30564

Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.

Русский

2013-08-24

133.5 KB

8 чел.

1 сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:    u1, u2, …, un, 

Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un  - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде .  Сумма конечного числа n  первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  

Sn = u1 + u2 + … + un

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда, и говорят, что ряд сходится

Если  не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е. расходится.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде  или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала: 

n!=1234(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.;  (n+1)!=n!(n+1).  Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление   на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость  мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Гармонический ряд.

  Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
  Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

.

  Отсюда

,

или

,

или

.

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

  Складывая почленно эти неравенства, получим:

,

или

Sn>ln(n+1)


Но

,

а поэтому и

,

т.е. ряд (2) расходится.
  Ряд 
(2) называется гармоническим рядом.

Необходимый признак сходимости ряда 

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Следствие: 

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

 расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:  

расходится, хотя  (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

  (1)

 (2)

Первый признак сравнения:

Если для n  n0   un  vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n   n0   un    vn      и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел ,  то рассматриваемые ряды (1) и  (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1,  расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

 .  Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины  и  эквивалентны при n(, n), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

;  ;    и т.п

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:  

ряд сходится, если l<1;  ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда  с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда  положительны и не возрастают, т.е.  и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12439. Использование сервисов сети интернет для публикации видеофайлов 51.5 KB
  Лабораторная работа Тема: Использование сервисов сети интернет для публикации видеофайлов. Цель: Познакомиться с основными сервисами по размещению и публикации видеофайлов в сети интернет. Научиться размещать видеоролики в сети интернет на основных видеохостингах: ...
12440. Организация и проведение мероприятий по защите персональных данных 176.39 KB
  Практическая работа Тема Организация и проведение мероприятий по защите персональных данных Цель работы: научиться организовывать мероприятия по защите ПДн. Разрабатывать документацию по защите ПДн. Введение В соответствии с пунктом 1 статьи 16 Федерально
12441. Размещение сайта на хостинге в сети Интернет 272.22 KB
  Лабораторная работа № 9 Тема: Размещение сайта на хостинге в сети Интернет Цель: Познакомиться с сервисами размещения сайта в сети интернет. Научиться размещать сайт на бесплатном сервисе narod.ru Ход выполнения работы: 1. Введение Знакомство с Интернетом часто начин...
12442. Запись информации на компакт диск 1015.91 KB
  Лабораторная работа № 4 Тема: Запись информации на компакт диск Цель: Научиться записывать информацию на компакт диск. Ход выполнения работы 1. Общая информация Запись CD производится только на компьютерах имеющих записывающее CD/DVD устройство имеет надпись ...
12443. Создание медиатеки. Использование программы Picasa 17.27 KB
  Лабораторная работа № 2 Тема: Создание медиатеки. Использование программы Picasa. Цель: Научиться использовать программу Picasa для поиска и организованного размещения фотографий на персональном компьютере. Научиться использовать программу для создания коллажа из фотогра...
12444. Создание, структурирование и организация мультимедийной информации спомощью программы iTunes 229.42 KB
  Лабораторная работа № 3 Тема: Создание структурирование и организация мультимедийной информации спомощью программы iTunes. Цель: Научиться организовывать структурированное хранение мультимедийной информации используя возможности программы iTunes. Ход выполнения ра...
12445. Размещение файлов в файловых хранилищах сети Интернет 1.14 MB
  Практическая работа Тема: Размещение файлов в файловых хранилищах сети Интернет. Цель: Научиться рационально использовать интернетсервисы размещения и хранения файлов. Ход выполнения работы. Пользователь не раз сталкивается с ситуацией когда нужного файла н...
12446. Основные методы восстановления операционной системы 39.71 KB
  Лабораторная работа Тема: Основные методы восстановления операционной системы Цель: Научиться производить резервное архивирование и восстановление операционной системы. Ход выполнения работы: Теоретические сведения. Резервное копирование Многие про...
12447. Создание резервных копий 144.33 KB
  Лабораторная работа № 9 Тема: Создание резервных копий. Цель: научиться выполнять архивирование данных и пользоваться службой восстановления системы.Средства для выполнения работы: аппаратные: компьютер с установленной ОС Windows XP. программные: приложения ВМ: ...