30498

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу

Доклад

Математика и математический анализ

о делении мннов: 2ух мннов f и g≠0 мнны q и r такие что f=qgr причем или r=0 или degr degg.degrx degx а degx=1 degrx=0. Доказательство: Поделим с остатком многочлен fx на многочлен x: fx=xqxrx Так как degrx degx а degx=1 то rx многочлен степени не выше 0 т. Докво: единственность пусть где или deg degg то откуда следует но deg degg .

Русский

2013-08-24

57.56 KB

25 чел.

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

НА ДОСКЕ:

[Многочлен]

, где

[Кольцо многочленов над кольцом с единицей]

К- кольцо, если:

  1.  a+b=b+a, a,bK
  2.   (a+b)+c=a+(b+c), a,bK
  3.  а+0=0+а=а.
  4.  a+b=b+a=0.
  5.   (a*b)*c=a*(b*c), a,bK
  6.  a*(b+c)=a*b+a*c; (a+b)*c=a*c+b*c, a,b,cK.

  1.  если a*b=b*a, a,bK, то К-коммут.
  2.  если К-коммут. и  : а*е=е*а=а , аK, то К-коммут. кольцо с 1.

[Делимость многочленов, теорема о делении с остатком]

 f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn 

Тh. (о делении мн-нов):  2-ух мн-нов f и g≠0  мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или r=0 или deg(r)<deg(g).

[Значение и корень многочлена. Теорема Безу]

с-корень f(х), если f(c)=0.

Тh (Безу). r(x)=f(x)/(x-a)=f(a).

Д-во:

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Т.к.deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  deg(r(x))=0.

x=a f(x). Т.к. (a-a)q(a)=0, то f(a)=r(a).

ВЫСТУПЛЕНИЕ:

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),  — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а  — переменная.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.

Кольцо многочленов над кольцом с единицей.

Кольцо многочленов - кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля К.

Непустое множество К вместе с 2-мя бинарными операциями «+» и «*» наз. кольцом, если:

  1.  «+» - коммутативная операция
  2.  «+» - ассоциативная операция
  3.  существует нейтральный элемент относительно сложения
  4.  существует обратный элемент относительно сложения
  5.  «*» - ассоциативная операция
  6.  «*»–дистрибутивна относительно «+»

Кольцо К наз. коммутативным, если «*»  – коммут. операция, т.е. a*b=b*a, a,bK.

Если К – коммутативное кольцо и существует элемент е такой, что а*е=е*а=а , аK, то К называется коммутативным кольцом с единицей.

Полем наз. коммут. кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (элемент а обратим, если для него найдется b такой что: a*b=b*a=e).

Делимость многочленов, теорема о делении с остатком.

Выражение f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn наз. многочленом степени n.

Теорема (о делении мн-нов): 2-ух мн-нов f и g≠0 найдутся и единственные мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или остаток r=0 или степень(r) меньше степени(g).

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел).

Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Значение многочлена – это число, которое получается при подстановке вместо переменной константы. Число с наз. корнем многочлена f(х), если f(c)=0.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство:

Поделим с остатком многочлен f(x) на многочлен (x-a):

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Так как  deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  то r(x) — многочлен степени не выше 0, т.е. константа. Подставляем x=a в f(x). поскольку (a-a)q(a)=0, то имеем f(a)=r(a). Ч.т.д.

Основное следствие: Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

Теорема о делении с остатком.

Док-во:

 (единственность), пусть , где или deg()<deg(g), то , откуда следует , но deg() < deg(g) . А так как, если  , то степень deg()deg(g), а это невозможно, поэтому и тогда .

(существование): индукцией по степени f .  Если deg(f)<deg(g), то f=0g+f  предполагаем, что . Пусть deg(f) deg(g),  , mn. Рассмотрим его степень строго меньше < deg(f) по предположению индукции он равен откуда , и deg(r)<deg(g). Ч.т.д.

