30558

Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация

Доклад

Математика и математический анализ

Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции. Понятие дифференцируемости функции. Выражение ∆x называется дифференциалом функции fx в точке x0 соответствующим приращению аргумента ∆x и обозначается символом dy или dfx0. При этом приращение функции ∆y определяется главным образом первым слагаемым т.

Русский

2013-08-24

91.81 KB

20 чел.

Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация.

Кажется, немного не правильно сформулирован вопрос.

 Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного: теорема  Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия теоремы Роля: теоретическая интерпретация. Вот так кажется вернее будет.

Рисовать на доске будем Рис. 1-4

В основную часть формулировки.

В дополнение пойдут доказательства.

Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления, поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции.

 Понятие дифференцируемости функции.

Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента  x0  a;b). Дадим аргументу приращение ∆x 0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x) a;b). При этом функция получит приращение   ∆y= f(x+∆x) ─ f(x).

Функция y=f(x)  называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение в этой точке можно представить в виде

    ∆y=A ∆x + o(∆x),

где  A -  некоторая постоянная,  а  o(∆x) – величина более высокого порядка малости, чем ∆x,  т.е.     = 0.  Выражение  A ∆x  называется дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается  символом dy или df(x0). При этом приращение независимой переменной ∆x  называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать:   dy = A dx.   Если A≠0, то при ∆ x→0  второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A ∆x).  При этом приращение функции  ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения  функции. 

Свойство определенного интеграла

Если функция f(x) непрерывна на отрезке {a,b}, то на этом отрезке найдется такая точка, что справедливо следующее равенство:

Теорема  Ферма. Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х0 производную, то f′(x0)=0.

Доказательство. Пусть f(x0) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0). Тогда, если x < x0 ,  а если x > x0 ,  

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f′(x0) ≥ 0, а из второго – что f′(x0) ≤ 0. Следовательно, f′(x0) = 0.

Замечание. В теореме Ферма важно, что х0 – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция y = x, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при х = 1 и х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема Ролля. Если функция y = f(x)

  1.  непрерывна на отрезке [ab];
  2.  дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
  3.  принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b),

то внутри интервала (ab) существует по крайней мере одна точка х = с, a < c < b, такая, что f′(c) = 0.

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ab]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f′(x)=0 для любой точки отрезка [ab]. Если же m<M, то по теореме 16.2 хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ab] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f′(c) = 0.

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

            у                                                          у                                                        у

                                                                                                                                                                              

                     0     1           х                                      0                     х            -1     0    1    х

            Рис. 1.                                                  Рис. 2.                                           Рис. 3.

Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 1, f(0)=f(1)=0, но х=1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.2, не дифференцируема при х = 0, а для третьей функции         f(-1)≠f(1).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа

Если функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a;b]  и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка   [a;b]   найдётся такая точка  c,  что для неё выполняется равенство

 

Последнее равенство носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений.

Доказательство. Проведём вначале предварительные рассуждения. Секущая  AB  (рис. 7) проходит через точки    и  ,  её угловой коэффициент есть  ,  поэтому уравнение секущей  AB  имеет вид

  или

.

Обозначим выражение, стоящее в правой части этого равенства, через :

 .

Тогда секущая  AB  есть график функции . Очевидно, что  .

Введём теперь на отрезке  [a;b]  вспомогательную функцию

 .

Функции    удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b]  (как разность непрерывной функции  f(x)  и линейной функции)  и во всех внутренних точках отрезка   [a;b]   имеет производную, равную

.

Кроме того, так как   ,   то  ,   т.е.  функция    принимает равные значения на концах отрезка   [a;b].  Следовательно, согласно теореме Ролля, на отрезке  [a;b]  найдётся такая точка  c,  что .  Это значит, что  ,   т.е.  ,  откуда       .

Теорема доказана.

Обратимся к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа. Как мы уже отметили, величина      есть угловой коэффициент секущей  AB.   В то же время    есть угловой коэффициент касательной к кривой    в точке с абсциссой  .  Таким образом, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге  всегда найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде (рис. 4).

Отметим, что теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.

