30564

Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.

Русский

2013-08-24

133.5 KB

8 чел.

1 сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:    u1, u2, …, un, 

Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un  - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде .  Сумма конечного числа n  первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  

Sn = u1 + u2 + … + un

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда, и говорят, что ряд сходится

Если  не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е. расходится.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде  или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала: 

n!=1234(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.;  (n+1)!=n!(n+1).  Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление   на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость  мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Гармонический ряд.

  Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
  Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

.

  Отсюда

,

или

,

или

.

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

  Складывая почленно эти неравенства, получим:

,

или

Sn>ln(n+1)


Но

,

а поэтому и

,

т.е. ряд (2) расходится.
  Ряд 
(2) называется гармоническим рядом.

Необходимый признак сходимости ряда 

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Следствие: 

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

 расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:  

расходится, хотя  (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

  (1)

 (2)

Первый признак сравнения:

Если для n  n0   un  vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n   n0   un    vn      и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел ,  то рассматриваемые ряды (1) и  (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1,  расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

 .  Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины  и  эквивалентны при n(, n), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

;  ;    и т.п

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:  

ряд сходится, если l<1;  ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда  с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда  положительны и не возрастают, т.е.  и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42453. ИССЛЕДОВАНИЕ ФЛАНЦЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ С ПЛОСКИМИ ПРОКЛАДКАМИ 139.5 KB
  Задачи исследования: изучение действующих на фланцы усилий и соотношений между ними; теоретическое определение коэффициента жесткости фланцевого соединения; расчет необходимых усилия затяжки болтов при сборке соединения; теоретическое определение усилия действующего на фланцы в рабочих условиях; сборка фланцевого соединения экспериментальной установки с фиксированным усилием затяжки болтов; экспериментальное определение усилий действующих на фланцы при различных режимах нагружения; экспериментальное определение...
42454. РЕГУЛЯЦИЯ РАБОТЫ СЕРДЦА 36.08 KB
  Регуляторные механизмы, обеспечивающие приспособительные (адаптационные) изменения деятельности сердца. Интракардиальная регуляция работы сердца. Экстракардиальная регуляция работы сердца.
42455. WORD. Создание сортовой оборотной ведомости 114 KB
  Оформить заголовок текста задания с помощью программы Wordrt Ввести текст оформив заголовки в тексте стилями Заголовок 1 Заголовок 2. Оформить первый абзац текста буквицей см. справочную систему Документ разбить на две страницы с указанием нумерации страниц Поместить в текст произвольный рисунок выполненный с помощью приложения Pint.
42456. Исследование типовых звеньев 300 KB
  Yt=kxt Ws=k Рисунок Безынерционное звено k=5 – коэффициент усиления Рисунок 1. Отклики на единичный скачек Рисунок 1.3 Отклики на единичный импульс Рисунок 1.4 Частотные характеристики Рисунок 1.
42457. Изучение равноускоренного движения 81 KB
  Цель работы: изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка силы трения как источника систематической погрешности при определении ускорения свободного падения на лабораторной установке. Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t я затем из формулы h=gt2 2 вычислить g. Основная задача которая стоит перед экспериментатором при определении ускорения свободного падения g описываемым методом состоит в выборе...
42458. Изучение электроизмерительных приборов 189.5 KB
  Производят электроизмерительными приборами. Механическое усилие развиваемое механизмом электроизмерительного прибора отклоняет стрелку на угол пропорциональный измеряемой величине вращает диск счётчика или перемещает перо самописца по бумажной ленте фиксируя результаты измерения. Результаты измерений в них индуцируются в виде светящихся цифр на табло прибора. Градуировку и поверку рабочих приборов производят по образцовым приборам.