Следствия из теоремы Безу:

  1.  Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).
  2.  Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3.  Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84270. Влияние физических факторов на микроорганизмы 43.83 KB
  Температурные диапазоны роста и развития микроорганизмов этих групп приведены в таблице 9.1 Деление микроорганизмов на группы в зависимости от отношения к температуре Группа микроорганизмов ТС миним. Большинство образуют устойчивые споры Разделение микроорганизмов на 3 группы весьма условно так как микроорганизмы могут приспосабливаться к несвойственной им температуре.
84271. Влияние физико-химических факторов на микроорганизмы 34.73 KB
  Влажность среды оказывает большое воздействие на жизнедеятельность микроорганизмов. Обезвоживание субстрата приводит к задержке развития микроорганизмов состояние анабиоза. При повышении влажности жизнедеятельность микроорганизмов восстанавливается. Для развития микроорганизмов важна не абсолютная величина влажности а ее доступность.
84272. Влияние химических факторов на микроорганизмы 35.5 KB
  Некоторые микроорганизмы образуя продукты обмена и выделяя их в среду способны изменять реакцию среды. Окислительновосстановительные условия среды. Степень аэробности среды насыщения среды кислородом может быть охарактеризована величиной окислительновосстановительного потенциала который выражают в единицах rН2.
84273. Взаимоотношения между микроорганизмами. Влияние антибиотиков на микроорганизмы 35.36 KB
  Примером метабиоза может служить порча сахаросодержащих субстратов плодовоягодных соков поврежденных плодов ягод когда на них сначала развиваются дрожжи превращающие сахар в спирт затем уксуснокислые бактерии превращающие спирт в уксусную кислоту и наконец мицелиальные грибы которые окисляют уксусную кислоту до углекислого газа и воды. В кефирном грибке например содержатся дрожжи и молочнокислые бактерии. Примером комменсалов могут служить бактерии нормальной микрофлоры тела человека. Молочнокислые бактерии например выделяя...
84274. Возможные пути регулирования жизнедеятельности микроорганизмов при хранении пищевых продуктов 33.45 KB
  Основными принципами хранения пищевых продуктов по Я. При хранении этих продуктов создаются условия препятствующие развитию микроорганизмов путем понижения температуры до 5 С и поддержания определенной влажности. К таким методам относятся использование низких температур охлаждение и замораживание удаление воды из продукта ниже предела необходимого для развития микробов сушка вяление добавление к продукту веществ соли сахара создающих высокое осмотическое давление повышение кислотности продукта путем добавления уксусной кислоты...
84275. Генетика как наука. Понятие о наследственности и изменчивости 34.37 KB
  В процессе жизни под влиянием факторов внешней среды свойства микроорганизмов могут изменяться. Приспособление микроорганизмов к новым условиям жизни называется адаптацией. Явления наследственности и изменчивости играют важную роль в жизни микроорганизмов для которых характерны интенсивный обмен веществ быстрое размножение и смена поколений чрезвычайно высокая способность приспосабливаться к новым условиям среды обитания. Поэтому существовали два противоположных мнения о наследственности и изменчивости микроорганизмов.
84276. Генотип и фенотип микроорганизмов 34.06 KB
  Гены подразделяются на структурные гены генырегуляторы и геныоператоры. Генырегуляторы контролируют синтез белковрепрессоров подавляющих функцию структурных генов а геныоператоры выполняют роль посредников между генами регуляторами и структурными генами. Гены обозначают строчными начальными буквами названия синтезируемого под их контролем соединения например his – гистидиновый ген rg – аргининовый ген lc и ml – гены контролирующие расщепление coответственно лактозы мальтозы.
84277. Формы изменчивости микроорганизмов 41.75 KB
  Фенотипические изменения При фенотипической изменчивости микробы образовавшиеся из одной материнской клетки могут различаться между собой по ферментативной активности морфологическим признакам потребности в источниках питания. Мутагенным действием обладают ультрафиолетовые рентгеновские и радиоактивные излучения которые вызывают повреждение генетического аппарата клетки. Бактериальные клетки в которых произошла мутация называют мутантами. Трансдукция – перенос генов фрагментов ДНК от донорской клетки бактерии к реципиентной...
84278. Практическое значение изменчивости микроорганизмов 31.56 KB
  Вследствие этого учение о наследственности и изменчивости микроорганизмов является научной основой систематики микроорганизмов и их идентификации. Знания закономерностей модификационной и мутационной изменчивости позволяют проводить целенаправленную селекцию отбор из популяций микроорганизмов особей с нужными человеку свойствами. Селекцию микроорганизмов для выделения полезных мутантов осуществляют несколькими путями: благодаря поиску и отбору полезных форм микроорганизмов из природных источников; в результате адаптации микроорганизмов...