30559

Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц

Доклад

Математика и математический анализ

Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную Fx=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx подынтегральное выражение fx подынтегральная функция x переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...

Русский

2013-08-24

23.61 KB

7 чел.

1. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается

где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.

Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Примеры:

  1.  ∫3x2 dx = x3+C, так как (x3+C)’ = 3x2.
  2.  cos x dx = sin x +C, так как (sin x +C)’=cos x.
  3.  ∫(1\x)dxln |x|+C, так как (ln|x| +C)’ = 1\x.
  4.  e-2x dx = -1\2 e-2x +C, так как (-1\2 e-2x +C)’ = E-2x.

Основные свойства неопределенного интеграла

Вытекают из определения

1. 

т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,

2.

знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.  

Линейные свойства

3

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

4.

Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если A=const и A≠ 0

Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)

Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], если для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={xk} (0≤kkτ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζk Є[xk-1,xk], k=1,2,…, kτвыполняется неравенство | δτ(fζ1, …, ζτ) – I| <ε.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла   где F′(x)=f(x)

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.


Дополнительно

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζi на частичных сегментах выполняется неравенство

|I{xi, ζi} – I|<ε\4                     

Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм  для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζi’и ζi’’, что

S-I{xi, ζi’}≤ε\4,                      I{xi, ζi’’}-s≤ε\4                      (5)

Отметим, что обе интегральные суммы I{xi, ζi’} и {xi, ζi’’} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S –s = (S – I{xi, ζi’}) + (I{xi, ζi’}–I) +(I - {xi, ζi’’}) +({xi, ζi’’} – s) и неравенств (4) и (5) следует, что S – s < ε, Теорема доказана.

Понятие верхних и нижних сумм

функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т  - разбиение этого сегмента точками а=х0<x1<…<xn=b. Обозначим через Мi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1,xi]. Суммы SM1x1M2x2+…+ Mnxn= и sm1x1+m2x2+…+mnxn= называют соответственно верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].

Свойство верхних и нижних сумм.

Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζi на сегментах [xi-1xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ζi } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{xi, ζi}< ε. Точки ζможно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{xi, ζi}-s< ε.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2599. Психологическая характеристика подросткового возраста 210.9 KB
  Психологическая характеристика подросткового возраста. Особенности межличностных отношений в подростковом возрасте Подростковый возраст 10-16 лет. Четких границ нет (13-16 мальчики и 12-15 девочки). Относится к числу переходных и критических периодо...
2600. Моя професія - бухгалтер. Професійна орієнтація 190 KB
  Професійна орієнтація — система організації та проведення навчально-виховної роботи, спрямованої на засвоєння студентами необхідних знань про соціально-економічні і психофізіологічні умови правильного вибору професії, формування у них уміння аналізувати вимоги професії до психологічної структури особистості
2601. День Соборності України – день єднання народу 42.08 KB
  Психолого-педагогічне обґрунтування обрання теми та форми виховного заходу. Було обрано тему День Соборності України – день єднання народу у формі класної години. Необхідність проведення заходу виникла  у зв’язку зі святом 22 січня...
2602. Внеклассное мероприятие по теме Весна пришла 88.61 KB
  Форма проведения: соревнование двух команд Цели: развитие памяти, внимания, наблюдательности, смекалки, активизация мыслительной деятельности, формирование у учащихся навыков самостоятельной работы; воспитание духа соревнования, честности, целе...
2603. Защитники Родины 28.24 KB
  Тема: Защитники Родины. Форма проведения: игра-соревнование; Цель: расширить представление детей об общенародном празднике, посвященном вооруженным Силам России, воспитывать у них любовь к защитникам Отечества и к своей Родине, создать атмосферу п...
2604. Масленица. Воспитательное мероприятие 29.91 KB
  Цели: Познакомить учащихся с русскими традициями масленичной недели. Задачи: -  Воспитывать уважение и интерес к культурному наследию нашей страны.- Формировать у учащихся чувства коллективизма и взаимопомощи, дисциплинированности. Материалы и ...
2605. Основы денежно-кредитного регулирования экономики 280 KB
  ТЕМА 1. Основы денежно-кредитного регулирования экономики Введение в курс Денежно-кредитное регулирование экономики. Денежный оборот и его структура Основные потоки денег в экономике Инфляция как социально-экономический процесс: понятие, причины...
2606. Изучение маятника максвелла 52.11 KB
  Изучение маятника максвелла Цель работы: определение основных характеристик маятника Максвелла. Приборы и принадлежности: установка FPM-03, набор колец, штангенциркуль. Краткие теоретические сведения Движение твёрдого тела можно рассматривать как дв...
2607. Изучение движения маятника максвелла 119.5 KB
  Цель работы: ознакомление со сложным движением твердого тела на примере маятника Максвелла: экспериментальное определение момента инерции тел вращения. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА Маятник Максвелла представляет собой однородный металлический диск, в серед...