30561

Теорема о дифференцируемости сложной функции. Правила дифференцирования. Производная по направлению. Градиент

Доклад

Математика и математический анализ

Требования доктрины информационной безопасности РФ и ее реализация в существующих системах информационной безопасности. Доктрина информационной безопасности Российской Федерации. Понятие и назначение доктрины информационной безопасности. 9 сентября 2000 года президент РФ Владимир Путин утвердил Доктрину информационной безопасности РФ.

Русский

2013-08-24

65.41 KB

9 чел.

5. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Правила дифференцирования. Производная по направлению. Градиент

Доска:

Теорема (о дифференцируемости сложной функции):

(*)

Правила дифференцирования:

  1.  (const)' = c' = 0
  2.  (х)' = 1
  3.   (c u)' = c u'
  4.  (u + v – w + ... + s)' = u' + v' – w' + ... + s'.
  5.  Если u=u(v), а v=v(x), то u=u(v(x)) и [u(v(x))]’=u’v’
  6.  (un)' = n un–1 u’ , где u — любая функция.

Если u = x, то (xn)' = n xn–1

  1.  
  2.  (sin u)' = u' cos u
  3.  (cos u)' = – u' sin u
  4.  (u v)' = u' v + v' u
  5.  (
  6.   (ex)' = ex
  7.  (

Градиент:

Производная по направлению:

Выступление:

Функцией f , действующей из множества X в множество Y (f: X ->Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу x € X ставится в соответствие один или несколько y € Y.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение  y этой функции в точке x представимо в виде:

Где А- некоторое число, не зависящее от , а

Теорема:

Пусть функции x(t) и y(t) одного переменного t дифференцируемы в точке t0 и пусть x0 = x(t0), y0 = y(t0). Пусть, далее, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и в некоторой окрестности точки t0 имеет смысл суперпозиция f(x(t), y(t)). Тогда функция z = f(x(t), y(t)) имеет в точке t0 производную dz/dt и в этой точке

Правила дифференцирования:

  1. Производная любого постоянного числа равна нулю
  2. Производная аргумента равна 1.
  3. Постоянное число можно выносить за знак производной.
  4. Производная алгебраической суммы любого числа слагаемых равна этой же алгебраической сумме производных слагаемых.
  5. Сложная функция
  6. Производная степени функции un равна произведению показателя степени на функцию, в степени на единицу меньше, на производную самой функции
  7. Производная синуса сложной функции равна произведению производной этой сложной функции на косинус этой функции
  8. Производная косинуса сложной функции равна минус произведению производной этой сложной функции на синус этой функции
  9. Производная произведения равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый
  10. Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и частного от деления этой разности на квадрат знаменателя
  11. -

Градиент функции есть вектор, направление которого указывает направление наибыстрейшего возрастания функции, а модуль равен наибольшей скорости изменения функции в определённой точке

Производная функции z по направлению - это алгебраическая проекция вектора   на направление  : , где φ – угол между векторами и

Дополнительно:

  1.  Доказательство теоремы:

В силу дифференцируемости функции z = f(x, y) в точке(x0, y0):

∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0)

представимо в виде:

(***)

где функциятакова, что

Доопределим функцию ε(∆x, ∆y) в точке (0,0), положив ε(0, 0) = 0. Так

доопределенная функция ε(∆x,∆y) является непрерывной в точке (0,0).

Пусть теперь ∆t - приращение переменной t и ∆x = x(t0 + ∆t)−x(t0),∆y =

y(t0 + ∆t) − y(t0). Разделим обе части равенства(***)на ∆t:

При t  0, в силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t0,

получим x  0иy  0, а значит, и limt0 ρ = 0. Отсюда по теореме о

суперпозиции непрерывных функций

Далее,

Из всего сказанного следует, что при ∆t 0 правая часть (****) стремится

к конечному пределу

а потому и левая часть этой формулы, т.е.  стремится к тому же

пределу, а это и означает, что в точке t0 существует производная  и

выражается формулой(*).Теорема доказана

Замечание. Хотя в окончательную формулу производной сложной функции входят только производные  и функции z = f(x, y), по ходу

доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой

функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость.

