30065

Метод Эйлера модифицированный. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Эйлера.Метод Эйлера модифицированный. Для этого необходимо было решить уравнение y’x=4y двумя разными методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного а также ряд поставленных перед собой задач: Изучить методы решения дифференциальных уравнений; Построить график и блоксхему а также Проверить правильность решения в среде MathCad. Метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

193.5 KB

68 чел.

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                                                                           Выполнил:

студент гр.: МЕ-61,

                                                                                                       Игнатенко И. А.

                                                                               Проверил:

                                                                                                   Минина Е.Е.

Екатеринбург

2006 г.

Содержание.

  1.  Введение………………………………………………………………...……..3
  2.  Постановка задачи…………………………………………………………….4
  3.  Методы решения

    2.1.Метод Эйлера……………………………………………………………...5

    2.2.Метод Эйлера модифицированный.…………………….………...……..7

  1.  Блок схема …………………………………………………………..……….10
  2.  Блок схема для функции…………………………………………………….13       
  3.  Код программы …………………………………………………………...…14
  4.  Виды форм ..……………………………………………….…………..……..16
  5.  Проверка в MathCad …………………………………………………………18

Заключение…………………………………………….………………..………..19

Введение.

    Человечество вступило в XXI веке в новую эру – эру информационного общества, где основополагающая роль будет принадлежать образованию и науке. На данном этапе развития современного общества важнейшее значение приобретают проблемы, связанные с производством, преобразованием, передачей и потреблением информации.

     В своей работе я поставил перед собой проблему: изучить основы программирования. Для этого необходимо было решить уравнение y’*x=4*y двумя разными методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного, а также  ряд, поставленных перед собой, задач:

  •  Изучить методы решения дифференциальных уравнений;
  •  Построить график и блок-схему, а также
  •  Проверить правильность решения в среде MathCad.

Постановка задачи.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида y’=4*y/x, общее решение которого y=c*x4, и заданы начальные условия x0=1, xk=1.4, h=0.05, y0=2. Требуется найти решение, удовлетворяющее как указанному уравнению, так и начальному условию.

Метод Эйлера.

Также этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

График решения приведен на рисунке 1.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 1. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 1 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов:

1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).

2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 2 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.


Блок
схема.




Блок
-схема для функции.

 


Код программы.

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Private C As Single

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = (4 * q) / t

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y(0) = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

p(0) = y(0)

z(0) = y(0)

n = Round((xk - x0) / h)

C = y(0) / x0 ^ 4

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"

Max = y(0)

Min = y(0)

For i = 0 To n

x(i) = x0 + i * h

p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)), 4)

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h, 4)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)

z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8)

Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

Виды форм.

Проверка в MathCad.

 


Заключение.

  По мере решения поставленных перед собой целей и задач, я научился работать в новой для меня среде Visual Basic.

  В своей курсовой работе я решал уравнение двумя методами: Эйлера и Эйлера модифицированного и выяснил для себя, что метод Эйлера модифицированного более точен, т.к. дает меньшую погрешность при вычислениях. Также мне пришлось поработать уже в знакомой ранее программе MathCad.

  Процесс решения данной задачи показался мне очень интересным и познавательным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25809. Фиброма носоглотки. Паралич мягкого неба 14.89 KB
  Паралич мягкого неба. Паралич мягкого неба. У детей нередко наблюдается паралич мягкого неба. Чаще всего такой паралич возникает при дифтерии.
25810. Заболевания гортани. Аномалии развития. Инородные тела гортани 16.5 KB
  Заболевания гортани. Инородные тела гортани. В некоторых случаях наблюдается врожденная диафрагма гортани тонкая перепонка между истинными голосовыми связками или под ними оставляющая небольшой просвет через который проходит воздух. Острое воспаление слизистой оболочки гортани острый ларингит развивается чаще всего как часть разлитого поражения слизистой верхних дыхательных путей при гриппе или сезонном катаре верхних дыхательных путей.
25811. Острый и хронический ларингит 15.39 KB
  Острый и хронический ларингит Острый ларингит. Острое воспаление слизистой оболочки гортани или острый ларингит развивается чаще всего как часть разлитого поражения слизистой оболочки дыхательных путей при гриппе и так называемом сезонном катаре верхних дыхательных путей. Острый ларингит длится недолго и при правильном лечении проходит в течение 7 10 суток. При остром ларингите нередко возникает припухание слизистой оболочки гортани под истинными голосовыми связками подсвязочный ларингит.
25812. Узелки голосовых складок 13.99 KB
  Узелки голосовых складок Узелки голосовых складок связок доброкачественные разрастания образующиеся вследствие постоянной перегрузки голосовых складок. Отмечено что чаще всего узелки голосовых складок появляются у женщин в возрасте 20 – 50 лет. Перегрузка голосовых складок приводит к формированию на них небольших уплотнений. Обычно узелки на голосовых складках расположены симметрично.
25813. Фиброма голосовой складки. Папиллома гортани 16.55 KB
  Фиброма голосовой связки называемая иногда полипом гортани представляет собой округлую опухоль с гладкой поверхностью. Иногда фиброма сидит на широком основании но значительно чаще она имеет тонкую ножку . Растет фиброма медленно величина ее колеблется от размеров просяного зерна до крупной горошины. В тех случаях когда фиброма образуется на верхней или нижней поверхности голосовой связки она может долго не вызывать заметных изменений голоса; если же она исходит из свободного края связки то возникает хрипота выраженная тем более резко...
25814. Нервно-мышечные нарушения гортани 15.35 KB
  Паралич нижнегортанного возвратного нерва и его ветвей сопровождается поражением всех внутренних мышц соответствующей половины гортани как суживающих так и расширяющих голосовую щель. В результате несмыкания истинных голосовых связок при фонации происходит утечка воздуха через несомкнутую голосовую щель голосообразование резко нарушается возникает афония и становится возможной только шепотная речь. Так при параличе внутренней щиточерпаловидной мышцы составляющей основу истинной голосовой связки голосовая щель во время фонации зияет...
25815. Профилактика нарушений голоса и речи у детей. Охрана голоса у педагогов 14.15 KB
  Профилактика нарушений голоса и речи у детей. Профилактика нарушения речи у детей проводится при помощи специальных упражнений суть которых – помочь в расстановке правильного ударения формировании правильного дыхания артикуляции фонации и развитии словесного мышления. Очень важно использовать методики дыхательной гимнастики для устранения заикания и других видов нарушения речи. Для устранения дефектов голоса и речи вызванных анатомическими нарушениями в органах голосообразования и артикуляции требуются обычно медицинские мероприятия в...
25816. Основные этапы речевого акта: образование воздушной струи, голосообразование, образование звуков 15.39 KB
  Этот отдел отвечает за силу голоса участвует в образовании речи обеспечивает плавность речи. Функция генераторного отдела: образование голоса и звуков. Функция резонаторного отдела: усиление голоса и звукообразования. Пассивные: отчётливость голоса достигается благодаря резонаторам.
25817. Особенности дыхания при голосообразовании 11.97 KB
  Поэтому речевое дыхание имеет свои особенности: дыхательный цикл который состоит из вдоха и выдоха удлиняется; продолжительность выдоха больше а вдох укорачивается; увеличивается жизненная ёмкость лёгких; частота дыхания уменьшается. при речевом дыхании вдох активней через рот; особенность выдоха в том что он осуществляется при участии дыхательных мышц.