30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

5 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69336. Предмет і зміст ТАК 31.5 KB
  Під керуванням називають будьяку дію яка вносить бажані зміни в процес цілеспрямована дія і ґрунтується на використанні початкової і робочої інформації. Ампер виконуючи класифікацію існуючих і можливих у подальшому наукових напрямків розвитку запропонував...
69337. Загальні відомості про системи автоматичного керування 672 KB
  Система автоматичного керування сукупність обєкта керування та зєднаних та зєднаних певним чином елементів взаємодією яких забезпечується розвязання поставленого завдання керування обєктом. Критерій управління це мета керування звичайно вона виражається математично.
69338. Статика і динаміка систем автоматичного керування 86.5 KB
  Приклад складання диференційних рівнянь елементів автоматичної системи 1. Існує три форми запису рівнянь статики: в абсолютних величинах відхиленнях і відносних величинах. Запис рівнянь статики в абсолютних величинах .
69339. ПОДАТОК НА ПРИБУТОК ПІДПРИЄМСТВ 353 KB
  Податок на прибуток підприємств є одним із видів прямого оподаткування прибуткового і оподатковує доходи юридичних осіб на відміну від податку з доходів фізичних осіб який стягується з громадян.
69340. ПОДАТОК З ДОХОДІВ ФІЗИЧНИХ ОСІБ 239.5 KB
  В Україні відсоткова вага цього податку в обсязі доходів була не досить значна 10 від суми податкових надходжень у 1994 році що було наслідком відповідних пропорцій розподілу ВВП на фонд заробітної плати і прибуток.
69341. Фіксований сільськогосподарський податок 47.5 KB
  Виробники сільськогосподарської продукції можуть вибирати порядок оподаткування їх доходів або за загальною системою або за фіксованим податком у разі якщо обсяг реалізації сільськогосподарської продукції перевищує 75 загальної суми валового доходу.
69342. СПРОЩЕНА СИСТЕМА ОПОДАТКУВАННЯ СУБ’ЄКТІВ МАЛОГО ПІДПРИЄМНИЦТВА 67 KB
  З метою реалізації державної політики з питань розвитку та підтримки малого підприємництва ефективного використання його можливостей у розвитку національної економіки з 1 січня 1999 року було запроваджено спрощену систему оподаткування обліку та звітності...
69343. ПЛАТА ЗА ЗЕМЛЮ 67.5 KB
  Земля є одним з найстаріших в історії обєктом оподаткування. І хоч зараз плата за землю не має суттєвого бюджетного значення існування цього податку зумовлено цілим рядом чинників. З фіскальної точки зору надходження від плати за землю мають стабільний характер...
69344. ПОДАТОК З ВЛАСНИКІВ ТРАНСПОРТНИХ ЗАСОБІВ 82.5 KB
  Платниками податку з власників транспортних засобів та інших самохідних машин і механізмів є юридичні і фізичні особи які мають зареєстровані в Україні власні транспортні засоби які є об’єктами оподаткування. Об’єктами оподаткування є: трактори колісні; сідельні тягачі...