30564

Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.

Русский

2013-08-24

133.5 KB

10 чел.

1 сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:    u1, u2, …, un, 

Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un  - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде .  Сумма конечного числа n  первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  

Sn = u1 + u2 + … + un

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда, и говорят, что ряд сходится

Если  не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е. расходится.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде  или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала: 

n!=1234(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.;  (n+1)!=n!(n+1).  Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление   на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость  мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Гармонический ряд.

  Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
  Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

.

  Отсюда

,

или

,

или

.

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

  Складывая почленно эти неравенства, получим:

,

или

Sn>ln(n+1)


Но

,

а поэтому и

,

т.е. ряд (2) расходится.
  Ряд 
(2) называется гармоническим рядом.

Необходимый признак сходимости ряда 

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Следствие: 

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

 расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:  

расходится, хотя  (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

  (1)

 (2)

Первый признак сравнения:

Если для n  n0   un  vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n   n0   un    vn      и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел ,  то рассматриваемые ряды (1) и  (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1,  расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

 .  Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины  и  эквивалентны при n(, n), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

;  ;    и т.п

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:  

ряд сходится, если l<1;  ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда  с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда  положительны и не возрастают, т.е.  и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46212. Гальперин Петр Яковлевич 14.83 KB
  Гальперин Петр ЯковлевичК ВОПРОСУ ОБ ИНСТИНКТАХ У ЧЕЛОВЕКАПризнание инстинктов у человека с необходимостью ведет к заключению что основные движущие силы поведения у человека и животных одинаковы и культура общества составляет лишь окольный разрешенный обществом путь для удовлетворения тех же животных инстинктов что и утверждал Фрейд.Если бы поведение человека диктовалось инстинктами так же как у животных то общество может быть и сохранило бы право устрашения за проступки но потеряло бы право их морального осуждения; в этом случае и...
46213. Конституция СССР 1977 г 14.8 KB
  Конституция СССР 1977 г. Конституция СССР была принята на внеочередной сессии Верховного Совета СССР 7 октября 1977 г. Особенности Конституции СССР 1977 г. Конституционные основы СССР: 1 политическая: СССР социалистическое общенародное государство выражающее волю и интересы всех рабочих классов; 2 экономическая: социалистическая собственность государственная на средства производства и землю; 3 социальная: нерушимый союз рабочих крестьян интеллигенции.
46214. Виды стоимости земельных участков 14.76 KB
  При определении инвестиционной стоимости в отличие от определения рыночной стоимости учет возможности отчуждения по инвестиционной стоимости на открытом рынке не обязателен. В отличие от рыночной стоимости которая является результатом сделки между продавцом и покупателем имеющими типичную мотивацию инвестиционная стоимость зависит от индивидуальных требований к инвестициям предъявляемых конкретным инвестором. Основными целями расчета инвестиционной стоимости при оценке недвижимости являются: инвестиционная стоимость играющая ключевую...
46215. THE ARTICLE 14.75 KB
  There re two rticles in English: the definite rticle the [ði:] nd the indefinite rticle [ei]. The notion of definiteness indefiniteness determines the importnt role of the rticle in the process of communiction. The definite rticle usully presents the notion s something lredy known wheres the indefinite rticle introduces new item of informtion.
46216. Определение износа при оценке недвижимости 14.74 KB
  При принятии управленческих решений об использовании объектов недвижимости важное место занимает определение степени физического износа самого объекта. Затраты на проведение ремонтных работ могут быть очень значительными и их порядок может совпадать со стоимостью всего объекта поэтому детальное и обоснованное определение величин износа объекта и его составных частей представляет собой важную задачу которую необходимо решить при проведении оценки стоимости недвижимости. В силу конструктивных особенностей объектов недвижимости и изза...
46218. Земля как объект экономической оценки 14.67 KB
  С экономической точки зрения оценка земли или оценка земельного участка это результат систематизированного сбора и анализа данных которые необходимы для точного определения стоимости земель различного целевого назначения в соответствии с действующим законодательством[1].Как правило когда заходит речь об оценки земли требуется определить либо рыночную стоимость земельного участка либо рыночную стоимость права аренды земельного участка. Очевидно что оценка земельных участков в первую очередь зависит от его местоположения и влияния...
46220. В.В.Давыдов «Современное состояние научной школы Выготского» 14.63 KB
  Лурия показал существенное значение языка для возникновения и развития человеческого сознания. Лидия Ильинична очень многое восприняла от Выготского в понимании того в чем коренятся закономерности развития личности детей. Основной главной идеей научной школы Эльконина является идея историзма детского психического развития. Даниил Борисович в своей периодизации человеческого развития выдвинул гипотезу о том что возникает подростковый возраст.