ID: 3054

Название работы: Обробка даних вимірювань. Апроксимація та інтерполяція даних

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: Обробка даних вимірювань. Апроксимація та інтерполяція даних. Мета: Вивчити процедури для апроксимації та інтерполяції даних в системі MathCad. Завдання. Побудувати апроксимаційний поліном 1-го степеня за методом найменших квадратів. Значення...

Язык: Украинкский

Дата добавления: 2012-11-12

Размер файла: 188 KB

Работу скачали: 13 чел.

Обробка даних вимірювань. Апроксимація та інтерполяція даних.

Мета: Вивчити процедури для апроксимації та інтерполяції даних в системі MathCad.

Завдання.

1.  Побудувати апроксимаційний поліном 1-го степеня за методом найменших квадратів. Значення аргумента  та функції  задані в таблиці. За отриманими результатами побудувати графік функції  . Завдання виконати в середовищі Microsoft Excel

 

Варіанти завдань:

1)	x	18,18	20,40	25,54	31,41	36,75	42,51	48,04
	y	86,00	86,67	87,95	90,18	90,92	92,92	94,43

2)	x	10,36	20,08	12,30	32,62	15,50	44,91	51,19
	y	45,67	86,63	87,87	90,03	67,34	92,59	93,97

3)	x	18,54	21,20	27,03	28,50	40,25	23,50	35,13
	y	85,98	47,90	87,79	89,89	90,47	65,45	93,50

4)	x	18,72	21,60	27,78	35,03	42,00	49,72	54,47
	y	85,98	80,78	87,71	70,78	90,24	91,92	93,04

5)	x	19,08	22,40	29,26	37,45	45,50	54,54	63,76
	y	85,96	86,49	87,55	89,45	86,49	85,96	93,04

6)	x	18,90	22,00	28,52	36,24	43,75	52,13	60,61
	y	85,97	86,53	87,63	89,60	90,01	91,58	92,57

7)	x	19,26	20,01	25,89	38,66	47,25	56,94	66,90
	y	85,95	70,00	87,48	79,89	89,55	89,00	91,64

8)	x	19,44	23,20	30,75	39,86	49,00	59,35	70,04
	y	85,95	70,00	87,48	79,89	89,55	89,00	91,18

9)	x	19,62	23,60	31,50	41,07	50,75	61,75	73,19
	y	45,67	86,63	87,87	90,03	67,34	92,59	93,97

10)	x	19,80	24,00	32,24	42,28	52,50	64,16	76,33
	y	85,92	70,00	87,24	50,00	88,87	80,00	90,25

11)	x	19,98	24,40	32,98	43,49	54,25	66,57	79,47
	y	85,92	65,00	87,24	65,00	88,87	80,67	90,25

12)	x	20,16	24,80	33,73	44,70	56,00	68,97	82,62
	y	85,70	86,28	87,08	88,59	88,42	89,23	85,70

13)	x	20,34	25,20	34,47	45,90	57,75	71,38	85,76
	y	30,50	15,60	45,80	100,89	120,76	35,80	40,20

14)	x	20,52	25,60	35,22	47,11	59,50	73,78	88,90
	y	35,12	18,90	43,25	99,90	97,98	79,98	85,90

15)	x	20,70	26,00	35,96	48,32	61,25	76,19	92,04
	y	85,88	18,90	86,84	99,90	97,98	88,82	85,90

16)	x	20,88	26,40	36,40	49,53	63,00	78,60	95,119
	y	45,67	86,63	87,87	90,03	67,34	92,59	93,97

17)	x	21,06	26,80	37,45	50,74	64,75	81,00	98,33
	y	85,86	86,11	86,68	87,86	87,28	87,55	86,99

18)	x	21,24	27,20	38,19	51,94	66,50	83,41	101,47
	y	85,86	86,08	86,60	87,42	85,00	87,22	86,53

19)	x	21,42	27,60	38,94	53,15	68,25	85,81	104,62
	y	85,86	86,04	86,52	87,57	86,82	87,22	86,06

20)	x	21,60	28,00	39,68	54,36	70,00	88,22	107,76
	y	85,84	86,01	86,45	87,43	86,59	86,55	90,00

21)	x	21,78	28,40	35,00	40,78	45,99	80,67	90,67
	y	85,83	85,97	86,37	87,29	86,36	78,65	102,89

22)	x	21,96	28,80	41,17	56,78	73,50	93,03	114,05
	y	85,81	85,56	86,22	87,29	86,36	78,63	102,89

23)	x	22,14	29,20	41,91	57,98	75,25	95,44	117,19
	y	85,67	85,56	86,21	87,29	86,33	78,63	101,54

24)	x	22,32	29,60	42,66	59,19	77,00	97,84	120,33
	y	85,80	85,87	86,13	86,85	85,68	85,20	89,77

25)	x	22,50	30,00	43,40	60,40	78,25	100,25	123,47
	y	85,79	85,53	86,05	86,71	85,45	84,87	88,71

26)	x	22,68	30,40	44,14	61,61	80,50	102,65	126,62
	y	85,79	85,80	85,97	85,56	85,23	84,53	88,69

27)	x	22,86	30,80	44,89	62,82	82,25	105,06	129,76
	y	85,78	85,76	85,89	86,42	85,00	84,20	95,66

28)	x	23,04	31,20	45,63	64,02	84,00	107,47	132,90
	y	85,77	85,73	85,81	86,27	84,77	83,86	100,88

29)	x	23,22	31,60	46,38	65,23	85,75	109,87	136,05
	y	85,76	85,69	85,73	86,13	84,54	85,52	99,77

30)	x	23,40	32,00	47,12	66,44	87,50	112,28	139,19
	y	85,76	85,66	85,73	85,98	84,54	83,19	99,77

Вказівки до виконання завдання

Приклад . В таблицю 1 занесені дані обстеження 11 студентів (зріст і вага).

