30564

Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.

Русский

2013-08-24

133.5 KB

10 чел.

1 сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:    u1, u2, …, un, 

Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un  - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде .  Сумма конечного числа n  первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  

Sn = u1 + u2 + … + un

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда, и говорят, что ряд сходится

Если  не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е. расходится.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде  или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала: 

n!=1234(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.;  (n+1)!=n!(n+1).  Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление   на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость  мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Гармонический ряд.

  Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
  Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

.

  Отсюда

,

или

,

или

.

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

  Складывая почленно эти неравенства, получим:

,

или

Sn>ln(n+1)


Но

,

а поэтому и

,

т.е. ряд (2) расходится.
  Ряд 
(2) называется гармоническим рядом.

Необходимый признак сходимости ряда 

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Следствие: 

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

 расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:  

расходится, хотя  (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

  (1)

 (2)

Первый признак сравнения:

Если для n  n0   un  vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n   n0   un    vn      и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел ,  то рассматриваемые ряды (1) и  (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1,  расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

 .  Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины  и  эквивалентны при n(, n), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

;  ;    и т.п

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:  

ряд сходится, если l<1;  ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда  с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда  положительны и не возрастают, т.е.  и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29601. Массовая коммуникация в современном обществе: функциональный подход 15.29 KB
  Если это осуществляется в деятельности СМИ то таким образом ими реализуется важнейшая социальная функция интеграционная.фии МК: 1 обозрение окружающего мира: медиа расширяют горизонты познания индивида информационная функция; 2 корреляция с социальной структурой и ответственностью общества воздействие на него и его познание через обратную связь корреляционная функция проявляющаяся также в объяснении и интерпретации информационных сообщений в обеспечении поддержки существующим властям и господствующим нормам; 3 трансмиссия...
29602. Массовая коммуникация в современном обществе 17.28 KB
  Информационная функция: информирование о событиях и условиях жизни в обществе и мире; информационное обеспечение инновационных процессов; II. Функция социальной связи: интерпретация происходящего; поддержка существующих норм и властных отношений; социализация; координация разнонаправленной социальной активности формирование общественного согласия; III. Функция обеспечения преемственности: выражение образцов доминирующей культуры узнавание субкультур новых культурных направлений; поддержание общности социальных ценностей; IV....
29603. Основные теории коммуникации. Основные персоналии в мире теории и социологии массовой коммуникации 17.09 KB
  Основные теории коммуникации. Основные персоналии в мире теории и социологии массовой коммуникации. Коммуникации: по типу отношений: межличностная групповая массовая; по типу использования семиотических средств: речевая паралингвистическая вещественнознаковая. Существование социума невозможно без коммуникации.
29604. СМК делятся на СМИ, слухи и наружную рекламу 18.05 KB
  СМК делятся на СМИ слухи и наружную рекламу 1. Слухи оказывают большое влияние на формирование общественного мнения благодаря обсуждению в малых приватных группах без освещения в СМИ. СМИ являются основным видом массовых коммуникаций т. СМИ безличные средства доставки информации потребителю.
29605. Функции СМК в массовом обществе. Характеристики СМК как основного рекламоносителя 16.67 KB
  Функции СМК в массовом обществе. Характеристики СМК как основного рекламоносителя Деятельность СМК организуется и управляется специальными учреждениями редакциями теле и радиокомпаниями и др. СМК выступает в двуединой роли: как институт участвующий в процессе формирования целей развития общества обеспечивая его стабильность и как механизм их актуализации. Массмедиа служат неотъемлемой составной частью механизма осуществления роли СМК в жизни социума.
29606. Механизмы осуществления роли СМК в жизни социума. Деятельность СМК как реализация интересов разных социальных субъектов 13.38 KB
  Деятельность СМК как реализация интересов разных социальных субъектов. Деятельность СМК организуется и управляется специальными учреждениями редакциями теле и радиокомпаниями и др. СМК выступает в двуединой роли: как институт участвующий в процессе формирования целей развития общества обеспечивая его стабильность и как механизм их актуализации.
29607. Специфика функций СМК как следствие различных выразительных средств 14.88 KB
  Систематизация выразительных средств Выразительные средства СМК являются носителями информационного сообщения содержания. Количество выразительных средств применяемых на практике непрерывно возрастает. Выбор выразительных средств осуществляется с учетом цели сообщения то есть основное внимание уделяется содержанию послания однако его форма то есть средство выражения играет важную роль.
29608. Мифология в коммуникации. СМИ как субъект смыслопостроения 14.72 KB
  Карлова: Мы внутри мифа. 2 природы: иллюзорность для наблюдателя извне это мир абсурда и реальность для носителя мифа. У мифа есть жизненные этапы от рождения до смерти. открытие мифа 2.
29609. Внушение и манипуляция: технологии и методики применения в деятельности средств массовой информации 21.31 KB
  Внушение это метод психологического воздействия на сознание личности или группы людей основанный на некритическом и часто неосознанном восприятии информации. При внушении сначала происходит восприятие информации содержащей готовые выводы а затем на ее основе формируются мотивы и установки определенного поведения. В процессе внушения интеллектуальная аналитикосинтезирующая активность сознания либо отсутствует либо она значительно ослаблена а восприятие информации настроений чувств шаблонов поведения базируется на механизмах...