30498

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу

Доклад

Математика и математический анализ

о делении мннов: 2ух мннов f и g≠0 мнны q и r такие что f=qgr причем или r=0 или degr degg.degrx degx а degx=1 degrx=0. Доказательство: Поделим с остатком многочлен fx на многочлен x: fx=xqxrx Так как degrx degx а degx=1 то rx многочлен степени не выше 0 т. Докво: единственность пусть где или deg degg то откуда следует но deg degg .

Русский

2013-08-24

57.56 KB

26 чел.

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

НА ДОСКЕ:

[Многочлен]

, где

[Кольцо многочленов над кольцом с единицей]

К- кольцо, если:

  1.  a+b=b+a, a,bK
  2.   (a+b)+c=a+(b+c), a,bK
  3.  а+0=0+а=а.
  4.  a+b=b+a=0.
  5.   (a*b)*c=a*(b*c), a,bK
  6.  a*(b+c)=a*b+a*c; (a+b)*c=a*c+b*c, a,b,cK.

  1.  если a*b=b*a, a,bK, то К-коммут.
  2.  если К-коммут. и  : а*е=е*а=а , аK, то К-коммут. кольцо с 1.

[Делимость многочленов, теорема о делении с остатком]

 f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn 

Тh. (о делении мн-нов):  2-ух мн-нов f и g≠0  мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или r=0 или deg(r)<deg(g).

[Значение и корень многочлена. Теорема Безу]

с-корень f(х), если f(c)=0.

Тh (Безу). r(x)=f(x)/(x-a)=f(a).

Д-во:

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Т.к.deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  deg(r(x))=0.

x=a f(x). Т.к. (a-a)q(a)=0, то f(a)=r(a).

ВЫСТУПЛЕНИЕ:

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),  — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а  — переменная.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.

Кольцо многочленов над кольцом с единицей.

Кольцо многочленов - кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля К.

Непустое множество К вместе с 2-мя бинарными операциями «+» и «*» наз. кольцом, если:

  1.  «+» - коммутативная операция
  2.  «+» - ассоциативная операция
  3.  существует нейтральный элемент относительно сложения
  4.  существует обратный элемент относительно сложения
  5.  «*» - ассоциативная операция
  6.  «*»–дистрибутивна относительно «+»

Кольцо К наз. коммутативным, если «*»  – коммут. операция, т.е. a*b=b*a, a,bK.

Если К – коммутативное кольцо и существует элемент е такой, что а*е=е*а=а , аK, то К называется коммутативным кольцом с единицей.

Полем наз. коммут. кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (элемент а обратим, если для него найдется b такой что: a*b=b*a=e).

Делимость многочленов, теорема о делении с остатком.

Выражение f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn наз. многочленом степени n.

Теорема (о делении мн-нов): 2-ух мн-нов f и g≠0 найдутся и единственные мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или остаток r=0 или степень(r) меньше степени(g).

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел).

Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Значение многочлена – это число, которое получается при подстановке вместо переменной константы. Число с наз. корнем многочлена f(х), если f(c)=0.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство:

Поделим с остатком многочлен f(x) на многочлен (x-a):

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Так как  deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  то r(x) — многочлен степени не выше 0, т.е. константа. Подставляем x=a в f(x). поскольку (a-a)q(a)=0, то имеем f(a)=r(a). Ч.т.д.

Основное следствие: Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

Теорема о делении с остатком.

Док-во:

 (единственность), пусть , где или deg()<deg(g), то , откуда следует , но deg() < deg(g) . А так как, если  , то степень deg()deg(g), а это невозможно, поэтому и тогда .

(существование): индукцией по степени f .  Если deg(f)<deg(g), то f=0g+f  предполагаем, что . Пусть deg(f) deg(g),  , mn. Рассмотрим его степень строго меньше < deg(f) по предположению индукции он равен откуда , и deg(r)<deg(g). Ч.т.д.

Следствия из теоремы Безу:

  1.  Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).
  2.  Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3.  Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57656. MY FUTURE PROFESSION 56.5 KB
  Teacher: Good morning, children! I am glad to see you! Pupils: Good morning, teacher! We are glad to see you too! Teacher: today we shall talk about professions and your future professions.
57657. Урок-пояснення нового матеріалу в початку вивчення розділу «США» 40 KB
  The USA – The official name of America is the USA or the US (cлайд 1). It was discovered by Christopher Columbus (cлайд 2). The country consists of 50 states (слайд 3). The capital of the USA is Washington (слайд 4). People speak English in America, so people from America and the UK can understand each other.
57658. Му School. At School 34.5 KB
  There are fifty two pupils form. The pupils play in the playground before classes. Some of them wear their school uniform: a white blouse or a shirt and a blue skirt or trousers. Before lessons they sing one or two songs.
57659. MY LAST VISIT TO THE SHOP 144.5 KB
  Practical: to practice pupils’ speech on the topic “Doing Shopping”; to revise vocabulary on the topic and urge pupils to use these words in their speech; to develop pupils’ speaking, reading, listening and writing skills on the topic...
57660. Sport. Kinds of Sports 43.5 KB
  Objectives: to develop students listening, reading, speaking and grammar skills; to revise and enrich students vocabulary on the topic; to practise group work; to motivate students to communicate with each other.
57661. Спорт у світі 85 KB
  Babe Didrikson Zaharias was one of the most extraordinary athletes of all time. She was a champion in basketball and golf. She also swam, boxed, played baseball and many other sports. In 1950, she was named the greatest woman athlete of the first hail of the 20th century.
57662. Відповідальність людей перед природою 32.5 KB
  Teacher: Look at the blackboard, please (слайд 1). Let`s read these quotations of famous people about nature. How do you understand them? Do you agree? What`s your opinion?
57663. Спорт і спортивні ігри 93.5 KB
  Today we will speak about sports and sport games. We are going to refresh your knowledge of the names of sports. You will be able to guess a crossword.
57664. Спорт в нашому житті. Sport in our life 61 KB
  Alec plays football very well. He is a member of the school football team. Last year their team won the first place. They became champions and got prize. So this year they will try to play well too.