30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2031. Характеристика столових приборів 778.44 KB
  Першим прибором, що винайшла людина, був ніж. Ще в кам'яному віці це були пластини з міцного каменю. Наші далекі предки не розрізняли бойові, мисливські та столові ножі. Кожна людина носила свій ніж за поясом і використовувала його для різних цілей.
2032. Пластмасовий столовий посуд 20.42 KB
  Для обслуговування банкетів - прийомів по типу фуршет і коктейль застосовують пластмасові шпажки, вилочки для подачі бутербродів канапе й інших дрібних закусок.
2033. Кейтеринг та його основні характеристики 22.73 KB
  Кейтеринг — дії підприємства ресторанного господарства, що доставляє готові страви, напої, посуд і все необхідне для організації прийому, бенкету і спеціальних заходів.
2034. Бенкет за столом з частковим обслуговуванням офіціантами: особливості меню, сервірування, обслуговування. 22.72 KB
  Бенкет за столом із частковим обслуговуванням офіціантами носить товариський або сімейний характер і є найбільш поширеним.
2035. Организация участка по ремонту топливной аппаратуры легковых автомобилей на городском СТО 25.95 MB
  Общая характеристика проектируемого предприятия, особенности устройства топливной аппаратуры дизельного двигателя. Расчет производственной программы предприятия, характеристика типовых неисправностей узла,
2036. Інвестиційний потенціал банківської системи України 10.2 MB
  Роль інвестицій у суспільному відтворенні еволюція теоретичних поглядів, Моделі врахування коливань у розмірах інвестицій. Роль банків у суспільному відтворенні. Декомпозиційний аналіз розвитку категоріально-понятійного апарату дослідження інвестиційного потенціалу банківської системи.
2037. Виховий захід. Ми всі – українські діти 33.5 KB
  Мета: виховати у дітях любов до Батьківщини, розвивати інтерес до національних надбань українського народу, розважити учнів, навчити їх добру і справедливості за допомогою гри.
2038. Аборт і його наслідки для репродуктивної функції 38.5 KB
  Проінформувати студентів про види, причини і наслідки абортів. Збагатити знання студентів, попередити про шкідливість абортів і їх наслідки. Виховувати серйозне ставлення студентів до репродуктивної функції.
2039. Вплив наркотиків і токсинів на самопочуття людини 38.5 KB
  Мета: сформувати уявлення про наркоманію як найбільш небезпечне соціальне явище, причини наркоманії та її профілактику.