30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

4 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78856. Методы научного познания и их классификация 41.5 KB
  Методы научного познания и их классификация Метод систематизированная совокупность шагов действий кые необходимо предпринять чтобы решить определенную задачу или достичь определенной цели. Методы эмпирического познания Методы теоретического познания. Моделирование от лат – образец мира – метод при ком исследуемый объект оригинал замещается другим модель специально созданным для его изучения. Рефлексия – основной метод метатеоретического познания в науке познание обращенное ученым на самого себя.
78857. Ценности и их роль в познании 35.5 KB
  Ценности и их роль в познании Философское учение о ценстях и их природе называется аксиологией. Эпоха Возрождения выдвигает на первый план ценсти гуманизма. В Новое время развитие науки и новых общественных отношений во многом определяют и основной подход к рассмотрению предметов и явлений как ценстей. Кант впервые употребляет понятие ценсти в специальном узком смысле.
78858. Проблема истины в познании 14.2 KB
  Проблема истины в познании. Важнейшая проблема в познании это проблема истины. Такое понимание истины было продолжено и материалистами Нового времени.в Софисты считали что объективной истины нет: Человек мера всех вещей.
78859. Интернализм и экстернализм в понимании механизмов научной деятельности 14.04 KB
  Анализируя многообразие течений философии науки можно выделить две различные стратегии: 1 интернализм; 2 экстернализм Экстерналистские взгляды впервые возникли еще в период становления классической науки и признают решающим движущим фактором развития науки внешние для нее обстоятельства – социальные экономические и т. По мнению экстерналистов не только возникновение науки но и дальнейшее ее развитие всецело определяется потребностями общества. Тем не менее все эксерналисты сходятся в том что решающее влияние на развитие науки оказывает...
78860. Научные революции и их роль в динамике научного знания 31 KB
  Научные революции и их роль в динамике научного знания В динамике научного знания особую роль играют этапы развития связанные с перестройкой исследовательских стратегий задаваемых основаниями науки. Основания науки обеспечивают рост знания до тех пор пока общие черты системной организации изучаемых объектов учтены в картине мира а методы освоения этих объектов соответствуют сложившимся идеалам и нормам исследования. Но по мере развития науки она может столкнуться с принципиально новыми типами объектов требующими иного видения реальности...
78861. Проблема роста научного знания у К. Поппера 29 KB
  Проблема роста научного знания у К. Говоря о росте знания он имеет в виду не его накопление а ниспровержение старых научных теорий и их замену лучшими научными теориями. В своей концепции он формулирует три основных требования к росту знания: 1 Новое знание должно исходить из новой простой идеи; 2 Новое знание должно приводить к представлению явлений которые до сих пор не наблюдались; 3 Новое знание должно выдерживать новые и строгие поверки В частности именно он ввёл понятие фальсифицируемости лат. flsus – ложный необходимого...
78862. Концепция исследовательских программ Лакатоса 30 KB
  Концепция исследовательских программ Лакатоса Лакатос автор теории и методологии научноисследовательских программ в рамках которых вслед за К. Лакатос полагает что основой теории научной рациональности должен стать принцип критицизма универсальный принцип всякой научной деятельности. Лакатос полагает что можно на протяжении длительного времени защищать любую теорию даже если эта теория ложна. Cуть концепции Лакатоса: Согласно Лакатосу в науке образуются не просто цепочки сменяющих одна другую теорий о которых пишет Поппер но...
78863. Эволюция концепции науки в позитивизме 29.5 KB
  Эволюция концепции науки в позитивизме. Позитиви́зм философское учение и направление в методологии науки определяющее единственным источником истинного действительного знания эмпирические исследования и отрицающее познавательную ценность философского исследования. Сущность позитивистской концепции соотношения философии и науки отражается во фразе О. Эталоном научного знания для позитивизма является естествознание методы которого автоматически переносятся на другие науки в том числе социальногуманитарные.
78864. Проблемы развития науки в постпозитивизме 13.56 KB
  Проблемы развития науки в постпозитивизме. философии науки развивается течение постпозитивизма. Постпозитивисты Поппер Мун Лакатос Фейрабенб Полани подвергли критике позитивистский идеал факта введя в анализ науки историческое социологическое и культурологическое измерение. Постпозитивизм общее название используемое в философии науки для обозначения множества методологических концепций пришедших на смену тем которые были присущи методологии логического позитивизма.