30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

4 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57638. INFINITIVE 91 KB
  Use the correct form of the Infinitive: Speak louder if you want... (to hear, to be heard) Don’t talk too much if you want people...(to listen, to be listened) to you. Ask yourself always: how can this... (do, be done). I am glad... (to take, to be taken) your advice.
57639. Travelling. The Visit to Kyiv 55.5 KB
  What is it? Railway station. Imagine that we will go to a trip to Kyiv. This is the map of the centre of Kyiv. So, the topic of our lesson is “The Visit to Kyiv”. Children, who helps us to know more about interesting places?
57640. Kyiv is the capital of Ukraine. Main cities 11.79 MB
  Good morning! I`m glad to see you Come here, make a circle and say a compliment. Choose a card and choose your team. They are: Tulips, Roses, Daffodils. We shall compete in some tasks and I will give you the scores. I wish you good luck.
57641. Languages of the world 128.5 KB
  You see that the first language in the list is Mandarin (Chinese) and the second is English. 6-й слайд Teacher: What do we know about languages? The oldest written language is Egyptian Mandarin Chinese is spoken by 700 million people. India has 845 languages.
57643. Health and Healthy Living 60 KB
  It’s great when we are well. But sometimes we have problems with our health. What do we feel? Call some symptoms: a headache, a backache, a toothache, a stomach ache, a burn, a bee sting, a cough, a running nose...
57644. Мистецтво робити покупки 35 KB
  Опрацювати лексику – назви магазинів та товарів, які там продаються; вчити переглядовому читанню тексту; вчити складати діалоги; повторити вживання структур у пасивному стані.
57645. Mass Media 79 KB
  Teacher’s objectives: to perfect students’ cognitive and creative skills; to define the problematic areas in students’ speaking, reading, listening of the giving topics; to develop students’ speaking and listening comprehension skills...
57646. Роль грошей у житті людства 44.5 KB
  Good morning my students and our guests! Sit down,please. It’s so nice to see you. How are you? Thank you. I’m fine too. So prepare everything required for the lesson. Make yourself comfortable and be attentive.