30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85644. Программно-технический комплекс информационного обеспечения ОВД 1.1 MB
  Анализ статистических данных характеризующих состояние правопорядка в области и результаты деятельности органов и подразделений внутренних дел позволяет сделать вывод что на протяжении ряда последних лет в результате принимаемых органами внутренних дел области мер сохраняется тенденция сокращения количества преступлений в частности направленных против жизни и здоровья граждан имущественных интересов граждан и государства. Практически каждое второе преступление в области раскрывается с использованием банка данных УОИ....
85645. РАЗРАБОТКА БИЗНЕС – ПРОЦЕССОВ В ООО «МИР СТЕКЛА» 3.56 MB
  После описания бизнес-процессов, можно увидеть направления, по которым они могут быть улучшены. Необходимо отметить, что улучшения сразу осуществить невозможно. Большая часть направлений оптимизации может осуществляться за счет реализации долгосрочных программ.
85646. Разработка и анализ автоматизированной информационной системы управления деятельностью отдела сбыта ОАО “СТИЛЬ” 743.5 KB
  Такое развитие информационных технологий связано с организацией системы обработки данных и знаний последовательного их развития до уровня интегрированных автоматизированных систем управления охватывающих по вертикали и горизонтали все уровни и звенья снабжения производства и сбыта.
85647. Понизительная подстанция №19 ОАО «НЛМК» 3.28 MB
  Дана характеристика ГПП-19, описана система электроснабжения, потребители и требования к надёжности их электроснабжения. На основе расчётных нагрузок выполнена проверка электрооборудования в нормальном и послеаварийном режимах.
85648. Информационно-аналитическая система планирования и оптимизации ассортимента предприятия 1.82 MB
  В работе специалиста предложена модель оптимизации выпуска продукции и модель прогноза продаж которые позволяют составить оптимальный план выпуска продукции. Основой для формирования ассортимента и цены продукции является анализ спроса на мясопродукты учет сырья оболочки и вспомогательных...
85649. Проблемы прогнозирования и планирования городского хозяйства 581 KB
  Целью работы является исследование проблемы прогнозирования и планирования городского хозяйства. Достижение поставленной цели связанное со следующими заданиями: Изучение и анализ проблемы планирования и прогнозирования городского хозяйства. Разработка проекта прогнозирования городского хозяйства.
85650. Исследование и разработка системы управления производственным и управленческим персоналом предприятия 3.52 MB
  Система управления кадровым составом предприятия при приеме на работу, кадры, анализ кадрового состава, штатное расписание, личное дело, кадровое планирование, стадии кадрового планирования, методы прогнозирования кадровых потребностей, планирование использования кадров, источники информации...
85651. Информационная модель производственного процесса вязального участка предприятия «Лутри» 469 KB
  Одно из них Луганская фирма Лутри специализирующаяся на производстве трикотажных изделий с законченным технологическим циклом вязание сурового полотна крашение и отделка раскрой пошив и изделий из легких текстильных тканей.