30055

Аппроксимация функций. Вычислительная математика

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна

Русский

2013-08-22

161.5 KB

28 чел.

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики(филиал)

Курсовая работа по

Вычислительной математике

Тема: «Аппроксимация функций»

Выполнил:

Студент гр. ПЕ-71

Рябов С.А.

Екатеринбург 2008

Задание для курсовой работы.

Целью курсовой работы является комплексное применение основных вычислительных методов, изученных и апробированных на лабораторных занятиях. На первом этапе выполнения задания решается нелинейное уравнение одним из методов (по вариантам): метод половинного деления (бисекции); метод касательных; метод Вегстейна. Корень уравнения определяет интервал интегрирования дифференциального уравнения, решаемого на втором этапе задания. Здесь задача Коши решается методами интегрирования второго порядка: по средней производной и в средней точке. Полученные дискретные значения решения обрабатываются методами аппроксимации экспериментальных данных. На третьем этапе строится полином Лагранжа, интерполирующий дискретные значения на разреженной сетке узлов. На четвертом этапе сеточная функция аппроксимируется алгебраическим полиномом по методу наименьших квадратов. Соответствующая система линейных уравнений, определяющая коэффициенты полинома, решается методом квадратного корня (метод Холецкого). На заключительном этапе строятся графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решение всей задачи выполняется компьютерными методами с помощью программирования алгоритмов на одном из языков программирования (Паскаль, Бейсик). Для оценки погрешности интегрирования на втором этапе вся задача решается средствами математической системы Maple.

Постановка задачи.

Вариант № 8

(номер варианта соответствует номеру студента в списке группы)

  1.  Вычислить наименьший положительный корень  T уравнения

2x^4-x^3-8

Положение корня локализовать методом прямого поиска с шагом 1. Для уточнения величины T применить метод

Вегстейна

  1.  На отрезке [0, T] проинтегрировать дифференциальное уравнение

с начальными условиями

< Y(0)=0.>2

где n – последняя цифра студенческого билета, Fs(t,) – периодическая функция с периодом =1, имеющая вид на основном отрезке периодичности [0, 1]:

Для интегрирования применить метод Эйлера второго порядка с коррекцией

< >.

Шаг интегрирования задать как  где N+1 – число дискретных точек,

  1.  Полученные дискретные значения функции Y(t) аппроксимировать интерполяционным полиномом в форме Лагранжа степени не ниже третьей. Для этого отобрать соответствующее число точек интерполяции, равномерно расположенных на отрезке [0, T].
  2.  Для всех вычисленных дискретных значений функции Y(t) построить многочлен (той же степени, что и интерполяционный полином Лагранжа), аппроксимирующий табличную функцию по методу наименьших квадратов. Для вычисления коэффициентов полинома построить процедуру, решающую систему линейных уравнений с симметричной матрицей методом квадратного корня (метод Холецкого разложения матрицы на произведение треугольных матриц).

Построить графики сеточной функции и аппроксимирующих ее полиномов.

Решить задачу встроенными процедурами системы Maple и сравнить результаты интегрирования дифференциального уравнения.


Решение на Maple

> restart;

> with(linalg):with(plots):

pp:=(x,y)->[x,y];

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the name changecoords has been redefined

> f11:= proc(t) local z ;z:=piecewise(t<0,0,t<1/2,2*t,t<=1,2-2*t,0); evalf(z);end;

> plot(f11(x),x=-1..2);

> tau:=1;

> Fs:=proc(t,tau) local x,z,y;

x:=frac(t/tau);

z:=f11(x);evalf(z);

end;

> plot(Fs(t,tau),t=-0.1..2*tau+0.1);

Полином (здесь следует задать свой вариант полинома)

> p:=2*x^4-x^3-8;

> T0:=fsolve(p,x,0..3);

> ur:=diff(Y(t),t);

Правая часть дифференциального уравнения

> Fty:=0.1*t^2-2*t*Y(t);

>

> F:=Fty+(1+2/10)*Fs(t,tau);

