30055

Аппроксимация функций. Вычислительная математика

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна

Русский

2013-08-22

161.5 KB

29 чел.

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Курсовая работа по

Вычислительной математике

Тема: «Аппроксимация функций»

Выполнил:

Студент гр. ПЕ-71

Рябов С.А.

Екатеринбург 2008

Задание для курсовой работы.

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна. Корень уравнения определяет интервал интегрирования дифференциального уравнения, решаемого на втором этапе задания. Здесь задача Коши решается методами интегрирования второго порядка: по средней производной и в средней точке. Полученные дискретные значения решения обрабатываются методами аппроксимации экспериментальных данных. На третьем этапе строится полином Лагранжа, интерполирующий дискретные значения на разреженной сетке узлов. На четвертом этапе сеточная функция аппроксимируется алгебраическим полиномом по методу наименьших квадратов. Соответствующая система линейных уравнений, определяющая коэффициенты полинома, решается методом квадратного корня (метод Холецкого). На заключительном этапе строятся графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решение всей задачи выполняется компьютерными методами с помощью программирования алгоритмов на одном из языков программирования (Паскаль, Бейсик). Для оценки погрешности интегрирования на втором этапе вся задача решается средствами математической системы Maple.

Постановка задачи.

Вариант № 8

(номер варианта соответствует номеру студента в списке группы)

  1.  Вычислить наименьший положительный корень  T уравнения

2x^4-x^3-8

Положение корня локализовать методом прямого поиска с шагом 1. Для уточнения величины T применить метод

Вегстейна

  1.  На отрезке [0, T] проинтегрировать дифференциальное уравнение

с начальными условиями

< Y(0)=0.>2

где n – последняя цифра студенческого билета, Fs(t,) – периодическая функция с периодом =1, имеющая вид на основном отрезке периодичности [0, 1]:

Для интегрирования применить метод Эйлера второго порядка с коррекцией

< >.

Шаг интегрирования задать как  где N+1 – число дискретных точек,

  1.  Полученные дискретные значения функции Y(t) аппроксимировать интерполяционным полиномом в форме Лагранжа степени не ниже третьей. Для этого отобрать соответствующее число точек интерполяции, равномерно расположенных на отрезке [0, T].
  2.  Для всех вычисленных дискретных значений функции Y(t) построить многочлен (той же степени, что и интерполяционный полином Лагранжа), аппроксимирующий табличную функцию по методу наименьших квадратов. Для вычисления коэффициентов полинома построить процедуру, решающую систему линейных уравнений с симметричной матрицей методом квадратного корня (метод Холецкого разложения матрицы на произведение треугольных матриц).

Построить графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решить задачу встроенными процедурами системы Maple и сравнить результаты интегрирования дифференциального уравнения.


Решение на Maple

> restart;

> with(linalg):with(plots):

pp:=(x,y)->[x,y];

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the name changecoords has been redefined

> f11:= proc(t) local z ;z:=piecewise(t<0,0,t<1/2,2*t,t<=1,2-2*t,0); evalf(z);end;

> plot(f11(x),x=-1..2);

> tau:=1;

> Fs:=proc(t,tau) local x,z,y;

x:=frac(t/tau);

z:=f11(x);evalf(z);

end;

> plot(Fs(t,tau),t=-0.1..2*tau+0.1);

Полином (здесь следует задать свой вариант полинома)

> p:=2*x^4-x^3-8;

> T0:=fsolve(p,x,0..3);

> ur:=diff(Y(t),t);

Правая часть дифференциального уравнения

> Fty:=0.1*t^2-2*t*Y(t);

>

> F:=Fty+(1+2/10)*Fs(t,tau);

> RK:=dsolve({ur=F,Y(0)=0.2},Y(t),type=numeric,output=listprocedure);

> fU:=subs(RK,Y(t));

> Nt:=20;h:=T0/Nt;

> T:=array(0..Nt):U:=array(0..Nt):

