30065

Метод Эйлера модифицированный. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Эйлера.Метод Эйлера модифицированный. Для этого необходимо было решить уравнение y’x=4y двумя разными методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного а также ряд поставленных перед собой задач: Изучить методы решения дифференциальных уравнений; Построить график и блоксхему а также Проверить правильность решения в среде MathCad. Метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

193.5 KB

68 чел.

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                                                                           Выполнил:

студент гр.: МЕ-61,

                                                                                                       Игнатенко И. А.

                                                                               Проверил:

                                                                                                   Минина Е.Е.

Екатеринбург

2006 г.

Содержание.

  1.  Введение………………………………………………………………...……..3
  2.  Постановка задачи…………………………………………………………….4
  3.  Методы решения

    2.1.Метод Эйлера……………………………………………………………...5

    2.2.Метод Эйлера модифицированный.…………………….………...……..7

  1.  Блок схема …………………………………………………………..……….10
  2.  Блок схема для функции…………………………………………………….13       
  3.  Код программы …………………………………………………………...…14
  4.  Виды форм ..……………………………………………….…………..……..16
  5.  Проверка в MathCad …………………………………………………………18

Заключение…………………………………………….………………..………..19

Введение.

    Человечество вступило в XXI веке в новую эру – эру информационного общества, где основополагающая роль будет принадлежать образованию и науке. На данном этапе развития современного общества важнейшее значение приобретают проблемы, связанные с производством, преобразованием, передачей и потреблением информации.

     В своей работе я поставил перед собой проблему: изучить основы программирования. Для этого необходимо было решить уравнение y’*x=4*y двумя разными методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного, а также  ряд, поставленных перед собой, задач:

  •  Изучить методы решения дифференциальных уравнений;
  •  Построить график и блок-схему, а также
  •  Проверить правильность решения в среде MathCad.

Постановка задачи.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида y’=4*y/x, общее решение которого y=c*x4, и заданы начальные условия x0=1, xk=1.4, h=0.05, y0=2. Требуется найти решение, удовлетворяющее как указанному уравнению, так и начальному условию.

Метод Эйлера.

Также этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

График решения приведен на рисунке 1.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 1. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 1 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов:

1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).

2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 2 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.


Блок
схема.




Блок
-схема для функции.

 


Код программы.

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Private C As Single

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = (4 * q) / t

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y(0) = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

p(0) = y(0)

z(0) = y(0)

n = Round((xk - x0) / h)

C = y(0) / x0 ^ 4

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"

Max = y(0)

Min = y(0)

For i = 0 To n

x(i) = x0 + i * h

p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)), 4)

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h, 4)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)

z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8)

Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

Виды форм.

Проверка в MathCad.

 


Заключение.

  По мере решения поставленных перед собой целей и задач, я научился работать в новой для меня среде Visual Basic.

  В своей курсовой работе я решал уравнение двумя методами: Эйлера и Эйлера модифицированного и выяснил для себя, что метод Эйлера модифицированного более точен, т.к. дает меньшую погрешность при вычислениях. Также мне пришлось поработать уже в знакомой ранее программе MathCad.

