30061

Численные методы решения задачи Коши

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде дифференциальных уравнений связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Например, исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, мы можем получить сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее

Русский

2013-08-22

327.5 KB

19 чел.

Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО “СибГУТИ”

Уральский технический институт связи и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике:

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

                                                                           Выполнила:

студентка гр.: СЕ-81

Митрофанова Д.И.

                                                                               Проверила:

                                                                                                   Тюпина О.М.

Екатеринбург

2009 г.

Содержание:

Введение………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи…………………………………………………….4

2. Описание методов решения…………………………………………..5

2. 1. Суть задачи………………………………………………………….5

2. 2. Геометрический смысл задачи…………………………………….5

2. 3. Численные методы решения задачи Коши……………………….6

2. 4. Метод Эйлера……………………………………………………….9

2. 5. Метод Эйлера модифицированный……………………………….9

2. 6. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка………………………………….10

2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта…………………………………………………………….12

2. 7. 1. Метод Эйлера……………………………………………………12

2. 7. 2. Метод Рунге-Кутта……………………………13

3. Алгоритм решения задачи…………………………………………...16

3. 1. Алгоритмы подпрограмм.………………………………………....16

3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера………………………………….16

3. 1. 2 Подпрограмма метода Эйлера модифицированного…………..16

3. 1. 3. Подпрограмма общего решения и поиска максимальных значений x и y……………………………………………………………………17

3. 2. Алгоритм функции…………………………………………………17

3. 3. Алгоритм программы………………………………………………19

4. Форма программы…………………………………………………….20

5. Листинг программы…………………………………………………..21

6. Решение задачи в MathCad…………………………………………..23

Заключение………………………………………………………………25

Введение

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде дифференциальных уравнений связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Например, исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, мы можем получить сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными. Не всегда удается решить дифференциальное уравнение без помощи компьютера, поэтому создание все лучших и удобных программ для решения уравнений всегда будет являться актуальным вопросом.

Целью данной курсовой работы является решение дифференциального уравнения двумя численными методами: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.

Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи:

  •  Написать программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic.
  •  Проверить решение с помощью приложения MathCad.
  •  Сравнить полученные разными методами результаты с общим решением.

1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Рунке-Кутта задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) = Y0.

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где Y(1), Y(2) – решения, полученные различными численными методами, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

  

Дифференциальное уравнение

X0

Xk

h

Y0

Общее решение

y’ *(x+1)=y+2

0

0,8

0,1

0

y=(x+1)*c-2

2. Описание методов решения

2. 1. Суть задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение  и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

2. 2. Геометрический смысл задачи.

y’ = f(x,y)  - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши.

Существование решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|x-x0| < а; |y-y0| < b,

то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х), определённое в окрестности |х – х0| < h, где h - положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y),

где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную

fy(x, y) в R, то можно положить N = мах |fy(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.

2. 3. Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [х0, X] - области непрерывного изменения аргумента х множеством . состоящего из конечного числа точек х0 < х1 < ... < xn = Х - сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом:

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на
кривой у =
f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.
Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из  предыдущих точек.   Чтобы  получить достаточно точное  численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

2. 4. Метод Эйлера

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

Y’ = f(x, y)

с начальным условием

y(x0) = y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi = х0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ...,

xi - узлы сетки,

yi - значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi, yi) под углом α. При этом tg α = f(xi, yi)

В соответствий с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда yi+1 = yi + Δy

Из прямоугольного треугольника ABC  

Приравняем правые части tg α = f(xi, yi) и . Получим

Отсюда Δу = hf(xi, yi).

Подставим в это выражение формулу yi+1 = yi + Δy, а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

.

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы  видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.

