30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

68 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81157. Николай Константинович Михайловский 31.1 KB
  Михайловский одним из первых в Европе обратился к созданию теории личности и еще до Дюркгейма стал изучать роль разделения труда в общественной жизни.
81158. Максим Максимович Ковалевский 36.16 KB
  Продолжая линию Конта в этом вопросе Ковалевский формулирует основной социологический закон закон роста солидарности а также основной вопрос социологии вопрос об общественном историческом прогрессе. Солидарность объединяет подчеркивает Ковалевский единое политическое целое государство под влиянием факторов мировой религии и международного торгового обмена солидарность объединяет ряд государств а в перспективе ведет к всемирному единству народов. Ковалевский критикует однофакторные точки зрения получившие широкое распространение на...
81159. Христианский гуманизм 41.05 KB
  По мнению Соловьева от начала истории три основные силы управляли человеческим развитием коренящиеся в совместном существовании трех исторических миров грех культур резко между собой различающиеся: Мусульманский Восток Западная цивилизация и Славянский мир. Мусульманский Восток находится под преобладающим влиянием так называемой первой силы которая стремится подчинить человечество во всех сферах на всех уровнях его жизни одному верховному началу подавить его самостоятельность и свободу личной жизни. Один господин и аморфная масса рабов...
81160. Анархизм как социально-политическое течение 39.24 KB
  Анархизм (от греч. anarchia - безначалие, безвластье) — это социально-политическое течение, отрицающее необходимость государственной и всякой иной власти, проповедующее неограниченную свободу личности, непризнание общего для всех порядка в отношении между людьми. Само течение сложилось в середине XIX в. Основные его теоретические положения были выдвинуты немецким философом Максом Штирнером и французским философом
81161. Второй этап развития теории социологии в России 38.63 KB
  Во главе социологического отделения созданного при факультете общественных наук Петроградского университета стал Питирим Александрович Сорокин 18891968 крупнейший ученый и общественный деятель внесший существенный вклад в развитие отечественной и мировой социологии. Сорокин один из лидеров правого крыла партии эсеров после Февральской революции 1917 г. в числе большой группы российской интеллигенции Центральным Комитетом ВКП б Сорокин был выслан из России за границу. Сорокин один из родоначальников теории социальной...
81163. Эмпирическая социология в России 39.49 KB
  Возникновение и развитие эмпирической социологии в России связывают обычно с серединой XIX столетия. Накопление эмпирического опыта по строительству новой жизни необходимость перехода от агитационнопропагандистских форм к научноисследовательским подготовили почву к возникновению зачатков отраслевой социологии на практическом материале труда быта и культуры социальной структуры и др. Кузмичева духовная жизнь и десятков других революционнопрогрессивных представителей социологии. Интерес к конкретным социологическим исследованиям вел к...
81164. Школа научного управления: Ф. Тейлор, А. Файоль, Г. Форд, Г. Эмерсон 38.83 KB
  Его система научной организации труда включала в себя ряд основных положений: научные основания производства научный подбор кадров обучение и тренировка организация взаимодействия между управляющими и рабочими. В социологии труда он изучал вопросы рестрикционизма группового взаимодействия и групповой динамики а также отношение к труду стимулирование мотивацию и организацию труда. Система Тейлора заложила основы научной организации труда через создание многочисленных правил законов и формул которые заменяют личное суждение работника и...
81165. Школа «человеческих отношений»: М. Фоллет, Э. Мэйо, Л. Урвик, К. Левин 40.51 KB
  Основные направления деятельности школы: применение наук об управлении человеческим поведением; разработка систем мотивации труда. Основное содержание доктрины человеческих отношений можно выразить следующими тезисами: человек социальное животное Мейо ввел понятие социальный человек; жесткая иерархия подчиненность формализация организационных процессов несовместимы с его природой; производительность труда зависит не только и не столько от методов организации производства сколько от того как управляющие относятся к...