30059

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

4 Метод Эйлера.4 Метод Эйлера модифицированный. В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный: Результаты вычислений должны содержать: точное значение уравнения приближенные значения графики Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.

Русский

2013-08-22

212 KB

22 чел.

PAGE  2

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выполнил: студент гр.

                                                                                 Руководитель: Минина Е.Е.

Екатеринбург 2006

Содержание.

  1.  Введение………………………………………………………………...……..3
  2.  Способы решения дифференциальных уравнений…………………..……..4
    1.  Метод Эйлера……………………………………………………....…….4
    2.  Метод Эйлера модифицированный.……………………………………4
  3.  Код программы………………………………………………………………..5
  4.  Проверка в MathCad...………………………………………………..……….9
  5.  Заключение…………………………………………………………..……….10

Введение.

Информатика – это области человеческой деятельности, связанная с процессами преобразования информации с помощью компьютеров и их взаимодействием со средой применения.

Термин и н ф о р м а т и к а возник в 60-х гг. во Франции для названия области, занимающейся автоматизированной обработкой информации с помощью электронных вычислительных машин.

В нашей стране подобная трактовка термина “информатика” утвердилась с момента принятия решения в 1983 г. На сессии годичного собрания Академии наук СССР об организации нового отделения информатики , вычислительной техники и автоматизации. Информатика трактовалась как “комплексная научная инженерская дисциплина, изучающая все аспекты разработки, проектирования, создания, оценки, функционирования основных на ЭВМ систем переработки информации, их применения и воздействия на различные области социальной практики”.

Информатика в таком понимании нацелена на разработку общих методологических принципов построения информационных моделей. Поэтому методы информатики применимы по всюду, где существует возможность описания объекта, явления, процесса и т.п. с помощью информационных моделей. Таким образом, информатика намного ускоряет решение математических задач.

Целью моей работы является изучение основ системы программирования Microsoft  Visual  Basic и приобретение начальных навыков разработки программного обеспечения для операционных систем  Windows.

В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный:

Результаты вычислений должны содержать:

- точное значение уравнения

- приближенные значения

- графики

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение      и начальное условие y(x0) = y0.  Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).

Существование решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|xx0| < a ;  |yy0| < b ,

то существует, по меньшей мере, одно решение  y = y(x), определённое в окрестности  |xx0| < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную  в R, то можно положить

N = max||    при    .

Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0, X] – области непрерывного изменения аргумента х множеством , состоящего из конечного числа точек  x0 < x1 < … < xn = X – сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом 

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0, X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2, …, yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

                                 (4.1)

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

  •  Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.
  •  Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой y = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.
  •  Явные методы, в которых функция Ф в выражении (4.1) не зависит от yn+1.
  •  Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

4.3 Метод Эйлера

Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

4.4 Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).

2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.


Блок схема


Код программы.

Объявление переменных

Dim x(20) As Single

Dim y(20) As Single

Dim y1(20) As Single

Dim y2(20) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Объявление функции

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = (q + 1) / t

End Function

Ввод значений

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

n = Round((xk - x0) / h)

Форматирование таблицы

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Ye"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yem"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yt"

Формулы методов

Max = -0.5

Min = -0.9

y(0) = y0

y1(0) = y0

y2(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + i * h

y1(i + 1) = Round(y1(i) + f(x(i), y1(i)) * h, 4)

y2(i + 1) = Round(y2(i) + f(x(i) + h / 2, y2(i) + h / 2 * f(x(i), y2(i))) * h, 4)

y(i) = Round(0.1 * x(i) - 1, 4)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

Вывод значений

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(y1(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y2(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(y(i))

Next i

Построение графиков

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To N - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(5400 - (y1(i) - Min) * ky)

z4 = Round(5400 - (y2(i) - Min) * ky)

z5 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z6 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (y1(i + 1) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (y2(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z5, z6), vbGreen

Picture1.Line (z1, z3)-(z5, z7), vbRed

Picture1.Line (z1, z4)-(z5, z8)

Next i

End Sub

Выход из программы

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub


Проверка в пакете
MathCad.

Формы программы


Заключение.

По результатам проведённой мной работы я выяснил, что решение дифференциальных уравнений предпочтительно модифицированным методом Эйлера, так как он является наиболее точным.


