30559

Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц

Доклад

Математика и математический анализ

Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную Fx=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx подынтегральное выражение fx подынтегральная функция x переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...

Русский

2013-08-24

23.61 KB

7 чел.

1. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается

где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.

Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Примеры:

  1.  ∫3x2 dx = x3+C, так как (x3+C)’ = 3x2.
  2.  cos x dx = sin x +C, так как (sin x +C)’=cos x.
  3.  ∫(1\x)dxln |x|+C, так как (ln|x| +C)’ = 1\x.
  4.  e-2x dx = -1\2 e-2x +C, так как (-1\2 e-2x +C)’ = E-2x.

Основные свойства неопределенного интеграла

Вытекают из определения

1. 

т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,

2.

знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную С.  

Линейные свойства

3

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

4.

Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если A=const и A≠ 0

Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)

Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], если для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={xk} (0≤kkτ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζk Є[xk-1,xk], k=1,2,…, kτвыполняется неравенство | δτ(fζ1, …, ζτ) – I| <ε.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла   где F′(x)=f(x)

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.


Дополнительно

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-sε, где S и s – верхняя и нижняя сумма, соответственно.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζi на частичных сегментах выполняется неравенство

|I{xi, ζi} – I|<ε\4                     

Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм  для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζi’и ζi’’, что

S-I{xi, ζi’}≤ε\4,                      I{xi, ζi’’}-s≤ε\4                      (5)

Отметим, что обе интегральные суммы I{xi, ζi’} и {xi, ζi’’} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S –s = (S – I{xi, ζi’}) + (I{xi, ζi’}–I) +(I - {xi, ζi’’}) +({xi, ζi’’} – s) и неравенств (4) и (5) следует, что S – s < ε, Теорема доказана.

Понятие верхних и нижних сумм

функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т  - разбиение этого сегмента точками а=х0<x1<…<xn=b. Обозначим через Мi и mi соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [xi-1,xi]. Суммы SM1x1M2x2+…+ Mnxn= и sm1x1+m2x2+…+mnxn= называют соответственно верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].

Свойство верхних и нижних сумм.

Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζi на сегментах [xi-1xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ζi } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{xi, ζi}< ε. Точки ζможно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{xi, ζi}-s< ε.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39307. Организация бухгалтерского учета на ООО «Мое солнце» 219 KB
  Учетная политика Объектом прохождения практики послужило предприятие ООО Мое солнце. ООО МОЕ СОЛНЦЕ создано в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации Федеральным законом Об обществах с ограниченной ответственностью другими действующими законодательными актами Российской Федерации. ООО МОЕ СОЛНЦЕ является юридическим лицом имеет круглую печать и штампы со своим наименованием свой торговый знак расчетный и иные счета в банках другие реквизиты необходимые для хозяйственной и иной деятельности. ООО МОЕ СОЛНЦЕ...
39308. Анализ маркетинговой деятельности предприятия ООО «Грат-Вест» 496.5 KB
  Игрушки для детей – это миниатюрное отражение взрослого мира. Бессмысленно недовольно коситься на крохотные микроволновые печи и мобильные телефоны – дети играют в нашу с вами взрослую жизнь, таким образом ее осваивая. Наш мир сегодня необыкновенно разнообразен. Стоит ли удивляться, что мир игрушек для детей предлагает воистину огромный выбор. Данная работа представляет аналитический отчет о прохождении производственной практики на предприятии ООО «Грат-Вест», которое занимается продажей детских товаров.
39309. МЕХАНІЗМИ РЕАЛІЗАЦІЇ ПРАВ ДИТИНИ В УКРАЇНІ 365 KB
  Дитину жодним чином не можна прирівнювати до дорослої людини, у тому числі й у правових аспектах. Дитина має бути забезпечена особливими правами, особливим захистом, які мають часовий вимір і спеціальне призначення. Дитина, як і кожна людська істота, від народження має права людини.
39310. Маркетинговая деятельность «Вест-Алко» 244 KB
  Маркетинговая деятельность ВестАлко. Функции выполняемые службой маркетинга ООО ВестАлко. Анализ маркетинговой деятельности ООО ВестАлко. Переход к рыночным отношениям в России явился важной предпосылкой развития маркетинга. Данная работа представляет аналитический отчет о прохождении производственной практики на предприятии ВестАлко которое является виноводочным заводом.
39311. Характеристика предприятия ООО «Политон» 54.5 KB
  Характеристика предприятия ООО Политон. Целью преддипломной практики являются следующие задачи: Закрепить теоретические знания полученные по дисциплине Бухгалтерский учет анализ аудит; Приобрести необходимые навыки самостоятельной работы по анализу и учету отчетности и основных показателей предприятия; Получить практические навыки в качестве бухгалтера и аналитика; Развить творческую инициативу с целью решения задач по дальнейшему улучшению планирования и повышения эффективности учета деятельности предприятия;...
39312. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности ОАО «Междуречье» 96.22 KB
  Экономический анализ – систематизированная совокупность экономических процедур, цель которого является получение заключений, выводов и рекомендаций экономического характера для отдельного субъекта.
39314. Теоретичний і правовий аналіз сутності норми права і нормативно-правового акту 197 KB
  Суспільство яке покликане захищати основні права людини це впорядкована система відносин яка базується на дотриманні всіма субєктами цих відносин норм права які розміщені в нормативноправових актах. Значну увагу розробці вчення про норму права і нормативноправовий акт приділяли видатні представники російської юридичної науки у дореволюційній Росії Н. Предметом дослідження є нора права і нормативноправовий акт.
39315. Синтез кулачкового механизма контргрейфера 55.6 KB
  Опираясь на этот график строим график поперечного перемещения зуба контргрейфера и определяем фазовые углы и углы и : ФП 101 = 1768 рад ФД 116 = 2028 рад ФО 101 = 1768 рад ФБ 360 ФП ФД ФО = 42 42= 0728 рад 280= 4888 рад ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЛКАТЕЛЯ Изображаем примерный закон перемещения толкателя S=S отсчитывая угол от начала фазы подъема. Закон перемещения толкателя на фазах подъема и опускания определяется путем двукратного интегрирования заданных законов изменения ускорения толкателя. Фаза подъема...