30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79193. Философско-методологические аспекты соотношения науки и техники. Методология технознания и проектирования в соотношении с научной методологией 17.83 KB
  Философскометодологические аспекты соотношения науки и техники. В современной литературе по философии техники можно выделить следующие основные подходы к решению проблемы изменения соотношения науки и техники: техника рассматривается как прикладная наука; процессы развития науки и техники рассматриваются как автономные но скоординированные процессы; наука развивалась ориентируясь на развитие технических аппаратов и инструментов; техника науки во все времена обгоняла технику повседневной жизни; до конца XIX в. Рассмотрение техники как...
79194. Убийство при превышении пределов необходимой обороны 32.26 KB
  Общественные отношения обеспечивающие жизнь человека. совершение действий по средствам которых осуществляется физическое механическое химическое или биологическое воздействие на организм человека либо не совершается действие которое лицо должно и могло было совершить для устранения опасности грозящей жизни человека.
79195. Причинение смерти по неосторожности 32.84 KB
  От причинения смерти по неосторожности следует отличать невиновное причинение смерти казус которое исключает уголовную ответственность ст. От умышленного причинения тяжкого вреда здоровью повлекшего смерть потерпевшего по неосторожности ч. 111 УК РФ причинение смерти по неосторожности ст.
79196. Понятие и виды телесных повреждений 34.48 KB
  Понятие вред здоровью в уголовном законе не раскрывается. Определение вида вреда производилось в соответствии судебно медицинской экспертизой тяжести вреда здоровью на основании критериев указанных в постановлении Правительства РФ от 17 августа 2007 г. N 522 Об утверждении правил определения степени тяжести вреда здоровью человека . С медицинской точки зрения под вредом здоровью понимают нарушение анатомической целостности органов и тканей или их физиологических функций либо заболевания или патологические состояния возникшие в результате...
79197. Умышленное причинение тяжкого вреда здоровью. Состав и виды 34.79 KB
  Имеется в виду причинение вреда здоровью опасного для жизни человека который по своему характеру угрожает жизни потерпевшего и может вызвать его смерть. Причинение тяжкого вреда здоровью распространяется и на повреждения неопасные для жизни в момент их причинения но повлекшие угрожающие жизни состояния и заболевания или патологические состояния возникшие в результате воздействия различных внешних факторов и закономерно осложняющиеся угрожающим жизни состоянием или сами представляющие угрозу для жизни человека. В соответствии с...
79198. Заражение ВИЧ-инфекцией. Состав и виды 30.41 KB
  Способы совершения данного преступления различные: в результате полового контакта; при переливании крови или ее препаратов содержащих вирус; при контактах поврежденных поверхностей тела; при использовании для инъекций не стерильных шприцев а также женщинойвирусоносителем при родах либо с молоком матери зараженным вирусом и в других случаях. Состав преступления формальный для окончания преступления не требуется наступления последствий а именно заражения потерпевшего.
79199. Оставление в опасности 30.24 KB
  Преступление небольшой тяжести состав основной простой формальный Объект – общественные отношения обеспечивающие безопасность жизни или здоровья Обязательный признак – потерпевший другой человек находящийся в опасном для жизни или здоровья состоянии и лишенное возможности принять меры к самосохранению по малолетству старости болезни или вследствие своей беспомощности Объективная сторона характеризуется общественноопасным деянием в форме бездействия оставление без помощи вышеуказанного лица обстоятельства совершения...
79200. Общая характеристика преступлений против свободы, чести и достоинства личности 31.93 KB
  Отнесение рассматриваемой главы к разделу о преступлениях против личности которым открывается Особенная часть УК РФ вытекает из конституционных положений об охране свободы защите своей чести и доброго имени достоинства личности например ст. 126128 УК РФ; б честь и достоинство человека включая оценку его личности окружающими и им самим ст.
79201. Похищение человека. Состав и виды. Отличие от незаконного лишения свободы 34.79 KB
  Под похищением человека ст. Но при всех условиях похищение признается оконченным с момента захвата похищенного лица т. Наказание за похищение значительно усиливается при наличии квалифицирующих обстоятельств ч.