Литература

  1.  А.Ф.Грачев, В.В.Историна «Курсовой проект, курсовая и реферативная работа», методические указания.

  1.  В.А.Добряк, В.Д.Нехорошев «Ваша первая программа на Microsoft V. Basic».

  1.  Г.М.Финтенгольц  «Курс дифференциального и интегрального исчисления».

4.Н.В.Макарова учебник «Информатика».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23503. Контрольная работа по синтаксису 51.5 KB
  До самой последней страницы нельзя было догадаться кто убил этого несчастного пасечника. 2 Кто убил этого несчастного пасечника. Расширенная схема: N1Obj ØPraed у когоSubj Кто убил этого несчастного пасечника. Индикатив прошедшего времени Кто убил этого несчастного пасечника.
23504. Переход е в о в современном русском языке 42.5 KB
  1960 Переход е в о в современном русском языке Из истории русского языка известен закон о переходе не начального е в о. По силе этого закона в нашем современном русском языке мы имеем в соответствии с старшим е под ударением как из исконного е так и из образовавшегося из еря гласный о если далее следует твердый согласный. В положении перед ч щ как согласными звучащими только мягко в современном литературном языке перехода е в о не должно быть. Перед согласным ц в литературном языке известным только в твердом виде но некогда...
23505. Сочетание чн в русском языке 33 KB
  1960 Сочетание чн в русском языке Согласно с историей русского языка звукосочетание чн в русском языке нового исторической поры происхождения. Исчезновение редуцированных между двумя согласными не в позициях абсолютного конца и абсолютного конца слова вызвало появление в русском языке впервые рядов новых групп согласных таких которые до этой поры в языке не существовали. Теоретически можно ожидать троякой возможной судьбы сочетания чн в языке: А это сочетание сохраняется в языке; Б в результате редукции взрывной части трифтонга из него...
23508. Фразеологизмы новозаветного происхождения в современном русском языке 982.5 KB
  Курск 1998 [1] Введение [2] Глава I [3] Краткие сведения по некоторым теоретическим вопросам фразеологии русского языка. [5] Новозаветные по происхождению фразеологизмы как элемент фразеологической системы русского языка [5. Библейская фразеология и проблемы культуры речи [10] Заключение [11] Список использованной литературы [12] Приложение № 1 Введение О фразеологии написано множество статей книг диссертаций а интерес к этой области языка не иссякает ни у исследователей ни у тех кто просто неравнодушен к слову.
23509. ОБ ОСНОВНЫХ ТИПАХ ФРАЗЕОЛОГИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ В РУССКОМ ЯЗЫКЕ 159 KB
  Шахматов в своем Синтаксисе русского языка настойчиво подчеркивал чрезвычайную важность вопроса о неразложимых сочетаниях слов не только для лексикологии resp. Под разложением словосочетания писал А. Между тем подобное разложение для некоторых словосочетаний оказывается невозможным. В неразложимых словосочетаниях связь компонентов может быть объяснена с исторической точки зрения но она непонятна немотивирована с точки зрения живой системы современных грамматических отношений.
23510. СТИЛЬ ПИКОВОЙ ДАМЫ 430.5 KB
  ВИНОГРАДОВ СТИЛЬ ПИКОВОЙ ДАМЫ€œ Пушкинский стиль пушкинская манера лирического выражения и повествования почти не описаны и не исследованы. Современнее и резче всего пушкинская манера повествования обозначилась в структуре Пиковой Дамы€œ. Сюжет Пиковой Дамы€œ и профессиональноигрецкие анекдоты В Пиковой Даме€œ семантическое многообразие доведено до предела. Игра в фараон в Пиковой Даме€œ не столько тема авторского повествования сколько тема разговора между персонажами.
23511. Смысл: семь дихотомических признаков 93.5 KB
  Новиков Смысл: семь дихотомических признаков Смысл относится к тем загадочным явлениям которые считаются как бы общеизвестными поскольку постоянно фигурируют как в научном так и обыденном общении. Иногда допускается что смысл принадлежит к тем наиболее общим категориям которые не подлежат определению и должны восприниматься как некоторая данность. В настоящее время в связи с необходимостью решения целого ряда актуальных задач как теоретического так и прикладного характера где понятие смысла играет ключевое значение требуются...