30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

5 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31622. ЗАХВОРЮВАННЯ НИРОК 85.5 KB
  Гломерулонефрит двохстороннє дифузне захворювання нирок алергійної природи. Гострий гломерулонефрит ГГН найбільш розповсюджене захворювання нирок особливо у молодому віці 2040 років має тривалий сезонний перебіг загострюється з жовтня по березень і є причиною розвитку ХНН. гіпертензивний синдром виникає у зв’язку із гіпоксією юкстагломерулярного апарату нирок що веде до активації ренінангіотензинальдостеронвазопресинної системи і супроводжується виникненням реноваскулярної гіпертензії.
31623. ІНФЕКЦІЙНИЙ ПРОЦЕС 81.5 KB
  Розвиток і перебіг інфекційного процесу викликаного різними патогенними мікроорганізмами характеризуються в цілому однотипністю але разом з тим існують визначені відмінні риси цього процесу обумовлені насамперед характером інфекційного фактора а також реактивністю макроорганізму і впливом на нього умов навколишнього середовища. Усі збудники інфекційних хвороб відбулися від вільно живучих мікроорганізмів сапрофітів що набули в ході еволюції здатність до паразитизму існуванню за рахунок живильних речовин організму хазяїна. Надходження...
31624. ПАТОГЕННА ДІЯ ФАКТОРІВ ЗОВНІШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА 77.5 KB
  Крашсиндром це патологічний процес який розвивається в потерпілих у результаті тривалого 48 г і більше роздавлювання м’яких тканин кінцівок уламками зруйнованих будинків споруджень брилами ґрунту при обвалах у шахтах і ін. Головною ознакою стадії декомпенсації є зниження температури ядра тіла що закономірно приводить: а до зменшення швидкості всіх біохімічних реакцій в організмі у тому числі і процесів біологічного окислювання; б при цьому різко зменшується споживання кисню й утворення АТФ у клітинах; в дефіцит...
31625. ПАТОЛОГІЧНА ФІЗІОЛОГІЯ НИРОК 85 KB
  Ниркову недостатність класифікують наступним чином: 1 У залежності від причин розвитку недостатність нирок може бути: а преренальною порушення кровопостачання нирок б ренальною порушення функції клубочків клубочкової фільтрації і ниркових канальців канальцевої реабсорбції і секреції в постренальною порушення що виникають на шляху відтоку сечі і г аренальною порушення обумовлені відсутністю нирок. Причиною цього є перешкоди відтоку фільтрату чи сечі при ушкодженні канальців закупорка канальців некротчними...
31626. ПАТОЛОГІЯ ВІНЦЕВОГО КРОВООБІГУ 77 KB
  Перш ніж розглянути коронарну недостатність слід зупинитися на особливостях вінцевого кровообігу який характеризується: 1 Високим рівнем екстракції кисню в капілярах серця 7075 у головному мозку 25 у скелетних м’язах і печінці 20 що пояснюється значною довжиною капілярного русла серця і у зв’язку з цим тривалим часом контакту крові із стінкою капілярів. Тому при збільшенні потреби серця в О2 вона не може бути забезпечена шляхом збільшення екстракції О2 як у скелетних м’язах оскільки остання і так є максимально можливою в...
31627. ПАТОЛОГІЯ ВОДНО-ЕЛЕКТРОЛІТНОГО ОБМІНУ 86.5 KB
  Внутрішній обмін води залежить від збалансованості між поступленням рідини в організм і її виділенням за один і той же час. N K C Mg ВКС 100 1600 10 130 МКС 1480 45 20 10 ВСС 1420 40 25 15 Із таблиці бачимо що основним електролітом плазми і міжклітинної рідини є N а внутрішньоклітинної рідини – K і Mg2 що забезпечує осмотичний тиск всередині клітин. Дегідратація – зменшення об’єму позаклітинної рідини в організмі коли втрата води переважає над поступленням і виникає негативний водний баланс. Ізоосмолярна дегідратація –...
31628. ПАТОЛОГІЯ ГІПОТАЛАМО-ГІПОФІЗАРНОЇ СИСТЕМИ, ГОНАД і ЕПІФІЗА 89 KB
  Порушення функції гіпоталамоаденогіпофізарної системи. Патогенна дія факторів зовнішнього і внутрішнього середовища негативні емоції біль психічні порушення і т. Механізми виникнення дисфункції гіпоталамоаденогіпофізарної системи: 1 Порушення центральної регуляції нейроендокринних зон гіпоталамуса. 2 Порушення утворення і виділення релізінггормонів клітинами гіпоталамусу.
31629. ПАТОЛОГІЯ ЕНДОКРИННОЇ СИСТЕМИ 80.5 KB
  За функціональних ефектами гормони поділяють на: а ефекторні діють безпосередньо на органимішені; б тропні регулюють синтез ефекторних гормонів; в релізінггормони регулюють синтез і секрецію тропних гормонів. Основні властивості гормонів: 1 утворюються спеціалізованими клітинами ендокринних залоз; 2 секретуються в кров або інші циркулюючі рідини; 3 характеризуються специфічністю впливу який пов’язаний із існуванням “клітинмішеней†які мають особливі рецептори до конкретного гормону; 4 володіють високою біологічною...
31630. ПАТОЛОГІЯ ЗОВНІШНЬОГО ДИХАННЯ 78.5 KB
  Дихальну недостатність класифікують: 1 За клінічним перебігом розрізняють: а гостру і б хронічну недостатність дихання. 2 За клінічними проявами недостатність дихання може бути: а компенсованою і б декомпенсованою. Вентиляційна недостатність дихання виникає внаслідок порушень обміну газів між атмосферним повітрям і альвеолами легень тобто в результаті порушень легеневої вентиляції гіповентиляції.