30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

68 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22975. Послідовний інтерфейс 3.66 MB
  Всі ці функції може виконувати спеціальна ВІС що входить до мікропроцесорного комплекту КР580 і має назву Універсальний Синхронно Асинхронний Програмований Прийомопередавач УСАПП типу КР580ВВ51. УСАПП типу КР580ВВ51 в значній мірі є автономним у своїй роботі. Все інше робить сам УСАПП. При видачі даних МП звертається до УСАПП як до зовнішнього пристрою.
22976. Організація пам’яті мікропроцесорної системи 11.06 MB
  Функції виводів цього ОЗП позначено на рис. R визначає напрямок руху інформації чи то запис до ОЗП чи то читання з нього. ОЗП типу КР541РУ2 Це статичний ОЗП на ТТЛ логіці.
22977. Мікропроцесор КР1810ВМ86 (8086) 6.05 MB
  Але у порівнянні з МП80 він має такі істотні відміни: при збереженні тієї ж nМОН технології була досягнута вища ступінь інтеграції і на кристалі 55 х 55 мм розташовано біля 30 тисяч транзисторів; зменшено інерційність логічних елементів і тактову частоту підвищено до 5 8 МГц; завдяки цьому продуктивність мікропроцесора збільшилась на порядок; розширено розрядність шини даних до 16 розрядів; розширено розрядність шини адреси до 20 розрядів таким чином забезпечено можливість адресувати память до 1 Мбайт; розширено у кілька разів...
22978. Переривання 5.91 MB
  Організація переривань Все починається з того що ЗП виставляє сигнал високого рівня логічну одиницю на вхід INT мікропроцесора. Ці дані будуть оброблятися мікропроцесором за підпрограмою обробки переривань яка повинна бути заздалегідь закладена у память мікропроцесора . Замість цього в лічильник команд заноситься адреса команди з якої починається підпрограма обробки переривань. Лише після цього стає можливим введення даних з ЗП і старт підпрограми обробки переривань цих даних.
22979. Прямий доступ до пам’яті (ПДП) 3.8 MB
  Контролер ПДП Забезпечити роботу в режимі захоплення шин можна за допомогою логічних схем та тригерів саме так це зроблено наприклад у €œМікролабі€ але зручніше скористатися спеціальною ВІС контролером прямого доступу до памяті КПДП. Працює КПДП в двох сильно відмінних один від одного режимах: в режимі програмування коли мікропроцесор €œзакладає€ в нього необхідні інструкції і в режимі обміну даними між зовнішнім пристроєм і ОЗП. Схематичне зображення ІМС КПДП типу КР580ВТ57 подано на рис. В режимі програмування вони...
22980. Клавіатура і індикація 5.36 MB
  ОЗП індикації являє собою область операційної памяті в якій стільки комірок скільки знаків може бути розміщено на екрані. Побудова знаків Знаки на екрані дисплею будуються за мозаїчним принципом. Знакоформувач Знакоформувач являє собою ПЗП в якому закладена інформація про структуру утворюваних ним знаків. Таким чином ці три ІМС можуть створювати 96 різних знаків символів.
22981. Робота зі співпроцесором 3.19 MB
  Обгрунтування необхідності співпроцесора Хоча мікропроцесор К1810ВМ86 оперує з 16розрядними числами відносна точність його обчислень не дуже висока. Такий допоміжний процесор має назву співпроцесора. Включення співпроцесора Для спільної роботи зі співпроцесором мікропроцесор МП86 слід включити у максимальний режим = 0.
22982. Тенденції у розвитку мікропроцесорної техніки 1011.5 KB
  Другий шлях полягає навпаки у роздрібненні секціонуванні мікропроцесора на окремі функціональні блоки і модулі кожний з яких виконує свої операції: операційний блок блок мікрокомандного керування блок памяті мікрокоманд та інше. Його система команд майже цілком співпадає з системою команд МП80 і відрізняється від неї лише декількома додатковими командами про які мова йтиме далі. У апаратному відношенні МП85 містить всі ті ж блоки що і МП80 але має крім того: блок керування перериваннями котрий розширює можливість звернення до...
22983. Система команд та методи адресації в мікропроцесорі КР1810ВМ86 1.05 MB
  Серед цього списку можна виявити що деякі команди не змінили ані форми ані змісту наприклад HLT NOP STC IN OUT JMPCALL тощо. Деякі команди зберегли свій зміст але мають дещо іншу мнемоніку: для МП80 INR DCR ANA ORA XRA JZ JNZ JC JNC для МП86 INC DEC AND OR XOR JE JNE JB JNB Зявилися принципово нові команди пoвязані з новими можливостями МП86: MUL множення; DIV ділення; NEG утворення доповняльного коду; NOTінверсія; TEST операція І без фіксації результату тільки заради...