30071

Метод Эйлера модифицированный

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод ЭйлераКоши или метод РунгеКутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка. Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность нежели метод Эйлера.

Русский

2013-08-22

336.74 KB

5 чел.

Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:  

Выберем шаг:

         и введём обозначения:      и , где  …,

                                -узлы сетки,

                                -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:

А(,), С(, и В.          Через точку А проведём прямую под углом , где:

                           .

На этой прямой найдём точку:                                         С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где

                   ,.

Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.

Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .

После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.


Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

 Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием:

.

Выберем шаг:

    =0,1

и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

                               -узлы сетки,

                               -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

 Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.


Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2

Следовательно, точка B имеет координаты (1.1;  1.2).


Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055

k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403

k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406

k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346

y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619

y2=1+(-0,03619)=0,964

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38432. Моделирование процесса нанесения краски устройством с применением робота Kawasaki 3.31 MB
  Определить параметры траекторного движения захвата декартовы координаты углы Эйлера скорости обеспечивающие непрерывное точное и безошибочное выполнение технологических операций. Пульт выполняет серию важных задач: Ручное управление роботом Обучение данных позиции координат Обучение вспомогательных данных блочное программирование Рис. В языке используется термин позиция так как этот термин выбран в стандарте ISO фактически же позицией является совокупность трёх координат конца центра схвата TCP а также трёх эйлеровых...
38433. Разработка и исследования метода сетевого оператора для адаптивного управления динамическим объектом 3.77 MB
  Решение задачи синтеза системы управления — есть поиск управления, как функции от пространственных координат. При этом сложнее всего получить структуру функции многомерного управления. До недавнего времени данная задача решалась следующим образом: исследователь определял структуру математического выражения, оставляя параметры неопределенными, затем их значения находились с помощью численных методов в соответствии с заданным критерием управления.
38434. Разработка и исследование искусственной нейронной сети для управления динамическим объектом с переменными параметрами 2.08 MB
  Искусственные нейронные сети используются в качестве регулятора многомерных и многосвязных динамических объектов. Применение искусственных нейронных сетей для целей управления является одной из многочисленных областей относительного нового раздела современной науки – нейроинформатики..
38435. Разработка системы конкурентно-оптимального прогноза управления предприятием на основе динамической модели олигополии 3.31 MB
  Cтабильноэффективный компромисс в ММС СТЭК ММС это объединение стабильности и эффективности в рамках множества решений от полного совпадения данных свойств в одной точке пространства J или U до обеспечения возможной степени сближения в условиях информационнотактических расширений соглашений. СТЭК ММС дополняют СТЭК в иерархических системах СТЭК ИС где реализуется право первого хода на основе субъективной информации что составляет тему отдельного исследования. Компромиссы на основе комбинации ПаретоНэшУКУШеплиподходовП ...
38436. Разработка и исследование метода аналитического программирования для структурно-параметрического синтеза системы управления динамическим объектом 14.23 MB
  Сложность задачи состоит в том, что в общей постановке для нелинейного объекта с произвольными критериями качества практически невозможно получить аналитическое решение. Поэтому известные методы для решения, как правило, неэффективны, поскольку используют специальные свойства объектов и функционалов.
38437. Многокритериальный синтез позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации 2.76 MB
  Комбинированный метод многокритериального синтеза позиционного управления формирует аналитический вид управления, как набор параметров и известных функций состояния из состава «сетевого оператора» конечной сети этих функций и операций над ними
38438. Разработка моделирование процесса поддержки заданных климатических условий в помещении в системе InTouch 2.09 MB
  Трехдиапазонный регулятор температуры 60 3. Ведь отапливать рабочие помещения в выходные и праздничные дни не следует так интенсивно как по будням или скажем интенсивность отопления должна зависеть от температуры за окном а не от календарного времени года: вспомним хотя бы минувшую зиму когда в январе была плюсовая температура а отопление по интенсивности было “зимним†приходилось открывать окна в зданиях а можно было всего лишь снизить мощность обогрева тем самым сэкономить значительные средства. Возможные колебания...
38439. Синтез системы управления спуском космического аппарата на поверхность Марса методом интеллектуальной эволюции 1.52 MB
  Преодолеть указанные ограничения в данной работе предлагается путем ухода от построения оптимального управления как функции времени, так как оно не учитывает поведения системы уже в процессе функционирования и влияния этого поведения на дальнейшее состояние всей системы.
38440. Информационной безопасности облачных сервисов на базе мобильных облачных вычислений с использованием метода PP-CP-ABE 2.51 MB
  Целью данной работы является анализ существующих методов информационной безопасности и выбор соответствующего метода который должен подходить под соответствующие требования: Обеспечение надёжного шифрования данных при передаче их от пользователя к провайдеру услуг по хранению данных Минимизация нагрузки на облачные сервисы Возможность применения метода для лёгких мобильных устройств. Эффективные и безопасные операции по хранению данных для мобильного облачного вычисления. Параметры для хранения данных....