30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

876. Свободные и вынужденные колебания в контуре 182.5 KB
  Ознакомление с приборами и лабораторным стендом. Свободные колебания в одиночном контуре. Вынужденные колебания в последовательном контуре. Получение синусоидальных колебаний звуковых и ультразвуковых частот в диапазоне 20 Гц - 200 кГц с напряжением от долей вольта до 30 вольт.
877. Сущность и методология маркетинговых исследований 506.5 KB
  Уменьшение неопределенности и риска при принятии коммерческих решений. Теоретические основы проведения маркетинговых исследований. Проведение маркетингового исследования эффективности рекламы. Анализ рынка шоколадных батончиков.
878. Воспитание и педагогическая мысль в эпоху Античности 416.5 KB
  Факторы, влияющие на социализацию и составляющие контекст воспитания и образование. Развитие воспитания и образования в древней Греции. Религия как фактор влияния на человека в древнегреческом обществе. Влияние общества и отношение к обществу. Семья как фактор воспитания. Отношение к семье.
879. Принятие решений в финансовом менеджменте с использованием финансовых функций MS Excel 198.5 KB
  Определите, сколько денег окажется на счете в конце пятого года для каждого варианта. Будущее значение вклада на конец пятого года. Если срок вклада увеличить до 10 лет, как изменится ставка процента.
880. Работа со списками (базами данных) в Excel 181 KB
  Правила формирования списка. Использование формы данных. Поиск и фильтрация данных. Использование Автофильтра. Вывод на экран записей, данные в которых в этом поле совпадают с выбранным значением. Использование Расширенного фильтра.
881. Философия Просвещения 178.5 KB
  Социально-политические и идейные предпосылки идеологии Просвещения. Томас Гоббс как идейный предшественник английского Просвещения. Учение Гоббса об обществе и государстве. Социально-философские идеи Дж. Локка. Французский материализм 18 века. Социальная философия французского Просвещения.
882. Вычисление определенного интеграла методом Симпсона 169 KB
  Реализовано вычисление определенного интеграла заданной функции методом Симпсона с заданной точностью. Предусмотрено сохранение и загрузка рабочих параметров программы. Алгоритм вычисления по формуле Симпсона.
883. Основы теории изобразительной грамоты 172.5 KB
  Академический рисунок как методическая система обучения изобразительному искусству. Вспомогательные линии построения формы. Методическая последовательность работы над рисунком натюрморта. Закономерности построения формы тоном.
884. Теорія ігор 255.5 KB
  Навчитись графічно розв’язувати задачі з теорії ігор та обирати найкращі альтернативи за різними критеріями при певному значенні критерію оптимізму.