30564

Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.

Русский

2013-08-24

133.5 KB

8 чел.

1 сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:    u1, u2, …, un, 

Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un  - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде .  Сумма конечного числа n  первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  

Sn = u1 + u2 + … + un

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда, и говорят, что ряд сходится

Если  не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е. расходится.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде  или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала: 

n!=1234(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.;  (n+1)!=n!(n+1).  Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление   на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость  мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Гармонический ряд.

  Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
  Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

.

  Отсюда

,

или

,

или

.

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

  Складывая почленно эти неравенства, получим:

,

или

Sn>ln(n+1)


Но

,

а поэтому и

,

т.е. ряд (2) расходится.
  Ряд 
(2) называется гармоническим рядом.

Необходимый признак сходимости ряда 

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Следствие: 

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

 расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:  

расходится, хотя  (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

  (1)

 (2)

Первый признак сравнения:

Если для n  n0   un  vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n   n0   un    vn      и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел ,  то рассматриваемые ряды (1) и  (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1,  расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

 .  Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины  и  эквивалентны при n(, n), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

;  ;    и т.п

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:  

ряд сходится, если l<1;  ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда  с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда  положительны и не возрастают, т.е.  и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85048. Аварии на радиационно опасных объектах и их возможные последствия. Обеспечение радиационной безопасности населения 32.01 KB
  Аварии на радиационно опасных объектах и их возможные последствия. Обеспечение радиационной безопасности населения. Познакомить учащихся с понятиями радиационно опасный объект ионизирующее излучение радиоактивное загрязнение окружающей среды. Дать общее представление о последствиях аварий на радиационно опасных объектах и о влиянии ионизирующего излучения на организм человека.
85049. Аварии на химически опасных объектах Тамбовской области и их возможные последствия. Обеспечение химической защиты населения 33.32 KB
  Обеспечение химической защиты населения. Познакомить учащихся с общими мероприятиями проводимыми в стране и в регионе для защиты населения от химических аварий. Обобщить знания о средствах индивидуальной защиты и их защитных свойствах. Средства индивидуальной защиты и их защитные свойства.
85050. Гражданская оборона как составная часть национальной безопасности и обороноспособности страны 29.5 KB
  Сформировать у учащихся общее представление о гражданской обороне как составной части общегосударственной системы мероприятий по защите населения страны от опасностей мирного и военного времени. Познакомить с системой руководства гражданской обороной и основными правами и обязанностями граждан в области гражданской обороны. Изучаемые вопросы Предназначение и задачи гражданской обороны. Руководство гражданской обороной.
85051. МЧС России — федеральный орган управления в области защиты населения и территорий от чрезвычайных ситуаций 30.22 KB
  МЧС России федеральный орган управления в области защиты населения и территорий от чрезвычайных ситуаций Цель урока. Познакомить учащихся с МЧС России: предназначением структурой и основными задачами МЧС. Показать роль МЧС России в обеспечении защиты населения от чрезвычайных ситуаций. Изучаемые вопросы МЧС России его предназначение и структура.
85052. Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций 28.65 KB
  Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций Цель урока. Познакомить учащихся с мониторингом и прогнозированием чрезвычайных ситуаций как составной частью общей системы мер противодействия чрезвычайным ситуациям направленных на снижение риска возникновения чрезвычайных ситуаций и смягчение их последствий. Изучаемые вопросы Мониторинг чрезвычайных ситуаций и его предназначение. Основные методы прогнозирования чрезвычайных ситуаций.
85053. Инженерная защита населения и территорий от чрезвычайных ситуаций 29.7 KB
  Инженерная защита населения и территорий от чрезвычайных ситуаций Цель урока. Познакомить учащихся с комплексом мероприятий касающихся инженерной защиты населения и территорий от чрезвычайных ситуаций. Изучаемые вопросы Инженернотехнические мероприятия по защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций. Отметить что высокую эффективность в защите населения территорий и населенных пунктов имеют инженернотехнические мероприятия по защите от неблагоприятных и опасных природных явлений и процессов предусматривающие возведение и...
85054. Оповещение населения о чрезвычайных ситуациях и эвакуация 31.19 KB
  Оповещение населения о чрезвычайных ситуациях и эвакуация Цель урока. Обобщить знания учащихся о системе оповещения населения страны о чрезвычайных ситуациях познакомить их с основными направлениями совершенствования системы оповещения населения о чрезвычайных ситуациях. Изучаемые вопросы Система централизованного оповещения населения о чрезвычайных ситуациях. Локальная система оповещения населения о чрезвычайных ситуациях.
85055. Аварийно-спасательные и другие неотложные работы в очагах поражения 30.84 KB
  Аварийноспасательные и другие неотложные работы в очагах поражения Цель урока. Познакомить учащихся с основным содержанием аварийноспасательных и других неотложных работ АС ДНР обратить внимание на предназначение аварийноспасательных и неотложных работ познакомить учащихся с основными видами обеспечения АС ДНР. Изучаемые вопросы Аварийноспасательные работы и их предназначение. Основные виды обеспечения аварийноспасательных и других неотложных работ.
85056. Здоровье человека - как индивидуальная, так и общественная ценность 30.15 KB
  Здоровье человека как индивидуальная так и общественная ценность Цель урока. Систематизировать знания учащихся о здоровье человека как об индивидуальной и общественной ценности об основных составляющих здоровья и факторах на него влияющих. Сформировать убеждение что каждый человек сохраняя и укрепляя свое личное здоровье вносит вклад в укрепление общественного здоровья. Факторы оказывающие влияние на здоровье.