30055

Аппроксимация функций. Вычислительная математика

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна

Русский

2013-08-22

161.5 KB

28 чел.

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Курсовая работа по

Вычислительной математике

Тема: «Аппроксимация функций»

Выполнил:

Студент гр. ПЕ-71

Рябов С.А.

Екатеринбург 2008

Задание для курсовой работы.

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна. Корень уравнения определяет интервал интегрирования дифференциального уравнения, решаемого на втором этапе задания. Здесь задача Коши решается методами интегрирования второго порядка: по средней производной и в средней точке. Полученные дискретные значения решения обрабатываются методами аппроксимации экспериментальных данных. На третьем этапе строится полином Лагранжа, интерполирующий дискретные значения на разреженной сетке узлов. На четвертом этапе сеточная функция аппроксимируется алгебраическим полиномом по методу наименьших квадратов. Соответствующая система линейных уравнений, определяющая коэффициенты полинома, решается методом квадратного корня (метод Холецкого). На заключительном этапе строятся графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решение всей задачи выполняется компьютерными методами с помощью программирования алгоритмов на одном из языков программирования (Паскаль, Бейсик). Для оценки погрешности интегрирования на втором этапе вся задача решается средствами математической системы Maple.

Постановка задачи.

Вариант № 8

(номер варианта соответствует номеру студента в списке группы)

  1.  Вычислить наименьший положительный корень  T уравнения

2x^4-x^3-8

Положение корня локализовать методом прямого поиска с шагом 1. Для уточнения величины T применить метод

Вегстейна

  1.  На отрезке [0, T] проинтегрировать дифференциальное уравнение

с начальными условиями

< Y(0)=0.>2

где n – последняя цифра студенческого билета, Fs(t,) – периодическая функция с периодом =1, имеющая вид на основном отрезке периодичности [0, 1]:

Для интегрирования применить метод Эйлера второго порядка с коррекцией

< >.

Шаг интегрирования задать как  где N+1 – число дискретных точек,

  1.  Полученные дискретные значения функции Y(t) аппроксимировать интерполяционным полиномом в форме Лагранжа степени не ниже третьей. Для этого отобрать соответствующее число точек интерполяции, равномерно расположенных на отрезке [0, T].
  2.  Для всех вычисленных дискретных значений функции Y(t) построить многочлен (той же степени, что и интерполяционный полином Лагранжа), аппроксимирующий табличную функцию по методу наименьших квадратов. Для вычисления коэффициентов полинома построить процедуру, решающую систему линейных уравнений с симметричной матрицей методом квадратного корня (метод Холецкого разложения матрицы на произведение треугольных матриц).

Построить графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решить задачу встроенными процедурами системы Maple и сравнить результаты интегрирования дифференциального уравнения.


Решение на Maple

> restart;

> with(linalg):with(plots):

pp:=(x,y)->[x,y];

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the name changecoords has been redefined

> f11:= proc(t) local z ;z:=piecewise(t<0,0,t<1/2,2*t,t<=1,2-2*t,0); evalf(z);end;

> plot(f11(x),x=-1..2);

> tau:=1;

> Fs:=proc(t,tau) local x,z,y;

x:=frac(t/tau);

z:=f11(x);evalf(z);

end;

> plot(Fs(t,tau),t=-0.1..2*tau+0.1);

Полином (здесь следует задать свой вариант полинома)

> p:=2*x^4-x^3-8;

> T0:=fsolve(p,x,0..3);

> ur:=diff(Y(t),t);

Правая часть дифференциального уравнения

> Fty:=0.1*t^2-2*t*Y(t);

>

> F:=Fty+(1+2/10)*Fs(t,tau);

> RK:=dsolve({ur=F,Y(0)=0.2},Y(t),type=numeric,output=listprocedure);

> fU:=subs(RK,Y(t));

> Nt:=20;h:=T0/Nt;

> T:=array(0..Nt):U:=array(0..Nt):

> for j from 0 to Nt do

x:=j*h;z:=fU(x);T[j]:=x;U[j]:=z;

#print(x,z);

od:

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU:=plot(RisU):

> display(RU);

> #====================================

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU0:=plot(RisU,style=point,symbol=cross):

> display(RU0);

Построение интерполяционного полинома по пяти точкам

> n:=4:d:=trunc( Nt/n):X:=array(0..n):Y:=array(0..n):

