30562

Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума

Доклад

Математика и математический анализ

ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.

Русский

2013-08-24

45.86 KB

4 чел.

7. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума.

Доска: 

Определение. Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Теорема  (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'x и z'y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом  к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение.

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм).

Выступление.

Доказательство теорем, приведенных выше. И весь материал выделенный курсивом.

Дополнительная часть.

Пример.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 
2.

по теореме 1.4 в точке  – минимум.

Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум. 
Причём


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70509. Понятие системы маркетинговой информации 17.31 KB
  Она предназначена для сбора классификации анализа оценки и распространения актуальной своевременной и точной информации с целью совершенствования планирования и контроля за исполнением маркетинговых мероприятий.
70510. Анализ рынка (микросистема) 16.19 KB
  Анализ Рынка анализ ситуации на фирмах или предприятиях в русле событий происходящих на рынке. Анализ рынка подразумевает сопоставление и анализирование результатов деятельности бизнеса с общей конъюнктурой рынка. В рамках анализа рынка маркетинга изучается спрос предложение поведение...
70511. Маркетинговый анализ предприятия 20.65 KB
  Необходимыми условиями достижения самоокупаемости и самофинансирования предприятия в условиях рынка являются ориентация производства на потребителей и конкурентов гибкое приспособление к изменяющейся рыночной конъюнктуре. От этого зависят конечные финансовые результаты воспроизводство...
70512. Работа с продуктом. Разработка нового продукта 17.96 KB
  Можно выделить несколько уровней новизны продукта: от полностью нового продукта до продукта с новой маркой или упаковкой. Разработка нового продукта это разработка оригинальных продуктов улучшение продуктов и их модернизация создание новых марок продуктов путем проведения...
70513. Понятие распределения. Прямой и непрямой сбыт 21.22 KB
  Распределение в экономической системе выступает либо как момент самого производства в дальнейшем будем употреблять этот привычный для экономической теории термин подразумевая под ним и другие виды присвоения либо как акт следующий непосредственно за актом производства.
70514. Анализ макросреды 17.19 KB
  Этот анализ направлен на изучение окружающей макросреды которая не имеет прямой связи с рынком но в равной степени влияет на все предприятия этой сферы деятельности в данном конкретном регионе. Стратегическими факторами макросреды считаются такие направления ее развития которые...
70515. Сегментация рынков. Критерии сегментации 53.85 KB
  Сегментация рынка — разбивка рынка на участки (сегменты) по различным признакам. Метод сегментации заключается в определении на рынке групп покупателей, имеющих аналогичные покупательские потребности и характеристики. Преимущества использования сегментационного подхода.
70516. Поддержка сбыта. Паблик рилейшнз 18.64 KB
  Функция поддержки сбыта является мощным инструментом который помогает сотрудникам эффективно выполнять их задание и освобождает их от рутинных административных задач. Поддержка сбыта предоставляет внутренней службе сбыта и выездному персоналу ежеминутную информацию варьируемой степени детализации.
70517. Продукт (товар, услуга) и потребность. Развитие потребности от мотивации до момента покупки 19.09 KB
  Потребности это то без чего нельзя поддерживать не только жизнь человека но и его развитие как личности и как члена общества. Потребности человека это состояние объективной нужды организма в чем-то что составляет необходимое условие его нормального функционирования.