30498

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу

Доклад

Математика и математический анализ

о делении мннов: 2ух мннов f и g≠0 мнны q и r такие что f=qgr причем или r=0 или degr degg.degrx degx а degx=1 degrx=0. Доказательство: Поделим с остатком многочлен fx на многочлен x: fx=xqxrx Так как degrx degx а degx=1 то rx многочлен степени не выше 0 т. Докво: единственность пусть где или deg degg то откуда следует но deg degg .

Русский

2013-08-24

57.56 KB

25 чел.

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

НА ДОСКЕ:

[Многочлен]

, где

[Кольцо многочленов над кольцом с единицей]

К- кольцо, если:

  1.  a+b=b+a, a,bK
  2.   (a+b)+c=a+(b+c), a,bK
  3.  а+0=0+а=а.
  4.  a+b=b+a=0.
  5.   (a*b)*c=a*(b*c), a,bK
  6.  a*(b+c)=a*b+a*c; (a+b)*c=a*c+b*c, a,b,cK.

  1.  если a*b=b*a, a,bK, то К-коммут.
  2.  если К-коммут. и  : а*е=е*а=а , аK, то К-коммут. кольцо с 1.

[Делимость многочленов, теорема о делении с остатком]

 f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn 

Тh. (о делении мн-нов):  2-ух мн-нов f и g≠0  мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или r=0 или deg(r)<deg(g).

[Значение и корень многочлена. Теорема Безу]

с-корень f(х), если f(c)=0.

Тh (Безу). r(x)=f(x)/(x-a)=f(a).

Д-во:

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Т.к.deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  deg(r(x))=0.

x=a f(x). Т.к. (a-a)q(a)=0, то f(a)=r(a).

ВЫСТУПЛЕНИЕ:

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),  — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а  — переменная.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.

Кольцо многочленов над кольцом с единицей.

Кольцо многочленов - кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля К.

Непустое множество К вместе с 2-мя бинарными операциями «+» и «*» наз. кольцом, если:

  1.  «+» - коммутативная операция
  2.  «+» - ассоциативная операция
  3.  существует нейтральный элемент относительно сложения
  4.  существует обратный элемент относительно сложения
  5.  «*» - ассоциативная операция
  6.  «*»–дистрибутивна относительно «+»

Кольцо К наз. коммутативным, если «*»  – коммут. операция, т.е. a*b=b*a, a,bK.

Если К – коммутативное кольцо и существует элемент е такой, что а*е=е*а=а , аK, то К называется коммутативным кольцом с единицей.

Полем наз. коммут. кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (элемент а обратим, если для него найдется b такой что: a*b=b*a=e).

Делимость многочленов, теорема о делении с остатком.

Выражение f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn наз. многочленом степени n.

Теорема (о делении мн-нов): 2-ух мн-нов f и g≠0 найдутся и единственные мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или остаток r=0 или степень(r) меньше степени(g).

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел).

Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Значение многочлена – это число, которое получается при подстановке вместо переменной константы. Число с наз. корнем многочлена f(х), если f(c)=0.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство:

Поделим с остатком многочлен f(x) на многочлен (x-a):

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Так как  deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  то r(x) — многочлен степени не выше 0, т.е. константа. Подставляем x=a в f(x). поскольку (a-a)q(a)=0, то имеем f(a)=r(a). Ч.т.д.

Основное следствие: Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

Теорема о делении с остатком.

Док-во:

 (единственность), пусть , где или deg()<deg(g), то , откуда следует , но deg() < deg(g) . А так как, если  , то степень deg()deg(g), а это невозможно, поэтому и тогда .

(существование): индукцией по степени f .  Если deg(f)<deg(g), то f=0g+f  предполагаем, что . Пусть deg(f) deg(g),  , mn. Рассмотрим его степень строго меньше < deg(f) по предположению индукции он равен откуда , и deg(r)<deg(g). Ч.т.д.

