30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23332. Создание структуры базы данных в СУБД FoxPro 166 KB
  Задание на лабораторную работу: Создайте структуру базы данных в соответствии с вашей темой расчетнографического задания. Изучите возможности среды СУБД FoxPro for Windows для создания структуры базы данных. Выполните просмотр содержимого базы данных.
23333. Сортировка и индексирование баз данных 244 KB
  Задание на лабораторную работу: Выполните сортировку по одному полю базы данных содержащей не менее 15 записей. Повторите сортировку для полей содержащих разные типы данных. Просмотрите результат сортировки в новой базе данных.
23334. Установка отношений между базами данных 233.5 KB
  Задание на лабораторную работу: Проверьте проект базы данных на предмет проектирования связей ключи первичные вторичные. В проекте базы данных предметной области выделите 2–3 связанные таблицы родственные таблицы. Просмотрите связанные базы данных на экране.
23335. Поиск информации в базах данных. Установка фильтров 453.5 KB
  Задание на лабораторную работу: Составьте не менее 10 логических выражений для поиска данных в базе данных. Выполните поиск данных с помощью команды Locate. Выполните стандартный поиск в индексированной базе данных.
23336. Обработка запросов 404 KB
  SELECT SALES.SNUM SALES.SNAME SALES.CITY; FROM SALES; WHERE SALES.
23337. Создание отчётов 434.5 KB
  Задание на лабораторную работу: Определите структуру отчета. Создать и выполнить стандартный отчет. На основе стандартного отчета создать сложный отчет. Запустить отчет.
23338. Проектирование этикеток 124.5 KB
  Задание на лабораторную работу: Определите структуру этикетки: база данных для этикетки; название этикетки; порядок размещения полей в этикетке; порядок размещения этикеток на листе; размер этикеток.
23339. Проектирование экранных форм 371.5 KB
  Выполните конструирование экранной формы. Создайте на экранной форме кнопки: навигации в базе данных; добавления новой записи; закрытия экранной формы. Создайте в экранной форме поле редактирования поле для ввода со списком селекторные кнопки или контрольные индикаторы. Сохраните среду созданной экранной формы.
23340. Создание макросов 107.5 KB
  Задание на лабораторную работу: Изучите правила записи макросов на примерах стандартных макрокоманд F2–F9. Создайте свои макрокоманды для выполнения следующих работ: открыть нужные базы данных; удалить базы данных; установить отношения между базами данных; модифицировать отчет; выполнить запрос; Сохраните созданный набор макрокоманд в файле . Отчет по лабораторной работе: Диалоговое окно макрокоманд: Определение клавиши макрокоманды автоматизированное формирование: Определение клавиши макрокоманды запись вручную: Открыть таблицу...