30498

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу

Доклад

Математика и математический анализ

о делении мннов: 2ух мннов f и g≠0 мнны q и r такие что f=qgr причем или r=0 или degr degg.degrx degx а degx=1 degrx=0. Доказательство: Поделим с остатком многочлен fx на многочлен x: fx=xqxrx Так как degrx degx а degx=1 то rx многочлен степени не выше 0 т. Докво: единственность пусть где или deg degg то откуда следует но deg degg .

Русский

2013-08-24

57.56 KB

25 чел.

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

НА ДОСКЕ:

[Многочлен]

, где

[Кольцо многочленов над кольцом с единицей]

К- кольцо, если:

  1.  a+b=b+a, a,bK
  2.   (a+b)+c=a+(b+c), a,bK
  3.  а+0=0+а=а.
  4.  a+b=b+a=0.
  5.   (a*b)*c=a*(b*c), a,bK
  6.  a*(b+c)=a*b+a*c; (a+b)*c=a*c+b*c, a,b,cK.

  1.  если a*b=b*a, a,bK, то К-коммут.
  2.  если К-коммут. и  : а*е=е*а=а , аK, то К-коммут. кольцо с 1.

[Делимость многочленов, теорема о делении с остатком]

 f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn 

Тh. (о делении мн-нов):  2-ух мн-нов f и g≠0  мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или r=0 или deg(r)<deg(g).

[Значение и корень многочлена. Теорема Безу]

с-корень f(х), если f(c)=0.

Тh (Безу). r(x)=f(x)/(x-a)=f(a).

Д-во:

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Т.к.deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  deg(r(x))=0.

x=a f(x). Т.к. (a-a)q(a)=0, то f(a)=r(a).

ВЫСТУПЛЕНИЕ:

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),  — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а  — переменная.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.

Кольцо многочленов над кольцом с единицей.

Кольцо многочленов - кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля К.

Непустое множество К вместе с 2-мя бинарными операциями «+» и «*» наз. кольцом, если:

  1.  «+» - коммутативная операция
  2.  «+» - ассоциативная операция
  3.  существует нейтральный элемент относительно сложения
  4.  существует обратный элемент относительно сложения
  5.  «*» - ассоциативная операция
  6.  «*»–дистрибутивна относительно «+»

Кольцо К наз. коммутативным, если «*»  – коммут. операция, т.е. a*b=b*a, a,bK.

Если К – коммутативное кольцо и существует элемент е такой, что а*е=е*а=а , аK, то К называется коммутативным кольцом с единицей.

Полем наз. коммут. кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (элемент а обратим, если для него найдется b такой что: a*b=b*a=e).

Делимость многочленов, теорема о делении с остатком.

Выражение f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn наз. многочленом степени n.

Теорема (о делении мн-нов): 2-ух мн-нов f и g≠0 найдутся и единственные мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или остаток r=0 или степень(r) меньше степени(g).

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел).

Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Значение многочлена – это число, которое получается при подстановке вместо переменной константы. Число с наз. корнем многочлена f(х), если f(c)=0.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство:

Поделим с остатком многочлен f(x) на многочлен (x-a):

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Так как  deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  то r(x) — многочлен степени не выше 0, т.е. константа. Подставляем x=a в f(x). поскольку (a-a)q(a)=0, то имеем f(a)=r(a). Ч.т.д.

Основное следствие: Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

Теорема о делении с остатком.

Док-во:

 (единственность), пусть , где или deg()<deg(g), то , откуда следует , но deg() < deg(g) . А так как, если  , то степень deg()deg(g), а это невозможно, поэтому и тогда .

(существование): индукцией по степени f .  Если deg(f)<deg(g), то f=0g+f  предполагаем, что . Пусть deg(f) deg(g),  , mn. Рассмотрим его степень строго меньше < deg(f) по предположению индукции он равен откуда , и deg(r)<deg(g). Ч.т.д.

