30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

71 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22013. Позднее средневековье, или раннее новое время 140 KB
  К началу XVI в. Через французский и немецкий языки слово инженер проникло в Россию в XVII в. Но все же XVI век несмотря на многочисленные технические находки и нововведения еще не был отмечен подлинной технической и технологической революцией.
22014. Позднесредневековый Иран 62 KB
  Запустевшие и заброшенные земли были отданы на льготных условиях землевладельцам с обязательством заселить и обрабатывать их. Знать захватывала земли у мелких феодалов либо путем прямого захвата и насилия либо путем судебных процессов. участок обрабатываемый в течение сезона упряжкой волов мера земли разного размера для разных местностей в ср.000 федданов земли.
22015. Польские земли до XV вв. 115.5 KB
  В Польше некоторое ограничение крестьянских выходов были узаконено для всей Малой Польши Вислицким статутом Казимира III так как села пустеют то мы устанавливаем чтобы из одного села в другое вопреки желанию господина села в котором они живут могло перебраться не больше чем 12 кметя. Изданный одновременно для Великой Польши Пётрковский статут разрешал выход на рождество если за крестьянином не было недоимок. В христианизации Польши большую роль сыграла Чехия. Мешко в борьбе с Чехией овладел Силезией и частью Малой Польши.
22016. Польша в XVI-XVII вв. 89 KB
  В XVI в. Население Польши росло вплоть до середины XVII в. Судя по данным описей второй половины XVI в.
22017. Скандинавия до XV в. 127.5 KB
  Температура января в Северной Норвегии 0 7 в Южной и Центральной Швеции от 1 до 3. Климат морской в Норвегии Дании Исландии умеренно континентальный на большей части Швеции. Это было вызвано тем что доля территории Швеции и Норвегии это не касается Дании на которой можно вести земледельческое хозяйство невелика в Норвегии 3 в Швеции 9 в Исландии около 1 от площади страны. Полная деревня Швеции 48 дворов.
22018. Кальциевый насос животной клетки 208.5 KB
  Он выполняет важнейшую функцию активный перенос ионов кальция через мембраны клеток поддерживая тем самым низкую концентрацию этих ионов в клетке 107 М по сравнению с окружающей средой 3103 М. Введение В цитоплазме клеток концентрация ионов кальция составляет всего 50100 нМ 5108 1107 М тогда как в окружающей клетки среде она равна примерно 3 мМ 3103 М. Поддерживает эту разницу в концентрации на четыре порядка величины система активного транспорта ионов кальция главную роль в которой играет кальциевый насос ...
22019. Общая схема реакций 129.5 KB
  Кинетика окисления ионов Fe2 образование продуктов перекисного окисления липидов MDA и хемилюминесценции I в суспензии митохондрий к которой добавлены ионы двухвалентного железа момент введения показан стрелкой Vladimirov Yu. Кинетика окисления ионов Fe2 образование продуктов перекисного окисления липидов MDA и хемилюминесценции I в суспензии митохондрий к которой добавлены ионы двухвалентного железа момент введения показан стрелкой Vladimirov Yu. Кинетика процесса перекисного окисления обладает большой сложностью...
22020. Кинетика химических реакций 144.5 KB
  Зависимость изменения концентрации участников реакции т. субстратов и продуктов от времени называют кинетикой реакции. Итак повторим некоторые определения: Субстраты вещества вступающие в реакцию Продукты вещества образующиеся в результате реакции Промежуточные вещества продукты сразу же вступающие в новую реакцию Скорость реакции изменение концентрации одного из продуктов который рассматривается в качестве главного.
22021. Принцип метода ЭПР 488.5 KB
  Кроме свободнорадикальных состояний методом ЭПРисследуют триплетные состояния возникающие в ходе фотобиологических процессов. Пионерами применения ЭПР в биологических исследованиях в СССР были Л. Характеристики спектров ЭПР Амплитуда сигнала Сигнал ЭПР представляет собой первую производную от линии.