30558

Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация

Доклад

Математика и математический анализ

Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции. Понятие дифференцируемости функции. Выражение ∆x называется дифференциалом функции fx в точке x0 соответствующим приращению аргумента ∆x и обозначается символом dy или dfx0. При этом приращение функции ∆y определяется главным образом первым слагаемым т.

Русский

2013-08-24

91.81 KB

20 чел.

Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация.

Кажется, немного не правильно сформулирован вопрос.

 Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного: теорема  Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия теоремы Роля: теоретическая интерпретация. Вот так кажется вернее будет.

Рисовать на доске будем Рис. 1-4

В основную часть формулировки.

В дополнение пойдут доказательства.

Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления, поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции.

 Понятие дифференцируемости функции.

Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента  x0  a;b). Дадим аргументу приращение ∆x 0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x) a;b). При этом функция получит приращение   ∆y= f(x+∆x) ─ f(x).

Функция y=f(x)  называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение в этой точке можно представить в виде

    ∆y=A ∆x + o(∆x),

где  A -  некоторая постоянная,  а  o(∆x) – величина более высокого порядка малости, чем ∆x,  т.е.     = 0.  Выражение  A ∆x  называется дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается  символом dy или df(x0). При этом приращение независимой переменной ∆x  называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать:   dy = A dx.   Если A≠0, то при ∆ x→0  второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A ∆x).  При этом приращение функции  ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения  функции. 

Свойство определенного интеграла

Если функция f(x) непрерывна на отрезке {a,b}, то на этом отрезке найдется такая точка, что справедливо следующее равенство:

Теорема  Ферма. Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х0 производную, то f′(x0)=0.

Доказательство. Пусть f(x0) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0). Тогда, если x < x0 ,  а если x > x0 ,  

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f′(x0) ≥ 0, а из второго – что f′(x0) ≤ 0. Следовательно, f′(x0) = 0.

Замечание. В теореме Ферма важно, что х0 – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция y = x, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при х = 1 и х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема Ролля. Если функция y = f(x)

  1.  непрерывна на отрезке [ab];
  2.  дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
  3.  принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b),

то внутри интервала (ab) существует по крайней мере одна точка х = с, a < c < b, такая, что f′(c) = 0.

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ab]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f′(x)=0 для любой точки отрезка [ab]. Если же m<M, то по теореме 16.2 хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ab] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f′(c) = 0.

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

            у                                                          у                                                        у

                                                                                                                                                                              

                     0     1           х                                      0                     х            -1     0    1    х

            Рис. 1.                                                  Рис. 2.                                           Рис. 3.

Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 1, f(0)=f(1)=0, но х=1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.2, не дифференцируема при х = 0, а для третьей функции         f(-1)≠f(1).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа

Если функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a;b]  и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка   [a;b]   найдётся такая точка  c,  что для неё выполняется равенство

 

Последнее равенство носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений.

Доказательство. Проведём вначале предварительные рассуждения. Секущая  AB  (рис. 7) проходит через точки    и  ,  её угловой коэффициент есть  ,  поэтому уравнение секущей  AB  имеет вид

  или

.

Обозначим выражение, стоящее в правой части этого равенства, через :

 .

Тогда секущая  AB  есть график функции . Очевидно, что  .

Введём теперь на отрезке  [a;b]  вспомогательную функцию

 .

Функции    удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b]  (как разность непрерывной функции  f(x)  и линейной функции)  и во всех внутренних точках отрезка   [a;b]   имеет производную, равную

.

Кроме того, так как   ,   то  ,   т.е.  функция    принимает равные значения на концах отрезка   [a;b].  Следовательно, согласно теореме Ролля, на отрезке  [a;b]  найдётся такая точка  c,  что .  Это значит, что  ,   т.е.  ,  откуда       .

Теорема доказана.

Обратимся к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа. Как мы уже отметили, величина      есть угловой коэффициент секущей  AB.   В то же время    есть угловой коэффициент касательной к кривой    в точке с абсциссой  .  Таким образом, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге  всегда найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде (рис. 4).

Отметим, что теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.

B

A

C

b

ac

c

o

y

x

Рис.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79363. Ну-мо, хлопці! 289.5 KB
  Представлення журі. Представлення учасників змагань. Оголошення програми змагань. Проведення змагань: конкурс вітальних листівок; воєнізована естафета; музична пауза; одягання протигазу у складі взводу; бліц – опитування...
79366. Семейное право 110.5 KB
  Права и обязанности родителей и детей. Словарь: Семейное право - система правовых норм регулирующих личные и производные от них имущественные отношения возникающие из брака кровного родства принятия детей в семью на воспитание.
79367. Свято Святого Миколая 505 KB
  Виростають діти і добра казка зникає а Миколай залишається. Хто це Кожен пам’ятай Це святий наш Миколай Діточок він всіх згадає Їм дарунки посилає Він вже близько вже іде Наша пісня хай гуде Пісня Ой хто хто Миколая любить Жив колись давно на світі Десь у Азії юнак Роздавав дарунки дітям...
79369. Свято ввічливих і вихованих дітей 2.37 MB
  Мета: Вчити ввічливому спілкуванню з ровесниками, дорослими. Збагачувати словниковий запас учнів, узагальнити знання учнів про правила поведінки вдома, в школі, в громадських місцях. Виховування в учнів ввічливість, чемність, доброзичливість.