> for j from 0 to Nt do

x:=j*h;z:=fU(x);T[j]:=x;U[j]:=z;

#print(x,z);

od:

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU:=plot(RisU):

> display(RU);

> #====================================

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU0:=plot(RisU,style=point,symbol=cross):

> display(RU0);

Построение интерполяционного полинома по пяти точкам

> n:=4:d:=trunc( Nt/n):X:=array(0..n):Y:=array(0..n):

> for j from 0 to n do

X[j]:=T[j*d];Y[j]:=U[j*d];

end:

> RisXY:=zip(pp,X,Y):

> GrafSym:=plot(RisXY,style=point,symbol=box,color=blue,symbolsize=16):

> display(RU0,GrafSym);

> x:='x':omega:=product((x-X[k]),k=0..n);:

> Omega:=diff(omega,x);:

> j:='j':Lagr:=sum(Y[j]*omega/(x-X[j])/(subs(x=X[j],Omega)),j=0..n);

> RLagr:=plot(evalf(Lagr),x=0..T0,color=blue):

Графики дискретных отсчетов сигнала (крестики) и аппроксимация сигнала

тригонометрическим полиномом (непрерывная линия)

> display(RLagr,RU0,GrafSym);

> Polynom:=proc(t) local z,k;global n,a;

z:=sum(a[k]*t^k,k=0..n);evalf(z);

end;

> ur:=array(0..Nt);a:=array(0..n):

> #=======Весовые функции и вид полинома=================================

> Npoint:=Nt;

Ступеньки весов

> w:='w':w:=array(0..Npoint):

> w[0]:=10:;

> for j from 1 to Npoint do

if T[j]<1 then

w[j]:=2;

else

w[j]:=1;

fi;

od:

>

>

>

> j:='j':for j from 0 to Nt do

t:=T[j];z:=Polynom(t);

ur[j]:=(z-U[j])*w[j];

end:

> UR:=convert(ur,set):

> BB:=leastsqrs(UR, {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4]});

> a[2] = 3.530729617; a[1] = -.4472707943;a[0] = .2186165474; a[4] = 1.513446662;

a[3] = -4.387004123;

> GrafP:=plot(Polynom(x),x=0..T0):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafP);

Формирование матрицы для метода Холецкого

> m:=n+1;A:=array(0..n,0..n):B:=array(0..n,sparse):S:=array(0..2*n,sparse);

> j:='j':k:='k':for j from 0 to Nt do

p:=1;for k from 0 to 2*n do

S[k]:=S[k]+p;p:=p*T[j];

end;

p:=1;for k from 0 to n do

B[k]:=B[k]+U[j]*p;p:=p*T[j];

end;

end:

> evalm(convert(B,vector));

> for j from 0 to n do

for k from 0 to n do

A[j,k]:=S[j+k];

end:end:

> A0:=linsolve(convert(A,matrix),convert(B,vector));

> for j from 0 to n do a[j]:=A0[j+1];end:

> t:='t':GrafG:=plot(Polynom(t),t=0..T0,color=brown):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafG,GrafP);

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++=

> fn:=`C:\\work\\rezult.txt`;

> L:=readdata(fn,3):;

Nstrok:=vectdim(L);

> U_n:=array(1..Nstrok);:

T_n:=array(1..Nstrok);

> for j from 1 to Nstrok do

T_n[j]:=L[j,1];

U_n[j]:=L[j,2];

#print(j,T_n[j],U_n[j]);

od:

> u1:=zip(pp,T_n,U_n):

> RU1:=plot(u1,style=point,symbol=cross,color=black):

> display(RU,RU1);

Сравнение результатов на одинаковых сетках

>

> printf("%s",`  №      t      U_map    U_pas     разн`);

for k from 0 to Nt do t:=T[k]:del:=U[k]-U_n[k+1];

printf("% 3.0f  % 6.2f % 8.4f  % 8.4f % 8.4f \n",k,t,U[k],U_n[k+1],del):

end:;

