30072

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Большое значение, которые имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Русский

2013-08-22

323.5 KB

258 чел.

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики.

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике:

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

                                                                               Выполнил: Арапов

                                                                                                            гр. МЕ-71

                                                                                         Проверил: Минина Е. Е.

Екатеринбург

2008 г.

Содержание:

Введение………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи…………………………………………………….4

2. Описание методов решения…………………………………………..5

2. 1. Суть задачи………………………………………………………….5

2. 2. Геометрический смысл задачи…………………………………….5

2. 3. Численные методы решения задачи Коши……………………….6

2. 4. Метод Эйлера ……………………..…………………………….6

2. 5. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка………………………………….8

2. 6. Решение поставленной задачи методами Эйлера и

Рунге-Кутта 4-го порядка …………………………………….9

2. 6. 1. Метод Эйлера ………………….. ……….……………………9

2. 6. 2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка ……………………………10

3. Алгоритм решения задачи…………………………………………...11

3. 1. Алгоритмы подпрограмм.………………………………………....11

3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера……………………..………..11

3. 1. 2. Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4-го порядка ………..12

3. 1. 3. Подпрограмма общего решения ………..…………………13

3. 2. Алгоритм функции…………………………………………………13

3. 3. Алгоритм программы………………………………………………14

4. Форма программы…………………………………………………….17

5. Листинг программы…………………………………………………..18

6. Решение задачи в MathCad…………………………………………..20

Заключение………………………………………………………………22


                                                    
Введение

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Большое значение, которые имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений. Поэтому решение дифференциальных уравнений будет всегда нужной и актуальной задачей.

Целью данной курсовой работы является решение дифференциального уравнения двумя численными методами: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.

Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи:

  1.  Написать программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic.
  2.  Проверить решение с помощью приложения MathCad.
  3.  Сравнить полученные разными методами результаты с общим решением.


1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) = Y0.

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где Y(1), Y(2) – решения, полученные различными численными методами, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

  

Дифференциальное уравнение

X0

Xk

h

Y0

Общее решение

y’ = - x·y/(x+1)

1,2

2

0,1

1

y=c·(x+1) ·exp(-x)


2. Описание методов решения

2. 1. Суть задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение  и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

2. 2. Геометрический смысл задачи

y’ = f(x,y)  - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши.

Существование решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|x-x0| < а; |y-y0| < b,

то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х), определённое в окрестности |х – х0| < h, где h - положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y),

где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную

fy(x, y) в R, то можно положить N = мах |fy(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.

2. 3. Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [х0, X] - области непрерывного изменения аргумента х множеством . состоящего из конечного числа точек х0 < х1 < ... < xn = Х - сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом:

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на
кривой у =
f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.
Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из  предыдущих точек.   Чтобы  получить достаточно точное  численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

2.4 Метод Эйлера.

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

Y’ = f(x, y)

с начальным условием

y(x0) = y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi = х0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ...,

xi - узлы сетки,

yi - значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi, yi) под углом α. При этом tg α = f(xi, yi)

В соответствий с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда yi+1 = yi + Δy

Из прямоугольного треугольника ABC  

Приравняем правые части tg α = f(xi, yi) и . Получим

Отсюда Δу = hf(xi, yi).

Подставим в это выражение формулу yi+1 = yi + Δy, а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

.

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы  видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.

F(x, у) - заданная функция – должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:

Х0, XK—начальное и конечное

значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0) = y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

У - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

Рисунок 3. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для io шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

2.5 Метод Рунге-Кутта 4 порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка   с начальным условием y(x0)=y0.   Выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ... .

Аналогично описанному выше методу производится решение

дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

         Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения yi   искомой функции y определяются по формуле:

yi+1 = yi +∆yi                где i = 0, 1, 2 ...

             ∆y=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6                           

                    

a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1  = h*f(xi, yi )

k2  = f (xi +h/2, yi +k1 /2)*h

k3  = F(xi +h/2, yi +k2 /2)*h

k4  = F(xi +h, yi +k3 )*h

Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта приведена на рисунке 6.

F(x, у) - заданная функция - должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:
Х0,
XК - начальное и конечное

значения независимой

переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0)=y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

2. 6. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка

2. 6. 1. Метод Эйлера

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 =1,2 + 1 · 0,1 = 1,3

6. Проводим прямую x = x1 = 0,1  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

Δx = x1x0 = h,

f(x0; y0) = (y1y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1,2;1) = 1-0,545454 = 0,945

Следовательно, точка B имеет координаты (1,3; 0,945).