B

A

C

b

ac

c

o

y

x

Рис.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36582. Простые операторы управления вводом-выводом в текстовом режиме 32 KB
  Кроме ввода и вывода потока символов более удобный пользовательский интерфейс может быть обеспечен при использовании вводавывода в текстовом режиме экрана. В Турбо Паскале имеются средства управления вводом с клавиатуры управления курсором вывода на экран управления цветом фона экрана и выводимых символов яркостью символов и ряд других функций в том числе управления звуковым генератором. Установка цвета фона цвета символов и очистка экрана. Модуль CRT допускает использовать в текстовом режиме экрана 16 цветов задаваемых стандартными...
36583. Оператор присваивания 28.5 KB
  Левая часть это переменная любого типа правая часть выражение совместимое по типу с переменной левой части. При выполнении этого оператора вычисляется значение выражения правой части и это значение становится значением переменной левой части. Совместимость левой и правой частей присваивания по типу означает либо равенство типов либо случаи когда тип выражения правой части автоматически преобразуется к типу левой части. Эти случаи автоматического преобразования типов для известных нам стандартных типов исчерпываются следующими:  Тип...
36584. Стандартные типы данных, операции, выражения 48.5 KB
  Целые числа типа integer это числа диапазона 32768 . Константы типа integer обычные целые числа возможно со знаком. Синтаксическое определение целых чисел имеет вид: целое число ::= [ ] { цифра } В отличие от целых чисел вещественные числа типа rel представляются в памяти компьютера приближенно. Константы типа rel числа возможно с дробной частью отделяемой от целой части точкой.
36585. Структура программ на Паскале 36 KB
  Любая программа на Турбо Паскале имеет одну и ту же общую структуру: [ progrm имя программы ; ] [ раздел описаний ] begin раздел операторов end. Эта структура состоит из заголовка программы необязательного раздела описаний который может в особых случаях отсутствовать и раздела операторов содержащего хотя бы один оператор. Имя программы идентификатор выбираемый программистом. В разделе описаний должны быть описаны все нестандартные имена используемые далее в разделе операторов этой программы.
36586. Автоматизация турфирм 31 KB
  Комплексная автоматизация турфирмы позволяет: Автоматизировать оперативный и бухгалтерский учет в турфирмах Автоматизировать оперативную работу с клиентами Формировать турпакет из услуг поставщиков рассчитывать прайслисты и подготавливать электронный и бумажный каталоги цен. Автоматизация туристической деятельности естественным образом приводит к оптимизации бизнеспроцессов. Автоматизация рабочего места в тур. Автоматизация рабочих мест пользователей позволяет: формировать турпакет из услуг поставщиков рассчитывать прайслисты...
36587. Система бронирования Amadeus 37 KB
  В настоящее время mdeus ведущая компьютерная система бронирования в Европе. системы бронирования System One она активно продвигается и на американский рынок. Партнером mdeus является немецкая система бронирования туруслуг Strt и любой пользователь mdeus автоматически является также пользователем Strt.
36588. Реляционная модель данных 46.5 KB
  Любую таблицу упрощенно можно описать следующим образом: НАЗВАНИЕ ТАБЛИЦЫ Поле1 Поле2 Поле3ПолеN Например: СТУДЕНТЫНомер_зачетки ФИО Факультет. Располагаются столбцы в таблице в порядке следования их имен принятом при создании таблицы. В каждой таблице должен быть столбец или совокупность столбцов значение которого однозначно идентифицирует каждую запись таблицы. Этот столбец или совокупность столбцов называется первичным ключом primry key PK таблицы.
36589. Основы проектирования баз данных 93.5 KB
  Основные этапы проектирования баз данных 1 Концептуальное инфологическое проектирование Концептуальное инфологическое проектирование построение семантической смысловой модели предметной области то есть информационной модели наиболее высокого уровня абстракции. Такая модель создаётся без ориентации на какуюлибо конкретную СУБД и модель данных. Кроме того в этом контексте равноправно могут использоваться слова модель базы данных и модель предметной области поскольку такая модель является как образом реальности так и образом...
36590. Язык SQL 499.5 KB
  На раннем этапе развития систем управления базами данных(СУБД) в условиях низких технических характеристик ЭВМ основное внимание разработчиков СУБД было направлено на проблемы размещения информации в базе и обмена данными между дисковой памятью и оперативной памятью, поскольку это в первую очередь определяло эффективность функционирования СУБД