> for j from 0 to n do

X[j]:=T[j*d];Y[j]:=U[j*d];

end:

> RisXY:=zip(pp,X,Y):

> GrafSym:=plot(RisXY,style=point,symbol=box,color=blue,symbolsize=16):

> display(RU0,GrafSym);

> x:='x':omega:=product((x-X[k]),k=0..n);:

> Omega:=diff(omega,x);:

> j:='j':Lagr:=sum(Y[j]*omega/(x-X[j])/(subs(x=X[j],Omega)),j=0..n);

> RLagr:=plot(evalf(Lagr),x=0..T0,color=blue):

Графики дискретных отсчетов сигнала (крестики) и аппроксимация сигнала

тригонометрическим полиномом (непрерывная линия)

> display(RLagr,RU0,GrafSym);

> Polynom:=proc(t) local z,k;global n,a;

z:=sum(a[k]*t^k,k=0..n);evalf(z);

end;

> ur:=array(0..Nt);a:=array(0..n):

> #=======Весовые функции и вид полинома=================================

> Npoint:=Nt;

Ступеньки весов

> w:='w':w:=array(0..Npoint):

> w[0]:=10:;

> for j from 1 to Npoint do

if T[j]<1 then

w[j]:=2;

else

w[j]:=1;

fi;

od:

>

>

>

> j:='j':for j from 0 to Nt do

t:=T[j];z:=Polynom(t);

ur[j]:=(z-U[j])*w[j];

end:

> UR:=convert(ur,set):

> BB:=leastsqrs(UR, {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4]});

> a[2] = 3.530729617; a[1] = -.4472707943;a[0] = .2186165474; a[4] = 1.513446662;

a[3] = -4.387004123;

> GrafP:=plot(Polynom(x),x=0..T0):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafP);

Формирование матрицы для метода Холецкого

> m:=n+1;A:=array(0..n,0..n):B:=array(0..n,sparse):S:=array(0..2*n,sparse);

> j:='j':k:='k':for j from 0 to Nt do

p:=1;for k from 0 to 2*n do

S[k]:=S[k]+p;p:=p*T[j];

end;

p:=1;for k from 0 to n do

B[k]:=B[k]+U[j]*p;p:=p*T[j];

end;

end:

> evalm(convert(B,vector));

> for j from 0 to n do

for k from 0 to n do

A[j,k]:=S[j+k];

end:end:

> A0:=linsolve(convert(A,matrix),convert(B,vector));

> for j from 0 to n do a[j]:=A0[j+1];end:

> t:='t':GrafG:=plot(Polynom(t),t=0..T0,color=brown):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafG,GrafP);

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++=

> fn:=`C:\\work\\rezult.txt`;

> L:=readdata(fn,3):;

Nstrok:=vectdim(L);

> U_n:=array(1..Nstrok);:

T_n:=array(1..Nstrok);

> for j from 1 to Nstrok do

T_n[j]:=L[j,1];

U_n[j]:=L[j,2];

#print(j,T_n[j],U_n[j]);

od:

> u1:=zip(pp,T_n,U_n):

> RU1:=plot(u1,style=point,symbol=cross,color=black):

> display(RU,RU1);

Сравнение результатов на одинаковых сетках

>

> printf("%s",`  №      t      U_map    U_pas     разн`);

for k from 0 to Nt do t:=T[k]:del:=U[k]-U_n[k+1];

printf("% 3.0f  % 6.2f % 8.4f  % 8.4f % 8.4f \n",k,t,U[k],U_n[k+1],del):

end:;

 №      t      U_map    U_pas     разн

 0    0.00    .2000     .2000   0.0000

 1     .08    .2061     .2182   -.0121

 2     .16    .2241     .2479   -.0238

 3     .23    .2536     .2882   -.0346

 4     .31    .2935     .3377   -.0442

 5     .39    .3426     .3949   -.0523

 6     .47    .3993     .4556   -.0563

 7     .55    .4572     .4924   -.0352

 8     .62    .4941     .5068   -.0127

 9     .70    .5087     .5010    .0077

10     .78    .5031     .4774    .0257

11     .86    .4796     .4387    .0409

12     .93    .4410     .3879    .0531

13    1.01    .3905     .3468    .0437

14    1.09    .3485     .3228    .0257

15    1.17    .3238     .3137    .0101

16    1.25    .3142     .3174   -.0032

17    1.32    .3173     .3314   -.0141

18    1.40    .3310     .3536   -.0226

19    1.48    .3530     .3748   -.0218

20    1.56    .3736     .3755   -.0019


Решение на Pascal

program kurs;

uses crt;

const

 nt=20;

 u0=0.2;

type

 massiv= array[0..nt] of real;

var h,t0,z,root: real;

   fu: text;

   u: massiv;

function pol(t:real):real;

begin

  pol:=2*t*t*t*t-t*t*t-8;

end;

