30563

Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .

Русский

2013-08-24

274 KB

71 чел.

8. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа

Доска:

Формулы и вычисления, используемые при ответе

Выступление:

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M0 f(M) (f(M0 f(M)).

      Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  :

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестнымих, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и 

Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D с Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(1)

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,…,xn; λ12,…,λk) = f(x1,x2,…,xn) +λ1 · F1(x1,x2,…,xn) +

λ2 · F2(x1,x2,…,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,…,xm).

(2)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (2).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x10,…,xn0; λ10,…,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,…,xn0) функции f(x1,x2,…,xn) при условиях связи (1), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Дополнительно:

Теорема - Дифференцирование сложных функций многих переменных. 

Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0, y0, z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Пример: Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии 

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция z = 2x + 3y в точке  имеет условный минимум, а при  следовательно функция

 z = 2x + 3y имеет в точке  условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47433. Учет в животноводстве ООО «ВПЕРЕД» Селивановского района Владимирской области 716 KB
  С помощью бухгалтерского учета получают достоверную и своевременную информацию необходимую для управления предприятием о выполнении планов по производству и реализации продукции ее себестоимости производительности труда уровню рентабельности. Увеличение объемов производства продукции животноводства и повышение эффективности отрасли важная задача сельскохозяйственных товаропроизводителей. Систематическое снижение затрат на производство продукции является предметом заботы всего коллектива сельскохозяйственной организации так как при этом...
47435. Онтогенез. Общие закономерности эмбриогенеза 35 KB
  Дробление. Дробление. Для изолецитальных яйцеклеток типично полное равномерное дробление. Полное неравномерное дробление характерно для телолецитальных яиц с умеренным содержанием желтка.
47436. Онтогенез. Общие закономерности эмбриогенеза. Провизорные органы хордовых 27.5 KB
  Группа анамнии и амниоты Образование провизорных органов зародышей позвоночных Плацента ее значение 1. Как только зародыш достигает необходимой степени зрелости когда большинство органов способны выполнять жизненно важные функции временные органы рассасываются или отбрасываются. Группа анамнии и амниоты Наличие или отсутствие амниона и других провизорных органов лежит в основе деления позвоночных на две группы: амниота и анамния. Они являются высшими позвоночными так как имеют скоординированные и высокоэффективные системы органов...
47437. Постэмбриональный период онтогенеза. Основные закономерности 34 KB
  Тема: Постэмбриональный период онтогенеза. Периодизация постэмбрионального периода онтогенеза Ювенильный период Периодизация постнатального онтогенеза у человека
47438. Принципы и механизмы регуляции онтогенеза 69.5 KB
  Механизмы онтогенеза Деление клеток Миграция клеток Сортировка клеток Гибель клеток Дифференцировка клеток Эмбриональная индукция Генетический контроль развития Деление клеток При делении клеток из зиготы одноклеточной стадии развития возникает многоклеточный организм. Деление клеток обеспечивает рост организма. Избирательное размножение клеток обеспечивает морфогенетические процессы.
47439. Регенерация. Регенерация как процесс поддержания морфофизиологической целостности биологических систем на уровне организма 37.5 KB
  Тема: Регенерация План. Регенерация как процесс поддержания морфофизиологической целостности биологических систем на уровне организма. Физиологическая регенерация Репаративная регенерация
47440. Гомеостаз и его проявление на разных уровнях организации биосистем 62.5 KB
  Понятие гомеостаза Основные компоненты гомеостаза. Системные механизмы гомеостаза. Эндокринные механизмы гомеостаза.
47441. Биологическая эволюция. Основы теории эволюции 89 KB
  Основы теории эволюции. Дарвина о механизмах эволюции живой природы. Синтетическая теория эволюции. Учение о микроэволюции