Существует теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:

Если все частные производные  функции  непрерывны в точке  и направление оси  задано вектором  , то

32 Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Алгоритм нахождения максимального потока.

Доска:

Сток (т. е. вершина с номером s) не входит в множество вершин Y. Тогда обозначим множество вершин, не входящих в через Z. Наш граф по условию является связным, поэтому из Y, в идут некоторые ребра. По правилам построения все эти ребра являются прямыми насыщенными дугами

Вершина также входит в Y, и пусть второе число ее пометки  > 0. Тогда, очевидно, что между вершинами и существует цепь (состоящая из направленных ребер – прямых и обратных дуг), соединяющая эти вершины

ts

Выступление:

Сетью называется связный граф, в котором заданы “пропускные способности” ребер, т. е. числа qij. Это числа большие или равные нулю, причем qij 0 тогда и только тогда, когда нет ребра, соединяющего вершины i и j. Таким образом, можно считать, что пропускные способности ребер заданы для любой пары вершин. В дискретной математике пропускные способности ребер, как и все возникающие константы, считаются целыми числами (или рациональными, что одно и то же, так как рациональные числа отличаются от целых только единицами измерения).

Потоком в сети между вершиной (источникоми (стокомназывается набор чисел сij, (т. е. количество условного “груза”, перевозимого из вершины с номером i в вершину с номером j), удовлетворяющих четырем условиям:

1) числа сij   0, причем если сij 0, то сji 0 (нет встречных перевозок);

2) числа cij   qij (соответствующих пропускных способностей ребер);

3) если вершина с номером i – промежуточная (не совпадает с источником и стоком), то

,

т. е. количество “груза”, вывозимого из вершины i, равно количеству “груза”, ввозимого в эту вершину;

4)  количество “груза”, вывозимого из источника t, должно быть равно количеству груза, ввозимого в сток s:

.

Число А называется величиной данного потока или просто потоком между и s.

Пусть имеется некоторое сечение между вершинами t и s. Тогда величиной сечения называется сумма пропускных способностей ребер, входящих в это сечение. Сечение называется минимальным (максимальным), если его величина минимальна (максимальна).

Теорема Форда – Фалкерсона (1955). Максимальный поток между вершинами t и s равен величине минимального сечения между этими вершинами.

Дополнительно:

Теорема Форда – Фалкерсона (1955). Максимальный поток между вершинами t и s равен величине минимального сечения между этими вершинами.

Доказательство этой теоремы является конструктивным (т. е. показывает, как найти нужный максимальный поток), поэтому приводится ниже.

  1.  Докажем сначала, что любой поток между вершинами и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин “грузов”, перевозимых по всем возможным путям из вершины в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести “груза” больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна, сумме всех пропускных способностей ребер данного сечения. Утверждение доказано.

Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.

  1.  Докажем теперь обратное неравенство. Пусть имеется некоторый поток cij (какой-то поток всегда существует, например, нулевой, когда все cij = 0). Будем помечать вершины графа, причем считаем, что все помеченные вершины образуют множество Y. Пометки вершин производятся от источника. Каждая пометка вершины (если эта вершина может быть помечена) состоит из двух чисел: первое – это “+” или “–” номер вершины (из Y), c которой связана новая помечаемая вершина, и второе – (обязательно должно быть положительным) – это фактически та добавка к потоку, которая может быть дополнительно “довезена” в эту вершину из источника по сравнению с исходным потоком.

Более точно, множество помеченных вершин образуется следующим образом:

источник принадлежит и его пометка (0, ); второе число, условно говоря, равно бесконечности – что для дискретной математики означает, что это настолько большое число, как нам понадобится;

если вершина принадлежит Y и cij < qij (дуга (i,j) – прямая и ненасыщенная), то вершина также принадлежит и пометка вершины равна (+i, j), где j>0 равно jmin {i, qij – cij}. Заметим, что здесь число i – это второе число уже помеченной вершины i, а знак + перед номером означает, что дуга, связывающая вершины (i, j) является прямой (и ненасыщенной);

если вершина к принадлежит и сjk > 0 (обратная дуга), то вершина с номером также должна принадлежать и ее пометка равна (– кj), где знак минус означает, что вершина jсвязана с уже помеченной вершиной к обратной дугой, jmin{k, qjk+cjk}, причем очевидно, что также строго больше нуля. Таким образом, построение множества является индуктивным, т. е. новая вершина добавляется в Y, если она связана с некоторой вершиной уже входящей в либо прямой ненасыщенной дугой, либо обратной дугой.