F(x, у) - заданная функция – должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:

Х0, XK—начальное и конечное

значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0) = y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

У - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

Рисунок 3. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для io шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

2. 5. Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием:

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi = x0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ...,

xi  - узлы сетки,

yi - значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный

Проведем решение в несколько этапов:

  1.   Обозначим точки: А(хi, yi,), C(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)) и B(xi+1, yi+1);
  2.   Через точку А проведем прямую под углом α, где tg α = f(xi, yi);
  3.   На этой прямой найдем точку С(хi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi));
  4.   Через точку С проведем прямую под углом α1, где tg α1 = f(xi + h/2,yi + h/2 ∙ f(xi, yi));
  5.   Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой;
  6.   Найдем  точку B(xi+1, yi+1).   Будем  считать   B(xi+1, yi+1)  решением дифференциального уравнения при х = xi+1;
  7.   После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения уi+1:

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)).

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина εl характеризует погрешность метода Эйлера, а ε - погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.

F(x, у) - заданная функция - должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:
Х0,
XК - начальное и конечное

значения независимой

переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0)=y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.

2.6 Метод Рунге-Кутта 4 порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка   с начальным условием y(x0)=y0.   Выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ... .

Аналогично описанному выше методу производится решение

дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

         Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения yi   искомой функции y определяются по формуле:

yi+1 = yi +∆yi                где i = 0, 1, 2 ...

             y=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6                           

                    

a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1  = h*f(xi, yi )

k2  = f (xi +h/2, yi +k1 /2)*h

k3  = F(xi +h/2, yi +k2 /2)*h

k4  = F(xi +h, yi +k3 )*h

Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта приведена на рисунке 6.

F(x, у) - заданная функция - должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:
Х0,
XК - начальное и конечное

значения независимой

переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0)=y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта

2. 7. 1. Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(0; 0) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 1 · 0,1 = 0,1;

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 – y0,

Δx = x1 – x0 = h,

f(x0; y0) = (y1 – y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 0 + 0,1 · f(0;0) = 0 + 0,1 · 2 = 0,2

Следовательно, точка B имеет координаты (0,1; 0,2).

2.7.2. Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(0; 0) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 0 + 1 · 0,1 = 0,1;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(0,0)=0,1·2=0,2

k2=0,1· f(0,1+0,1/2;0+0,2/2)= 0,2

k3=0,1· f(0,1+0,1/2;0+0,2/2)= 0,2

 k4=0,1· f(0,1+0,1;0+0,2)= 0,2

y1=(0,2+2·0,2+2·0,2+0,2)/6=0,2

y2=0+0,2=0,2

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (0,1; 0,2)

. Алгоритм решения задачи

3. 1. Алгоритмы подпрограмм

3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера

3.1.2 Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. 1. 3. Подпрограмма общего решения

3. 2. Алгоритм функции

 


3. 3. Алгоритм программы

 

4. Форма программы.

 5. Листинг программы.

Dim x(), e(), em(), o() As Single

Private i, n As Integer

Private x0, xk, y0, h, miny, maxy, minx, maxx As Single

Function f(a, b) As Single

f = (b + 2) / (a + 1)

End Function

Private Sub Eiler()

ReDim x(n + 1)

ReDim e(n + 1)

e(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

e(i + 1) = Round(e(i) + h * f(x(i), e(i)), 3)

Next i

End Sub

Private Sub RungeKutta()

ReDim x(n + 1)

ReDim em(n + 1)

em(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

 k1 = h * f(x(i), em(i))

 k2 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k1 / 2))

 k3 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k2 / 2))

 k4 = h * f(x(i) + h, em(i) + k3)

 k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

em(i + 1) = Round(em(i) + k, 3)

Next i

End Sub

Private Sub Obhee()

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

For i = 0 To n

x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

  c = (y0 + 2) / (x0 + 1)

o(i) = Round((x(i) + 1) * c - 2, 3)

Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

y0 = Val(Text2.Text)

xk = Val(Text3.Text)

h = Val(Text4.Text)

n = Round((xk - x0) / h)

MSFlexGrid1.Cols = 4

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Общее рещение"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "эйлер"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Рунге-Кутт"

Eiler

RungeKutta

Obhee

For i = 0 To n

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(e(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(em(i))

Next i

minx = x(0)

maxx = x(n)

miny = o(0)

maxy = o(n)

If e(n) > o(n) Then maxy = e(n)

If em(n) > o(n) Then maxy = em(n)

If e(n) > em(n) Then maxy = e(n)

Label10.Caption = Str(miny)

Label11.Caption = Str(maxy)

Label8.Caption = Str(minx)

Label12.Caption = Str(maxx)

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (maxy - miny)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (e(i) - miny) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (e(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 0, 9999)

Next i

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (em(i) - miny) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (em(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 9999, 0)

Next i

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (o(i) - miny) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (o(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(9999, 0, 0)

Next i

End Sub

6. Решение задачи в MathCad.

