30065

Метод Эйлера модифицированный. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Эйлера.Метод Эйлера модифицированный. Для этого необходимо было решить уравнение yx=4y двумя разными методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного а также ряд поставленных перед собой задач: Изучить методы решения дифференциальных уравнений; Построить график и блоксхему а также Проверить правильность решения в среде MathCad. Метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

193.5 KB

71 чел.

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                                                                           Выполнил:

студент гр.: МЕ-61,

                                                                                                       Игнатенко И. А.

                                                                               Проверил:

                                                                                                   Минина Е.Е.

Екатеринбург

2006 г.

Содержание.

  1.  Введение………………………………………………………………...……..3
  2.  Постановка задачи…………………………………………………………….4
  3.  Методы решения

    2.1.Метод Эйлера……………………………………………………………...5

    2.2.Метод Эйлера модифицированный.…………………….………...……..7

  1.  Блок схема …………………………………………………………..……….10
  2.  Блок схема для функции…………………………………………………….13       
  3.  Код программы …………………………………………………………...…14
  4.  Виды форм ..……………………………………………….…………..……..16
  5.  Проверка в MathCad …………………………………………………………18

Заключение…………………………………………….………………..………..19

Введение.

    Человечество вступило в XXI веке в новую эру – эру информационного общества, где основополагающая роль будет принадлежать образованию и науке. На данном этапе развития современного общества важнейшее значение приобретают проблемы, связанные с производством, преобразованием, передачей и потреблением информации.

     В своей работе я поставил перед собой проблему: изучить основы программирования. Для этого необходимо было решить уравнение y’*x=4*y двумя разными методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного, а также  ряд, поставленных перед собой, задач:

  •  Изучить методы решения дифференциальных уравнений;
  •  Построить график и блок-схему, а также
  •  Проверить правильность решения в среде MathCad.

Постановка задачи.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида y’=4*y/x, общее решение которого y=c*x4, и заданы начальные условия x0=1, xk=1.4, h=0.05, y0=2. Требуется найти решение, удовлетворяющее как указанному уравнению, так и начальному условию.

Метод Эйлера.

Также этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

График решения приведен на рисунке 1.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 1. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 1 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов:

1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).

2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 2 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.


Блок
схема.




Блок
-схема для функции.

 


Код программы.

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Private C As Single

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = (4 * q) / t

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y(0) = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

p(0) = y(0)

z(0) = y(0)

n = Round((xk - x0) / h)

C = y(0) / x0 ^ 4

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"

Max = y(0)

Min = y(0)

For i = 0 To n

x(i) = x0 + i * h

p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)), 4)

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h, 4)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)

z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8)

Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

Виды форм.

Проверка в MathCad.

 


Заключение.

  По мере решения поставленных перед собой целей и задач, я научился работать в новой для меня среде Visual Basic.

  В своей курсовой работе я решал уравнение двумя методами: Эйлера и Эйлера модифицированного и выяснил для себя, что метод Эйлера модифицированного более точен, т.к. дает меньшую погрешность при вычислениях. Также мне пришлось поработать уже в знакомой ранее программе MathCad.

