30559

Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц

Доклад

Математика и математический анализ

Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную F’x=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx – подынтегральное выражение fx – подынтегральная функция x – переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...

Русский

2013-08-24

23.61 KB

7 чел.

1. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается

где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.

Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Примеры:

  1.  ∫3x2 dx = x3+C, так как (x3+C)’ = 3x2.
  2.  cos x dx = sin x +C, так как (sin x +C)’=cos x.
  3.  ∫(1\x)dxln |x|+C, так как (ln|x| +C)’ = 1\x.
  4.  e-2x dx = -1\2 e-2x +C, так как (-1\2 e-2x +C)’ = E-2x.

Основные свойства неопределенного интеграла

Вытекают из определения

1. 

т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,

2.

знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.  

Линейные свойства

3

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

4.

Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если A=const и A≠ 0

Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)

Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], если для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={xk} (0≤kkτ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζk Є[xk-1,xk], k=1,2,…, kτвыполняется неравенство | δτ(fζ1, …, ζτ) – I| <ε.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла   где F′(x)=f(x)

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.


Дополнительно

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζi на частичных сегментах выполняется неравенство

|I{xi, ζi} – I|<ε\4                     

Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм  для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζi’и ζi’’, что

S-I{xi, ζi’}≤ε\4,                      I{xi, ζi’’}-s≤ε\4                      (5)

Отметим, что обе интегральные суммы I{xi, ζi’} и {xi, ζi’’} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S –s = (S – I{xi, ζi’}) + (I{xi, ζi’}–I) +(I - {xi, ζi’’}) +({xi, ζi’’} – s) и неравенств (4) и (5) следует, что S – s < ε, Теорема доказана.

Понятие верхних и нижних сумм

функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т  - разбиение этого сегмента точками а=х0<x1<…<xn=b. Обозначим через Мi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1,xi]. Суммы SM1x1M2x2+…+ Mnxn= и sm1x1+m2x2+…+mnxn= называют соответственно верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].

Свойство верхних и нижних сумм.

Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζi на сегментах [xi-1xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ζi } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{xi, ζi}< ε. Точки ζможно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{xi, ζi}-s< ε.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38318. Історія економіки. Білети з відповідями 305 KB
  Величина её зависит от производительности труда. Другое его мнение в том что стоимость а значит и цена состоят из затрат труда и прибавочной стоимости. Он считал что в стоимости товара следует учитывать не только затраты труда на его производство но и затраты труда на производство средств производства с помощью которых производится данный товар а также затраты труда на производство материалов. Сміта про розподіл праці Искусство умение и сообразительность применения труда является следствием его разделения.
38319. ИСТОЧНИКИ ПРАВА ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА 86.5 KB
  В соответствии с целями исследования были поставлены следующие конкретные задачи: определить понятие источника права Европейского Союза; исследовать систему источников первичного и вторичного права Союза; определить основные механизмы изменения источников первичного права ЕС, а именно: прямое изменение учредительных договоров, изменение толкования их норм, пересмотр системы источников первичного права.
38321. Микроэкономика и ее теория 599.5 KB
  Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долгосрочном периоде. Выбор монополистом цены и объёма производства. Конкурентные рынки факторов производства.
38323. ПРОГРАМНІ ЕКЗАМЕНАЦІЙНІ ПИТАННЯ З МІКРОЕКОНОМІКИ 408.5 KB
  Визначення предмета мікроекономіки; субєкти економічних відносин на мікрорівні; позитивний та нормативний мікроекономічний аналіз; застосування та межі мікроекономічної теорії. Мікроекономічний аналіз являє собою комплекс знань, поглядів, ідей, спрямованих на пояснення поведінки окремих суб’єктів ринку (індивіда, фірми, галузі) в процесі здійснення економічного вибору.
38324. Концепции социальной стратификации 15.62 KB
  Основы современного подхода к изучению социальной стратификации были заложены М. Вебером, рассматривавшим социальную структуру общества как многомерную систему, в которой наряду с классами и порождающими их отношениями собственности важное место занимают статус и власть.
38325. Философия права 994 KB
  ПРЕДМЕТ МЕТОД И ЗАДАЧИ ФИЛОСОФИИ ПРАВА 1. Предмет философии права Философия права занимается поисками и установлением истины о праве истинного знания о праве как специфической форме социального бытия людей и особом типе социальной регуляции. В философии права исследуется право в целом право как определенная универсальная целостность весь правовой универсум весь мир права все правовое охватывающее и сущность права и формы внешнего проявления этой сущности правовые явления. Такое понимание права как некоторой целостности состоящей из...
38326. Современное право международных договоров. Том II. Действие международных договоров 2.38 MB
  Из него вытекает юридическая обязательность любого договора контракта. К таким договорам относится в частности конституционный акт мирового сообщества Устав ООН. В подобных случаях отношение к договорам мало чем отличается от практики обычного права международного права в целом 17. Сочетание воль государств необходимо для заключения договора.