30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

64 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37493. Философия педагогики. Учебное пособие для вузов 1.06 MB
  Она лаконично излагает системную суть философии культурологии психологии религиоведения развернуто дает этическую и эстетическую системы знаний в их неотрывной и прямой значимости для педагогической практики параллельно освещая проблемы образования и реальной жизни школы с установкой на их действительное и творческое решение. Философские аспекты образования и воспитания Философия как наука о всеобщих закономерностях жизни и мира является опорой для всех наук в познании изучаемых ими частных закономерностей это же касается педагогики....
37494. Философия Рене Декарта 32 KB
  Декарт сформулировал четыре правила: признавать истинными только ясные и отчетливые положения; расчленять сложную проблему на более простые менее сложные задачи; постепенно переходить от доказанного и известного к недоказанному и неизвестному; не допускать никаких пробелов в логической цепочке рассуждений. На это Декарт отвечал что нельзя полагаться на очевидность наших чувств как это делают эмпирики. Декарт пробует на самоочевидность тезисы о бытии мира Бога и нашего Я.
37495. Конспект лекций по курсу «Философия» для студентов заочной формы обучения 1.33 MB
  Философия как форма мировоззрения ее роль в жизни общества и человека. Бытие человека. В этой ситуации проблемы мировоззренческой ориентации человека осознание им своего места и роли в обществе цели и смысла социальной и личной активности ответственности за свои поступки и выбор форм и направлений своей деятельности становятся главными жизненными ценностями. В становлении и формировании мировоззренческой культуры человека философия всегда играла особую роль связанную с ее многовековым опытом...
37496. Философия. Учебник для вузов. В. В. Миронова 3.74 MB
  Природа человека. Происхождение человека и уникальность его бытия. Природа сущность и существование человека. Смысл жизни и назначение человека.
37497. Основные философские учения 1.95 MB
  Религиозноидеалистическая картина мира: эволюционный космизм тема 12 Природа человека и смысл его существования 12. Проблемы методологии научного познания в позитивизме и неопозитивизме тема 15 Современный философский иррационализм: решение проблем бытия познания человека и личности в различных школах и течениях 15. Вовторых мы считаем мудрым того кто способен познать трудное и нелегко постижимое для человека ведь воспринимание чувствами свойственно всем а потому это легко и ничего мудрого в этом нет. Но пожалуй труднее всего...
37498. ФИЛОСОФИЯ, ЛИТЕРАТУРА И ВОЕННАЯ СЛУЖБА. (отражение философских идей в литературно-художественном творчестве и военно-профессиональной деятельности офицера-ракетчика) 1.71 MB
  Сегодня к сожалению не так часто можно увидеть человека читающего книгу тем более философского содержания в транспорте на отдыхе Молодежь предпочитает иные источники информации электронные носители интернет плейеры айфоны забывая известную мудрость что всякое новое – хорошо забытое старое Свободный доступ к информации восприятие истины на веру без труда целенаправленное зомбироание сознания нового поколения поверхностное знание объективной реальности основанные на трафаретах клише массовой поликультуре порождают...
37499. Религиозная философия 46 KB
  Русская религиозная философия ориентирует человека на 1.становления человека 4.социализации человека 4.Гуманизм представляет собой философскую идею о томчто смысл бытия человекаэто 1.
37501. Философия. основные понятия 349 KB
  3 филое Отличается стремлением рационально объяснить мир. Философия как нкука ее предмет структура и фии. Первые фил. Фил.