Метод Эйлера

Метод Эйлера IV порядка точности (Метод Рунге-Кутта)

Общее решение

Заключение

При расчете уравнения ,двумя методами (Эйлера и Рунге-Кутта), получил значения сходные с общим, хотя метод Рунге-Кутта является наиболее точным. Это совпадение обуславливается маленьким шагом и небольшим диапазоном конечных значений.  

В ходе работы я выполнил все поставленные задачи: написал программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic, проверил решение с помощью приложения MathCAD,сравнил полученные разными методами результаты с общим решением. Поэтому я считаю что полностью выполнил поставленное передо мной  задание курсовой работы.


tg(α) = f(x,y)

α

Eiler(X0, Xk, Y0, N, Y)

h = (Xk – X0)/N

i = 0, …, N - 1

x = X0 + i ∙ h

Yi+1 = Yi + h ∙ F(x, Yi)

End

End

Yi+1 = Yi + h ∙ F(x + h/2, Yi + h/2 ∙ F(xi, yi))

x = X0 + i ∙ h

i = 0, …, N-1

h = (Xk – X0)/N

EilerM(X0, Xk, Y0, N, Y)

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

0

y=y(x)

x

y

em(i + 1) = Round(em(i) + k, 3)

k2 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k1 / 2))

k3 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k2 / 2))

k4 = h * f(x(i) + h, em(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

k1 = h * f(x(i), em(i))

h=(xk-x0)/n

Конец

i = 1, …, n

Конец

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (o(i) - miny) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (o(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

i = 1, …, n-1

RungeKutta

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (em(i) - miny) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (em(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

End

Yi+1= Yi+k

k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6

k4= h*F(x+h, Yi +k3)

=

k3= h*F(x+h/2, Yi +k2/2)

k2=h*F(x+h/2, Yi +k1/2)

            k1=h*F(x,Yi)

x = X0 + i ∙ h

i = 0, …, N-1

i = 1, …, n-1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (e(i) - miny) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (e(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

h = (Xk – X0)/N

i = 1, …, n-1

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (maxy - miny)

miny

minx

maxy

maxx

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(e(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(em(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

i = 1, …, n

Eiler

RungeKutta

Obhee

= Round((xk - x0) / h)

MSFlexGrid1.Cols = 4

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Рунге-Кутта"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее реш."

y0, x0,xk,h

Начало

Конец

f = (y+2)/(x+1)

f(x,y)

x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

c = (y0 + 2) / (x0 + 1)

Eiler

ReDim x(n + 1)

ReDim e(n + 1)

e(0) = y0

x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

e(i + 1) = Round(e(i) + h * f(x(i), e(i)), 3)

i = 1, …, n

Конец

Конец

i = 1, …, n

o(i) = Round((x(i) + 1) * c - 2, 3)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

Obhee

MSFlexGrid16

Picture1

Labe71

Text2

Text1

Labe41

Labe31

Label1

Text3

Labe21

Label11

Rynge4(X0, Xk, Y0, N, Y)

Text4

Command1

Label10

Labe81

Labe91

Label12

α

xi+1

хi

O

x

yi

h

yi+1

y=y(x)