> RK:=dsolve({ur=F,Y(0)=0.2},Y(t),type=numeric,output=listprocedure);

> fU:=subs(RK,Y(t));

> Nt:=20;h:=T0/Nt;

> T:=array(0..Nt):U:=array(0..Nt):

> for j from 0 to Nt do

x:=j*h;z:=fU(x);T[j]:=x;U[j]:=z;

#print(x,z);

od:

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU:=plot(RisU):

> display(RU);

> #====================================

> RisU:=zip(pp,T,U):

> RU0:=plot(RisU,style=point,symbol=cross):

> display(RU0);

Построение интерполяционного полинома по пяти точкам

> n:=4:d:=trunc( Nt/n):X:=array(0..n):Y:=array(0..n):

> for j from 0 to n do

X[j]:=T[j*d];Y[j]:=U[j*d];

end:

> RisXY:=zip(pp,X,Y):

> GrafSym:=plot(RisXY,style=point,symbol=box,color=blue,symbolsize=16):

> display(RU0,GrafSym);

> x:='x':omega:=product((x-X[k]),k=0..n);:

> Omega:=diff(omega,x);:

> j:='j':Lagr:=sum(Y[j]*omega/(x-X[j])/(subs(x=X[j],Omega)),j=0..n);

> RLagr:=plot(evalf(Lagr),x=0..T0,color=blue):

Графики дискретных отсчетов сигнала (крестики) и аппроксимация сигнала

тригонометрическим полиномом (непрерывная линия)

> display(RLagr,RU0,GrafSym);

> Polynom:=proc(t) local z,k;global n,a;

z:=sum(a[k]*t^k,k=0..n);evalf(z);

end;

> ur:=array(0..Nt);a:=array(0..n):

> #=======Весовые функции и вид полинома=================================

> Npoint:=Nt;

Ступеньки весов

> w:='w':w:=array(0..Npoint):

> w[0]:=10:;

> for j from 1 to Npoint do

if T[j]<1 then

w[j]:=2;

else

w[j]:=1;

fi;

od:

>

>

>

> j:='j':for j from 0 to Nt do

t:=T[j];z:=Polynom(t);

ur[j]:=(z-U[j])*w[j];

end:

> UR:=convert(ur,set):

> BB:=leastsqrs(UR, {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4]});

> a[2] = 3.530729617; a[1] = -.4472707943;a[0] = .2186165474; a[4] = 1.513446662;

a[3] = -4.387004123;

> GrafP:=plot(Polynom(x),x=0..T0):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafP);

Формирование матрицы для метода Холецкого

> m:=n+1;A:=array(0..n,0..n):B:=array(0..n,sparse):S:=array(0..2*n,sparse);

> j:='j':k:='k':for j from 0 to Nt do

p:=1;for k from 0 to 2*n do

S[k]:=S[k]+p;p:=p*T[j];

end;

p:=1;for k from 0 to n do

B[k]:=B[k]+U[j]*p;p:=p*T[j];

end;

end:

> evalm(convert(B,vector));

> for j from 0 to n do

for k from 0 to n do

A[j,k]:=S[j+k];

end:end:

> A0:=linsolve(convert(A,matrix),convert(B,vector));

> for j from 0 to n do a[j]:=A0[j+1];end:

> t:='t':GrafG:=plot(Polynom(t),t=0..T0,color=brown):;

> display(RLagr,RU0,GrafSym,GrafG,GrafP);

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++=

> fn:=`C:\\work\\rezult.txt`;

> L:=readdata(fn,3):;

Nstrok:=vectdim(L);

> U_n:=array(1..Nstrok);:

T_n:=array(1..Nstrok);

> for j from 1 to Nstrok do

T_n[j]:=L[j,1];

U_n[j]:=L[j,2];

#print(j,T_n[j],U_n[j]);

od:

> u1:=zip(pp,T_n,U_n):

> RU1:=plot(u1,style=point,symbol=cross,color=black):

> display(RU,RU1);

