30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66084. Национальные и региональные инвестиционные проекты РФ 36.31 KB
  В 2006 году на реализацию проекта из федерального бюджета и государственных внебюджетных фондов направлено 7898 млрд руб. В 2007 году предусмотрено выделение 1313 млрд рублей. медицинских работников получили дополнительные денежные выплаты на общую сумму более 66 млрд руб.
66086. Финансовая несостоятельность регионов и межбюджетные отношения 128.44 KB
  Финансовая несостоятельность регионов и межбюджетные отношения В России имеет место абсурдная ситуация: из 83 регионов страны 70 являются дотационными то есть убыточными. Возможно ли такое Почему такая ситуация вообще возникает Правомерно ли поддержание...
66087. ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ АДМИНИСТРАТИВНОГО НАДЗОРА В СФЕРЕ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ 114 KB
  При исследовании правового регулирования административного надзора необходимо определить с какой системой нормативных правовых актов придется иметь дело. Итак что проверяется в процессе надзора Этот вопрос чрезвычайно важен с практической точки зрения.
66088. НЕОСЯЗАЕМЫЕ АКТИВЫ КАК СОСТАВЛЯЮЩАЯ СТОИМОСТИ БИЗНЕСА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА РФ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ 66 KB
  К данной категории относятся материальные объекты которыми согласно закону имеет право владеть хозяйствующий субъект бизнес для достижения основной цели ведения деятельности. Зарубежный опыт оценки данного типа активов зачастую неприемлем для Российской Федерации...
66089. ОСОБЕННОСТИ ПРАВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НАЛОГОВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НАЛОГОВЫХ ЛЬГОТ ПО МЕСТНЫМ НАЛОГАМ 84 KB
  Согласно законодательству местными налогами признаются налоги которые как правило установлены Налоговым кодексом Российской Федерации далее НК РФ и нормативными правовыми актами представительных органов муниципальных образований о налогах и обязательны к уплате на территориях муниципальных образований.
66090. Федеральное казначейство и его основные функции и задачи 196.12 KB
  Федеральное казначейство осуществляет следующие полномочия в установленной сфере деятельности: ведет учет операций по кассовому исполнению; открывает и ведет лицевые счета; ведет сводный реестр; ведет учет показателей сводной бюджетной росписи лимитов...
66092. Золотовалютные резервы (Франция, Англия, США, Германия, Япония) 2007-2011 64.5 KB
  Пересчет в доллары США осуществляется на основе официальных обменных курсов иностранных валют к российскому рублю. Ранее государственные резервы создавались в золоте но по результатам конференции в Бреттон-Вудсе Соединённые Штаты Америки обеспечили поддержку доллара США...