30558

Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация

Доклад

Математика и математический анализ

Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции. Понятие дифференцируемости функции. Выражение ∆x называется дифференциалом функции fx в точке x0 соответствующим приращению аргумента ∆x и обозначается символом dy или dfx0. При этом приращение функции ∆y определяется главным образом первым слагаемым т.

Русский

2013-08-24

91.81 KB

20 чел.

Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация.

Кажется, немного не правильно сформулирован вопрос.

 Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного: теорема  Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия теоремы Роля: теоретическая интерпретация. Вот так кажется вернее будет.

Рисовать на доске будем Рис. 1-4

В основную часть формулировки.

В дополнение пойдут доказательства.

Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления, поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции.

 Понятие дифференцируемости функции.

Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента  x0  a;b). Дадим аргументу приращение ∆x 0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x) a;b). При этом функция получит приращение   ∆y= f(x+∆x) ─ f(x).

Функция y=f(x)  называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение в этой точке можно представить в виде

    ∆y=A ∆x + o(∆x),

где  A -  некоторая постоянная,  а  o(∆x) – величина более высокого порядка малости, чем ∆x,  т.е.     = 0.  Выражение  A ∆x  называется дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается  символом dy или df(x0). При этом приращение независимой переменной ∆x  называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать:   dy = A dx.   Если A≠0, то при ∆ x→0  второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A ∆x).  При этом приращение функции  ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения  функции. 

Свойство определенного интеграла

Если функция f(x) непрерывна на отрезке {a,b}, то на этом отрезке найдется такая точка, что справедливо следующее равенство:

Теорема  Ферма. Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х0 производную, то f′(x0)=0.

Доказательство. Пусть f(x0) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0). Тогда, если x < x0 ,  а если x > x0 ,  

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f′(x0) ≥ 0, а из второго – что f′(x0) ≤ 0. Следовательно, f′(x0) = 0.

Замечание. В теореме Ферма важно, что х0 – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция y = x, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при х = 1 и х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема Ролля. Если функция y = f(x)

  1.  непрерывна на отрезке [ab];
  2.  дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
  3.  принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b),

то внутри интервала (ab) существует по крайней мере одна точка х = с, a < c < b, такая, что f′(c) = 0.

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ab]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f′(x)=0 для любой точки отрезка [ab]. Если же m<M, то по теореме 16.2 хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ab] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f′(c) = 0.

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

            у                                                          у                                                        у

                                                                                                                                                                              

                     0     1           х                                      0                     х            -1     0    1    х

            Рис. 1.                                                  Рис. 2.                                           Рис. 3.

Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 1, f(0)=f(1)=0, но х=1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.2, не дифференцируема при х = 0, а для третьей функции         f(-1)≠f(1).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа

Если функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a;b]  и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка   [a;b]   найдётся такая точка  c,  что для неё выполняется равенство

 

Последнее равенство носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений.

Доказательство. Проведём вначале предварительные рассуждения. Секущая  AB  (рис. 7) проходит через точки    и  ,  её угловой коэффициент есть  ,  поэтому уравнение секущей  AB  имеет вид

  или

.

Обозначим выражение, стоящее в правой части этого равенства, через :

 .

Тогда секущая  AB  есть график функции . Очевидно, что  .

Введём теперь на отрезке  [a;b]  вспомогательную функцию

 .

Функции    удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b]  (как разность непрерывной функции  f(x)  и линейной функции)  и во всех внутренних точках отрезка   [a;b]   имеет производную, равную

.

Кроме того, так как   ,   то  ,   т.е.  функция    принимает равные значения на концах отрезка   [a;b].  Следовательно, согласно теореме Ролля, на отрезке  [a;b]  найдётся такая точка  c,  что .  Это значит, что  ,   т.е.  ,  откуда       .

Теорема доказана.

Обратимся к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа. Как мы уже отметили, величина      есть угловой коэффициент секущей  AB.   В то же время    есть угловой коэффициент касательной к кривой    в точке с абсциссой  .  Таким образом, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге  всегда найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде (рис. 4).

Отметим, что теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.

