30498

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу

Доклад

Математика и математический анализ

о делении мннов: 2ух мннов f и g≠0 мнны q и r такие что f=qgr причем или r=0 или degr degg.degrx degx а degx=1 degrx=0. Доказательство: Поделим с остатком многочлен fx на многочлен x: fx=xqxrx Так как degrx degx а degx=1 то rx многочлен степени не выше 0 т. Докво: единственность пусть где или deg degg то откуда следует но deg degg .

Русский

2013-08-24

57.56 KB

25 чел.

Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

НА ДОСКЕ:

[Многочлен]

, где

[Кольцо многочленов над кольцом с единицей]

К- кольцо, если:

  1.  a+b=b+a, a,bK
  2.   (a+b)+c=a+(b+c), a,bK
  3.  а+0=0+а=а.
  4.  a+b=b+a=0.
  5.   (a*b)*c=a*(b*c), a,bK
  6.  a*(b+c)=a*b+a*c; (a+b)*c=a*c+b*c, a,b,cK.

  1.  если a*b=b*a, a,bK, то К-коммут.
  2.  если К-коммут. и  : а*е=е*а=а , аK, то К-коммут. кольцо с 1.

[Делимость многочленов, теорема о делении с остатком]

 f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn 

Тh. (о делении мн-нов):  2-ух мн-нов f и g≠0  мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или r=0 или deg(r)<deg(g).

[Значение и корень многочлена. Теорема Безу]

с-корень f(х), если f(c)=0.

Тh (Безу). r(x)=f(x)/(x-a)=f(a).

Д-во:

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Т.к.deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  deg(r(x))=0.

x=a f(x). Т.к. (a-a)q(a)=0, то f(a)=r(a).

ВЫСТУПЛЕНИЕ:

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),  — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а  — переменная.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.

Кольцо многочленов над кольцом с единицей.

Кольцо многочленов - кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля К.

Непустое множество К вместе с 2-мя бинарными операциями «+» и «*» наз. кольцом, если:

  1.  «+» - коммутативная операция
  2.  «+» - ассоциативная операция
  3.  существует нейтральный элемент относительно сложения
  4.  существует обратный элемент относительно сложения
  5.  «*» - ассоциативная операция
  6.  «*»–дистрибутивна относительно «+»

Кольцо К наз. коммутативным, если «*»  – коммут. операция, т.е. a*b=b*a, a,bK.

Если К – коммутативное кольцо и существует элемент е такой, что а*е=е*а=а , аK, то К называется коммутативным кольцом с единицей.

Полем наз. коммут. кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (элемент а обратим, если для него найдется b такой что: a*b=b*a=e).

Делимость многочленов, теорема о делении с остатком.

Выражение f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn наз. многочленом степени n.

Теорема (о делении мн-нов): 2-ух мн-нов f и g≠0 найдутся и единственные мн-ны q и r такие, что f=qg+r, причем или остаток r=0 или степень(r) меньше степени(g).

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел).

Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Значение многочлена – это число, которое получается при подстановке вместо переменной константы. Число с наз. корнем многочлена f(х), если f(c)=0.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство:

Поделим с остатком многочлен f(x) на многочлен (x-a):

f(x)=(x-a)q(x)+r(x)

Так как  deg(r(x))<deg(x-a), а deg(x-a)=1,  то r(x) — многочлен степени не выше 0, т.е. константа. Подставляем x=a в f(x). поскольку (a-a)q(a)=0, то имеем f(a)=r(a). Ч.т.д.

Основное следствие: Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

Теорема о делении с остатком.

Док-во:

 (единственность), пусть , где или deg()<deg(g), то , откуда следует , но deg() < deg(g) . А так как, если  , то степень deg()deg(g), а это невозможно, поэтому и тогда .

(существование): индукцией по степени f .  Если deg(f)<deg(g), то f=0g+f  предполагаем, что . Пусть deg(f) deg(g),  , mn. Рассмотрим его степень строго меньше < deg(f) по предположению индукции он равен откуда , и deg(r)<deg(g). Ч.т.д.

Следствия из теоремы Безу:

  1.  Число a является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a).
  2.  Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3.  Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49731. Проектирование «АРМ менеджера «Издательской компании «Лада» и разработка отдельных его компонентов 257.5 KB
  Это какая продукция какой тираж какие работы должны быть выполнены какие материалы будут использованы при выполнении обговорить ориентировочную стоимость заказа. Таблица Вспомогательные материалы: хранит информацию о дополнительных материалах используемых на производстве например фольга пленка для ламинирования клей декстрин. Таблица Переплетные материалы: хранит информацию о переплетных материалах используемых в производстве например бумвинил эфолин. Таблица Поставки: является связующей между таблицами Бумага Вспомогательные...
49735. Системы водоснабжения и водоотведения жилого здания 1.87 MB
  Здание включает в себя 4 этажа, а также неэксплуатируемый подвал, в котором расположен магистральный трубопровод. Наружные стены выполнены из пеноблока и имеют толщину 600 мм. Внутренние несущие стены выполнены из пеноблока и составляют толщину 380 мм. Перегородки выполнены из кирпича толщиной 120 мм.
49737. Устройство предварительной обработки аналогового сигнала 1.09 MB
  Разработка структурной схемы устройства. Описание структурной схемы устройства. Разработка функциональной схемы устройства. Описание работы устройства по временным диаграммам.
49738. Малоэтажный жилой дом в г. Мурманск 397.32 KB
  Массовая жилая застройка последнего десятилетия в городах различной крупности страдает однообразием не только изза схожести внешнего облика типовых зданий но и одинаковой этажности. Лист № докум. Подпись Дата Лист 4 Введение согласно градостроительным нормам проектирования 5этажной застройки 5300 для центральных 5200 для северных и 5600 для южных районов страны.
49739. Подготовка аналоговой информации для ввода в персональный компьютер 1.4 MB
  Блок управления первым реле. Блок управления вторым реле Расчет реле. Но и применение компьютера для целей управления требует непременно использования дополнительных электронных узлов которые непосредственно приводят в действие исполнительные механизмы: электродвигатели электромагниты реле динамики светодиоды и т.