30560

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Доклад

Математика и математический анализ

Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Русский

2013-08-24

60.52 KB

30 чел.

Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОТВЕТ:

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

 

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

 

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

 

df(x0) = A · Δx.

 

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

 Δf = f'(x0) · Δx + ox) ,  

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.

 

dx ≡ Δx.

 

Отсюда следует формула для вычисления дифференциала

 

df(x0) = f'(x0dx.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Частной производной по 
 от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .


Пусть задана функция 
 . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


Функция 
, полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где 
 и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно 
 и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
,
где 
 и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .


Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных 
 их четыре:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51071. Кластерный анализ экспериментальных данных 210.73 KB
  Целью проведения кластеризации является разбиение всего множества наблюдений на однородные группы для их использования при исследовании взаимосвязей между признаками. Для достижения цели в кластерном анализе решаются задачи...
51072. Вивчаємо англійську мову 31.35 KB
  Розробити програму для перевірки знань англійських слів шляхом тестування. Користувач має за обмежений час методом перетягування розташувати три малюнки під відповідними англійськими словами.
51074. Применение ЭВМ в электроэнергетических расчетах 226.5 KB
  Знакомство с возможностями системы MATLAB: освоение навыков работы с матрицами в пакете MATLAB. Применение ЭВМ в электроэнергетических расчетах
51075. Исследование параметрического стабилизатора напряжения 44.37 KB
  Цель работы: Ознакомление с принципом действия режимом работы и параметрами параметрического стабилизатора. Рисунок 1 Схема простейшего параметрического стабилизатора Рисунок 2 Схема...
51076. Створення власних обєктів для гри Мішень 24.58 KB
  Мета: Ознайомитись з основами обєктно – оріентованого програмування (ООП). Навчитись створювати власні обєкти успадковувати їх, перевизначати методи, створювати віртуальні функції.
51077. Работа с многомерными массивами пакета MatLab 39.12 KB
  Использование функций ones zeros rnd и rndn Функции ones создание массивов с единичными элементами zeros создание массивов с нулевыми элементами и rnd или rndn создание массивов с элементами случайными числами с соответственно равномерным и нормальным распределением могут также использоваться для создания многомерных массивов. Примеры приводятся ниже: E=ones332 E::1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E::2 = 1 1 1 1 1...
51079. ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ JK-ТРИГГЕРА 381.74 KB
  В состав лабораторного стенда входят: базовый лабораторный стенд; лабораторный модуль dLb8 для исследования работы триггера. В интегральной схемотехнике триггеры обычно выполняются синхронными поэтому сигналы на информационных входах влияют на состояние триггера только при поступлении тактового сигнала на его вход синхронизации .1 приведен один из вариантов построения синхронного двухступенчатого триггера.