После того как построение множества закончено (к нему нельзя добавить новых вершин), возможны 2 случая.

1. Сток (т. е. вершина с номером s) не входит в множество вершин Y. Тогда обозначим множество вершин, не входящих в через Z. Наш граф по условию является связным, поэтому из Y, в идут некоторые ребра. По правилам построения все эти ребра являются прямыми насыщенными дугами (рис. 7).

Ребра, идущие из множества в Z, образуют сечение между вершинами и s. Видно также, что сумма пропускных способностей ребер этого сечения (а все эти ребра являются прямыми, насыщенными) равна потоку из в s. Значит, данный поток является максимальным (так как он равен величине некоторого сечения), а данное сечение является минимальным.

2. Вершина также входит в Y, и пусть второе число ее пометки  > 0. Тогда, очевидно, что между вершинами и существует цепь (состоящая из направленных ребер – прямых и обратных дуг), соединяющая эти вершины

Схематично это представлено на рис. 8.

ts

Рис. 8

Заметим, что дуга, выходящая из источника, и дуга, входящая в сток, должны быть обязательно прямыми. Прибавим  к cij для прямых дуг этой цепи (по построению видно, что полученное число будет меньше или равно qij) и вычтем это  s из cij для обратных дуг (может получиться отрицательное число, но оно обязательно будет по абсолютной величине меньше qij, так как по построению  s   cij+qij , а это означает, что обратная дуга меняет направление, становится прямой дугой и его “нагрузка” будет равна модулю числа Тогда новые числа для дуг, входящих в нашу цепь, а также “старые” cij для всех дуг, не входящих в нашу цепь, образуют новый поток из вершины в вершину s(легко проверить простым рассуждением, что для новых чисел выполняются условия (1)–(4)). Кроме того, величина нового потока по сравнению со старым увеличилась на s > 0  . Для нового потока снова проведем ту же процедуру и т. д.

Так как каждый раз величина потока увеличивается, по крайней мере, на 1 (пропускные способности ребер являются целыми числами), а величина максимального потока ограничена (величиной минимального сечения), то эта процедура не может продолжаться бесконечно и, значит, на каком-то шаге получим поток, для которого вершина не входит вY, т. е. поток является максимальным и величина его равна величине минимального сечения. Теорема доказана.

Рассуждение теоремы Форда – Фалкерсона фактически является алгоритмом нахождения максимального потока между двумя вершинами (или доказательством того, что этот поток является максимальным).

Примечание. Если в данном графе с пропускными способностями ребер (т. е. сети) имеется несколько источников и несколько стоков, то описанный выше алгоритм можно применить следующим образом. Вводим новый источник и новый сток, причем новый источник соединяем ребрами со всеми источниками, а новый сток – со всеми стоками, при этом пропускные способности новых ребер считаем сколь угодно большими числами, так что эти дуги в любом возможном потоке были бы ненасыщенными (напомним, что ребра, идущие из источника и ребра, идущие в сток всегда являются прямыми дугами). После этого для нового графа решаем задачу о максимальном потоке (из одного нового источника в один новый сток). Решив ее, стираем все введенные ребра и вершины.

Требования доктрины информационной безопасности РФ и ее реализация в существующих системах информационной безопасности.

На доске:

9 сентября 2000 года –утверждение.

Основные составляющие:

  1.  Свободное получение информации
  2.  Политика страны
  3.  Развитие технологий
  4.  Защита

Требования:

  1.  правовые
  2.  организационно  технические
  3.  экономические.

Выступление:

4.  Доктрина информационной безопасности Российской Федерации. Понятие и назначение доктрины информационной безопасности.

9 сентября 2000 года президент РФ Владимир Путин утвердил Доктрину информационной безопасности РФ. Проект Доктрины был обсужден и в целом одобрен на заседании Совета Безопасности РФ 23 июня 2000 года. Концептуальный документ такого рода в российской истории появился впервые.

