30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

64 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71286. Триггеры как элементы памяти и двоичной информации 180.5 KB
  Указанное свойство триггера обусловлено тем что факторами воздействующими на его состояния являются не только внешние управляющие сигналы но и сигналы самого триггера сигналы обратной связи. Их отличают функциональный признак определяющий поведение триггера при воздействии...
71287. ФИЛОСОФИЯ КАК МЕТОДОЛОГИЯ СИНТЕЗА МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫХ ЗНАНИЙ 36.5 KB
  Дифференциация была долгое время ведущей тенденцией в сфере науки. Это привело к тому, что, несмотря на большие успехи, достигнутые наукой на пути прогрессирующей специализации, происходил рост рассогласования научных дисциплин. Возник кризис единства науки.
71288. ФИЛОСОФИЯ ГЛОБАЛЬНОГО ЭВОЛЮЦИОНИЗМА 116.5 KB
  Процесс становления данной концепции имеет длительную историю. Долгое время в философии и науке господствовал метафизический подход в понимании сущности бытия. Согласно ему, все природные и социальные объекты рассматриваются как стабильные, неизменные образования, лишенные внутренней связи и развития
71289. ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ РАЦИОНАЛЬНОСТЬ 71 KB
  Техника является предметом изучения самых различных дисциплин как технических, так естественных и общественных. Количество специальных технических дисциплин возрастает в наше время с поразительной быстротой, поскольку не только различные отрасли техники, но и разные аспекты этих отраслей становятся предметом их исследования.
71290. СТРУКТУРА И УРОВНИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ И ОРГАНИЗАЦИИ ЗНАНИЯ 89 KB
  Научное познание сложившаяся на его основе система знания представляют собой сложно организованную целостность, отличающуюся особой структурной организацией.
71291. СТАТУС И РОЛЬ ФИЛОСОФИИ В ЖИЗНИ ОБЩЕСТВА 59 KB
  Философия представляет собой продукт духовного развития общества и является особым типом мировоззрения, сложившимся в ходе культурно-исторического развития. В связи с этим необходимо рассмотреть смысл понятия «мировоззрение».
71292. Разработка среды научной визуализации для представления процессов намагничивания 7.3 MB
  Пакет DOMEN предназначен для расчёта статического распределения и динамического поведения доменных границ в магнитных плёнках при различных физических свойствах материала плёнок и воздействии внешних электрических и магнитных полей различного типа.
71293. Схемы систем автоматического управления и регулирования 314 KB
  Существует чрезвычайно большое разнообразие автоматических систем, выполняющих те или иные функции по управлению самыми различными физическими процессами во всех областях техники. В этих системах сочетаются весьма разнообразные по конструкции механические...
71294. ТЕХНОЛОГИИ СОЗДАНИЯ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ 119.79 KB
  Особенность реализации этого этапа технологического процесса заключается в том что конечный пользователь разрабатываемой программы хорошо знающий ее проблемную сторону обычно хуже представляет специфику и возможности использования ЭВМ для решения задачи.