B

e

A

y


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34195. Необходимость, сущность и направления государственного регулирования экономики 23.13 KB
  Необходимость сущность и направления государственного регулирования экономики. Необходимость и сущность государственного регулирования экономики Необходимость государственного вмешательства в экономику обусловлена теми недостатками и отрицательными явлениями которые развиваются в процессе функционирования свободной стихийной рыночной экономики. Необходимость государственного регулирования экономики сформировало важнейшую проблему развития большей части стран в том числе и России достижение общенационального равновесия страны....
34196. Финансовая политика государства. Государственный бюджет 20.68 KB
  Финансы денежные средства рассматриваемые в про цессе создания и движения; формируются в ходе производства распределения и перераспределения ВВП валового внутрен него продукта страны. Финансы страны совокупность фи нансов всех секторов экономики в их взаимодействии между собой и остальными странами мира. В современных условиях понятием ≪финансы≫ определяют всю систему эконо мических отношений связанную с образованием распределени ем и перераспределением денежных ресурсов. Условно можно выделить государственные финансы финансы...
34197. Налоговая система государства: цели, виды налогов, методы взимания 15.58 KB
  Налоговая система государства: цели виды налогов методы взимания В ст. Согласно Налоговому кодексу РФ под налогами понимают обязательный индивидуальный безвозмездный платеж: взимаемый с организаций и физических лиц в форме отчуждения принадлежащих им на праве собственности хозяйственного ведения или оперативного управления денежных средств в целях финансового обеспечения деятельности государства и или муниципальных образований. Совокупность налогов сборов пошлин и других обязательных платежей взимаемых в бюджет на условиях...
34198. Денежно-кредитное регулирование экономики 14.71 KB
  Понятие денежнокредитного регулирования Теории спроса и предложения денег равновесие на денежном рынке являются научной основой для проведения государством обоснованной взвешенной кредитноденежной политики направленной на стабилизацию экономического развития. Совокупность государственных мероприятий в области денежного обращения и кредита называется денежнокредитной политикой. Денежнокредитная политика представляет собой комплекс мероприятий в области денежного обращения и кредита направленных на регулирование экономического роста...
34199. Государство в переходный период в экономике России 15.78 KB
  Государственное регулирование одна из основных форм участия государства в экономической жизни состоящая в прямом или косвенном воздействии на распределение ресурсов и формирование пропорций. В настоящее время выделяют следующие формы экономического регулирования: 1 административное регулирование за счет использования лицензирования и квотирования контроля над ценами доходами валютным курсом а также других форм; 2 правовое регулирование на основе гражданского и хозяйственного законодательства путем установления системы норм и...
34200. Организм и среда 16.95 KB
  Область распространения живых существ на Земле образует особую оболочку называемую биосферой. Биосфера возникла с появлением на Земле живых существ: она занимает всю поверхность суши все водоёмы Земли – океаны моря озёра реки проникает в атмосферу – большинство организмов поднимается в воздух более чем на 50 – 70 м а споры бактерий и грибов заносятся на высоту до 22 км. Условия существования на земле очень разнообразны и определяются факторами как неорганического так и органического порядка. Все организмы на земле живут сообществами...
34201. Необратимость в эволюции 23.15 KB
  Основное направление эволюции связано с усложнением строения организмов. Но наблюдается и упрощение дегенерация организмов. Правда иногда наблюдается появление признаков когдато имевшихся у предков затем исчезнувших у последующих организмов а потом вновь появившихся у потомков. Для каждой стратиграфической единицы характерны свои группы организмов которые после вымирания вновь не могут возникнуть.
34202. Некоторые закономерности эволюции 20.63 KB
  Причины и процессы развития органического имеют определённые законы что составляет содержание теории эволюции. Эволюция – это законы развития органического мира основные положения которого разработаны Ч. процесс исторического развития органического мира может происходить только про сочетании трёх условий триада Дарвина: изменчивости наследственности естественного отбора. Выпадение из триады любого из трех факторов приводит к остановке развития органического мира.
34203. Классификация, систематика и номенклатура 24.63 KB
  Наука которая занимается систематизацией распределением животных и растений по группам получила название систематики или таксономии. Рэй который ввёл категории “ви䆓род†и бинарную номенклатуру состоящую из двух слоёв: первое слово название рода второе – вида. Бинарное название было сокращено. Вид имеет двойное название бинарное.