30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13244. Дослідження двокаскадного транзисторного підсилювача 710.5 KB
  Лабораторна робота №6 Тема: Дослідження двокаскадного транзисторного підсилювача Мета: Дослідження амплітудних і частотних характеристик двокаскадного підсилювача Прилади й елементи Осцилограф Біполярні транзистори 2N2712 Джерело постійної ЕРС Джерел...
13245. Характеристики операційного підсилювача 209 KB
  Лабораторна робота №7 Тема: Характеристики операційного підсилювача Мета: 1. Вимірювання вхідних струмів операційного підсилювача ОП. Оцінка величин середнього вхідного струму і різниці вхідних струмів ОП. Вимірювання напруги зміщення ОП Вимірювання ...
13246. Дослідження операційного підсилювача із зворотними звязками 1.41 MB
  Дослідження амплітудних і частотних властивостей операційного підсилювача. Вивчення впливу негативного зворотного звязку на характеристики операційного підсилювача Вимірювання напруги зміщення ОП.
13247. Неінвертуюче та інвертуюче ввімкнення операційного підсилювача 194 KB
  Лабораторна робота №9 Тема: Неінвертуюче та інвертуюче ввімкнення операційного підсилювача. Мета: 1. Вимірювання коефіцієнта підсилення схем неінвертуючого та інвертуючого ввімкнення операційного підсилювача. Визначення різниці фаз між вихідною і вхідною ...
13248. Сумування напруг у схемах на ОП 213 KB
  Лабораторна робота №10 Тема: Сумування напруг у схемах на ОП Мета: 1. Аналіз роботи схеми суматора на ОП. Дослідження сумування двох постійних вхідних напруг. Дослідження сумування постійної і змінної вхідної напруги. Дослідження сумування двох змінних
13249. Вивчення резонансу в електричному колі змінного струму 870.5 KB
  Лабораторна робота № 10 Тема: Вивчення резонансу в електричному колі змінного струму. Мета: виявити явище резонансу в електричному колі шляхом дослідження залежності сили струму в ньому від частоти змінної напруги; дослідити вплив активного опору на форму резонансн
13250. Визначення розмірів плати за забруднення ґрунтів 55 KB
  Лабораторна робота № Тема: Визначення розмірів плати за забруднення ґрунтів Теоретична частина Ґрунт це самостійне природне тіло яке утворилося з поверхневих шарів гірських порід під сукупним впливом тварин рослин мікроорганізмів клімату води рельєфу місц...
13251. Розрахунок санітарно-захисної зони для джерела електромагнітного випромінювання 45 KB
  Лабораторна робота № Розрахунок санітарнозахисної зони для джерела електромагнітного випромінювання Теоретичні відомості Основними джерелами електромагнітних полів ЕМП є: атмосферна електрика радіовипромінювання електричне та магнітне поля Землі потуж
13252. Оцінка рівня радіаційного фону 56.5 KB
  Лабораторна робота № Тема: Оцінка рівня радіаційного фону Теоретична частина Випромінювання з високою енергією здатні віднімати електрони від атомів і приєднувати їх до інших атомів з утворенням пар позитивних і негативних іонів називається іонізуючим випромі