30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

5 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15603. ФЕНОМЕН ВРЕМЕНИ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО БЫТИЯ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ ФИЛОСОФИИ КУЛЬТУРЫ 50.5 KB
  ФЕНОМЕН ВРЕМЕНИ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО БЫТИЯ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ ФИЛОСОФИИ КУЛЬТУРЫ Феномен времени интересовал людей на протяжении всей мировой истории во все эпохи но сегодня на рубеже XXXXI вв. сложилась совершенно особая не имеющая прецедентов ситуация постоянного тотальног...
15604. ПРОГНОСТИЧЕСКАЯ ФУНКИЯ СОЦИАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ В ФОРМИРОВАНИИ НОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СТРУКТУРЕ ОБЩЕСТВЕННОГО СОЗНАНИЯ 35.5 KB
  ПРОГНОСТИЧЕСКАЯ ФУНКИЯ СОЦИАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ В ФОРМИРОВАНИИ НОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СТРУКТУРЕ ОБЩЕСТВЕННОГО СОЗНАНИЯ Для более четкого и конкретного определения функций философии следует учесть дифференциацию форм социальнофилософской рефлексии. В наиболее общей фор...
15605. СОВРЕМЕННАЯ ПЕДАГОГИКА И ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ 32 KB
  СОВРЕМЕННАЯ ПЕДАГОГИКА И ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ Безразличие ученика к учителю и вообще к педагогическому процессу является сегодня одной из самых острых проблем образования которая в свою очередь перерастает в еще более сложную проблему тотального без
15608. ДИХОТОМИЯ «ФИЛОСОФИЯ – МАТЕМАТИКА» 69.11 KB
  ДИХОТОМИЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКА Рассматривая соотношение философии и математики в философии математики выделяют ряд общих моментов. Философия и математика самые древние формы научного познания. Описывают предельное и универсальное абстрагируясь от р...
15610. СОВРЕМЕННАЯ АКТУАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ 238.92 KB
  СОВРЕМЕННАЯ АКТУАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ Кризис охвативший человечество является системным и глобальным. Наибольшей угрозой для человечества является угроза изменения климата. Согласно выводам 4го доклада комиссии ООН IPCC2 по изменению климата следует ожидать в будущ...
15611. ПРОБЛЕМА НАЦИОНАЛЬНОЙ ИДЕНТИЧНОСТИ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ: СОЦИАЛЬНО-ФИЛОСОФСКИЙ АСПЕКТ 39.5 KB
  ПРОБЛЕМА НАЦИОНАЛЬНОЙ ИДЕНТИЧНОСТИ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ: СОЦИАЛЬНОФИЛОСОФСКИЙ АСПЕКТ При всем многообразии национального и мирового кризиса главный кризис который переживает сегодня Россия это кризис национальной идентичности т.е. потеря Россией историчес