30562

Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума

Доклад

Математика и математический анализ

ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.

Русский

2013-08-24

45.86 KB

4 чел.

7. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума.

Доска: 

Определение. Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек

то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Теорема  (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'x и z'y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом  к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение.

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм).

Выступление.

Доказательство теорем, приведенных выше. И весь материал выделенный курсивом.

Дополнительная часть.

Пример.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 
2.

по теореме 1.4 в точке  – минимум.

Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум. 
Причём


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16271. Исследование устройства кодирующего системы SЕCАМ 808 KB
  Лабораторная работа №3 Исследование устройства кодирующего системы SЕCАМ 1 Цель работы: Изучить состав устройства кодирующего ПБ29. Получить практические навыки по работе с устройством кодирующим. 2 Литература: 2.1 Джакония В.Е. Телевиде...
16272. Исследование спектра сигнала спутника Hot Biord 1.7 MB
  Лабораторная работа №4 Исследование спектра сигнала спутника Hot Biord 1 Цель работы: 1.1 Научиться пользоваться спутниковым ресивером. 1.2 Научиться настраиваться на выбранный транспондер и фиксировать его в памяти прибора DL4. 1.2 Научиться заносить данные прибора в ...
16274. Стандарт цифрового телевидения 4:2:2 290 KB
  Лабораторная работа №8 Стандарт цифрового телевидения 4:2:2 1 Цель работы: 1.1 Изучить метод аналогоцифрового преобразования в стандарте 4:2:2. 2 Литература: 2.1 Приложение А. 2.2 Приложение Б. 3 Подготовка к работе: 3.1 Повторить теоретический материал по стандар
16275. Исследование спутникового приемника DCH-4000P-42-S2 354 KB
  Лабораторная работа №100 Исследование спутникового приемника DCH4000P42S2 1 Цель работы: 1.1 Научиться пользоваться спутниковым ресивером. 1.2 Научиться настраиваться на выбранный транспондер 2 Литература: 2.1 Приложение А. 2.2 Приложение Б. 2.3 Приложение В. 3
16276. Общие сведения, простой монтаж в Adobe Premiere Pro 2.0 819 KB
  Лабораторная работа №1 Общие сведения простой монтаж в Adobe Premiere Pro 2.0 1 Цель работы 1.1 Получить первичные навыки работы с программой нелинейного монтажа Adobe Premiere Pro 2.0. 1.2 Научиться производить захват видеоинформации с внешних устройств при помощи Adobe Premiere. 1.3 Научит...
16277. Типы эффектов в Adobe Premire Pro 2.0 123 KB
  Лабораторная работа №2 Типы эффектов в Adobe Premire Pro 2.0 1 Цель работы 1.1 Изучить типы эффектов в программе Adobe Premire Pro 2.0. 1.2 Получить практические навыки работы с эффектами в Adobe Premiere Pro 2.0. 1.3 Смонтировать видеоролик с использованием эффектов. 2 Литература 2.1 Приложе
16278. Создание титров в Adobe Premiere Pro 2.0 187.5 KB
  Лабораторная работа №3 Создание титров в Adobe Premiere Pro 2.0 1 Цель работы 1.1 Изучить методы создания и редактирования титров в программе Adobe Premiere Pro 2.0. 1.2 Смонтировать видеоролик с применением титров/субтитров. 2 Литература 2.1 Приложение Общие сведения о титрах. ...
16279. Работа со звуком в Adobe Premiere Pro 2.0 183.5 KB
  Лабораторная работа №4 Работа со звуком в Adobe Premiere Pro 2.0 1 Цель работы 1.1 Получить практические навыки при работе со звуковыми файлами в программе Adobe Premiere Pro 2.0. 1.3 Смонтировать видеоролик с использованием эффектов. 2 Литература 2.1 Приложение Работа со звуком. ...