30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

68 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

689. Финансовый менеджмент, его основы и содержание 117 KB
  Сущность и функции финансов предприятий. Зарождение и эволюция финансового менеджмента. Финансовый механизм предприятия. Сущность, цель и задачи финансового менеджмента. Функциональное содержание финансового менеджмента.
690. Экспрессия гена. Трансляция 114.5 KB
  Регуляция экспрессии генов на уровне транскрипции у прокариот. Основные положения процесса экспрессии генов. Инициация у эукариот. Некоторые общие особенности процесса трансляции. Аппарат экспрессии генов и его логика.
691. Государственные и муниципальные организации. Формы государственного регулирования экономической жизни 115.5 KB
  Конкурсная организация государственной поддержки приоритетных направлений промышленной сферы. Формы государственного регулирования экономической жизни. Государство и рыночная инфраструктура. Два вида муниципальных организаций и их социальных функций.
692. Профілактика наркотичної залежності серед учнів, молоді у роботі соціального педагога 275 KB
  Наркотична залежність – як проблема соціальної педагогіки. Профілактика наркотизму як соціальна технологія. Робота соцального педагога з профілактики наркотичної залежності. Особливості і тенденції підліткової і юнацької наркоманії.
693. Отставание в психическом развитии 126.5 KB
  Оособенности мышления, речевого развития, игровой и учебной деятельности. Коррекционно-развивающее обучение детей с ЗПР. Олигофрения. Причины умственной отсталости. Обучение детей с умственной отсталостью.
694. Решение задачи коммивояжера 163.5 KB
  Описание реализация метода ветвей и границ и метода Монте-Карло при помощи средств объектно-ориентированного языка Java. Задача поиска кратчайшего гамильтонова цикла в полном графе. Процесс разбиения множеств на подмножества.
695. Кавказская война 1817-1864 годов 102.5 KB
  Деятельность А.П. Ермолова на Кавказе и формирование идеологии мюридизма. Основные этапы войны, имамат: военно-теократическое государство Шамиля. Завершающий этап Кавказской войны.
696. Заселение Северного Кавказа и политика Российской колонизации 103 KB
  Заселение земель Северного Кавказа калмыками и туркменами в 16-18 веках. Состояние горских обществ накануне российской колонизации: особенности феодальных отношений. Взаимоотношения народов Северного Кавказа с Россией в 16-17 веках, первые русские поселения. Политика России на Северном Кавказе в 18-первой половине 19 веков, возведение оборонительных линий и заселение казачеством северокавказских земель. Становление российской администрации на Северном Кавказе и добровольное присоединение северокавказских народов к России.
697. Использование графики в приложениях Windows Forms 108 KB
  Разработать приложение с графическим интерфейсом пользователя, которое позволяет рисовать заданную геометрическую фигуру в клиентской области главного окна, строит и отображает график заданной функции