30564

Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.

Русский

2013-08-24

133.5 KB

8 чел.

1 сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов

Определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:    u1, u2, …, un, 

Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un  - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел

Числовой ряд часто записывается в виде .  Сумма конечного числа n  первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  

Sn = u1 + u2 + … + un

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда, и говорят, что ряд сходится

Если  не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е. расходится.

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде  или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала: 

n!=1234(n-1)n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.;  (n+1)!=n!(n+1).  Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=246(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).

(2n+1)!!=135(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление   на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость  мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Гармонический ряд.

  Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.
  Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

.

  Отсюда

,

или

,

или

.

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

  Складывая почленно эти неравенства, получим:

,

или

Sn>ln(n+1)


Но

,

а поэтому и

,

т.е. ряд (2) расходится.
  Ряд 
(2) называется гармоническим рядом.

Необходимый признак сходимости ряда 

(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Следствие: 

если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:

 расходится

Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:  

расходится, хотя  (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

  (1)

 (2)

Первый признак сравнения:

Если для n  n0   un  vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n   n0   un    vn      и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел ,  то рассматриваемые ряды (1) и  (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1,  расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

 .  Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины  и  эквивалентны при n(, n), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

;  ;    и т.п

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:  

ряд сходится, если l<1;  ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда  с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда  положительны и не возрастают, т.е.  и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46781. Защита экологических прав граждан в судах общей юрисдикции 30.25 KB
  Особенности правового режима животного мира Юридическое понятие животного мира определено в Федеральном законе О животном мире. Отношения в области охраны и использования объектов животного мира содержащихся в полувольных условиях или искусственно созданной среде обитания в целях сохранения ресурса и генетического фонда объектов животного мира и в иных научных и воспитательных целях регулируются названным Федеральным законом другими федеральными законами и иными нормативными правовыми актами РФ а также законами и нормативными правовыми...
46783. Экономический рост – обобщающий результат функционирования национальной экономики 31.64 KB
  Экономическая наука выделяет два основных типа экономического роста: экстенсивный и интенсивный. Главное здесь совершенствование технологии производства повышение основных факторов производства. В экономической теории существуют два основных типа равновесных моделей экономического роста: неоклассические и неокейнсианские. В макроэкономической теории выделяются два основных типа равновесных траекторий экономического роста: устойчивые и неустойчивые.
46786. Imperative sentences 30.5 KB
  Impertive sentences express commnds which convey the desire of the speker to mke someone generlly the listener perform n ction. Besides commnds proper impertive sentences my express prohibition request n invittion wrning persusion etc. Be quick Formlly commnds re mrked by the predicte verb in the impertive mood positive or negtive the reference to the second person lck of subject nd the use of the uxiliry do in negtive in emphtic sentences with the verb to be. Commnds re generlly chrcterized by the flling tone lthough the rising...
46789. Системное и смысловое строение сознания 30.5 KB
  Системное и смысловое строение сознания. Выготский определил область своего исследования как вершинную психологию психологию сознания. Согласно ему становление сознания является существенной линией развития человека. Под системным строением сознания Выготский понимал своеобразное отношение отдельных функций друг к другу то есть то что на каждой возрастной ступени определенные функции стоят в известном отношении друг к другу образуют определенную систему сознания.