2.6.2. Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih

x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;

  1.  Находим по формулам:

k1=0,1·f(1,2;1)=0,1·(-0,545454)= - 0,0545

k2=0,1· f(1,2+0,1/2;1-0,0545/2)= -0,0540

k3=0,1· f(1,2+0,1/2;1-0,0540/2)= - 0,0540

k4=0,1· f(1,2+0,1;1-0,0540)= - 0,0535

y1=(- 0,0545+2·(-0,0540)+2·(-0,0540) - 0,0535)/6= - 0,054

 y2=1- 0,054=0,946

Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,946)

3. Алгоритм решения задачи

3. 1. Алгоритмы подпрограмм

3.1.1 Подпрограмма метода Эйлера

3.1.2 Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. 1. 3. Подпрограмма общего решения

3. 2. Алгоритм функции


3. 3.
Алгоритм программы

4. Форма программы

  1.  Листинг программы

Dim j() As Single

Dim x() As Single

Dim y() As Single

Dim o() As Single

Private n, i As Integer

Private xk, x0, kx, ky As Single

Private k, k1, k2, k3, k4 As Single

Private h, max, min, y0 As Single

Private Function f(a, b As Single) As Single

f = -a * b / (a + 1)

End Function

Private Function f1(x As Single) As Single

f1 = y0 / ((x0 + 1) * Exp(-x0)) * (x + 1) * Exp(-x)

End Function

Private Sub Eiler()

ReDim x(n)

ReDim j(n)

j(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = x0 + h * i

Next i

For i = 0 To n - 1

j(i + 1) = j(i) + h * f(x(i), j(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 0) = Str(x0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 0) = Str(x(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 1) = Str(j(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 1) = Str(j(0))

Next i

End Sub

Private Sub Runge()

ReDim y(n)

y(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = x0 + h * i

Next i

For i = 0 To n - 1

k1 = h * f(x(i), y(i))

k2 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k1 / 2)

k3 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k2 / 2)

k4 = h * f(x(i) + h, y(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

y(i + 1) = y(i) + k

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 2) = Str(y0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 2) = Str(y(i + 1))

Next i

End Sub

Private Sub Obhee()

ReDim o(n)

For i = 0 To n

o(0) = y0

x(i) = x0 + h * i

o(i) = f1(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(o(i))

Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

h = Val(Text4.Text)

y0 = Val(Text3.Text)

n = (xk - x0) / h

Label6.Caption = Str(x0)

Label5.Caption = Str(xk)

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Ýéëåð"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Ðóíãå-Êóòò"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Îáùåå ðåøåíèå"

Eiler

Runge

Obhee

max = y0

min = y0

For i = 0 To n

If j(i) > max Then

max = j(i)

End If

If j(i) < min Then

min = j(i)

End If

If y(i) > max Then

max = y(i)

End If

If y(i) < min Then

min = y(i)

End If

If o(i) > max Then

max = o(i)

End If

If o(i) < min Then

min = o(i)

End If

Next i

Label4.Caption = Str(max)

Label7.Caption = Str(min)

kx = (6600 - 720) / (xk - x0)

ky = (6600 - 1120) / (max - min)

Picture1.Cls

For i = 1 To n - 1

X1 = 720 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 720 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 6600 - Round(ky * (j(i - 1) - min))

Y2 = 6600 - Round(ky * (j(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 200, 0)

X1 = 720 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 720 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 6600 - Round(ky * (y(i - 1) - min))

Y2 = 6600 - Round(ky * (y(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(500, 70, 90)

X1 = 720 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 720 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 6600 - Round(ky * (o(i - 1) - min))

Y2 = 6600 - Round(ky * (o(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(400, 100, 12)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

  1.  Решение задачи в MathCad

Эйлер

Рунге-Кутт


Общее

Заключение

 Из двух методов (Эйлера и Рунге-Кутта) по полученным результатам точнее (сравненивая с общим решением) оказался метод Рунге-Кутта. Это объясняется тем что, ведь в отличие от метода Эйлера в методе Рунге-Кутта шаг делится не на 4 отрезка, в результате чего погрешность метода становится меньше.  

По завершению курсовой работы я выполнил все поставленные задачи: написал программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic, проверил решение с помощью приложения MathCad,сравнил полученные разными методами результаты с общим решением. Я считаю что полностью достигнул поставленную цель данной курсовой работы.


tg(α) = f(x,y)

α

End

Yi+1 = Yi + h ∙ F(x, Yi)

x = X0 + i ∙ h

i = 0, …, N - 1

h = (Xk – X0)/N

Конец

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 2) = Str(y(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 2) = Str(y(0))

kx = (6600 - 720) / (xk - x0)

ky = (6600 - 1120) / (max - min)

Label4.Caption = Str(max)

Label7.Caption = Str(min)

o(i)=min

o(i) <min

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(o(i))

y(i)=max

End

Eiler(X0, Xk, Y0, N, Y)

α

xi+1

хi

O

x

yi

h

yi+1

y=y(x)

B

e

A

y

k2=h*F(x+h/2, Yi +k1/2)

            k1=h*F(x,Yi)

y(i) > max

j(i)=min

x = X0 + i ∙ h

i = 0, …, N-1

h = (Xk – X0)/N

Rynge4(X0, Xk, Y0, N, Y)

