

Max = 0

Min = x0

y(i) = y0

s(i) = y0

For i = 0 To n

x(i) = x0 + i * h

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = x(i)

m(i) = Exp(-x(i) ^ 2) * (c + x(i) ^ 2 / 2)

m(i) = Round(m(i), 7)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(m(i))

k1 = h * f(x(i), y(i))

k2 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k1 / 2)

k3 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k2 / 2)

k4 = h * f(x(i) + h, y(i) + k3)

y(i + 1) = y(i) + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

y(i) = Round(y(i), 7)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

s(i + 1) = s(i) + h * f(x(i) + h / 2, s(i) + h / 2 * f(x(i), s(i)))

s(i) = Round(s(i), 7)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(s(i))

If m(i) > Max Then Max = m(i)

If m(i) < Min Then Min = m(i)

Next i

Picture1.Cls

kx1 = (Picture1.Width - 1650) / (xk - x0)

ky1 = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)

kx2 = (Picture1.Width - 1665) / (xk - x0)

ky2 = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)

kx3 = (Picture1.Width - 1740) / (xk - x0)

ky3 = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(Min)

Label7.Caption = Str(x0)

label8.Caption = Str(xk)

For i = 1 To n - 1

z1 = Round(120 + (x(i) - x0) * kx1)

z2 = Round(3960- (m(i) - Min) * ky1)

z3 = Round(120 + (x(i + 1) - x0) * kx1)

z4 = Round(3960 - (m(i + 1) - Min) * ky1)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vb Green

z1 = Round(120 + (x(i) - x0) * kx2)

z2 = Round(3960 - (y(i) - Min) * ky2)

z3 = Round(120 + (x(i + 1) - x0) * kx2)

z4 = Round(3960 - (y(i + 1) - Min) * ky2)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vb Red

z1 = Round(120 + (x(i) - x0) * kx3)

z2 = Round(3960 - (s(i) - Min) * ky3)

z3 = Round(120 + (x(i + 1) - x0) * kx3)

z4 = Round(3960 - (s(i + 1) - Min) * ky3)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vb Yello

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub
6. Решение задачи в
MathCAD

Вывод

В данной курсовой работе я работал над визуализацией численных методов. Мною была разработана программа, которая наглядно описывает решение дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированного и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности.      

По получившейся таблице, состоящей из четырёх столбцов (столбца значений Х, столбца общего решения, столбца решения методом Эйлера  модифицированного, столбца решения методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности), видно, что значения столбца решения методом Рунге-Кутта почти не отличается от значений столбца общего решения, а значения столбца решения методом Эйлера модифицированного отличаются от значений столбца общего решения уже на четвёртом знаке.

На графике, построенном в Visual Basic, наглядно показаны решения дифференциального уравнения .

Так как значения общего решения и значения решения методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности почти совпадают, то и их кривые также почти совпадают. А кривая решения методом Эйлера модифицированного отличается от кривой общего решения на большее расстояние, чем кривая решения методом Рунге-Кутта.

Сравнив решения, полученные методом Эйлера модифицированного и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности, с общим решением можно сделать следующий вывод: наиболее точное решение дифференциального уравнения даёт метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности, а метод Эйлера модифицированного даёт погрешность намного большую.

Данная работа позволила мне закрепить навыки работы в приложениях, изучаемых на 1-ом курсе по информатике.

Курсовая работа на тему: «Визуализация численных методов» выполнена в соответствии с указаниями преподавателя.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69753. Перетворення типів 28.5 KB
  Однак Турбо Паскаль допускає в певних межах такі перетворення які треба задавати в явному вигляді. Є три способи задавати перетворення типів: неявні перетворення використання стандартних функцій і явні перетворення.
69754. Вставляння заданого елемента 27.5 KB
  Заданий елемент у рядок вставлятимемо за вказівкою на ланку, після якої він повинен бути. Нехай початковий динамічний рядок має вигляд, показаний на рис. 11.3. Після В треба вставити D. Цей випадок схематично зображено на рис...
69755. Шукання елемента списку 22.5 KB
  Алгоритм шукання елемента в списку аналогічний до шукання в динамічному рядку. Тому для списку теж складемо логічну функцію, побічним ефектом якої є інформація про першу за порядком ланку, яка містить шуканий елемент.
69756. Поняття про графи і дерева 39 KB
  Графом називають скінченну множину точок - вершин графа, для деяких пар якої налагоджені зв’язки - ребра графа. Розглянемо використання графів для зображення динамічних структур. Нехай є деяка структура, що складається з записів, пов’язаних між собою системою вказівок...
69757. Особливості використання динамічних змінних 26.5 KB
  3 доступ до динамічних змінних відбувається за допомогою змінних з вказівником. Множина операцій над змінними з вказівником визначена типом цих динамічних змінних. Зрозуміло що для реалізації цього алгоритму можна було б не використовувати вказівних змінних і динамічних структур...
69758. Технології передавання повідомлень 38 KB
  Сокет це абстрактна кінцева точка з’єднання через яку процес може відсилати або отримувати повідомлення. Під час обміну даними із використанням сокетів зазвичай застосовується технологія клієнтсервер коли один процес сервер очікує з’єднання а інший клієнт з’єднують із ним.
69759. Сторінково-сегментна організація пам’яті 52 KB
  Оскільки сегменти мають змінну довжину і керувати ними складніше, чиста сегментація зазвичай не настільки ефективна, як сторінкова організація. З іншого боку, видається цінною сама можливість використати сегменти як блоки пам’яті різного призначення змінної довжини.
69760. Атрибути файлів. Операції над файлами і каталогами 34.5 KB
  Кожний файл має набір характеристик - атрибутів. Набір атрибутів змінюється залежно від файлової системи. Найпоширеніші атрибути файла наведено нижче. Ім’я файла, докладно розглянуте раніше. Тип файла, який звичайно задають для спеціальних файлів (каталогів, зв’язків тощо).
69761. Продуктивність файлових систем 87 KB
  Оптимізація продуктивності під час розробки файлових систем Розглянемо яким чином можна оптимізувати продуктивність файлової системи зміною структур даних і алгоритмів які в ній застосовують. У викладі використовуватимемо класичний приклад оптимізації традиційної...