{*********}

function deriv(t:real):real;

begin

  deriv:=8*t*t*t-3*t*t;

end;

{*********}

procedure vegst(a,b:real; var x:real);

var

 x0,x1,y1,y0,y2,x2:real;

 delta:real;

 i:integer;

begin

 x0:=1.5;

 y0:=x0;

 x1:=2.2;

 y1:=x1;

 i:=1;

 while i<>5 do

 begin

    y2:=x1+pol(x1);

    x2:=y2-(y2-y1)*(y2-x1)/((y2-y1)-(x1-x0));

    writeln('x1= ',x1:10:3,'  x2= ',x2:10:3);

    y1:=y2;

    y2:=x2+pol(x2);

    x0:=x1;

    x1:=x2;

    i:=i+1;

 end;

x:=x1;

end;

{**************}

function signal(e: real): real;

begin

 if e<0 then

   z:=0

  else

   if e<1/2 then

     z:=2*e

    else

     if e<=1 then

       z:=2-2*e

      else

        z:=0;

 signal:=z;

end;

function Fs(t: real): real;

begin

 z:=t-trunc(t);

 Fs:=signal(z);

end;

function RHS(t,y : real): real;

begin

 RHS:= 0.1*t*t-2*t*y + (1+2/10)*Fs(t);

end;

{**********}

procedure difur(var u: massiv);

var

 t: real;

 k: integer;

begin

 u[0]:=u0;

 writeln(fu,0.0:8:2,u0:10:4);

 for k:=1 to nt do

   begin

     t:=k*h;

     u[k]:=u[k-1]+h*rhs(t+h/2,u[k-1]+h/2*rhs(t,u[k-1]));

     writeln(fu,t:8:2,u[k]:10:4);

   end;

end;

begin

 clrscr;

 vegst(0,3,root);

 t0:=root;

 h:=t0/nt;

 assign(fu,'c:\work\rezul.txt');

 rewrite(fu);

 difur(u);

 close(fu);

 repeat until keypressed;

end.

Перечень литературы

  1.  Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.-М.:Высшая школа, 1994
  2.  Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.:Наука,1973
  3.  Хемминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972.
  4.  Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978
  5.  Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72636. ПОДПРОГРАММЫ-ФУНКЦИИ 13.95 KB
  С использованием функции RRMX непосредственно возвращающей значение максимального элемента массива и с помощью функции NUMX возвращающей номер максимального элемента массива. Так в приведенном ниже примере имя функции NUMX типизировано как целое по умолчанию а для функции RRMX необходима явная типизация.
72637. DATA 16.89 KB
  В тех случаях, когда переменные нужно присваивать в начале программы какие-либо значения , которые не должны меняться от одного прогона программы к другому, вместо операторов присваивания можно с большей эффективностью воспользоваться оператором DATA.
72638. Оператор PARAMETER 13.2 KB
  С помощью этого оператора можно любой константе дать символьное имя. Этот неисполняемыми оператор должен находиться перед исполняемыми операторами программы. Часто в разных местах программы употребляются длинные константы, такие как 3.14159265.
72640. ОПЕРАТОРЫ ЦИКЛА 20.64 KB
  Операторы цикла предназначены для многократного выполнения некоторых операторов. Эти операторы называются телом цикла. Различаются операторы цикла с предусловием и с постусловием. Блок-схемы операторов цикла показана на рисунке 1.2.
72641. Структурный IF 21.71 KB
  Сначала вычисляется условие e, а затем в зависимости от его истинности выполняется на выбор один из двух блоков, а после этого - следующий оператор. Один оператор if можно вкладывать в другой оператор IF. Один из таких случаев вложения, а именно if в блок НЕТ другого IF допускает...
72642. ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 14.43 KB
  Логическими данными могут быть не только переменные и константы логического типа. Данные или выражения любого встроенного типа связанные операцией логического отношения образуют конструкцию логического типа. Такие конструкции могут входить в логические выражения наравне с логическими переменными и константами.