30501

Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Алгоритм нахождения максимального потока

Доклад

Математика и математический анализ

Тогда очевидно что между вершинами t и s существует цепь состоящая из направленных ребер – прямых и обратных дуг соединяющая эти вершины Выступление: Сетью называется связный граф в котором заданы “пропускные способности†ребер т. Это числа большие или равные нулю причем qij = 0 тогда и только тогда когда нет ребра соединяющего вершины i и j. количество условного “груза†перевозимого из вершины с номером i в вершину с номером j удовлетворяющих четырем условиям: 1 числа сij  0 причем если сij ...

Русский

2013-08-24

29.14 KB

21 чел.

  1.  Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Алгоритм нахождения максимального потока.

Доска:

Сток (т. е. вершина с номером s) не входит в множество вершин Y. Тогда обозначим множество вершин, не входящих в через Z. Наш граф по условию является связным, поэтому из Y, в идут некоторые ребра. По правилам построения все эти ребра являются прямыми насыщенными дугами

Вершина также входит в Y, и пусть второе число ее пометки  > 0. Тогда, очевидно, что между вершинами и существует цепь (состоящая из направленных ребер – прямых и обратных дуг), соединяющая эти вершины

ts

Выступление:

Сетью называется связный граф, в котором заданы “пропускные способности” ребер, т. е. числа qij. Это числа большие или равные нулю, причем qij 0 тогда и только тогда, когда нет ребра, соединяющего вершины i и j. Таким образом, можно считать, что пропускные способности ребер заданы для любой пары вершин. В дискретной математике пропускные способности ребер, как и все возникающие константы, считаются целыми числами (или рациональными, что одно и то же, так как рациональные числа отличаются от целых только единицами измерения).

Потоком в сети между вершиной (источникоми (стокомназывается набор чисел сij, (т. е. количество условного “груза”, перевозимого из вершины с номером i в вершину с номером j), удовлетворяющих четырем условиям:

1) числа сij   0, причем если сij 0, то сji 0 (нет встречных перевозок);

2) числа cij   qij (соответствующих пропускных способностей ребер);

3) если вершина с номером i – промежуточная (не совпадает с источником и стоком), то

,

т. е. количество “груза”, вывозимого из вершины i, равно количеству “груза”, ввозимого в эту вершину;

4)  количество “груза”, вывозимого из источника t, должно быть равно количеству груза, ввозимого в сток s:

.

Число А называется величиной данного потока или просто потоком между и s.

Пусть имеется некоторое сечение между вершинами t и s. Тогда величиной сечения называется сумма пропускных способностей ребер, входящих в это сечение. Сечение называется минимальным (максимальным), если его величина минимальна (максимальна).

Теорема Форда – Фалкерсона (1955). Максимальный поток между вершинами t и s равен величине минимального сечения между этими вершинами.

Дополнительно:

Теорема Форда – Фалкерсона (1955). Максимальный поток между вершинами t и s равен величине минимального сечения между этими вершинами.

Доказательство этой теоремы является конструктивным (т. е. показывает, как найти нужный максимальный поток), поэтому приводится ниже.

  1.  Докажем сначала, что любой поток между вершинами и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин “грузов”, перевозимых по всем возможным путям из вершины в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести “груза” больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна, сумме всех пропускных способностей ребер данного сечения. Утверждение доказано.

Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.

  1.  Докажем теперь обратное неравенство. Пусть имеется некоторый поток cij (какой-то поток всегда существует, например, нулевой, когда все cij = 0). Будем помечать вершины графа, причем считаем, что все помеченные вершины образуют множество Y. Пометки вершин производятся от источника. Каждая пометка вершины (если эта вершина может быть помечена) состоит из двух чисел: первое – это “+” или “–” номер вершины (из Y), c которой связана новая помечаемая вершина, и второе – (обязательно должно быть положительным) – это фактически та добавка к потоку, которая может быть дополнительно “довезена” в эту вершину из источника по сравнению с исходным потоком.

Более точно, множество помеченных вершин образуется следующим образом:

источник принадлежит и его пометка (0, ); второе число, условно говоря, равно бесконечности – что для дискретной математики означает, что это настолько большое число, как нам понадобится;

если вершина принадлежит Y и cij < qij (дуга (i,j) – прямая и ненасыщенная), то вершина также принадлежит и пометка вершины равна (+i, j), где j>0 равно jmin {i, qij – cij}. Заметим, что здесь число i – это второе число уже помеченной вершины i, а знак + перед номером означает, что дуга, связывающая вершины (i, j) является прямой (и ненасыщенной);

если вершина к принадлежит и сjk > 0 (обратная дуга), то вершина с номером также должна принадлежать и ее пометка равна (– кj), где знак минус означает, что вершина jсвязана с уже помеченной вершиной к обратной дугой, jmin{k, qjk+cjk}, причем очевидно, что также строго больше нуля. Таким образом, построение множества являетсяиндуктивным, т. е. новая вершина добавляется в Y, если она связана с некоторой вершиной уже входящей в либо прямой ненасыщенной дугой, либо обратной дугой.

После того как построение множества закончено (к нему нельзя добавить новых вершин), возможны 2 случая.

1. Сток (т. е. вершина с номером s) не входит в множество вершин Y. Тогда обозначим множество вершин, не входящих в через Z. Наш граф по условию является связным, поэтому из Y, в идут некоторые ребра. По правилам построения все эти ребра являются прямыми насыщенными дугами (рис. 7).