  Процесс решения данной задачи показался мне очень интересным и познавательным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39120. ТЕОРИИ ЭМОЦИОНАЛЬНЫХ ЯВЛЕНИЙ. ТЕОРИИ МОТИВАЦИОННОЙ И ВОЛЕВОЙ РЕГУЛЯЦИИ 155 KB
  Состояние когнитивного диссонанса возникает тогда: когда человек воспринимает самого себя в качестве причины возникшей когнитивной несогласованности; когда действия субъекта основаны на свободном выборе и разрушают Яконцепцию; когда люди чувствуют личную ответственность за свои неверные действия и поступки; когда такие действия и поступки имеют серьезные последствия. Когда свои действия или поступки которые вызывают когнитивный диссонанс человек не может оправдать и объяснить внешними факторами уменьшение диссонанса...
39121. СТРУКТУРНЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ МЫШЛЕНИЯ (ИНТЕЛЛЕКТА) ЧЕЛОВЕКА 163.5 KB
  Такие возможности реализуются на основе эмпирического опыта и воздействий социального окружения; эмпирическим опытом который включает: формирование двигательных навыков путем упражнения извлечение информации из опыта взаимодействия с физическим миром логикоматематический опыт организации и координации познавательных действий; воздействием социального окружения. Взаимодействие субъекта и объекта это источник любого знания который складывается из двух типов опыта: координации действий и операций которые строятся...
39122. СТРУКТУРНЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПАМЯТИ ЧЕЛОВЕКА 104.5 KB
  СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПАМЯТИ ЧЕЛОВЕКА План 1. Теории и модели памяти в когнитивной психологии 1. Модели организации процессов памяти в когнитивной психологии Кратковременная память Ограниченность объема: в среднем 57 единиц информации. На самых глубоких уровнях: а происходит когнитивная семантическая обработка путем установления различных связей с информацией в долговременной памяти; б устанавливается смысл и содержание информации осуществляется ее субъективная оценка.
39123. Структурные, функциональные и генетические теории внимания человека 63.5 KB
  Теории и модели внимания в когнитивной психологии Д. Модель внимания на основе избирательного ослабления сигналов Существует перцептивный фильтр расположенный между входными сенсорными сигналами и вербальным семантическим анализом сообщения. Стадия предвнимания: происходит быстрое извлечение и обработка информации полученной рецепторами позволяющие выделить простые и наиболее заметные признаки объектов; обработка информации производится автоматически быстро параллельно; обработка информации происходит без сознательных усилий и...
39124. ТЕОРИИ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА 86.5 KB
  ТЕОРИИ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА План Структурное и функциональное определение и объяснение сознания сохраняет свою актуальность в психологии до настоящего времени. Попытки объяснить сознание человека в истории психологии были связаны: с анализом организации процессов внимания с анализом осознаваемых и неосознаваемых мотивов человека с описанием сознания как сцены на которой представлен феноменологический опыт субъекта ассоциативная психология гештальтпсихология с трактовкой сознания как активного начала организующего в единство...
39125. МЕТОДОЛОГИЯ В НАУКЕ 177 KB
  Методология в составе научного знания Современная психология это система знаний состоящая из большого многообразия достоверных и сомнительных фактов феноменологических описаний психических явлений а также их всевозможных интерпретаций и объяснений. Методология науки это: система знаний о принципах построения формах и способах организации научного познания о способах установления степени достаточной обоснованности и верифицированности знаний получаемых в процессе научного исследования естественных природных и социальных...
39126. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОНИМАНИЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРЕДМЕТА ПСИХОЛОГИИ 98.5 KB
  Феноменологические признаки психических явлений и ошибки возникающие при восприятии субъектом собственной психики Предмет психологии чрезвычайно сложен и до настоящего времени не существует полного согласия между научными направлениями исследования психических явлений даже в том что такое психика. Существует большое разнообразие психических явлений которые может наблюдать каждый человек с достаточно развитым самосознанием. По поводу основных фиксируемых при непосредственном наблюдении признаков психических явлений не существует единой...
39127. ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 126 KB
  ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ План 1. Научное познание психических явлений и его результаты Если обыденное познание психических явлений исходно опирается на непосредственночувственные данные и эмоциональные переживания возникающие в повседневном опыте субъекта то научное познание психики предполагает соблюдение ряда строгих процедур и требований которых придерживаются в любой сфере научной деятельности. Поиск объективных методов исследования и обоснование способов анализа и объяснения психических явлений это...
39128. ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. ЭВОЛЮЦИЯ И ПСИХИКА 89 KB
  ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. Теории эволюционирования живых организмов Общебиологические теории Ж. Обе направлены на объяснение многообразия различий в формах живых организмов а также способов их приспособления к среде обитания путем формулирования и указания предполагаемых причин и законов. Движущая сила развития органического мира врожденное стремление живых организмов к прогрессивному развитию различных функций.