30562

Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума

Доклад

Математика и математический анализ

ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.

Русский

2013-08-24

45.86 KB

4 чел.

7. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума.

Доска: 

Определение. Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Теорема  (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'x и z'y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом  к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение.

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм).

Выступление.

Доказательство теорем, приведенных выше. И весь материал выделенный курсивом.

Дополнительная часть.

Пример.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 
2.

по теореме 1.4 в точке  – минимум.

Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум. 
Причём


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54313. Металургійна промисловість. Чорна і кольорова металургія 63 KB
  Вміти характеризувати галузеву та територіальну структуру металургії показувати на карті основні райони та найбільші центри металургії пояснювати принципи розміщення різних типів підприємств. 3 хв Актуалізація: Слайд 2 8 хв які галузі господарського комплексу є найбільшими споживачами вугілля Який склад і значення металургійного комплексу Що виробляє чорна металургія Кольорова металургія Які особливості сировинної бази чорної та кольорової металургії в Україні Пригадати форми організації...
54314. Forecasting the Future 33.5 KB
  The process of compiling and interpreting this data -- in other words, preparing a forecast -- is comparable to assembling a jigsaw puzzle. The more data available, the easier it is to see what's going on in the atmosphere and to know what the weather will do next.
54315. RECIPROCAL TEACHING 44.5 KB
  Reciprocal teaching is a reading strategy in which students take turns teaching small sections of the text. It is usually done in small groups. All students initially read a section of the text. One student begins by summarizing a section of the text and questioning the others about the meaning of the section. Any difficult parts are identified and discussed and then predictions are made about the next section to be read.
54316. Методичні рекомендації класному керівникові, щодо організації профільного навчання і допрофільної підготовки в 9-х класах 73 KB
  Доцільно проводити шкільні міжшкільні олімпіади дні відкритих дверей видавати інформаційні матеріали які знайомлять учнів із специфікою вимог і особливостями профільного навчання в різних освітніх закладах району. По суті інформаційна робота повинна стати змістовною подорожжю для учнів по освітній території для чого необхідно спланувати відповідний маршрут форми дати конкретні домовленості про час і форми заходів з керівниками освітніх установ. Частина часу ймовірно кілька годин в цілому слід буде передбачити на...
54317. Функціональні методи розвязування рівнянь 193.5 KB
  Мета: - повторити функціональні методи розв’язування рівнянь; - розвивати вміння і навички розв’язування рівнянь різними методами; - розвивати вміння систематизувати і узагальнювати, робити умовиводи; - виховувати прагнення до реалізації своїх навчальних можливостей.
54318. Застосування активних методів і форм на заняттях іноземної мови 288 KB
  Робота над проектом здійснюється у кілька етапів і зазвичай виходить за рамки навчальної діяльності на заняттях: вибір теми чи проблеми проекту, формування групи виконавців, розробка плану роботи над проектом, визначення термінів, розподіл завдань серед студентів, обговорення в групі результатів виконання кожного завдання, оформлення спільного результату, звіт по проекту, оцінка виконання проекту.
54319. Чи можливо виховати генія? 75.5 KB
  От чому в процесі навчання необхідно систематично збуджувати розвивати і укріплювати пізнавальний інтерес учнів і як важливий мотив навчання і як стійку рису особистості і як могутній засіб виховуючого навчання підвищення його якості. Основна мета роботи вчителя по активізації пізнавальної діяльності учнів розвиток їх творчих здібностей. Досягнення цієї мети дозволяє вирішити багато завдань навчання: забезпечити міцні і усвідомлені знання навчального матеріалу; підготувати учнів до активної участі у виробничій...
54320. Пути развития европейской культуры в эпоху Нового времени 20.7 KB
  Название «Новое время» в истории культуры Европы обычно употребляется по отношению к трем векам – XVII, XVIII и XIX. Эти века наполнены событиями политическими, экономическими, философскими, художественными. XVII век не имеет общепризнанного названия как Возрождение или век Просвещения.
54321. Створення та редагування таблиць із застосуванням режиму конструктора, використання звязків між таблицями, створення форм із застосуванням майстра форм, створення звітів із застосуванням майстра звітів 2.97 MB
  ЗАДАЧА: створити БД для підприємства (фірми), яке займається реалізацією продовольчих товарів. 1.1 Створити БД в папці Мої документи та надати ім’я «Прізвище_група_учня_фірма» 1 Створити таблиці, які будуть містити основну інформацію про діяльність фірми.