Следствия из теоремы Безу:

  1.  Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).
  2.  Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3.  Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53203. Розвиток обдарованості ігровими методами 477 KB
  Кожній групі даються вислови значення яких учасники мають пояснити: світла голова І група не пером пишуть а розумом ІІ група. Виграє та група яка зуміє краще аргументувати свою позицію. Слід також систематизувати ці аналоги за групами відповідно до певної ознаки.
53204. Авторська розробка дидактичної інтерактивної гри Ді-джей 220 KB
  У процесі гри дитина будь-якого віку перебуває в особливому емоційному стані який уявляє собою очікування та сам процес задоволення від розумової активності що виявляється у вільній творчій атмосфері гри гумору чи змагання. Але дуже важливо щоб форма зміст навчальної гри не був відірваний від сьогодення. Але чи зацікавить сучасного учня або студента таке заняття Я вважаю що актуальність методики навчальної гри та сучасна форма її подачі повинні бути одним з головних принципів при розробці та впровадженні ігрових методик у...
53206. Інтелектуальна гра «Розумники і розумниці» 146 KB
  У кімнату заходять ведучі Ведучий1: Добрий день дорогі друзі Ведучий2: Добрий день шановні гості Ми раді бачити Вас на нашій фізичній інтелектуальній грі яка називається Розумники і розумниці. Ведучий1: Ми розпочнемо з легенди. Ведучий2: А для цього проведемо невелике змагання. Привітаємо наших учасників У кімнату входять команди і займають свої місця за двома столами Ведучий1: А хто стане переможцем вирішить наше компетентне журі.
53207. ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ГРА «НАРОД СКАЖЕ – ЯК ЗАВ’ЯЖЕ» 320 KB
  Недарма сказано що без будьякої іншої науки ще можна обійтися а без знання рідної мови аж ніяк. Ним можна клювати як дзьобом. На ньому можна зарубати як на пні. Його можна нагострити як ніж.
53208. Все про злочин і покарання (Правова гра для учнів 10 – 11 класів) 93 KB
  Свій варіант озвучує команда якщо має відповідь. Відповідь: 2001 р. Відповідь: 18 років. Відповідь: матеріальна або дисциплінарна два варіанта відповіді 4.
53209. Інтелектуальна гра «Ми - українці» 63 KB
  Доброго дня всім присутнім у нашій залі Вітаю вас на інтелектуальній грі Ми українці слайд 1 Звучить пісня Ти моя Україна у виконанні М. Конкурс 1 Київщина: із минулого в майбутнє слайд 3 Ведучий. Аеропорт у місті Борисполі Скільки районів входить до складу Київської області 25 Підсумки конкурсу оголошує журі Конкурс 2 Народознавче лото слайд 4 Ведучий. Вболівальники пригадують найвідоміші свята українців слайд 5 Питання конкурсу: Саме на це свято чоловіки за старовинним звичаєм варили пиво.
53210. Інтелектуальна гра-шоу для старшокласників «Любіть свою мову й ніколи її не забудьте в житті…» 153.5 KB
  Сьогодні у міжнародний день рідної мови свято української мови одного з найцінніших надбань які створили й залишили нам наші попередники. Пізнати історію рідної сторони і рідної мови нам допомагають книги і самобутня творчість нашого народу: мелодійні пісні та думи барвисті коломийки та ліричні хороводи чарівний фантастичний світ казок. Хай же сьогоднішнє свято відкриє перед вами дорогі друзі шанувальники української мови розум мудрість гумор нашого талановитого народу.
53211. Ділова гра «Міжнародна конференція «Здоровими бути класно!» з проблем шкідливих звичок» 109.5 KB
  Виступ дітей із дорожніми знаками у руках які вони демонструють під час виступу. Дбати про здоровя знак інвалід потрібно з самого народження з першого крику дитини знак U. Друже не поспішай знак 1.33 зануритися у круговерть знак 4.