30559

Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц

Доклад

Математика и математический анализ

Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную F’x=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx – подынтегральное выражение fx – подынтегральная функция x – переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...

Русский

2013-08-24

23.61 KB

7 чел.

1. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается

где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.

Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Примеры:

  1.  ∫3x2 dx = x3+C, так как (x3+C)’ = 3x2.
  2.  cos x dx = sin x +C, так как (sin x +C)’=cos x.
  3.  ∫(1\x)dxln |x|+C, так как (ln|x| +C)’ = 1\x.
  4.  e-2x dx = -1\2 e-2x +C, так как (-1\2 e-2x +C)’ = E-2x.

Основные свойства неопределенного интеграла

Вытекают из определения

1. 

т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,

2.

знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.  

Линейные свойства

3

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

4.

Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если A=const и A≠ 0

Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)

Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], если для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={xk} (0≤kkτ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζk Є[xk-1,xk], k=1,2,…, kτвыполняется неравенство | δτ(fζ1, …, ζτ) – I| <ε.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла   где F′(x)=f(x)

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.


Дополнительно

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζi на частичных сегментах выполняется неравенство

|I{xi, ζi} – I|<ε\4                     

Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм  для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζi’и ζi’’, что

S-I{xi, ζi’}≤ε\4,                      I{xi, ζi’’}-s≤ε\4                      (5)

Отметим, что обе интегральные суммы I{xi, ζi’} и {xi, ζi’’} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S –s = (S – I{xi, ζi’}) + (I{xi, ζi’}–I) +(I - {xi, ζi’’}) +({xi, ζi’’} – s) и неравенств (4) и (5) следует, что S – s < ε, Теорема доказана.

Понятие верхних и нижних сумм

функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т  - разбиение этого сегмента точками а=х0<x1<…<xn=b. Обозначим через Мi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1,xi]. Суммы SM1x1M2x2+…+ Mnxn= и sm1x1+m2x2+…+mnxn= называют соответственно верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].

Свойство верхних и нижних сумм.

Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζi на сегментах [xi-1xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ζi } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{xi, ζi}< ε. Точки ζможно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{xi, ζi}-s< ε.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28988. FS модель 30.5 KB
  Суть: один из ПК сети является файлсервером ПК сервер содержит файлы с данными работает под управлением сетевой ОС. Пользователь забирает файл с данными с ПКсервера и обрабатывает в своем приложении. Файловый сервер обеспечивает доступ к файлом и БД предоставляет в общее пользование дисковое пространство для хранения информации и данных а так же сетевое оборудование. ограниченное колво операций с файлами; 3.
28989. Способы связи ПК и соответствующие виды компьютерных сетей. Виды взаимодействия (доступа) ПК в сети 23 KB
  Виды взаимодействия доступа ПК в сети. образуются распределенные корпоративные компьютерные сети соединённые каналами связи нескольких локальных сетей доступ из вне строго регламентирован; глобальные сети общего доступа совокупность ЛВС и индивидуальных ПК; специальные сети пример: сеть банкоматов сеть кассовых аппаратов сеть телеконференций. Сетевой ресурс – ресурс одного компьютера доступный с другим ПК в сети информация программы сетевое оборудование. Сервер – ПК сети который представляющий сетевой ресурс.
28990. Локальные компьютерные сети: типы, классификации, состав 30 KB
  Для создания сети компьютеры должны быть связаны линейными связями: витая пара оптиковолоконный кабель беспроводные радиоканалы WIFI. Применяемые технические средства и топологии сети определяет скорость передачи информации в такой сети. Работу сети организует системный администратор который назначает пользователю сетевой ресурс права доступа к нему а так же имя и пароль пользователю.
28991. Звезда шина 63.5 KB
  Топология – физическое расположение компьютеров узлом коммутации и линий связи в сети а также их организационное взаимодействие. Все ПК подключены к единому узлу коммутации.
28992. Кольцо 44.5 KB
  Кольцо. ПК подключены к повторителям кот соединены шиной данных в однонаправленное кольцо. Обмен: Кольцо бывает тактированное и маркерное.
28993. Глобальная сеть Интернет 84.5 KB
  Магистральный канал – основная часть сети Интернет является совокупностью марштрутизаторов и высокоскоростных каналов связи оптоволокно или спутниковый радиоканал 2. Серверы сети узлы сети содержащие информационные ресурсы сети. программ агентов извлекающих информацию и передающих ей в сети.
28994. Адресация в сети Интернет. Протоколы сети Интернет 32.5 KB
  Протоколы сети Интернет. Основные протоколы: Сетевой протокол – соглашение о способах и методах передачи данных между компьютерами. TCP IP набор сетевых протоколов разных уровней модели сетевого взаимодействия DOD используемых в сетях. Протоколы работают друг с другом в стеке.
28995. Автоматизированное рабочее место (АРМ): понятие, требование к АРМ, классификация 27 KB
  АРМ это совокупность программнотехнических и организационнотехнических средств индивидуального и коллективного использование объединенных для выполнения определенных функций и задач работника в конкретной предметной области. Основные требования АРМ: 1. Максимальная ориентация на конечного пользователя достигаемая созданием инструментальных средств адаптации АРМ к уровню подготовки пользователя возможностей его обучения и самообучения.
28996. АРМ: назначение и виды обеспечения 26.5 KB
  АРМ это совокупность программнотехнических и организационнотехнических средств индивидуального и коллективного использование объединенных для выполнения определенных функций и задач работника в конкретной предметной области. Виды обеспечения: информационное обеспечение АРМ ориентируется на конкретную привычную для пользователя предметную область. технологическое обеспечение АРМ должно гарантировать высокую надежность технических средств организацию удобных для пользователя режимов работы способность обработать в заданное время...