30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15853. Режиссер - это хозяин 135 KB
  Дэвид Линч РЕЖИССЕР ЭТО ХОЗЯИН1 В юности я хотел стать художником. Но во время занятий живописью я снял маленький мультфильм для того чтобы показывать его без перерыва нонстоп то есть в виде кольца на объемном так называемом скульптурном эк...
15854. Титаник. Спецэффекты в фильме 627.5 KB
  Титаник. Спецэффекты в фильме Автор: Дмитрий Мороз Титаник корабльлегенда изза своего катастрофического крушения навеки оставшийся в памяти простых смертных. Титаник фильм снятый за умопомрачительные 200 млн. долларов и ставший в итоге самой кассовой картин...
15855. ПАВЕЛ ПЕЧЕНКИН: ВРЕМЯ В ДОКУМЕНТАЛЬНОМ КИНО 57.5 KB
  ПАВЕЛ ПЕЧЕНКИН: ВРЕМЯ В ДОКУМЕНТАЛЬНОМ КИНО Интересно поговорить на тему которая объявлена немного провокационно в названии нашего фестиваля новое документальное кино. Мы должны всетаки решить есть оно или нет. Поэтому у меня в программе был заявлен доклад Акс
15856. Капитализация локальных ресурсов регионов России – ключевая стратегия модернизации их экономик 212 KB
  Капитализация локальных ресурсов регионов России ключевая стратегия модернизации их экономик К постановке проблемы Проблема капитализации территорий как систематической деятельности по превращению всех без исключения ее ресурсов фондов и активов в работ
15857. МОДЕРНИЗАЦИЯ КАК ОСОБЫЙ ИНСТРУМЕНТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СКАЧКА 115.76 KB
  3 МОДЕРНИЗАЦИЯ КАК ОСОБЫЙ ИНСТРУМЕНТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СКАЧКА Необходимость модернизации экономики политики и идеологии современного российского общества ОЧЕВИДНА И очевидна настолько что в стране практически нет ни одного политика или ученого который ...
15858. Свет и тени концепций долгосрочного социально-экономического развития России 1.61 MB
  Свет и тени концепций долгосрочного социальноэкономического развития России Финансовый кризис отчасти продлил наметившиеся до кризиса тенденции отчасти усилил их. В ходе современного финансового кризиса произошло резкое изменение глобальной структуры промышлен
15859. ПОЛИТИЧЕСКОЕ ОСМЫСЛЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКОГО В РАБОТАХ Х. АРЕНДТ «VITA ACTIVA, ИЛИ О ДЕЯТЕЛЬНОЙ ЖИЗНИ», Ю. ХАБЕРМАСА «ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА» 84 KB
  ПОЛИТИЧЕСКОЕ ОСМЫСЛЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКОГО В РАБОТАХ Х. АРЕНДТ VITA ACTIVA ИЛИ О ДЕЯТЕЛЬНОЙ ЖИЗНИ Ю. ХАБЕРМАСА ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА В процессе истории изменяется представление о пространстве политического. Для каждой эпохи характерно определенное видение политического. В
15860. Проблема смысла жизни как фактор духовного образования личности 63.5 KB
  Духовность на магистрали развития человека (общества, группы, индивида) обладает исторически высшим содержанием и способно к неограниченному развитию. Побочные (тупиковые) линии развития выражают неполную, ограниченную, неточную духовность или даже бездуховность, тогда как ошибочные, ложные типы мировоззрения связаны с духовными заблуждениями
15861. ПРЕДМЕТНЫЙ МИР В СИСТЕМЕ КАТЕГОРИЙ ФИЛОСОФИИ 59 KB
  ПРЕДМЕТНЫЙ МИР В СИСТЕМЕ КАТЕГОРИЙ ФИЛОСОФИИ Проблема системы категорий практически исчезла из тематики российской философии с темных девяностых. Развал великой сверхдержавы превращение России в сырьевой придаток развитых стран Запада и Востока 85 вывоза из