30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

5 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17923. ПРИРОДНИЙ ТА ТРУДОРЕСУРСНИЙ ПОТЕНЦІАЛ УКРАЇНИ 350 KB
  Лекція 7 ТЕМА: ПРИРОДНИЙ ТА ТРУДОРЕСУРСНИЙ ПОТЕНЦІАЛ УКРАЇНИ Розділ 1. ПРИРОДНОРЕСУРСНИЙ ПОТЕНЦІАЛ УКРАЇНИ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Структура природно ресурсного потенціалу. Місце України в світових природних ресурсів і міра забезпе
17924. ЕКОНОМІКА РЕГІОНІВ УКРАЇНИ: СТАН І ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ 249.5 KB
  Лекція 11-12 ТЕМА: ЕКОНОМІКА РЕГІОНІВ УКРАЇНИ: СТАН І ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Характеристика продуктивних сил економічних районів: Донецького Придніпровського ПівнічноСхідного Центрального Столичного Південного Прич
17925. МІЖНАРОДНІ ЕКОНОМІЧНІ ЗВЯЗКИ 167 KB
  Лекція 13 ТЕМА: МІЖНАРОДНІ ЕКОНОМІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Сутність і значення міжнародного поділу праці у формуванні зовнішньоекономічних зв'язків. 2. Основні форми економічного співробітництва країн світу. 3. Експортний потенціа
17926. ГОСПОДАРСЬКИЙ КОМПЛЕКС УКРАЇНИ, ЙОГО СТРУКТУРА І ТРАНС-ФОРМАЦІЯ В РИНКОВИХ УМОВАХ 136 KB
  Лекція 8 ТЕМА: ГОСПОДАРСЬКИЙ КОМПЛЕКС УКРАЇНИ ЙОГО СТРУКТУРА І ТРАНСФОРМАЦІЯ В РИНКОВИХ УМОВАХ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Економіка України як єдиний народногосподарський комплекс. 2. Структура економіки її сутність та поняття. 3. Регіональні ...
17927. Анализ эффективности использования основных средств 84.5 KB
  Лекция 7. Анализ эффективности использования основных средств Основные средства совокупность материальных активов в форме средств труда которые многократно участвуют в процессе производственнокоммерческой деятельности и переносят на продукцию свою стоимость ч...
17928. Платежные системы. Конспект лекций 3.65 MB
  Средством межфилиальных расчетов были авизо по МФО, которые складывались и направлялись в расчетно-кассовые центры (РКЦ) при Центральном банке. Авизо, как правило, пересылались средствами спецпочты (бумажные почтовые авизо) или телеграфом (телеграфные авизо).
17929. ТЕОРЕТИЧНІ ТА ОРГАНІЗАЦІЙНІ ОСНОВИ ФІНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТУ 284 KB
  Основний зміст фінансового менеджменту полягає в управлінні формуванням, розподілом і використанням фінансових ресурсів суб’єктів господарювання та оптимізації обороту їх грошових коштів
17930. СИСТЕМА ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ФІНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТУ. АНАЛІЗ ФІНАНСОВИХ ЗВІТІВ 786.5 KB
  Організаційний механізм – це совокупність правил, організаційно-правових нормативів і стандартів, що визначають та регулюють структуру фінансового управління.
17931. Внутрішньофірмове фінансове прогнозування та планування 72.5 KB
  3. Внутрішньофірмове фінансове прогнозування та планування 3.1. Завдання та методи фінансового планування і прогнозування 3.2. Система фінансових планів підприємства 3.3. Сутність та особливості бюджетування внутрішніх підрозділів підприємства 3.4. Розробка бюджетів с...