30055

Аппроксимация функций. Вычислительная математика

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна

Русский

2013-08-22

161.5 KB

28 чел.

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Курсовая работа по

Вычислительной математике

Тема: «Аппроксимация функций»

Выполнил:

Студент гр. ПЕ-71

Рябов С.А.

Екатеринбург 2008

Задание для курсовой работы.

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна. Корень уравнения определяет интервал интегрирования дифференциального уравнения, решаемого на втором этапе задания. Здесь задача Коши решается методами интегрирования второго порядка: по средней производной и в средней точке. Полученные дискретные значения решения обрабатываются методами аппроксимации экспериментальных данных. На третьем этапе строится полином Лагранжа, интерполирующий дискретные значения на разреженной сетке узлов. На четвертом этапе сеточная функция аппроксимируется алгебраическим полиномом по методу наименьших квадратов. Соответствующая система линейных уравнений, определяющая коэффициенты полинома, решается методом квадратного корня (метод Холецкого). На заключительном этапе строятся графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решение всей задачи выполняется компьютерными методами с помощью программирования алгоритмов на одном из языков программирования (Паскаль, Бейсик). Для оценки погрешности интегрирования на втором этапе вся задача решается средствами математической системы Maple.

Постановка задачи.

Вариант № 8

(номер варианта соответствует номеру студента в списке группы)

  1.  Вычислить наименьший положительный корень  T уравнения

2x^4-x^3-8

Положение корня локализовать методом прямого поиска с шагом 1. Для уточнения величины T применить метод

Вегстейна

  1.  На отрезке [0, T] проинтегрировать дифференциальное уравнение

с начальными условиями

< Y(0)=0.>2

где n – последняя цифра студенческого билета, Fs(t,) – периодическая функция с периодом =1, имеющая вид на основном отрезке периодичности [0, 1]:

Для интегрирования применить метод Эйлера второго порядка с коррекцией

< >.

Шаг интегрирования задать как  где N+1 – число дискретных точек,

  1.  Полученные дискретные значения функции Y(t) аппроксимировать интерполяционным полиномом в форме Лагранжа степени не ниже третьей. Для этого отобрать соответствующее число точек интерполяции, равномерно расположенных на отрезке [0, T].
  2.  Для всех вычисленных дискретных значений функции Y(t) построить многочлен (той же степени, что и интерполяционный полином Лагранжа), аппроксимирующий табличную функцию по методу наименьших квадратов. Для вычисления коэффициентов полинома построить процедуру, решающую систему линейных уравнений с симметричной матрицей методом квадратного корня (метод Холецкого разложения матрицы на произведение треугольных матриц).

Построить графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решить задачу встроенными процедурами системы Maple и сравнить результаты интегрирования дифференциального уравнения.


Решение на Maple

> restart;

> with(linalg):with(plots):

pp:=(x,y)->[x,y];

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the name changecoords has been redefined

> f11:= proc(t) local z ;z:=piecewise(t<0,0,t<1/2,2*t,t<=1,2-2*t,0); evalf(z);end;

> plot(f11(x),x=-1..2);

> tau:=1;

> Fs:=proc(t,tau) local x,z,y;

x:=frac(t/tau);

z:=f11(x);evalf(z);

end;

> plot(Fs(t,tau),t=-0.1..2*tau+0.1);

Полином (здесь следует задать свой вариант полинома)

> p:=2*x^4-x^3-8;

> T0:=fsolve(p,x,0..3);

> ur:=diff(Y(t),t);

Правая часть дифференциального уравнения

> Fty:=0.1*t^2-2*t*Y(t);

>

> F:=Fty+(1+2/10)*Fs(t,tau);

> RK:=dsolve({ur=F,Y(0)=0.2},Y(t),type=numeric,output=listprocedure);

> fU:=subs(RK,Y(t));

> Nt:=20;h:=T0/Nt;

> T:=array(0..Nt):U:=array(0..Nt):

> for j from 0 to Nt do

x:=j*h;z:=fU(x);T[j]:=x;U[j]:=z;

#print(x,z);

od:

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU:=plot(RisU):

> display(RU);

> #====================================

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU0:=plot(RisU,style=point,symbol=cross):

> display(RU0);

Построение интерполяционного полинома по пяти точкам

> n:=4:d:=trunc( Nt/n):X:=array(0..n):Y:=array(0..n):

> for j from 0 to n do

X[j]:=T[j*d];Y[j]:=U[j*d];

end:

> RisXY:=zip(pp,X,Y):

> GrafSym:=plot(RisXY,style=point,symbol=box,color=blue,symbolsize=16):

> display(RU0,GrafSym);

> x:='x':omega:=product((x-X[k]),k=0..n);:

> Omega:=diff(omega,x);:

> j:='j':Lagr:=sum(Y[j]*omega/(x-X[j])/(subs(x=X[j],Omega)),j=0..n);

> RLagr:=plot(evalf(Lagr),x=0..T0,color=blue):

