30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

63 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24367. Основные функции науки в жизни общества (наука как мировоззрение, как производительная и социальная сила) 59 KB
  Культурная сущность науки влечет за собой ее этическую и ценностную наполненность. Результативная функция науки осуществляется из систему образования воспитания обучения и подключения членов общества к исследовательской деятельности и эпосу науки. Функций у науки много и с ее развитием их становится все больше и больше.
24368. Возникновение науки. Две стратегии порождения знаний: обобщение практического опыта и конструирование теоретических моделей 104 KB
  Такой например характер имели геометрические знания древних египтян. Однако по мере развития практики наряду с отмеченными способами познания формируется новый способ построения знания. При таком методе исходные идеальные объекты черпаются уже не из практики а заимствуются из ранее сложившихся систем знаний языка и применяются в качестве строительного материала при формировании нового знания. Таким образом в науке наряду с эмпирическими правилами и зависимостями которые знала и преднаука формируется особый тип знания теория...
24369. Античный этап развития науки: логика и математика 104 KB
  Первые европейские ученые и философы любители мудрости Фалес Анакасимен Анаксимандр Гераклит опираясь на факты и логику впервые мыслили вещи не фантастически а стремились к естественнонаучном безличному целостному описанию природы космоса мира. Осуществляя многочисленные наблюдения за поведением планет Солнца природных и общественных явлений используя также и мифологически воззрения от них полностью устраниться не удалось они пытались найти как общие законы изменения и устройства мира так и частные его характеристики....
24370. Наука средневековья. Роль христианской теологии в изменении созерцательной позиции ученого 114 KB
  Начало мира это сам Бог. В результате христианское учение постепенно стало приобретать форму рациональной теологии где определенное место отводилось вопросам познания устройства мира. Предельность конечность мира в пространстве включала геоцентризм Аристотеля и Птоломея и оттеняла космическую функцию Христа. Он как бы замещал исследование причинноследственных связей превращался в важнейший способ восприятия мира и выражения опыта развивал мышление позволяя превращать истины веры в зрительные образы.
24371. Формирование идеалов (математизированное и опытное, экспериментальное знание) науки Нового времени (Г. Галилей, Ф. Бэкон, Р. Декарт) 127 KB
  это время становления новой современной науки. Этому способствовали как внутренние изменения самой науки уже Коперник и Кеплер свою гелиоцентрическую картину мира обосновывают с помощью математического расчета. Давление воды на лопатку движение деталей насоса кузнечного молота шелкопрядильной машины включали в себя непрерывную цепь механических причин и следствий ставших основой механической картины мира классического идеала науки.
24372. Формирование и соотношение естественных, технических и социально-гуманитарных наук: сходство и различия 106 KB
  Лпркшпрожю Развитие технических наук стимулирует развитие естествознания их взаимосвязь не прервалась и после выделения технической науки в отдельную область знания. В то же время существует большой разрыв между действительным применением результатов технической науки на практике и занятием самой этой наукой. С методологической точки зрения исследование в технической науке не сильно отличается от естественнонаучного исследования. Таким образом в научнотехнических дисциплинах необходимо четко различать исследования включенные в инженерную...
24373. Многообразие типов научного знания. Сущность и структура эмпирического знания 55 KB
  Материализация и первичное обобщение данных отражения в форме знания на основе правил соответствия узнавание сравнение измерение описание образуют эмпирические факты эмпирические объекты эмпирическую информацию. Эмпирические факты условно можно разделить на два вида: а факты в основание которых лежат не зависящие от субъекта явления например природные процессы и б факты созданные человеком например экономика экономические отношения. Эмпирические факты обладают большей степенью общности чем единичные данные но меньшей чем...
24374. Сущность и структура теоретического знания 52.5 KB
  Теория это высшая самая развитая форма организации научного знания дающая целостное представление о закономерностях и существенных связях определенное области действительности объекта данной теории 77. С помощью этих знаковых образований языка теории возникает возможность более точно и глубоко судить о соответствующей изучаемой предметной области. Кроме того тот или иной вид теории определяется предметом и задачами исследования глубиной раскрытия сущности предметов и др. Также имеют место попытки поиска идеальной схемы...
24375. Основания науки: нормы и идеалы науки, роль философских идей и принципов в обосновании научного знания (законы и категории) 116.5 KB
  Среди идеалов и норм можно выделить два взаимосвязанных блока: а собственно познавательные установки которые регулируют процесс воспроизведения в различных формах научного знания; б социальные нормативы фиксируют роль науки и ее ценность для общественной жизни на определенном этапе исторического развития. Существует еще и такое мнение что в период нормального эволюционного периода развития науки возможно бессознательное использование многих научных идеалов и норм. Закон единства и борьбы противоположностей является ядром диалектики...