30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

71 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28078. Экономический механизм охраны опс в нормативно-правовых актах 3.39 KB
  Платежи за загрязнение ОС это один из важнейших экономических стимулов к уменьшению предприятиями негативного воздействия на ОС. Порядок исчисления и взимания платы за загрязнение ОС устанавливается законодательством РФ. Плата за загре ОС предусматривает два вида платежей: 1 за загр в пределах установленных лимитов; 2 загрязнение сверх устанх лимитов.
28079. Юридическая ответственность за экологические правонарушения 5.58 KB
  Субъекты экологического права. Объект экологического правонарушения общественные отношения в сфере природопользования и охраны окружающей среды. Непосредственный объект экологического правонарушения общественные отношения в той или иной определенной области природопользования. Объективная сторона экологического правонарушения противоправное деяние которое выражается в действии или бездействии.
28081. Глобальный экологический кризис и причины возникновения экологического права 2.57 KB
  Глобальный экологический кризис и причины возникновения экологического права. Для возникновения самостоятельной отрасли права необходимы три условия: Государственный и общественный интерес к этой отрасли Специфика предмета отрасли права т. специфика регулируемых общественных отношений Особые источники права ЭП это отрасль права регулирующая волевые общественные отношения по сохранению воспроизводству и изучению ОС и рациональному использованию ПР т.
28082. Законодательство о санитарно-защитных зонах 8.07 KB
  Документы необходимые для разработки и согласования проекта СЗЗ: Генплан предприятия с нанесенными существующими строениями и указанием перспективного строительства в М 1:500 представляется предприятием. Правоудостоверяющий документ на землепользование представляется предприятием. Реквизиты предприятия представляются предприятием. Проект нормативов предельно допустимых выбросов в атмосферу ПДВ и результаты последнего ведомственного контроля соблюдения нормативов; в случае отсутствия проекта данные...
28084. Информационное обеспечение охраны ос и пп 6.8 KB
  Информационное обеспечение охраны окружающей среды это сбор переработка хранение и обязательно подготовка к использованию информации которая необходима для оценки состоянии собственно окружающей среды экологической деятельности и принятия различного рода решений в этой области. Информационное обеспечение охраны окружающей среды включает в себя: необходимую информацию как объект обеспечения; процессы работы с информацией завершающиеся ее подготовкой к использованию; распределение или предоставление информации...
28085. Классификация источников экологического права 10.52 KB
  По юридической силе все источники подразделяются на законы и подзаконные акты. Законы как источники экологического права представляют собой нормативные акты принимаемые представительным и законодательным органом РФ Федеральным Собранием состоящим из двух палат Совета Федерации и Государственной Думы. Подзаконные нормативные акты как источники экологического права представляют собой документы правового характера принимаемые Правительством РФ правительствами республик РФ органами исполнительной...
28086. Конституционные основы охраны окружающей среды 4.7 KB
  Законы и иные НПА не должны противоречить конституции РФ. Наиболее важные положения по вопросам использования и охраны окружающей природной среды предусмотрены в нормах Конституции РФ. Провозглашение осуществление и защита предусмотренных в Конституции экологических прав физических и юридических лиц по поводу окружающей среды является одним из направлений развития конституционного права России. Нормы Конституции РФ можно разбить на две группы: первая непосредственно посвященная...