Разработка доктрины шла на протяжении нескольких лет. Первые ее наработки появились в 1994 году. В одно время предлагалось даже отложить доктрину до лучших времен. По оценкам специалистов, документ как составная часть Концепции национальной безопасности страны является базовым в первую очередь для федеральных органов исполнительной власти, реализующих свои полномочия в информационной сфере.

Доктрина информационной безопасности РФ представляет собой совокупность официальных взглядов на цели, задачи, принципы и основные направления обеспечения информационной безопасности РФ.

Доктрина служит основой для: формирования государственной политики в области обеспечения информационной безопасности; подготовки предложений по совершенствованию правового, методического, научнотехнического и организационного обеспечения информационной безопасности; разработки целевых программ обеспечения информационной безопасности.

В Доктрине закреплены четыре основные составляющие национальных интересов России в информационной сфере.

1)соблюдение конституционных прав и свобод человека в области получения информации и пользования ею. Обеспечение духовного обновления России, сохранение и укрепление нравственных ценностей общества, традиций патриотизма и гуманизма.

2)информационное обеспечение внутренней и внешней государственной политики страны.

3) развитие современных информационных технологий, отечественной индустрии информации, в том числе средств информатизации, телекоммуникации и связи, обеспечение потребностей внутреннего рынка ее продукцией и выход этой продукции на мировой рынок.

4) защита информационных ресурсов от несанкционированного доступа, обеспечение национальных информационных и телекоммуникационных систем.

В Доктрине впервые закреплены общие методы обеспечения информационной безопасности страны. Они подразделяются на правовые, организационнотехнические и экономические.

К правовым методам обеспечения информационной безопасности Российской Федерации относится разработка нормативных правовых актов, регламентирующих отношения в информационной сфере, и нормативных методических документов по вопросам обеспечения информационной безопасности Российской Федерации.

Организационнотехническими методами обеспечения информационной безопасности Российской Федерации являются: создание и совершенствование системы обеспечения информационной безопасности; усиление правоприменительной деятельности федеральных органов исполнительной власти, органов исполнительной власти субъектов РФ; разработка, использование и совершенствование средств защиты информации и методов контроля эффективности этих средств, развитие защищенных телекоммуникационных систем, повышение надежности специального программного обеспечения; создание систем и средств предотвращения несанкционированного доступа к обрабатываемой информации и специальных воздействий, вызывающих разрушение, уничтожение, искажение информации, а также изменение штатных режимов функционирования систем и средств информатизации и связи; выявление технических устройств и программ, представляющих опасность для нормального функционирования информационнотелекоммуникационных систем; формирование системы мониторинга показателей и характеристик информационной безопасности Российской Федерации в наиболее важных сферах жизни и деятельности общества и государства и др.

Экономические методы обеспечения информационной безопасности РФ включают в себя: разработку программ обеспечения информационной безопасности Российской Федерации и определение порядка их финансирования; совершенствование системы финансирования работ, связанных с реализацией правовых и организационнотехнических методов защиты информации, создание системы страхования информационных рисков физических и юридических лиц.

Доктрина информационной безопасности направлена на обеспечение информационной безопасности Российской Федерации в различных сферах общественной жизни

  1.  В сфере экономики.
  2.  В сфере внутренней политики.
  3.  В сфере внешней политики.
  4.  В области науки и техники.
  5.  В сфере духовной жизни.
  6.  В общегосударственных информационных и телекоммуникационных системах.
  7.  В сфере обороны.
  8.  В правоохранительной и судебной сферах.
  9.  В условиях чрезвычайных ситуаций.

Первоочередные мероприятия по реализации государственной политики обеспечения информационной безопасности Российской Федерации

Первоочередными мероприятиями по реализации государственной политики обеспечения информационной безопасности Российской Федерации являются:

разработка и внедрение механизмов реализации правовых норм, регулирующих отношения в информационной сфере, а также подготовка концепции правового обеспечения информационной безопасности Российской Федерации;

разработка и реализация механизмов повышения эффективности государственного руководства деятельностью государственных средств массовой информации, осуществления государственной информационной политики;