  Процесс решения данной задачи показался мне очень интересным и познавательным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34058. Соотношение земельного права с гражданскими и административным правом 63 KB
  Соотношение земельного права с гражданскими и административным правом. РАЗГРАНИЧЕНИЕ НОРМ ЗЕМЕЛЬНОГО ГРАЖДАНСКОГО И ИНЫХ ОТРАСЛЕЙ ПРАВА Вопрос о разграничении сферы действия норм гражданского земельного административного права при регулировании земельных отношений возникает потому что не ко всем хотя и схожим по своей природе земельным отношениям допустимо применение норм иных отраслей права. Известно что применение норм гражданского права значительно расширяется. Применение их бывает не только желательно но и необходимо...
34059. Источники земельного права: понятие, классификация и система 34 KB
  Источники земельного права: понятие классификация и система. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ИСТОЧНИКОВ ЗЕМЕЛЬНОГО ПРАВА Целесообразно вначале хотя бы кратко остановиться на некоторых теоретических вопросах необходимых для дальнейшего усвоения учебного материала. Для надлежащего понимания описываемх институтов земельного права необходимо объяснить понятие источника права вообще и земельного в частности показать возможность их разнообразия и видов в различных странах и в России для того чтобы более осмысленно осуществлять земельноправовые...
34060. История правового регулирования земельных отношений в России 51.5 KB
  до возврата многообразия форм собственности на землю в наше время как единую цепь государственных преобразовательных усилий и противоречивых результатов. одной из наиболее крупных вех в истории земельного права России крестьяне как одно из сословий не обладали практически никакими самостоятельными правами на землю закрепленными в законодательстве. В том что касалось прав крестьян на землю его роль заключалась в некотором упрощении получения приобретения земельных участков крестьянами на праве личной собственности не...
34061. Земельная реформа в Российской Федерации: этапы, сроки, содержание (с 1990 года) 28 KB
  В определенной степени следуя происходящим социальным переменам законодательство Российской Федерации этого времени признало право собственности граждан на землю. Конституцией было закреплено что земля может находиться в частной муниципальной государственной и иных формах собственности. О собственности было установлено что имущество может находиться в частной государственной муниципальной собственности и собственности общественных объединений организаций. Этим же Законом было установлено что объектами права собственности...
34062. Мониторинг земель в Российской Федерации: задачи, содержание и порядок ведения мониторинга земель 25 KB
  Мониторинг земель в Российской Федерации: задачи содержание и порядок ведения мониторинга земель Мониторинг земель это система наблюдений за состоянием земельного фонда.Задачи мониторинга и порядок его ведения установлены Положением об осуществлении государственного мониторинга земель утвержденным Постановлением Правительства РФ от 28 ноября 2002 г.Задачами мониторинга земель являются: своевременное выявление изменений состояния земель оценка этих изменений прогноз и выработка рекомендаций о предупреждении и устранении последствий...
34063. Контроль за использованием и охраной земель: понятие, виды 35.5 KB
  Контроль за использованием и охраной земель: понятие виды Новый Земельный кодекс значительно расширил понятие контроля за использованием и охраной земель и дал классификацию его видов посвятив этому самостоятельную главу главу XII. В Земельном кодексе РСФСР 1991 г. хотя соответствующие отношения в нем и были выделены в отдельный раздел раздел X говорилось лишь о государственном контроле за использованием и охраной земель. В Земельном же кодексе Российской Федерации сказано также об иных его видах и кроме того используется обобщенное...
34064. Государственный земельный контроль: понятие, функции органов 33 KB
  Государственное регулирование земельных отношений является частью государственного управления в целом. Государственное регулирование земельных отношений это целенаправленная деятельность государственных органов по организации рационального использования земель и их охраны путем принятия экономикоправовых мер. Тем более что в настоящее время центр тяжести должен быть перемещен от командноадминистративного управления землей к заново разработанной системе экономического регулирования земельных отношений в России когда субъектами этих...
34065. Сравнение физических свойств и химического состава морской воды 834.27 KB
  Изучение литературных и интернет-источников по данной теме. Освоение методик ведения физических и химических исследований по изучению свойств и химического состава морской воды. Определение физических свойств морской воды: плотности, мутности, электропроводности. Определение химических компонентов воды: гидрокарбонат -ионов, сульфат- ионов, нитрат- ионов, хлорид ионов, бромид-ионов, уровень рН.
34066. Переоформление прав на земельные участки: основания, порядок 101 KB
  Любое из перечисленных прав подлежит государственной регистрации осуществляемой уполномоченным государственным органом в соответствии с Федеральным законом от 21 июля 1997 г. N 122ФЗ О государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним . Именно с момента государственной регистрации прав на земельный участок можно считать данные права возникшими. 8 ГК РФ права на имущество подлежащие государственной регистрации возникают с момента регистрации соответствующих прав на него если иное не установлено законом.