 №      t      U_map    U_pas     разн

 0    0.00    .2000     .2000   0.0000

 1     .08    .2061     .2182   -.0121

 2     .16    .2241     .2479   -.0238

 3     .23    .2536     .2882   -.0346

 4     .31    .2935     .3377   -.0442

 5     .39    .3426     .3949   -.0523

 6     .47    .3993     .4556   -.0563

 7     .55    .4572     .4924   -.0352

 8     .62    .4941     .5068   -.0127

 9     .70    .5087     .5010    .0077

10     .78    .5031     .4774    .0257

11     .86    .4796     .4387    .0409

12     .93    .4410     .3879    .0531

13    1.01    .3905     .3468    .0437

14    1.09    .3485     .3228    .0257

15    1.17    .3238     .3137    .0101

16    1.25    .3142     .3174   -.0032

17    1.32    .3173     .3314   -.0141

18    1.40    .3310     .3536   -.0226

19    1.48    .3530     .3748   -.0218

20    1.56    .3736     .3755   -.0019


Решение на Pascal

program kurs;

uses crt;

const

 nt=20;

 u0=0.2;

type

 massiv= array[0..nt] of real;

var h,t0,z,root: real;

   fu: text;

   u: massiv;

function pol(t:real):real;

begin

  pol:=2*t*t*t*t-t*t*t-8;

end;

{*********}

function deriv(t:real):real;

begin

  deriv:=8*t*t*t-3*t*t;

end;

{*********}

procedure vegst(a,b:real; var x:real);

var

 x0,x1,y1,y0,y2,x2:real;

 delta:real;

 i:integer;

begin

 x0:=1.5;

 y0:=x0;

 x1:=2.2;

 y1:=x1;

 i:=1;

 while i<>5 do

 begin

    y2:=x1+pol(x1);

    x2:=y2-(y2-y1)*(y2-x1)/((y2-y1)-(x1-x0));

    writeln('x1= ',x1:10:3,'  x2= ',x2:10:3);

    y1:=y2;

    y2:=x2+pol(x2);

    x0:=x1;

    x1:=x2;

    i:=i+1;

 end;

x:=x1;

end;

{**************}

function signal(e: real): real;

begin

 if e<0 then

   z:=0

  else

   if e<1/2 then

     z:=2*e

    else

     if e<=1 then

       z:=2-2*e

      else

        z:=0;

 signal:=z;

end;

function Fs(t: real): real;

begin

 z:=t-trunc(t);

 Fs:=signal(z);

end;

function RHS(t,y : real): real;

begin

 RHS:= 0.1*t*t-2*t*y + (1+2/10)*Fs(t);

end;

{**********}

procedure difur(var u: massiv);

var

 t: real;

 k: integer;

begin

 u[0]:=u0;

 writeln(fu,0.0:8:2,u0:10:4);

 for k:=1 to nt do

   begin

     t:=k*h;

     u[k]:=u[k-1]+h*rhs(t+h/2,u[k-1]+h/2*rhs(t,u[k-1]));

     writeln(fu,t:8:2,u[k]:10:4);

   end;

end;

begin

 clrscr;

 vegst(0,3,root);

 t0:=root;

 h:=t0/nt;

 assign(fu,'c:\work\rezul.txt');

 rewrite(fu);

 difur(u);

 close(fu);

 repeat until keypressed;

end.

