30562

Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума

Доклад

Математика и математический анализ

ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.

Русский

2013-08-24

45.86 KB

4 чел.

7. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума.

Доска: 

Определение. Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Теорема  (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'x и z'y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом  к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение.

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм).

Выступление.

Доказательство теорем, приведенных выше. И весь материал выделенный курсивом.

Дополнительная часть.

Пример.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 
2.

по теореме 1.4 в точке  – минимум.

Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум. 
Причём


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18109. Разработка синтезатора звука в среде визуального программирования Delphi. Программная реализация 138 KB
  Звук — физическое явление, представляющее собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твёрдой, жидкой или газообразной среде. В узком смысле под звуком имеют в виду эти колебания, рассматриваемые по отношению к тому, как они воспринимаются органами чувств животных и человека.
18110. Клавиатурные сообщения 68.5 KB
  Клавиатурные сообщения От клавиатуры может поступать четыре сообщения WM_KEYDOWN WM_KEYUP WM_SYSKEYDOWN WM_SYSKEYUP. Когда вы нажимаете клавишу генерируется сообщение WM_KEYDOWN или WM_SYSKEYDOWN в зависимости от того какая была нажата клавиша и была ли эта клавиша нажата в комбинации с клавиш
18111. Ресурсы. Приложение Windows 146.5 KB
  Ресурсы Приложение Windows может хранить в виде ресурсов текстовые строки пиктограммы курсоры различной формы произвольные матричные графические изображения меню диалоговые панели произвольные массивы данных и т. д. Физически ресурсы находятся внутри exeфайла при...
18112. Кнопки. Приложение Windows 53 KB
  Кнопки Для создания кнопки приложение должно создать дочернее окно на базе предопределенного класса button. После этого родительское окно будет получать от кнопки сообщение с кодом WM_COMMAND. Этим сообщением кнопка информирует родительское окно о том что с ней чтото сде
18113. Классификация типов меню 77.5 KB
  Меню Классификация типов меню При создании окна в приложении Windows можно указать что окно должно иметь меню. Обычно меню создается в главном окне приложения. Такое меню называется меню приложения. Меню содержит отдельные элементы или строки File Edit View и т. д. рас
18114. Рисование геометрических фигур 146.5 KB
  Рисование точки Функция рисования точки SetPixel устанавливает цвет точки с заданными координатами: COLORREF WINAPI SetPixel HDC hdc // контекст отображения int nXPos // xкоордината точки int nYPos // yкоордината точки COLORREF clrref; // цвет точки Параметр hdc
18115. Об’єктно-реляційні перетворення (O/RM – Object-relational mapping) 83 KB
  Об’єктнореляційні перетворення O/RM – Objectrelational mapping //Реляційні бази даних; проблеми зв’язку реляційних БД з ООПпрограмами} Об’єктноорієнтовані бази даних і СУБД ODBMS Object database management system Поряд з реляційними базами даних РБД в яких інформація зберігається у вигл...
18116. Поняття бізнес-логіки. Java EE 70.5 KB
  Тема 1: Поняття бізнеслогіки. Java EE Поняття бізнеслогіки Загальна задача роботи програми роботи з базою даних – читати з бази даних інформацію і показувати її користувачеві часто в обробленому вигляді і записувати в базу інформацію введену користувачем часто в обро
18117. Технологія Java Servlet 52.5 KB
  Тема 2: Технологія Java Servlet Сервлет Javaоб’єкт що працює всередині спеціальної програми сервлетконтейнера і застосовується для динамічного генерування даних. Кожен сервлет описується в окремому класі який реалізує інтерфейс Servlet. В більшості сервлети використовуються...