Следствия из теоремы Безу:

  1.  Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).
  2.  Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3.  Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31075. ОПУХОЛИ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ПООСТИ РТА 18.21 KB
  Рак слизистой оболочки рта При локализации поражения на первом месте стоит нижняя губа на втором – язык на третьем – дно полости рта затем слизистая оболочка щек неба челюстей и др. По гистологической картине различаются следующие формы рака полости рта: Для внутриэпителиального рака характерны признаки малигнизации эпителия при сохраненной базальной мембране. Плоскоклеточный рак микроскопически представляет скопления злокачественных эпителиальных клеток инфильтрирующих подлежащую соединительную ткань. Для Лимфоэпителиомы характерна...
31076. Эпителиальные опухоли 25.42 KB
  Инфильтрация подлежащих тканей отмечается лишь в запущенных случаях когда опухоль прорастает вглубь с разрушением хряща кости. Клинически опухоль проявляется в виде язвенной и папиллярной форм.: эруптивная гидраденома гидроцистома киста потовой железы доброкачественная опухоль исходящая из внутриэпидермальной части протока эккринной потовой железы.
31077. Пиогенная гранулема 13.68 KB
  : дольчатая капиллярная гемангнома гипертрофическая капиллярная гемангиома частая разновидность капиллярной гемангиомы возникающая на пальцах и в слизистых оболочках полости рта и носа. Наряду с очажками типа грануляционной ткани и возможным вторичным воспалением отмечается сходство с ранней или поздней стадией ювенильной разновидности капиллярной гемангиомы.
31078. Опухоли мягких тканей орофациальной области из меланинобразующей ткани 29 KB
  Все они доброкачественные пигментные опухоли состоящие из невусных клеток и имеющие разные размеры от крошечных до гигантских. Часть гигантских разновидностей таких невусов безопасны остальная часть особенно касающиеся новорожденных таят в себе потенциальную опасность превращения в меланому до 50 случаев в течение первых 3 5 лет жизни. Мелкие и крупные врожденные невоклеточные невусы новорожденных сборная группа из весьма разнообразных новообразований.
31079. Органоспецифические опухоли челюстных костей 29 KB
  Фолликулярная форма состоит из островков одонтогенного эпителия различной величины и формы напоминающих строение эмалевого органа по периферии островков частоколом располагаются клетки цилиндрического эпителия а в центре они приобретают звездчатую форму эпителиальный ретикулум. Сетевидная форма представлена тяжами одонтоенного эпителия с его причудливыми ветвлениями. Плексиформный вариант характеризуется тяжами эпителия неправильных очертаний переплетающихся в виде сети. По периферии тяжи ограничены цилиндрическими или кубическими...
31080. Органонеспецифические неодонтогенные опухоли челюстных костей 57 KB
  Опухолеподобные поражения костей: 1 фиброзная дисплазия; 2 центральная гигантоклеточная гранулема; 3 херувизм; 4 эозинофильная гранулема; 5 болезнь Педжета; 6 коричневая опухоль гиперпаратиреоидизма. КОСТЕОБРАЗУЮЩИЕ ОПУХОЛИ Доброкачественные: Злокачественные: остеома остеогенная саркома...
31081. Челюстная киста 20.03 KB
  К одонтогенным дизонтогенетическим кистам относят: 1 первичную примордиальную или кератокисту; 2 фолликулярную зубосодержащую кисту; 3 парадентальную периодонтальную кисту; 4 кисту прорезывания зуба; 5 десневую гингивальную кисту. К одонтогенным приобретенным кистам относят радикулярную околокорневую кисту воспалительного генеза. Среди них выделяют: 1 кисты резцового носонебного канала; 2 глобуломаксиллярная; 3 носогубная носоальвеолярная киста преддверья полости рта. Перечисленные кисты и одонтогенные и...
31082. Фиброзная дисплазия челюстных костей 16.37 KB
  Образование увеличивается медленно годы десятилетия но может привести к тяжелой деформации лица за счет разрастания клеточноволокнистой остеогенной ткани Макроскопически: границы разросшейся сероватобелесоватого вида опухолеподобной ткани нечеткие размытые без образования капсулы; беловатокрасные опухолеподобные очаги разной плотности в зависимости от степени выраженности их минерализации имеются многочисленные кисты заполненные желтоватой или красноватой жидкостью и полупрозрачные участки хряща до 3 см в диаметре....
31083. Одонтогенная инфекция 20.53 KB
  Пато и морфогенетически все эти заболевания связаны с острым гнойным апикальным или обострением хронического верхушечного периодонтита нагноением кист челюсти гнойным пародонтитом альвеолитами воспаление костной альвеолы после удаления зуба. Остит воспаление костной ткани челюсти за пределами периодонта зуба. Острый периостит челюсти представляет собой острое воспаление надкостницы альвеолярного отростка верхней или альвеолярной части нижней челюсти иногда распространяющееся на надкостницу тела челюсти. В большинстве случаев процесс...