30060

Визуализация численных методов путем написания программы на языке Visual Basic проверки решения с помощью приложения MathCAD

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Дифференциальным уравнением называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники

Русский

2016-08-04

144.5 KB

19 чел.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СВЯЗИ И

ИНФОРМАТИКИ

ФАКУЛЬТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ, ИНФОРМАТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Курсовая работа

по информатике

на тему:

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных  уравнений.

Руководитель:                                                                          Выполнил:

Минина Е. Е.                                                                             Садовой К.С.                                                                                         Группа №  ОЕ-71

Екатеринбург 2008г.

Содержание

Техническое задание…………………………………..………….-3-

1.Введение…………………………………………………………-4-

2.Постановка задачи………………………………………………-5-

3.Описание используемых методов……..……………………….-7-

4. Формы.………………………………………….………………-10-

5.  Блок-схемы ………………………………….…………...……-11-

6.  Решение задачи в MathCAD…………………………….....…-15-

7.Листинг программы……………………………………...……..-16-

8.Заключение……………………..……………………....………..-18-

Техническое задание

Решить дифференциальное уравнение

                             y' + y = cos(x)

c начальным условием y0 = 1 и общим решением

на отрезке х0 = 0  до хk =   с шагом h =  методом Эйлера и Рунге-Кутта.. 

Введение

Курсовой проект является важнейшей составляющей курса и первой объемной самостоятельной инженерно-расчетной работой студента. Курсовой проект завершает подготовку по дисциплине «Информатика» и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам.

Темой курсового проекта является «Визуализация численных методов» путём:

  •  написания программы на языке Visual Basic;
  •  проверки решения с помощью приложения MathCAD.

В ходе выполнения курсовой работы предполагается решение дифференциального уравнения с помощью численных методов:

  •  метода Эйлера или метода Рунге-Кутта 1 порядка точности;
    •  метода Рунге-Кутта 4 порядка точности.

Дифференциальным уравнением называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциального уравнения играют важную роль в практике инженерных расчетов.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным; в противном случае – дифференциальное уравнение в частных производных. В данной курсовой работе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Актуальность курсового проекта: в настоящее время можно решать дифференциальные уравнения с помощью различных приложений. Существует множество математических пакетов, например, MathCAD, Mathematica и другие, позволяющих решать дифференциальные уравнения. Не сложно решить их и в среде программирования Visual Basic, причем Visual Basic позволяет решать уравнения разными методами с требуемой точностью и представить результаты также наглядно, как и в математических пакетах.

2. Постановка задачи

В курсовой работе необходимо двумя методами (Эйлер, Рунге-Кутта) решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка y'+y=cos(x)   на отрезке [0,π/2] с шагом h=π/10 и начальным условием Y(X0)=Y0(1), Y0=1,  

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

Y(T)

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где: Y(1) , Y(2) - решения, полученные различными численными методами,

Y(T) – точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычислить значение коэффициента С, используемого в общем решении.

Входные данные: x0, xk, y0, h.

Выходные данные: массив значений y в каждой точке узла.

3.Описание используемых методов

В тех случаях, когда решить уравнение сложно или невозможно, используют численные методы (приближенное решение).

В численных методах обязательно должны быть начальные условия, чтобы исключить константу. Численными методами мы должны построить интегральную кривую, т.е. график решения.

3.1 Метод Эйлера

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем точку A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •   Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Проводим прямую x = x1 = 1,1  до пересечения с прямой AB, отмечаем точку B(x1; y1);
  •  Ищем  y1:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

 y1 y0= Δx· tg α0

Δx = x1 – x0 = h => y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 4 + 0,1  f(1;4) = 4 + 0,1 · 1,718 = 1,172

Следовательно, точка B имеет координаты (1,1; 1,172).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

(*)

Рис1. Решение задачи методом Эйлера.

Из формулы (*) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений.

3.2 Метод Рунге-Кутта

 

Для уменьшения погрешности вычислений используется и метод Рунге-Кутта. Этот метод имеет так же название метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем А(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •  Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Делим шаг интегрирования на четыре отрезка и отмечаем x1/4= x0 + h/4, проводим прямую из этой точки  до прямой AB, отмечаем точку B(x1/4; y1/4);
  •  Ищем координаты В:

x1/4 = x0 + h/4 = 1 + 0,1/2 = 1,05

y1/4 = y0 + h/4 · f(x0; y0) = 1 + 0,1/2 · 1,718 = 1,086

Следовательно, точка B имеет координаты (1,05; 1,086);

Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

α1 = arctg(f(x1/4; y1/4)) = arctg(( 1,718– 1,086)/1,05)) = arctg(1,687) = 59,3°

  •  Строим касательную BC в точке B под углом α1;
  •  Проводим прямую x1 = 1,1 до пересечения с прямой BC,   отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
  •  Ищем y1 :

y1 = y1/4 + h/4(f(x1/4;y1/4)) = 1,086 + 0,1/2 · 1,687 = 1,169

Следовательно, точка C имеет координаты (1,1; 1,169).

