30562

Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума

Доклад

Математика и математический анализ

ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.

Русский

2013-08-24

45.86 KB

4 чел.

7. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума.

Доска: 

Определение. Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Теорема  (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'x и z'y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом  к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение.

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм).

Выступление.

Доказательство теорем, приведенных выше. И весь материал выделенный курсивом.

Дополнительная часть.

Пример.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 
2.

по теореме 1.4 в точке  – минимум.

Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум. 
Причём