Ребра, идущие из множества в Z, образуют сечение между вершинами и s. Видно также, что сумма пропускных способностей ребер этого сечения (а все эти ребра являются прямыми, насыщенными) равна потоку из в s. Значит, данный поток является максимальным (так как он равен величине некоторого сечения), а данное сечение является минимальным.

2. Вершина также входит в Y, и пусть второе число ее пометки  > 0. Тогда, очевидно, что между вершинами и существует цепь (состоящая из направленных ребер – прямых и обратных дуг), соединяющая эти вершины

Схематично это представлено на рис. 8.

ts

Рис. 8

Заметим, что дуга, выходящая из источника, и дуга, входящая в сток, должны быть обязательно прямыми. Прибавим  к cij для прямых дуг этой цепи (по построению видно, что полученное число будет меньше или равно qij) и вычтем это  s из cij для обратных дуг (может получиться отрицательное число, но оно обязательно будет по абсолютной величине меньше qij, так как по построению  s   cij+qij , а это означает, что обратная дуга меняет направление, становится прямой дугой и его “нагрузка” будет равна модулю числа Тогда новые числа для дуг, входящих в нашу цепь, а также “старые” cij для всех дуг, не входящих в нашу цепь, образуют новый поток из вершины в вершину s(легко проверить простым рассуждением, что для новых чисел выполняются условия (1)–(4)). Кроме того, величина нового потока по сравнению со старым увеличилась на s > 0  . Для нового потока снова проведем ту же процедуру и т. д.

Так как каждый раз величина потока увеличивается, по крайней мере, на 1 (пропускные способности ребер являются целыми числами), а величина максимального потока ограничена (величиной минимального сечения), то эта процедура не может продолжаться бесконечно и, значит, на каком-то шаге получим поток, для которого вершина не входит вY, т. е. поток является максимальным и величина его равна величине минимального сечения. Теорема доказана.

Рассуждение теоремы Форда – Фалкерсона фактически является алгоритмом нахождения максимального потока между двумя вершинами (или доказательством того, что этот поток является максимальным). Подробный пример на эту тему приведен в разд. 15 “Решение типовых задач”.

Примечание. Если в данном графе с пропускными способностями ребер (т. е. сети) имеется несколько источников и несколько стоков, то описанный выше алгоритм можно применить следующим образом. Вводим новый источник и новый сток, причем новый источник соединяем ребрами со всеми источниками, а новый сток – со всеми стоками, при этом пропускные способности новых ребер считаем сколь угодно большими числами, так что эти дуги в любом возможном потоке были бы ненасыщенными (напомним, что ребра, идущие из источника и ребра, идущие в сток всегда являются прямыми дугами). После этого для нового графа решаем задачу о максимальном потоке (из одного нового источника водин новый сток). Решив ее, стираем все введенные ребра и вершины.

Рассмотрим еще некоторые вопросы (достаточно общего характера) из теории графов. Заметим, что в следующих разделах мы приводим только самые простые доказательства, а основные доказательства приведены в книге Р. Уилсона [6].


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75251. Противообледенительные устройства летательных аппаратов 5.98 MB
  Нагревательные элементы приемников полного и статического давления воздуха РИО3 СО4А и ДУА питаются постоянным током напряжением 27 В а лопасти винтов и их обтекатели – переменным током напряжением 115 В 400 Гц. Расход воздуха отбираемого от двигателей: для ПОС крыла и хвостового оперения. Температура воздуха отбираемого от двигателя для нужд ПОС. Давление воздуха отбираемого от двигателя для нужд ПОС до 7кгс см2; 4.
75252. Противопожарное оборудование летательных аппаратов 1.42 MB
  Основной формой проведения практических занятий считать осмотр самолетов и вертолетов их вспомогательных агрегатов той или иной системы на стендах. Противопожарное оборудование самолета состоит из стационарной противопожарной системы и ручных переносных огнетушителей. Стационарная противопожарная система состоит из противопожарной системы самолета и противопожарной системы двигателей. Обе системы имеют общую электросистему и щиток пожаротушения.
75253. Бытовое оборудование летательного аппарата 1.48 MB
  Решать комплексные задачи по оценке работоспособности ЛА и их систем в целом и в каждом конкретном полете при заданном уровне безопасности полетов (БП) и целесообразной экономической эффективности
75254. Гидравлическая система летательных аппаратов 1.06 MB
  Цели и задачи обучения В процессе изучения дисциплины Конструкция и эксплуатация летательных аппаратов и вертолетов ЛА студенты ознакамливаются: с материалами используемыми при изготовлении Л и вертолетов; с назначениями и конструкцией основных элементов планера Л фюзеляжа крыла хвостового оперения; с назначениями и конструкции взлетнопосадочных устройств; с назначениями и конструкцией систем ЛА управления гидравлической топливной высотной противоположной бытового оборудования...
75255. Топливная система летательных аппаратов 729 KB
  Топливная система самолёта предназначена для размещения топлива на самолёте и подачи его к двигателям АИ24ВТ и РУ19А300. На самолёте не предусмотрено системы аварийного слива топлива. Система выработки топлива состоит из 2х аналогичных систем расположенных в левой и правой плоскостях.12; В соответствии с порядком выработки топлива все баки делятся...
75256. Высотное оборудование летательного аппарата 696.5 KB
  Изучение особенностей конструкции и принципов работы элементов, узлов, агрегатов планера и функциональных систем современных самолетов. Знания, полученные при изучении курса «Конструкция самолета и вертолета» дают возможность по эксплуатации самолетов и вертолета самостоятельно...