Таблиця 1

X (зріст, м)	1.62	1.78	1.66	1.60	1.72	1.64	1.80	1.68	1.76	1.70	1.74
Y (вага, кг)	62	82	64	58	79	61	81	72	74	68	76

Необхідно встановити тісноту та тип зв’язку між зростом та вагою студентів.

Розв’язання

Нанесемо експериментальні дані на координатну площину x0y і отримаємо поле розсіювання (рис. 1). Коли точки з’єднати прямими лініями, то отримаємо ламану лінію, по вигляду якої можна зробити висновок, що залежність між зростом (X) та вагою (Y) є прямолінійною (експериментальні точки розміщені вздовж прямої) і рівняння регресії матиме вигляд .

Рис. 1. Поле розсіювання, графіки лінії регресії (y) та ліній смуги довір’я ( та ).

В таблицю 4 запишемо відсортовані в порядку зростання X значення експериментальних даних Y (графи 2 і 3) та проведемо необхідні обчислення.

Таблиця 2

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1.60	58	-0.10	0.0100	-12.636	159.678	1.264	5.493	0.243	55.523	61.463
2	1.62	62	-0.08	0.0064	-8.636	74.587	0.691	60.921	1.164	57.951	63.891
3	1.64	61	-0.06	0.0036	-9.636	92.860	0.578	63.349	5.519	60.379	66.319
4	1.66	64	-0.04	0.0016	-6.636	44.041	0.265	65.777	3.159	62.807	68.747
5	1.68	72	-0.02	0.0004	1.364	1.860	-0.027	68,205	14.399	65.235	71.175
6	1.70	68	-0.00	0.0000	-2.636	6.950	0.000	70.633	6.935	67.663	73.603
7	1.72	79	0.02	0.0004	8.364	69.950	0.167	73.061	35.266	70.091	76.031
8	1.74	76	0.04	0.0016	5.364	28.769	0.215	75.489	0.261	72.519	78.459
9	1.76	74	0.06	0.0036	3.364	11.364	0.202	77.918	15.347	74.948	80.888
10	1.78	82	0.08	0.0064	11.364	129.132	0.909	80.346	2.737	77.376	83.316
11	1.80	81	0.10	0.0100	10.364	107.405	1.036	82.774	3.146	79.804	85.744
∑	18.7	777	––	0.044	––	726.546	5.3	––	88.187	––	––

За алгоритмом МНК знайдемо значення потрібних величин, використовуючи значення сум, отриманих в таблиці 4 і зробимо висновки:

1.  знаходимо середні значення масивів X і Y:
2.  знаходимо середньоквадратичні вибіркові відхилення:

1.  знаходимо коефіцієнт коваріації:
2.  знаходимо коефіцієнт кореляції:
3.  знаходимо коефіцієнти рівняння регресії:

1.  знаходимо теоретичні значення змінної Y (графа 9):
2.  знаходимо середньоквадратичне відхилення між експериментальними та теретичними значеннями змінної Y:  
3.  знаходимо значення ліній смуги довір’я (графа 11 і 12):

1.  знаходимо інтервал смуги довір’я:

Висновок. Зв’язок між зростом (X) і вагою (Y) прямий (r=0.94>0), тобто чим вища людина, тим більша у неї вага, і сильний (2/3r<1). Вагу людини (Y) за зростом (X) можна визначити за формулою , і ця вага може коливатись в межах 2.97 кг.

1.  Побудувати апроксимаційний поліном 1-го степеня . Значення x та y задані у завданні №1. Побудувати в одному графічному вікні графіки заданої дискретно функції і графік отриманої функції . Завдання виконати в середовищі MathCad. Порівняти отримані результати з результатами, отриманими в завданні 1.

Вказівки до виконання завдання

Теоретичні відомості. Функції MathCad, які використовуються при розрахунках лінійної регресії:

1.  line(x,y) – вектор із двох елементів (b,a) коефіцієнтів рівняння лінійної регресії
2.  intercept(x,y) – коефіцієнт b рівняння лінійної регресії
3.  slope(x,y) - коефіцієнт a рівняння лінійної регресії

Тут x –вектор дійсних даних аргументу, y – вектор дійсних даних того ж розміру.

В системі MathCad є два дублюючих один одного способи для розрахунку лінійної регресії.

1-й спосіб.

Приклад.

2-й спосіб.

Приклад.

Поліноміальна регресія

Поліноміальна регресія означає наближення даних  поліномом к-го степеня

При к=1 – пряма лінія, к=2 – парабола, к=3 – кубічна парабола і т.д. (к<5).

В системі MathCad поліноміальна регресія здійснюється за допомогою комбінації функцій regress та поліноміальної регресії даних interp :

1) regress(x,y,k)- вектор коефіцієнтів для побудови поліноміальної регресії даних

2) interp(s,x,y,t) – результат поліноміальної регресії

Тут :

 s=regress(x,y,k)

 x – вектор дійсних даних аргумента, розташованих в порядку зростання

 y- вектор дійсних даних значень того ж розміру

 k – степінь полінома регресії

 t – значення аргумента

Приклад поліноміальноі регресії квадратичною та кубічною параболами.

  y

84

80

76

72

68

64

60

56

0    1.60    1.62    1.64    1.66    1.68     1.70    1.72    1.74     1.76    1.78    1.80     1.82    x