Перечень литературы

  1.  Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.-М.:Высшая школа, 1994
  2.  Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.:Наука,1973
  3.  Хемминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972.
  4.  Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978
  5.  Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25627. Гистогенез и органогенез 22 KB
  4 неделя Углубление желточной складки образование желточного стебля и приподнятие зародыша в полости амниона. Замыкание нервной трубки и формирование переднего невропора к 25 сут и заднего невропора к 27 сут образование нервных ганглиев; закладка легкого желудка печени поджелудочной железы эндокринных желез аденогипофиза щитовидной и околощитовидных желез. Образование ушной и хрусталиковой плакод первичной почки мезонефроса. Образование зачатков верхних и нижних конечностей 4 пар жаберных дуг.
25628. Гладкие мышечные ткани 29.5 KB
  Стволовые клетки и клеткипредшественники в гладкой мышечной ткани на этапах эмбрионального развития пока точно не отождествлены. Поверх чехликов из базальной мембраны между миоцитами проходят эластические и ретикулярные волокна объединяющие клетки в единый тканевой комплекс. Ретикулярные волокна проникают в щели на концах миоцитов закрепляются там и передают усилие сокращения клетки всему их объединению. Поэтому после поступления нервного импульса медиатор распространяется диффузно возбуждая сразу многие клетки.
25630. Дифференцировка первичной эктодермы 39 KB
  Меньшая часть эктодермы расположенная над хордой нейроэктодерма дает начало дифференцировке нервной трубки и ганглиозной пластинки. Нейруляция процесс образования нервной трубки протекает по времени неодинаково в различных частях зародыша. Замыкание нервной трубки начинается в шейном отделе а затем распространяется кзади и несколько замедленнее в краниальном направлении где формируются мозговые пузыри. Из нервной трубки образуются нейроциты и нейроглия головного и спинного мозга сетчатки глаза и органа обоняния.
25631. Диффузная эндокринная система 32 KB
  Среди одиночных гормонпродуцирующих клеток различают две самостоятельные группы: I нейроэндокринные клетки APUDсерии нервного происхождения; II клетки не нервного происхождения. Эти клетки характеризуются способностью поглощать и декарбоксилировать предшественники аминов англ. Согласно современным представлениям клетки APUDсерии развиваются из всех зародышевых листков и присутствуют во всех тканевых типах: 1 производные нейроэктодермы {нейроэндокринные клетки нейросекреторных ядер гипоталамуса эпифиза мозгового вещества...
25632. Железистые эпителии 42.5 KB
  Железистый эпителий состоит из железистых или секреторных клеток гландулоцитов. Они накапливаются в местах наибольшей активности клеток т. В цитоплазме клеток обычно присутствуют секреторные гранулы размер и строение которых зависят от химического состава секрета. Цитолемма имеет различное строение на боковых базальных и апикальных поверхностях клеток.
25633. Желудок 56 KB
  Пепсин вырабатывается в неактивной форме в виде пепсиногена который в содержимом желудка в присутствии соляной кислоты превращается в активную форму пепсин. Слизь покрывая поверхность слизистой оболочки желудка предохраняет ее от действия хлористоводородной кислоты и от повреждения грубыми комками пищи. Механическая функция желудка состоит в перемешивании пищи с желудочным соком и проталкивания переработанной пищи в двенадцатиперстную кишку. В осуществлении функции принимает участие мускулатура желудка.
25634. Желчь 31 KB
  К ним относятся внутрипеченочные и внепеченочные желчные протоки. К внутрипеченочным принадлежат междольковые желчные протоки а к внепеченочным правый и левый печеночные протоки общий печеночный пузырный и общий желчный протоки. Междольковые желчные протоки вместе с разветвлениями воротной вены и печеночной артерии образуют в печени триады. На этом основании предполагают что междольковые желчные протоки выполняют секреторную функцию.
25635. ИММУННАЯ СИСТЕМА И КЛЕТОЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ИММУННЫХ РЕАКЦИЯХ 37 KB
  Иммунная система объединяет органы и ткани в которых происходит образование и взаимодействие клеток иммуноцитов выполняющих функцию распознавания генетически чужеродных субстанций антигенов и осуществляющих специфическую реакцию. Иммунитет это защита организма от всего генетически чужеродного микробов вирусов от чужих клеток или генетически измененных собственных клеток. В организме взрослого человека она представлена красным костным мозгом источником стволовых клеток для иммуноцитов центральным органом лимфоцитопоэза...