30559

Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц

Доклад

Математика и математический анализ

Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную Fx=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx подынтегральное выражение fx подынтегральная функция x переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...

Русский

2013-08-24

23.61 KB

7 чел.

1. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается

где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.

Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Примеры:

  1.  ∫3x2 dx = x3+C, так как (x3+C)’ = 3x2.
  2.  cos x dx = sin x +C, так как (sin x +C)’=cos x.
  3.  ∫(1\x)dxln |x|+C, так как (ln|x| +C)’ = 1\x.
  4.  e-2x dx = -1\2 e-2x +C, так как (-1\2 e-2x +C)’ = E-2x.

Основные свойства неопределенного интеграла

Вытекают из определения

1. 

т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,

2.

знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.  

Линейные свойства

3

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

4.

Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если A=const и A≠ 0

Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)

Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], если для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={xk} (0≤kkτ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζk Є[xk-1,xk], k=1,2,…, kτвыполняется неравенство | δτ(fζ1, …, ζτ) – I| <ε.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла   где F′(x)=f(x)

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.


Дополнительно

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζi на частичных сегментах выполняется неравенство

|I{xi, ζi} – I|<ε\4                     

Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм  для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζi’и ζi’’, что

S-I{xi, ζi’}≤ε\4,                      I{xi, ζi’’}-s≤ε\4                      (5)

Отметим, что обе интегральные суммы I{xi, ζi’} и {xi, ζi’’} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S –s = (S – I{xi, ζi’}) + (I{xi, ζi’}–I) +(I - {xi, ζi’’}) +({xi, ζi’’} – s) и неравенств (4) и (5) следует, что S – s < ε, Теорема доказана.

Понятие верхних и нижних сумм

функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т  - разбиение этого сегмента точками а=х0<x1<…<xn=b. Обозначим через Мi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1,xi]. Суммы SM1x1M2x2+…+ Mnxn= и sm1x1+m2x2+…+mnxn= называют соответственно верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].

Свойство верхних и нижних сумм.

Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζi на сегментах [xi-1xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ζi } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{xi, ζi}< ε. Точки ζможно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{xi, ζi}-s< ε.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84546. Характер і механізми впливів парасимпатичних нервів на діяльність серця. Роль парасимпатичних рефлексів в регуляції серцевої діяльності 44.78 KB
  Механізм впливів блукаючого нерва на серце повязаний із дією медіатора ацетилхоліну на мхолінорецептори КМЦ типових і атипових. В результаті підвищується проникність мембран КМЦ для йонів калію посилення виходу йонів із клітини за градієнтом концентрації що в свою чергу веде до: розвитку гіперполяризації мембран КМЦ; найбільше цей ефект виражений в клітинах з низьким вихідним рівнем мембранного потенціалу найбільше в вузлах АКМЦ: пазуховопередсердному та передсердношлуночковому де МПС = 60мВ; менше в КМЦ передсердь; найменше ...
84547. Гуморальна регуляція діяльності серця. Залежність діяльності серця від зміни йонного складу крові 44.41 KB
  Залежність діяльності серця від зміни концентрації йонів в плазмі крові. Найбільше клінічне значення має вплив йонів калію. При гіпокаліємії зниження концентрації йонів калію в плазмі крові нижче 1ммоль л розвиваються різноманітні електрофізіологічні зміни в КМЦ. Характер змін в КМЦ залежить від того що переважає: втрата йонів калію клітинами чи міжклітинною рідиною.
84548. Особливості структури і функції різних відділів кровоносних судин у гемодинаміці. Основний закон гемодинаміки 52.71 KB
  При такому підході видно що кровоносна система є замкненою системою в яку послідовно входять два насоси і судини легень і паралельно судини решти областей. Судини у системі крові виконують роль шляхів транспорту. Рух крові по судинам описує основний закон гемодинаміки: де Р1 тиск крові на початку судини Р2 в кінці судини R тиск який здійснює судина току крові Q обємна швидкість кровотоку обєм який проходить через поперечний переріз судини за одиницю часу. Отже рівняння можна прочитати так: обєм крові що проходить...
84549. Значення в’язкості крові для гемодинаміки. Особливості структури та функції різних відділів судинної системи 44 KB
  Вязкість крові залежить від таких 2ох факторів. Від зміни лінійної швидкості руху крові. Вязкість крові складає 45 50 умовних одиниць а плазми 17 23 гривні.
84550. Лінійна і об’ємна швидкості руху крові у різних ділянках судинного русла. Фактори, що впливають на їх величину 41.83 KB
  Обємна швидкість руху крові той обєм крові котрий проходить через поперечний переріз судини за одиницю часу. Замкнута система кровообігу може нормально функціонувати лише при умові що обємна швидкість кровотоку в будьякій ділянці однакова. Лінійна швидкість руху крові швидкість руху частинок крові відносно стінок судини. Оскількм ХОК в різних ділянках однаковий лінійна швидкість кровотоку визначається площею поперечного перерізу.
84551. Кров’яний тиск і його зміни у різних відділах судинного русла 41.24 KB
  Головним фактором який впливає на формування кровяного тиску є ЗПОзагальний периферичний опір сумарний опір всіх судин великого кола кровообігу. Він забезпечує падіння тиску крові з 100 в аорті до 0 мм рт. Оцінити внесок судин різних областей в його створення можна по падінню тиску ΔР крові на рівні цих судин так як ΔР = Q R а Q в даний момент часу однаковий в будьякій ділянці судинної системи аорта всі артеріоли всі капіляри всі венули і т. Загальне зниження тиску на ділянці аорта нижня порожниста вена складає 100 мм.
84552. Артеріальний тиск, фактори, що визначають його величину. Методи реєстрації артеріального тиску 43.25 KB
  Методи реєстрації артеріального тиску.; 4 Середньодинамічний рівень тиску який забезпечував би ту ж величину ХОК Q яка має місце в реальних умовах якби не було б коливань артеріального тиску. Фактори що визначають величину артеріального тиску: 1. ХОК нагнітальна функція лівого серця більше впливає на рівень систолічного тиску; 2.
84553. Кровообіг у капілярах. Механізми обміну рідини між кров’ю і тканинами. 43.5 KB
  Механізми обміну рідини між кровю і тканинами. Кількість речовин які ідуть за механізмом дифузії з капіляра в капіляр однакові Час протягом якого кров перебуває в капілярі достатня для того щоб повністю вирівнялись концентрації різних речовин в крові і в інтерстеціальної рідини. В капілярах відбувається обмін рідини між кровю та тканинами також за механізмом фільтраціїрезорбції. При цьому рух рідини через стінку капіляра проходить за градієнтом концентрації який утворюється внаслідок складання чотирьох сил: Ронк.
84554. Кровоток у венах, вплив на нього гравітації. Фактори, що визначають величину венозного тиску 43.4 KB
  Фактори що визначають величину венозного тиску. Фактором який викликає розтягування вен і депонування в них крові є трансмуральний тиск різниця гідростатичного тиску крові та оточуючих тканин. Трансмуральний тиск значно зростає у венах розміщених нижче серця при вертикальній позі людини оскільки до власного гідростатичного тиску крові створюється насосною функцією серця приєднується гідростатичний тиск стовпа рідини у венах. Збільшення трансмурального тиску розтягує вени і сприяє депонуванню крові при переході з горизонтального...