Графики дискретных отсчетов сигнала (крестики) и аппроксимация сигнала

тригонометрическим полиномом (непрерывная линия)

> display(RLagr,RU0,GrafSym);

> Polynom:=proc(t) local z,k;global n,a;

z:=sum(a[k]*t^k,k=0..n);evalf(z);

end;

> ur:=array(0..Nt);a:=array(0..n):

> #=======Весовые функции и вид полинома=================================

> Npoint:=Nt;

Ступеньки весов

> w:='w':w:=array(0..Npoint):

> w[0]:=10:;

> for j from 1 to Npoint do

if T[j]<1 then

w[j]:=2;

else

w[j]:=1;

fi;

od:

>

>

>

> j:='j':for j from 0 to Nt do

t:=T[j];z:=Polynom(t);

ur[j]:=(z-U[j])*w[j];

end:

> UR:=convert(ur,set):

> BB:=leastsqrs(UR, {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4]});

> a[2] = 3.530729617; a[1] = -.4472707943;a[0] = .2186165474; a[4] = 1.513446662;

a[3] = -4.387004123;

> GrafP:=plot(Polynom(x),x=0..T0):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafP);

Формирование матрицы для метода Холецкого

> m:=n+1;A:=array(0..n,0..n):B:=array(0..n,sparse):S:=array(0..2*n,sparse);

> j:='j':k:='k':for j from 0 to Nt do

p:=1;for k from 0 to 2*n do

S[k]:=S[k]+p;p:=p*T[j];

end;

p:=1;for k from 0 to n do

B[k]:=B[k]+U[j]*p;p:=p*T[j];

end;

end:

> evalm(convert(B,vector));

> for j from 0 to n do

for k from 0 to n do

A[j,k]:=S[j+k];

end:end:

> A0:=linsolve(convert(A,matrix),convert(B,vector));

> for j from 0 to n do a[j]:=A0[j+1];end:

> t:='t':GrafG:=plot(Polynom(t),t=0..T0,color=brown):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafG,GrafP);

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++=

> fn:=`C:\\work\\rezult.txt`;

> L:=readdata(fn,3):;

Nstrok:=vectdim(L);

> U_n:=array(1..Nstrok);:

T_n:=array(1..Nstrok);

> for j from 1 to Nstrok do

T_n[j]:=L[j,1];

U_n[j]:=L[j,2];

#print(j,T_n[j],U_n[j]);

od:

> u1:=zip(pp,T_n,U_n):

> RU1:=plot(u1,style=point,symbol=cross,color=black):

> display(RU,RU1);

Сравнение результатов на одинаковых сетках

>

> printf("%s",`  №      t      U_map    U_pas     разн`);

for k from 0 to Nt do t:=T[k]:del:=U[k]-U_n[k+1];

printf("% 3.0f  % 6.2f % 8.4f  % 8.4f % 8.4f \n",k,t,U[k],U_n[k+1],del):

end:;

 №      t      U_map    U_pas     разн

 0    0.00    .2000     .2000   0.0000

 1     .08    .2061     .2182   -.0121

 2     .16    .2241     .2479   -.0238

 3     .23    .2536     .2882   -.0346

 4     .31    .2935     .3377   -.0442

 5     .39    .3426     .3949   -.0523

 6     .47    .3993     .4556   -.0563

 7     .55    .4572     .4924   -.0352

 8     .62    .4941     .5068   -.0127

 9     .70    .5087     .5010    .0077

10     .78    .5031     .4774    .0257

11     .86    .4796     .4387    .0409

12     .93    .4410     .3879    .0531

13    1.01    .3905     .3468    .0437

14    1.09    .3485     .3228    .0257

15    1.17    .3238     .3137    .0101

16    1.25    .3142     .3174   -.0032

17    1.32    .3173     .3314   -.0141

18    1.40    .3310     .3536   -.0226

19    1.48    .3530     .3748   -.0218

20    1.56    .3736     .3755   -.0019


Решение на Pascal

program kurs;

uses crt;

const

 nt=20;

 u0=0.2;

type

 massiv= array[0..nt] of real;

var h,t0,z,root: real;

   fu: text;

   u: massiv;

function pol(t:real):real;

begin

  pol:=2*t*t*t*t-t*t*t-8;

end;

{*********}

function deriv(t:real):real;

begin

  deriv:=8*t*t*t-3*t*t;

end;

{*********}

procedure vegst(a,b:real; var x:real);

var

 x0,x1,y1,y0,y2,x2:real;

 delta:real;

 i:integer;

begin

 x0:=1.5;

 y0:=x0;

 x1:=2.2;

 y1:=x1;

 i:=1;

 while i<>5 do

 begin

    y2:=x1+pol(x1);

    x2:=y2-(y2-y1)*(y2-x1)/((y2-y1)-(x1-x0));

    writeln('x1= ',x1:10:3,'  x2= ',x2:10:3);

    y1:=y2;

    y2:=x2+pol(x2);

    x0:=x1;

    x1:=x2;

    i:=i+1;

 end;

x:=x1;

end;