B

A

C

b

ac

c

o

y

x

Рис.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29943. Единая государственная система предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций (РСЧС). Основные цели и задачи РСЧС по защите населения от чрезвычайных ситуаций 30.5 KB
  Основные цели и задачи РСЧС по защите населения от чрезвычайных ситуаций Ответ: РСЧС создана для прогнозирования предотвращения и ликвидации различных ситуаций обеспечения постоянной готовности к ним органов государственного управления сил и средств предназначенных для этого. Основные задачи РСЧС: разработка и выполнение законов и других правовых документов по защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций; подготовка и выполнение целевых научнотехнических программ направленных на предупреждение аварий и катастроф...
29944. Понятие «дорога», ее составные части. Меры безопасного поведения пешехода на улицах и дорогах 38.5 KB
  Все кровотечения подразделяются на: венозные когда кровь темного цвета непрерывно и медленно вытекает из раны; артериальные когда кровь алого цвета из глубокой раны выбрасывается пульсирующей струей; капиллярные когда кровь сочится по всей поверхности раны; смешанные когда есть признаки артериального и венозного кровотечения. Способы остановки кровотечения: пальцевое прижатие несколько выше раны артериального сосуда находящегося близко к коже. Это дает возможность быстро остановить кровотечение примерно на 35 мин;...
29945. Современный общественный транспорт и его характеристика. Правила безопасного поведения пассажира в общественном транспорте 40 KB
  Правила безопасного поведения пассажира в общественном транспорте Ответ: Общественный транспорт это автобусы троллейбусы трамваи и метро. Правила безопасного поведения пассажиров при пользовании этими видами транспорта: ожидать маршрутные транспортные средства следует только на остановках; садиться в транспорт можно только после его полной остановки; запрещается стоять на выступающих частях и подножках транспортных средств прислоняться к дверям отвлекать водителя разговорами во время...
29946. Регулирование и обеспечение безопасности дорожного движения. Понятие «водитель». Правила безопасного вождения велосипеда (мопеда) 40.5 KB
  Правила безопасного вождения велосипеда мопеда Ответ: Организация и регулирование дорожного движения возложены на Государственную инспекцию безопасности дорожного движения ГИБДД. Обеспечение безопасности дорожного движения это деятельность направленная на предупреждение причин возникновения дорожнотранспортных происшествий и снижение тяжести их последствий. Оно достигается: содержанием дорог в соответствии с установленными требованиями и обустройством их объектами сервиса исправным техническим...
29947. Обеспечение пожарной безопасности в местах проживания 40.5 KB
  Обязанности граждан по соблюдению мер пожарной безопасности Ответ: Причинами пожаров в жилых производственных и служебных помещениях чаще всего являются неисправности электросети и электроприборов утечка газа загорание бытовых приборов оставленных без присмотра под напряжением применение самодельных и неисправных отопительных приборов использование бензина керосина и других горючих веществ для разжигания печей оставление открытыми топок шалости детей с огнем неосторожность при курении и множество...
29948. Основные характеристики городского и сельского жилищ; особенности их жизнеобеспечения. Общие меры пожарной безопасности при эксплуатации электрических, газовых приборов и отопительных печей 46.5 KB
  Правила пожарной безопасности при эксплуатации электробытовых приборов: нельзя оставлять без присмотра включенные в сеть электронагревательные приборы радиоприемники и телевизоры; запрещается использовать неисправные рубильники розетки и другие электроустановочные устройства; нельзя применять самодельные и неисправные электронагревательные приборы нестандартные предохранители и другие средства защиты от перегрузки и короткого замыкания; не следует накрывать и оборачивать светильники и лампы бумагой тканью и другими...
29949. Особенности города как среды обитания. Зоны повышенной опасности в городе. Службы, обеспечивающие безопасность города, и правила их вызова 34.5 KB
  Службы обеспечивающие безопасность города и правила их вызова Ответ: Особенности города как среды обитания: наличие большого количества различных видов транспорта и высокая интенсивность дорожного движения; как правило разноплановая застройка от одноэтажных зданий до высотных сооружений; наличие различных предприятий в том числе и потенциально опасных; сосредоточение на ограниченной площади множества коммуникаций электросети водопровод канализация телефонные линии газопровод. Безопасность города обеспечивается...
29950. Организация отдыха на природе и соблюдение необходимых мер безопасности во время его проведения 34 KB
  2 вопрос: Терроризм: основные понятия и признаки Ответ: Терроризм в соответствии с Уголовным кодексом РФ совершение взрыва поджога или иных действий создающих опасность гибели людей причинения значительного имущественного вреда либо наступления иных общественно опасных последствий если эти действия совершены в целях нарушения общественной безопасности устрашения населения либо оказания воздействия на принятие решений органами власти а также угроза...
29951. Особенности состояния водоемов в разное время года. Основные правила безопасного поведения на воде 630.5 KB
  Основные правила безопасного поведения на воде Ответ: Водоемы опасны в любое время года. Зимой большая часть водоемов покрывается льдом который тоже является источником опасности особенно после первых морозов и во время оттепелей. Правила безопасности поведения на зимних водоёмах: надежен только лед зеленоватого или синеватого оттенка а желтоватый лед опасен; наиболее опасен лед в местах впадения рек и ручьев у крутых берегов и на изгибах русла; места где поверх льда выступает вода обычно свидетельствуют о наличии промоины...