30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

6 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47774. Екологія. Раціональне природокористування 1.08 MB
  Курс лекцій підготовлений відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалавра напрямку 0501 – “Економіка і підприємництво” з врахуванням вимог Болонської декларації.
47775. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ДИСЦИПЛІНИ. ОБЛІК І ЗВІТНІСТЬ В КОРПОРАЦІЯХ 149.5 KB
  ПІДПРИЄМСТВА КОРПОРАТИВНОГО ТИПУ ТА ЇХ ВПЛИВ НА ОРГАНІЗАЦІЮ ОБЛІКУ І ФІНАНСОВОЇ ЗВІТНОСТІ. Згідно з юридичним обєднанням підприємств: або активи та зобовязання одного підприємства передаються іншому підприємству а перше підприємство ліквідується; б або активи та зобовязання обох підприємств передаються новому підприємству а обидва попередні підприємства ліквідуються. 2 економічне обєднання що є наслідком придбання поглинання за якого підприємства після обєднання залишаються самостійними юридичними одиницями. У результаті...
47776. Курс лекцій. Менеджмент 1.85 MB
  Централізація і децентралізація управління. Організаційні структури управління. Класифікація і характеристики типів організаційних структур управління. Тема 9 Управління колективами групами працівників.
47777. Курс лекцій. Ісагогіка Священного Писання Старого Завіту 1.3 MB
  Післяполонні пророки47 Неканонічні книги48 Старозавітні апокрифи.52 Свідчення Премудрості Ісуса сина Сираха про формування старозавітного канону55 Свідчення ІІї Маккавейської книги про формування старозавітного канону . належить лише рукопис Книги пророка Єремії ІІІ ст. рукопис Книги пророка Ісаї ІІ ст.
47778. Основи правознавства. Курс лекцій 1.21 MB
  Рекомендована література: Конституція України. З Конституції України встановлює що людина її життя і здоров'я честь і гідність недоторканність і безпека визнаються в Україні найвищою соціальною цінністю. Основні принципи зовнішньої політики України визначені в Декларації про державний суверенітет України 1990 р.
47780. Курс лекцій. Економіка підприємства 1.28 MB
  асистент Курс лекцій щодо вивчення дисципліни ЕКОНОМІКА ПІДПРИЄМСТВА для студентів спеціальності 6.6 Модуль 1 Загальна характеристика підприємства та його потенціал 1. Інноваційні процеси 10: Технікотехнологічна база підприємства 11. Економічна безпека підприємства 19.
47781. КРАЇНОЗНАВСТВО (КРАЇНИ СНД). КУРС ЛЕКЦІЙ 1.08 MB
  Загарбання Московською державою нових територій підготувало грунт для проголошення Росії імперією що сталося у вересні 1721 р. Послідовне здійснення Петром І реформ і зумовлені ними успіхи як на фронтах Північної війни так і в придушенні внутрішнього опору призвели до суттєвих змін у зовнішньополітичній концепції Росії. Саме Катерина ІІ продовжила активну і наступальноагресивну зовнішньополітичну діяльність Росії. Наступним зовнішньополітичним успіхом Росії стало здобуття у союзі з Австрією перемоги у війні з Туреччиною 17871791 рр.
47782. Закономірності зовнішньої форми кристалів 83.5 KB
  Поняття про кристали. У сучасній техніці кристали широко використовуються у радіотехніці електроніці автоматиці телемеханіці оптиці. Сьогодні у промислових умовах вирощують штучні кристали алмаз кварц напвпровідникові матеріали германій кремній різноманітні сполуки.