Command2

o(i)=max

o(i) > max

k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6

k4= h*F(x+h, Yi +k3)

=

k3= h*F(x+h/2, Yi +k2/2)

Yi+1= Yi+k

k1 = h * f(x(i), y(i))

k2 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k1 / 2)

k3 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k2 / 2)

k4 = h * f(x(i) + h, y(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

y(i + 1) = y(i) + k

i = 0, …, n-1

x(i) = x0 + h * i

i = 0, …, n

ReDim y(n)

g(0) = y0

Начало

y0, x0,xk,h

n = (xk - x0) / h

max = y0

min = y0

j(i) > max

i = 0, … n

Eiler

Runge

Obshee

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер "

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Рунге-Кутта"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее решение"

Label6.Caption = Str(x0)

Label5.Caption = Str(xk)

j(i)=max

X1 = 720 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 720 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 6600 - Round(ky * (o(i - 1) - min))

Y2 = 6600 - Round(ky * (o(i) - min))

Конец

j(i)<min

X1 = 720 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 720 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 6600 - Round(ky * (y(i - 1) - min))

Y2 = 6600 - Round(ky * (y(i) - min))

X1 = 720 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 720 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 6600 - Round(ky * (j(i - 1) - min))

Y2 = 6600 - Round(ky * (j(i) - min))

i = 1, …, n-1

Конец

f1 = y0 / ((x0 + 1) * Exp(-x0)) * (x + 1) * Exp(-x)

f1(x)

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 0) = Str(x0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 0) = Str(x(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 1) = Str(j(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 1) = Str(j(0))

j(i + 1) = j(i) + h * f(x(i), j(i))

i = 0, …, n-1

x(i) = x0 + h * i

i = 0, …, n

ReDim x(n)

ReDim j(n)

j(0) = y0

      Eiler

Конец

x(i) = x0 + h * i

o(i) = f1(x(i))

i = 0, …, n

ReDim o(n)

o(0) = y0

Obhee

Конец

MSFlexGrid16

Picture1

f = -a * b / (a + 1)

f(a,b)

Runge

Labe71

Text2

Text1

Labe41

Labe31

Label1

Text3

Labe21

Label6

Text4

Command1

Label4

Labe51

Labe91

Label10

Конец

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 200, 0)

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(500, 70, 90)

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(400, 100, 12)

y(i)<min

y(i)=min


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68383. Основные этапы развития акушерства 813.17 KB
  Нарушается гормональное взаимоотношение в организме женщины психоэмоциональные переживания местные изменения в органе в шейке матки. Материнская смертность: Смерть от акушерский осложнений разрыв матки травматический шок кровотечение Смерть от экстрагенитальных заболеваний острая сердечная недостаточность...
68384. Специфика, проблемы и генезис философии 552.24 KB
  Философию нельзя определить общепринятым образом как другие науки, потому что она осмысливает то, что не является предметом опыта. У философии нет определенного предмета, заранее известного метода; они всякий раз формируются в рамках конкретного философского направления.
68385. Управление персоналом 284 KB
  Выполняя функцию администратора менеджер использует свои полномочия для обеспечения движения системы в соответствии с заданными нормативными актами и с учетом экономической ситуации, не допуская при этом многоначалия, диффузии распорядительства и неисполнительности.
68386. История экологии 29 KB
  Геккель назвал термином экология новый раздел биологии изучающий совокупность всех взаимосвязей между живыми и неживыми компонентами природной среды который по мере накопления новых знаний превратился в самостоятельную науку. Среди различных материальных домов где живёт человек экология имеет дело...
68387. Предмет экологии, ее структура, задачи экологии 90 KB
  Из всех живых организмов человек наиболее старается изменить природу, используя и приспосабливая её для своих нужд. Сегодня, благодаря развитию науки и техники, человек способен вторгаться во все микро- и макромиры, во все процессы, протекающие в биосфере.
68388. Принципы построения систем отображения информации в авиационных геоинформационных комплексах 1.69 MB
  Классификация систем отображения информации. Как следует из представленной схемы канал вывода видеоинформации состоит из четырех представлений объектов: ПМ СДФ ЛДФ и экрана дисплея с тремя логическими процессорами последовательно преобразующих одно представление изображения в другое: КДФ ДП и ДК.
68389. Перевозка угля от станции Бугач до коммунального бытового сектора 414 KB
  Характеристика груза. Выбор средств погрузкиразгрузки. Основные принципы выбора автотранспортных средств. Грузовместимость кузова. Партионность перевозок груза. Допустимая осевая нагрузка. Натуральные и экономические критерии. Разработка рациональной транспортно технологической схемы доставки грузов.
68390. Основные понятия, определения и элементы географической карты 7.08 MB
  В литературе чаще всего карты определяют как образно-знаковые модели действительности. Основными элементами географической карты являются картографическое изображение и его математическая основа. Картографическое изображение – это все условные обозначения, которые отражают на карте все явления...