Сравнение результатов на одинаковых сетках

>

> printf("%s",`  №      t      U_map    U_pas     разн`);

for k from 0 to Nt do t:=T[k]:del:=U[k]-U_n[k+1];

printf("% 3.0f  % 6.2f % 8.4f  % 8.4f % 8.4f \n",k,t,U[k],U_n[k+1],del):

end:;

 №      t      U_map    U_pas     разн

 0    0.00    .2000     .2000   0.0000

 1     .08    .2061     .2182   -.0121

 2     .16    .2241     .2479   -.0238

 3     .23    .2536     .2882   -.0346

 4     .31    .2935     .3377   -.0442

 5     .39    .3426     .3949   -.0523

 6     .47    .3993     .4556   -.0563

 7     .55    .4572     .4924   -.0352

 8     .62    .4941     .5068   -.0127

 9     .70    .5087     .5010    .0077

10     .78    .5031     .4774    .0257

11     .86    .4796     .4387    .0409

12     .93    .4410     .3879    .0531

13    1.01    .3905     .3468    .0437

14    1.09    .3485     .3228    .0257

15    1.17    .3238     .3137    .0101

16    1.25    .3142     .3174   -.0032

17    1.32    .3173     .3314   -.0141

18    1.40    .3310     .3536   -.0226

19    1.48    .3530     .3748   -.0218

20    1.56    .3736     .3755   -.0019


Решение на Pascal

program kurs;

uses crt;

const

 nt=20;

 u0=0.2;

type

 massiv= array[0..nt] of real;

var h,t0,z,root: real;

   fu: text;

   u: massiv;

function pol(t:real):real;

begin

  pol:=2*t*t*t*t-t*t*t-8;

end;

{*********}

function deriv(t:real):real;

begin

  deriv:=8*t*t*t-3*t*t;

end;

{*********}

procedure vegst(a,b:real; var x:real);

var

 x0,x1,y1,y0,y2,x2:real;

 delta:real;

 i:integer;

begin

 x0:=1.5;

 y0:=x0;

 x1:=2.2;

 y1:=x1;

 i:=1;

 while i<>5 do

 begin

    y2:=x1+pol(x1);

    x2:=y2-(y2-y1)*(y2-x1)/((y2-y1)-(x1-x0));

    writeln('x1= ',x1:10:3,'  x2= ',x2:10:3);

    y1:=y2;

    y2:=x2+pol(x2);

    x0:=x1;

    x1:=x2;

    i:=i+1;

 end;

x:=x1;

end;

{**************}

function signal(e: real): real;

begin

 if e<0 then

   z:=0

  else

   if e<1/2 then

     z:=2*e

    else

     if e<=1 then

       z:=2-2*e

      else

        z:=0;

 signal:=z;

end;

function Fs(t: real): real;

begin

 z:=t-trunc(t);

 Fs:=signal(z);

end;

function RHS(t,y : real): real;

begin

 RHS:= 0.1*t*t-2*t*y + (1+2/10)*Fs(t);

end;

{**********}

procedure difur(var u: massiv);

var

 t: real;

 k: integer;

begin

 u[0]:=u0;

 writeln(fu,0.0:8:2,u0:10:4);

 for k:=1 to nt do

   begin

     t:=k*h;

     u[k]:=u[k-1]+h*rhs(t+h/2,u[k-1]+h/2*rhs(t,u[k-1]));

     writeln(fu,t:8:2,u[k]:10:4);

   end;

end;

begin

 clrscr;

 vegst(0,3,root);

 t0:=root;

 h:=t0/nt;

 assign(fu,'c:\work\rezul.txt');

 rewrite(fu);

 difur(u);

 close(fu);

 repeat until keypressed;

end.

