30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43302. Разработка технологического процесса изготовления детали Шток 1.18 MB
  Шток является самой ответственной частью вентиля, т.к. его поверхности 2 и 6 выполнены с высокой точностью и отполированы: коническая поверхность 2 плотно прилегает к корпусу вентиля и обеспечивает герметичность; цилиндрическая поверхность 6 соприкасается с рядом уплотнительных колец и также обеспечивает герметичность. Помимо всего вышеперечисленного поверхности 2 и 6, а также поверхность 9 подвергаются износу трением при эксплуатации: поверхность 2 о корпус вентиля, поверхность 6 об уплотнительные кольца, поверхность 9 об соединительное кольцо.
43303. Разработка технологического процесса изготовления детали «Шестерня привода топливного насоса ведомая» 3.15 MB
  Проектирование операции связано с разработкой их структуры, с составлением схем наладок, расчетом настроенных размеров и ожидаемой точности обработки, с назначением режимов обработки, определением нормы времени и сопоставлением ее с тактом работы (в поточном производстве). При расчетах точности и проверки производительности может возникнуть необходимость в некоторых изменениях маршрутной технологии, выбора оборудования, содержания операции или условий ее выполнения.
43304. Розрахунковий підйом та розрахунок руху поїзда 822 KB
  Цього можна досягти шляхом раціонального управління рухом поїзда яке залежить від вибраних режимів роботи локомотива тяга вибіг гальмування.4 Порядок розрахунку Розрахунок параметрів кривих VS і tS виконуються в такій послідовності: заносимо в таблицю âРезультати розрахунку швидкостей та часу руху поїзда без зупинокâ номер елемента його довжину та крутість; заносимо в цю ж таблицю початкове значення швидкості Vп км год Vп ≥ 1; вибирається режим роботи локомотива тяга вибіг гальмування; із графіка питомих рівнодійних...
43307. Расчет параметров компенсированной линейной дискретной антенны 563 KB
  Требуется рассчитать характеристики линейной дискретной антенн а именно: Произвести синтез антенны: определить n и d. Рассчитать КК лепестков антенны; Рассчитать запаздывание которое нужно внести в цепи приема. ВВЕДЕНИЕ Линейными называют антенны два из размеров которых много меньше длины волны.
43308. Разработка рациональных режимов резания при эксплуатации лесопильных рам 668 KB
  Лесопильнодеревообрабатывающее оборудование общего назначения в подавляющем большинстве случаев является основным и наиболее распространенным типом машин по разделке обработке и транспорту древесины. Производство пиломатериалов осуществляется в основном на потоках с лесопильными рамами. Исследованиями установлено что лесопильные рамы экономически целесообразно использовать для продольного раскроя качественного пиловочника средних диаметров.
43309. Расчет пружины 1.17 MB
  Выбор марки стали для изготовления пружины Марка стали 85 1. Высокие свойства максимальные пределы упругости и выносливости пружины и рессоры имеют при твердости HRC 40 45 структура тростит которая достигается после закалки с равномерным и полным мартенситным превращением по всему объему металла и среднего отпуска при 400 500 С в зависимости от стали.Обоснование выбора марки стали для изготовления пружины Особенности работы рессорнопружинных сталей состоят в том что при значительных ударных или статических нагрузках в них не...
43310. Обработка методами типа «перенос-опознание» 289.5 KB
  Управление автоматом задается управляющей таблицей типа : перенос опознание которая задает операцию ПЕРЕНОС ОТВЕРГНУТЬ или процедуру опознания для каждой комбинации магазинного и входного символов. Каждая из процедур опознания просматривает несколько верхних символов магазина и либо выбирает одну из операций СВЕРТКА для некоторого правила либо ДОПУСТИТЬ или ОТВЕРГНУТЬ. Первая из них состоит в том чтобы решить какие элементы таблицы управления должны содержать операции ПЕРЕНОС какие процедуры опознания и какие операции...