{**************}

function signal(e: real): real;

begin

 if e<0 then

   z:=0

  else

   if e<1/2 then

     z:=2*e

    else

     if e<=1 then

       z:=2-2*e

      else

        z:=0;

 signal:=z;

end;

function Fs(t: real): real;

begin

 z:=t-trunc(t);

 Fs:=signal(z);

end;

function RHS(t,y : real): real;

begin

 RHS:= 0.1*t*t-2*t*y + (1+2/10)*Fs(t);

end;

{**********}

procedure difur(var u: massiv);

var

 t: real;

 k: integer;

begin

 u[0]:=u0;

 writeln(fu,0.0:8:2,u0:10:4);

 for k:=1 to nt do

   begin

     t:=k*h;

     u[k]:=u[k-1]+h*rhs(t+h/2,u[k-1]+h/2*rhs(t,u[k-1]));

     writeln(fu,t:8:2,u[k]:10:4);

   end;

end;

begin

 clrscr;

 vegst(0,3,root);

 t0:=root;

 h:=t0/nt;

 assign(fu,'c:\work\rezul.txt');

 rewrite(fu);

 difur(u);

 close(fu);

 repeat until keypressed;

end.

Перечень литературы

  1.  Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.-М.:Высшая школа, 1994
  2.  Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.:Наука,1973
  3.  Хемминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972.
  4.  Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978
  5.  Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49107. Ревизия (аудит) расчетов с депонентами, по претензиям, по возмещению материального ущерба, с разными дебиторами и кредиторами 103.25 KB
  Дебиторская задолженность - сумма долгов, причитающихся объединению, предприятию, организации, учреждению от юридических или физических лиц в итоге хозяйственных взаимоотношений с ними. Кредиторская задолженность - денежные средства предприятия, организации или учреждения, подлежащие уплате соответствующим юридическим или физическим лицам.
49108. Дослідження соціалізації дітей дошкільного віку 361.5 KB
  Пошук основних особистісних та середовищних детермінант, що визначають ті проблеми, з якими стикаються діти дошкільного віку, а також основні підходи щодо процесу соціалізації та адаптації, є актуальним завданням в сучасних умовах трансформації освіти України.
49109. Архитектура и системы команд микропроцессора К580. Достоинства и недостатки ассемблера 119.5 KB
  Недостатки ассемблера ВВЕДЕНИЕ Достоинства ассемблера Обеспечение максимального использования специфических возможностей конкретной платформы что позволяет создавать более эффективные программы с меньшими затратами ресурсов. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА В результате выполнения программы мы должны получить в регистре В значение равное 0. РАЗРАБОТКА СТРУКТУРЫ ПРОГРАММЫ Для реализации поставленной задачи нужно запомнить входные данные В программе осуществляется последовательное увеличение содержимого ячейки 6000h на 1 путем...
49110. Загрузить в ячейку памяти с адресом 6000h число 100 и уменьшать его на единицу, пока результат не станет равен нулю 146.5 KB
  Именно языки программирования высокого уровня и их наследники в основном используются в настоящее время в индустрии информационных технологий. Однако, языки ассемблера сохраняют свою нишу, обуславливаемую их уникальными преимуществами в части эффективности и возможности полного использования специфических средств конкретной платформы.
49111. Вычесть содержимое ячейки памяти с адресом 6001H из содержимого ячейки памяти с адресом 6000Н. Занести результат в ячейку памяти с адресом 6002H, если результат положительный, иначе — в ячейку 6003Н 433 KB
  Директивы ассемблера позволяют включать в программу блоки данных (описанные явно или считанные из файла); повторить определённый фрагмент указанное число раз; компилировать фрагмент по условию; задавать адрес исполнения фрагмента, менять значения меток в процессе компиляции; использовать макроопределения с параметрами и др.
49113. Диэлектрическая линзовая антенна 1.83 MB
  Расчёт параметров линзы. Линзовые антенны представляют собой совокупность электромагнитной линзы и облучателя. В основе проектирования линзовых антенн лежит использование оптических свойств электромагнитных волн которые проявляются при размерах и радиусах кривизны поверхности линзы много больших длины волны. Сейчас зачастую используются металлодиэлектрические линзы которые обладают лучшими массогабаритными показателями но при этом коэффициент преломления таких линз оказывается сильно зависящим...
49114. Диэлектрическая линзовая антенна 590 KB
  Краткие теоретические сведения Расчет параметров линзы Расчёт облучателя Расчет диаграммы направленности антенны Конструкция антенны Заключение Список используемой литературы Задание Краткие теоретические сведения Линзовая антенна состоит из электромагнитной линзы и облучателя. Назначение линзы трансформировать фронт волны создаваемый облучателем в плоский и сформировать требуемую диаграмму направленности ДН. Принцип работы линзовых антенн основан на...