30559
Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц
Доклад
Математика и математический анализ
Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную Fx=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx подынтегральное выражение fx подынтегральная функция x переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...
Русский
2013-08-24
23.61 KB
7 чел.
1. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F(x)=f(x).
Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается
где f(x)dx подынтегральное выражение, f(x) подынтегральная функция, x переменная интегрирования.
Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.
Интегрирование операция обратная дифференцированию.
Примеры:
Основные свойства неопределенного интеграла
Вытекают из определения
1.
т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,
2.
знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.
Линейные свойства
3
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности
4.
Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если A=const и A≠ 0
Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)
Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], если для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={xk} (0≤k≤kτ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζk Є[xk-1,xk], k=1,2,…, kτ, выполняется неравенство | δτ(f; ζ1, …, ζτ) I| <ε.
Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается
Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого
S-s≤ε, где S и s верхняя и нижняя сумма, соответственно.
Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.
Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла где F′(x)=f(x)
Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.
Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого
S-s≤ε, где S и s верхняя и нижняя сумма, соответственно.
Доказательство.
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через I предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζi на частичных сегментах выполняется неравенство
|I{xi, ζi} I|<ε\4
Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζiи ζi, что
S-I{xi, ζi}≤ε\4, I{xi, ζi}-s≤ε\4 (5)
Отметим, что обе интегральные суммы I{xi, ζi} и {xi, ζi} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S s = (S I{xi, ζi}) + (I{xi, ζi}I) +(I - {xi, ζi}) +({xi, ζi} s) и неравенств (4) и (5) следует, что S s < ε, Теорема доказана.
Понятие верхних и нижних сумм
функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т - разбиение этого сегмента точками а=х0<x1<…<xn=b. Обозначим через Мi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1,xi]. Суммы S= M1∆x1+ M2x2+…+ Mn∆xn= и s= m1∆x1+m2x2+…+mn∆xn= называют соответственно верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].
Свойство верхних и нижних сумм.
Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζi на сегментах [xi-1, xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ζi } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{xi, ζi}< ε. Точки ζi можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{xi, ζi}-s< ε.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
67583. | Расширения полей. Присоединение элементов большего поля | 212 KB | |
Присоединение элементов большего поля. Если k подполе поля K то говорят также что K расширение поля k. Отметим что при расширении сохраняется характеристика поля. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и следовательно имеет ту же характеристику. | |||
67584. | Расширения полей. Формальное присоединение элементов | 288 KB | |
На прошлой лекции было показано что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. Оказывается что конструкцию присоединения можно провести изнутри не выходя в большее поле K. Пусть pk(x)неприводимый многочлен над k U его корень в некотором большем поле... | |||
67587. | Логическая организация систем ввода-вывода | 819 KB | |
Типы логической структуры систем вводавывода. Логическая организация систем вводавывода в мини и микроЭВМ. При построении ЭВМ с переменным составом оборудования существуют требования единства логической структуры систем вводавывода в пределах одного или нескольких семейств ЭВМ. | |||
67588. | Классификация и параметры сетей. Основные определения | 89 KB | |
Компьютерные сети относятся к распределенным системам и удовлетворяют таким характеристикам распределенных систем как а наличие обмена информацией между узлами сети; б распределение ресурсов; в большая надежность; г большая производительность благодаря распараллеливанию вычислений. | |||
67589. | Архитектура протоколов информационно-вычислительных сетей | 103 KB | |
Протокол это набор семантических и синтаксических правил определяющий поведение функциональных блоков сети или передачи данных. Другими словами протокол это совокупность соглашений относительно способа представления данных обеспечивающего их передачу в нужных направлениях и правильную интерпретацию данных всеми участками... | |||
67590. | Устройства печати текстовой и графической информации | 103 KB | |
Обобщенная структура печатающего устройства Независимо от способа печати всем типам печатающих устройств присущи общие структурные и конструктивные особенности рис. Ударные печатающие устройства Среди ударных печатающих устройств различают матричные последовательного типа рис. | |||
67591. | Системний підхід при аналізі ТК. Ознаки технологічних комплексів як складних систем | 68 KB | |
В системних дослідженнях широко використовуються процедури декомпозиції та агрегування, які є різними аспектами аналітичного та синтетичного методів дослідження систем. Складна система розчленовується на менш складні частини, які потім можуть об’єднуватись в одне ціле... | |||