Перечень литературы

  1.  Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.-М.:Высшая школа, 1994
  2.  Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.:Наука,1973
  3.  Хемминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972.
  4.  Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978
  5.  Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30948. Предмет психодиагностики. Цели задачи область применения психодиагностики 261 KB
  прогнозирование перспектив индивидуального развития и возможных отклонений от его закономерного хода. В зависимости от конкретного случая психодиагност проводит обследование потерпевших подозреваемых или свидетелей и формулирует психологическое заключение о тех или иных качествах личности уровне интеллектуального развития психофизиологических особенностях и т. Формулировка заключений например об уровне психического развития. Для его определения сопостався результаты тестя с уровнем развития измеряемого признака качества личности на...
30949. Лекарственные травы 983 KB
  Листья тройчатые с пильчатым краем. Смягчающие травы: листья алтея листья мальвы донник ромашка семя льна смешивают в равных количествах и растирают в грубый порошок для компрессов. Используемые части: плоды и листья. Аптечное наименование: плоды голубики Uliginosi fractus ранее: Fructus Uliginosi листья голубики Uliginosi folium ранее: Folia Uliginosi.
30950. Социальная педагогическая психология 3.16 MB
  Кроме того, следует помнить, что самим результатом профессионально-педагогической деятельности является развитие личности учащегося, характер которого, в свою очередь, влияет на методы воспитания, иллюстрируя принцип обратной связи в педагогическом процессе. На сегодняшний день можно считать доказанным, что обратная связь, посредством которой педагог анализирует результаты собственного труда, является необходимым условием роста профессионально-педагогического мастерства.
30951. Экология. Живая и неживая природа 30.05 KB
  Геоэкология изучает специфику взаимоотношений организмов и среды их существования в разных географических зонах дает экологическую характеристику разных географических регионов рассматривает последствия добычи полезных ископаемых занимается экологическим картографированием. Экологи́ческие фа́кторы свойства среды обитания оказывающие какоелибо воздействие на организм. Индифферентные элементы среды например инертные газы экологическими факторами не являются. οἶκος жилище местопребывание и σύστημα система биологическая система...
30952. Экономическая теория. Методы экономической науки 215.85 KB
  Общие экономические законы действуют при нескольких смежных стадиях общественного развития эпохах или нескольких способах производства. К таковым относят закон товарного производства спроса стоимости законы денежного обращения. Специфические экономические законы обслуживают только одну стадию общественного развития или только один способ производства например закон первоначального накопления капитала.Потребности как предпосылка производства.
30953. Основи економічної теорії 1.96 MB
  Це сфера суспільного виробництва або сфера економіки. Розв'язання цієї суперечності й зумовило інтерес людства до з'ясування закономірностей які регулюють сферу використання обмежених ресурсів тобто сферу суспільного виробництва. На противагу меркантилістам фізіократи вважали що багатство створюється не за рахунок обміну чи торгівлі а в результаті праці у сфері виробництва.
30954. ЭТОЛОГИЯ – НАУКА О ПОВЕДЕНИИ ЖИВОТНЫХ 87 KB
  Этология наука о поведении животных Таксисы Инстинкт Рефлекс Обучение Запечатление Условный рефлекс Инструментальный условный рефлекс Метод проб и ошибок Подражание Инсайт Мышление 2. Типы высшей нервной деятельности и поведение животных 4. Список литературы ЭТОЛОГИЯ – НАУКА О ПОВЕДЕНИИ ЖИВОТНЫХ Термин этология происходит и греческого слова этос и означает поведение характер. Этология как наука о биологических закономерностях поведения значительное развитие...
30955. Социально инвестиционная программа «Пуховый мир» 848.5 KB
  Бизнес – план социально инвестиционной программы Пуховый мир Муниципальное образование Верхнесалдинский район Возрождение старинного рукодельного ремесла в Свердловской области Проект Пуховый мир Социально инвестиционная программа Создания Уральского пухово – шерстяного народно – художественного промысла Автор и исполнитель: Мустакимов Вячеслав Алексеевич Общая стоимость проекта: 563007 USD Требуются инвестиции: 200000 USD Срок реализации: 5 лет Россия...
30956. Философия. Внутренний мир человека 48.14 KB
  Место философии во внутреннем мире человека. Происхождение философии. Для раскрытия специфики философии важно обратиться к истокам философского мышления а также к мифологическому и религиозному миропониманию как предпосылке. Таким образом можно с полной уверенностью сказать что истоками философии являются мифология и религия.