30562

Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума

Доклад

Математика и математический анализ

ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.

Русский

2013-08-24

45.86 KB

4 чел.

7. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума.

Доска: 

Определение. Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Теорема  (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'x и z'y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом  к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение.

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм).

Выступление.

Доказательство теорем, приведенных выше. И весь материал выделенный курсивом.

Дополнительная часть.

Пример.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 
2.

по теореме 1.4 в точке  – минимум.

Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум. 
Причём


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2783. Формирование рациональной структуры технологического объекта с ПИД регулятором 237 KB
  Цель работы: Построение пусковой характеристики технологического процесса. Сравнение способов математического представления звена с запаздыванием. Формирование ПИД - закона регулирования. Определение оптимальных параметров ПИ...
2784. Моделирование следящего электропривода 399.5 KB
  Моделирование следящего электропривода Цель работы: Исследование следящей системы, определение качественных показателей СЭП и построение ЛАЧХ. Формирование корректирующего устройства, улучшающего качественные показатели СЭП. Исслед...
2785. Исследование системы автоматического регулирования мощности турбины 90 KB
  Исследование системы автоматического регулирования мощности турбины Цель работы:  Освоение методики набора динамических объектов на ПК и проведение моделирования систем автоматического регулирования мощности турбин с использованием ППП SIAM...
2786. Моделирование системы регулирования частоты вращения двигателя с двухзонным управлением 386.5 KB
  Моделирование системы регулирования частоты вращения двигателя с двухзонным управлением Цель работы: Изучение принципа построения модели двухзонного управления частотой вращения двигателя. Реализация моденлирования системы на ПК...
2787. Греція - колиска Олімпійських ігор 34.5 KB
  Греція ─ колиска Олімпійських ігор Мета заходу: виховна полягає в тому, щоб виховати в учнів інтерес до різноманітних спортивних змагань та їхньої історії, пізнавальна полягає в тому, щоб учні поглибили свої знання з даної теми та могли застосувати її на інших уроках;
2788. План роботи Класного керівника ФИО з колективом 5-А класу 121 KB
  План роботи Класного керівника ФИО з колективом 5-А класу на І семестр 2011-2012 н.р. І. АНАЛІЗ ВИХОВНОЇ РОБОТИ ЗА 2010-2011 Н. Р. З дітьми у ролі класного керівника працюю перший рік, як вчитель-предметник другий рік. Готуючись прийн...
2789. Я люблю Україну 33.71 KB
  Я люблю Україну - Я вітаю всіх із тим, що саме вам  випала честь розпочати конкурсно-розважальний проект Я люблю Україну! Я впевнена, що серед присутніх не знайдеться жодної людини, яка б хоч раз не дивилась телевізійну версію цього проекту. ...
2790. Внеклассное мероприятие по теме 36 KB
  Внеклассное мероприятие по теме La music Francaise Было проведено студентками-практикантками Дунаевой Еленой и Киселевой Евгенией Класс 5Б и 5В Цели: ознакомить учащихся с музыкальной культурой франции и ее историей. Задачи:  расшир...
2791. Внеклассная работа по теме: Animals 34.5 KB
  Внеклассная работа по теме: Animals Для учащихся 3-4 классов общеобразовательных школ Цели внеклассной работы: - расширение и углубление знаний, - развитие у учащихся умения работать в команде, - развитие у учащихся интереса к предмету. Задачи вне...