30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74057. Классификация коллоидных систем. Устойчивость коллоидных систем 15.3 KB
  Коллоидные системы дисперсные системы промежуточные между истинными растворами и грубодисперсными системами взвесями в которых дискретные частицы капли или пузырьки дисперсной фазы имеющие размер хотя бы в одном из измерений от 1 до 100 нм распределены в дисперсионной среде обычно непрерывной отличающейся от первой по составу или агрегатному состоянию. В свободнодисперсных коллоидных системах дымы золи частицы не выпадают в осадок. Основные виды : дым взвесь твёрдых частиц в газе. туман взвесь жидких частиц в газе.
74058. Классификация дисперсных систем. Понятие о дисперсной фазе и дисперсной среде 37.77 KB
  Дисперсная система это образования из двух или более числа фаз тел которые совершенно или практически не смешиваются и не реагируют друг с другом химически. Первое из веществ дисперсная фаза мелко распределено во втором дисперсионная среда. К дисперсным системам относят также случай твёрдой дисперсной среды в которой находится дисперсная фаза. Дисперсная фаза далее Д совокупность мелких однородных твердых частиц капелек жидкости или пузырьков газа равномерно распределенных в окружающей дисперсионной среде.
74059. Виды выражений концентраций растворов 14.71 KB
  Наиболее часто используют массовую долю растворённого вещества молярную и нормальную концентрацию. Массовая доля растворённого вещества wB это безразмерная величина равная отношению массы растворённого вещества к общей массе раствора...
74060. Изохорная и изобарная теплота процесса. Закон Гесса 14.22 KB
  При изохорном процессе V=const изменение объема dV=0 поэтому работа газа = 0. При изобарном процессе p=const изменяется температура газа и изменяется объем газа поэтому изменение внутренней энергии газа и работы не равно нулю. Q = dU Подведенное количество теплоты при изобарном процессе расходуется на изменение внутренней энергии и совершение работы над внешними телами. Иными словами количество теплоты выделяющееся или поглощающееся при какомлибо процессе всегда одно и то же независимо от того протекает ли данное химическое...
74061. Основы химической кинетики. Кинетика гомогенных процессов, закон действия масс 23.06 KB
  Скорость химической реакции изменение концентрации одного из участвующих в реакции веществ. При увеличении температуры на каждые 10 градусов скорость реакции увеличивается в 24 раза закон ВантГоффа. Также скорость реакции увеличивается с повышением концентрации вещества. Кинетика гомогенных процессов: В гомогенном химическом процессе все реагирующие вещества и продукты реакции находятся в одной фазе где протекает реакция.
74063. Основные положения качественного и количественного анализа 15.48 KB
  Цель аналитической химии установление качественного и количественного состава вещества или смеси веществ. Задачей качественного анализа является выяснение качественного состава вещества т е. В зависимости от задания аналитическая химия подразделяется на качественный анализ нацеленный на определение того что или какие вещества в какой форме находится в образце и количественный анализ нацеленный на определение того сколько данного вещества находится в образце. Для определения качественного состава какоголибо вещества необходимо...
74064. Количественные методы исследования химического состава соединений и продуктов 13.94 KB
  Количественный химический анализ имеет целью определение относительного количества отдельных составных частей какоголибо химического соединения или смеси. Применяемые в нём методы находятся в зависимости от качеств состава вещества и потому количественному химическому анализу должен предшествовать всегда качественный химический анализ. Для производства количественного анализа можно применять два различных метода: весовой и объемный. При объёмном анализе измеряются объёмы титрованных содержащих определенное количество реактива растворов...