принятие и реализация федеральных программ, предусматривающих формирование общедоступных архивов информационных ресурсов федеральных органов государственной власти и органов государственной власти субъектов Российской Федерации, повышение правовой культуры и компьютерной грамотности граждан, развитие инфраструктуры единого информационного пространства России, комплексное противодействие угрозам информационной войны, создание безопасных информационных технологий для систем, используемых в процессе реализации жизненно важных функций общества и государства, пресечение компьютерной преступности, создание информационно-телекоммуникационной системы специального назначения в интересах федеральных органов государственной власти и органов государственной власти субъектов Российской Федерации, обеспечение технологической независимости страны в области создания и эксплуатации информационно-телекоммуникационных систем оборонного назначения;

развитие системы подготовки кадров, используемых в области обеспечения информационной безопасности Российской Федерации;

гармонизация отечественных стандартов в области информатизации и обеспечения информационной безопасности автоматизированных систем управления, информационных и телекоммуникационных систем общего и специального назначения.

Дополнительно:

Органы (подразделения), обеспечивающие информационную безопасность

В зависимости от приложения деятельности в области защиты информации (в рамках государственных органов власти или коммерческих организаций), сама деятельность организуется специальными государственными органами (подразделениями), либо отделами (службами) предприятия.

Государственные органы РФ, контролирующие деятельность в области защиты информации:

  1.  Совет безопасности России;
  2.  Федеральная служба по техническому и экспортному контролю (ФСТЭК России);
  3.  Федеральная служба безопасности Российской Федерации (ФСБ России);
  4.  Служба внешней разведки Российской Федерации (СВР России);
  5.  Министерство обороны Российской Федерации (Минобороны России);
  6.  Министерство внутренних дел Российской Федерации (МВД России);
  7.  Федеральная служба по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).

Службы, организующие защиту информации на уровне предприятия

  1.  Служба экономической безопасности;
  2.  Служба безопасности персонала (Режимный отдел);
  3.  Отдел кадров;
  4.  Служба информационной безопасности.

http://ru.wikisource.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B1%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BF%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%A4%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58550. Випадки додавання і віднімання, пов’язані з нумерацією чисел. Кути многокутника. Творча робота над задачею 35 KB
  Мета: Пригадати з учнями з прийомами додавання і віднімання, пов’язаними зі знанням нумерації чисел в межах 100; поглибити знання про многокутники; формування уміння творчо працювати над задачею; розвивати кмітливість.
58551. Умножение и деления на 2 36.5 KB
  Задачи: Закрепление действия умножения и деления на 2. Выбирать действие умножения для решения задач. Развивать навыки устного счёта, умение рассуждать, познавательный интерес. Воспитывать умение сотрудничать, работая в паре с соседом.
58552. Урок математики і вимоги до нього 92 KB
  Підготовка вчителя до уроку вибір методів засобів і форм організації діяльності учнів. Особливості уроку математики в початковій школі Основною формою організації навчальної роботи з математики як і з інших предметів є урок. Особливості уроку математики обумовлені перш за все особливостями самого навчального предмета.
58554. Время. Единицы времени 61 KB
  Цели урока: Создать условия для формирования понятий: Время Единицы времени. Способствовать развитию навыков перевода из одних единиц времени в другие. Какие знаете вы Нет времени.
58555. Веселый урок математики 49.5 KB
  Ведущий: Ребята Сегодня у нас урок занимательной математики. Ведущий: Первого греческого ученого который начал рассуждать о математике звали Фалес. Ведущий: Ребята давайте поиграем в занимательную игру. Ведущий: №1.
58556. Способ сложения столбиком 47 KB
  Кто не сделал ни одной ошибки поставьте на полях Для чего мы выполняли эту работу Что общего в тематике этих задач Как мы должны относиться к животным Кому хочется больше узнать о животных Можно взять вот такие книги в библиотеке или почитать в читальном зале...
58557. Образование числа 7 55 KB
  Цель: образовательная: познакомить с образованием числа 7 и его составом из двух меньших; формировать навыки вычисления; продолжать учить решать задачи на нахождение суммы, разности двух чисел, составлять задачи по схемам, выражениям...
58558. Закрепление изученного материала по теме «Нумерация чисел больше 1000» 55 KB
  Цели: образовательные: закрепление знаний по нумерации чисел больше 1000; развивающие: развитие словесно-логического мышления, памяти, произвольного внимания, математической речи...