yi+1 = yi + hf(xi + h/4, yi + h/4 ∙ f(xi, yi))

Рис2.  Решение задачи методом Рунге-Кутта

4. Формы

   

6.Решение задачи в MathCad

7.Листинг программы

Dim x(50) As Single

Dim y(50) As Single

Dim y1(50) As Single

Dim y2(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Function f(l As Single, q As Single) As Single

f = Cos(l) - q

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

N = Round((xk - x0) / h)

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Ye"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yrk"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yt"

Max = 1

Min = 0.55

y(0) = y0

y1(0) = y0

y2(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + i * h

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

K1 = h * f(x(i), y1(i))

K2 = h * f(x(i) + h / 2, y1(i) + K1 / 2)

K3 = h * f(x(i) + h / 2, y1(i) + K2 / 2)

K4 = h * f(x(i) + h, y1(i) + K3)

K = (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4) / 6

y1(i + 1) = y1(i) + K4

y2(i) = Round(0.5 * Exp(-x(i)) + ((Cos(x(i)) + Sin(x(i))) / 2), 4)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y1(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(y2(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To N - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(5400 - (y1(i) - Min) * ky)

z4 = Round(5400 - (y2(i) - Min) * ky)

z5 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z6 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (y1(i + 1) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (y2(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z5, z6), vbGreen

Picture1.Line (z1, z3)-(z5, z7), vbRed

Picture1.Line (z1, z4)-(z5, z8)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub


8.Заключение

В ходе выполнения курсовой работы  я решила дифференциальное уравнение с помощью численных методов:

а) метода Эйлера или метода Рунге-Кутта 1 порядка;

б) метода Рунге-Кутта 4 порядка.

Метод Эйлера – наиболее простой метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но его недостаток - большая погрешность вычислений, которая с каждым шагом вычислений увеличивается.

Методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

В пояснительной записке приведены блок-схемы основных процедур, листинг и формы программы на языке Visual Basic.

Правильность решения проверила с помощью математического пакета MathCAD.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60126. ГЕРОИ НЕ УМИРАЮТ 85 KB
  2-й ведущий. Эта песня-воззвание неслась над страной в суровую военную годину. И тысячи людей брали в руки оружие, чтобы отстоять свободу и независимость любимой Родины.
60127. Українське кіномистецтво 951 KB
  Народилася Наталія Михайлівна Ужвій 22 серпня 1898 року в містечку Любомлі на Волині в селянській сімї. До 1912 року сімя Ужвій жила в робітничому селищі Брудно поблизу Варшави.
60129. Класна година: Не рубай ялинку, не губи тваринку, а краще природу бережи 44 KB
  Вони ростуть у суворому кліматі там завжди дуже холодно ростуть на збіднених ґрунтах де мало вологи і поживних речовин. Слайд 3 Група 1 Ялинка як і всі вічнозелені дерева дуже красива. Людям у яких є хвороби серця чи дихальних шляхів це повітря дуже корисне...
60130. Хлеб - всему голова 73 KB
  Демонстрация видеоролика Хлеб - всему голова Вступительное слово преподавателя Гетман А. Хлеб во все времена и у всех народов наибольшей святостью считается хлеб. Когда не было хлеба приходила беда.
60131. Виховний захід: «Я - за безпечний Інтернет» 69.5 KB
  Мета: знайомство учасників для створення комфортної атмосфери для роботи Метод: індивідуальна робота Теоретична інформація: На ватмані малюється квітка без пелюстків. Вправа 2: Очікування гра Гаряча картопля...
60132. Музыкально - литературное кафе «Огонёк» 113.5 KB
  Воспитательная: формировать интерес и уважение к отечественной культуре; создать атмосферу единения характерную для концертов бардовской песни 60-70х годов обогатить духовный мир учащихся.
60133. Вікторина «Найрозумніший»/ Quiz Der Klugste 37.5 KB
  lso wir hben hier 2 Mnnschfte die schon so ungeduldig uf den nfng wrten. Команди представляють себе: назва та девіз Ведучий: Gut gemcht Und jetzt kommt die ufwrmung Dfr ht mn feine Zungenbrecher usgewhlt. Mn muss die zuerst zusmmensetzen dnch liest jemnd uns vor und bekommt dfr 2 Punkte eine fr die Richtigkeit und eine fr ds Lesen selbst. Wie heit die Huptstdt der Bundesrepublik Deutschlnd Bonn; bFrnkfurt; cBerlin.
60134. Космическое путешествие 92.5 KB
  Уважаемые выпускники 2 стюардесса: Уважаемые учителя 1 стюардесса: Уважаемые родители 2 стюардесса: Мы рады приветствовать вас на борту космолайнера Мечта. 1 стюардесса: Во время полета запрещается: скучать; катапультироваться...