30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: – равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: – равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

41 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45941. Назначение и виды валов и осей. Типы соединения вала с установленными на нем деталями. Технические требования к рабочим поверхностям вала. Расчет вала на прочность по напряжению изгиба и кручения 28.5 KB
  Валы в отличие от осей предназначены для передачи вращающих моментов и в большинстве случаев для поддержания вращающихся вместе с ними относительно подшипников различных деталей машин. Валы несущие на себе детали через которые передается вращающий момент воспринимают от этих деталей нагрузки и следовательно работают одновременно на изгиб и кручение. При действии на установленные на валах детали осевых нагрузок валы дополнительно работают на растяжение или сжатие. Прямые валы в зависимости от...
45942. Муфты. Виды соединительных муфт. Особенности их назначения и эксплуатации 28.5 KB
  Муфты. Муфты приводов осуществляют соединение валов концы которых подходят один к другому вплотную или разведены на небольшое расстояние причем соединение должно допускать передачу вращающего момента от одного вала к другом. Муфты приводов подразделяются на четыре класса Класс 1 нерасцепляемые муфты в которых ведущая и ведомая полумуфты соединены между собой постоянно. Класс 2 управляемые муфты позволяющие сцеплять и расцеплять ведущий и ведомый валы как во время их остановки так и во время работы на ходу.
45943. Подшипники скольжения. Виды подшипников по назначению и воспринимаемой нагрузке. Типовые элементы конструкции. Материалы вкладышей 29 KB
  В зависимости от рода трения в подшипнике различают подшипники скольжения в которых опорная поверхность оси или вала скользит по рабочей поверхности подшипника и подшипники качения в которых развивается трение качения благодаря установке шариков или роликов между опорными поверхностями оси или вала и подшипника. В зависимости от направления воспринимаемой нагрузки подшипники скольжения различают: радиальные для восприятия радиальных т. При одновременном действии на ось или вал радиальных и осевых нагрузок обычно применяют сочетание...
45944. Подшипники качения. Классификация и краткая характеристика их применяемости. Расчетная долговечность и коэффициент работоспособности 28.5 KB
  Методы регулировки зазора в подшипниках качения. Подшипники качения состоят из наружного и внутреннего колец с дорожками качения; шариков или роликов которые катятся по дорожкам качения колец; сепаратора разделяющего и направляющего шарики или ролики что обеспечивает их правильную работу. По форме тел качения различают шариковые и роликовые подшипники.
45945. Основные типы деформации деталей машин и примеры их реализации 36 KB
  Основные типы деформации деталей машин и примеры их реализации Деформация это изменение формы и размера тела после приложения внешних нагрузок. Деформация зависит от характера приложенной нагрузки. Обычно деформация кручения сопровождается другими деформациями например изгибом; 5 изгиб возникает при действии на деталь сосредоточенной или распределённой сил перпендик. Сила Ft= ; Ft деформация кручения Frизгиб балки.
45947. Чугуны: классификация, маркировка, химический состав, механические и технологические свойства, применение 23.06 KB
  Чугуны нашли широкое применение в качестве машиностроительных материалов благодаря сочетанию высоких литейных свойств достаточной прочности износостойкости а так же относительной дешевизны. Чугуны используются для производства качественных отливок сложной формы станины станков корпуса приборов и т. В зависимости от того в какой форме присутствует углерод в сплаве чугуны подразделяются на белый серый ковкий высокопрочный и легированный обладающий особыми свойствами жаропрочностью антифрикционностью и т. Белые литейные чугуны.
45948. Конструкционные стали: классификация, маркировка, химический состав, механические и технологические свойства, применение 50.2 KB
  Конструкционные стали: классификация маркировка химический состав механические и технологические свойства применение. Широкое использование стали в промышленности обусловлено сочетанием комплекса механических физикохимических и технологических свойств. Сталью называются сплавы железа с углеродом и некоторыми другими элементами причем углерода в стали должно содержаться меньше 214 . Постоянными примесями в стали являются: кремний до 04 марганец до 08 сера до 005 фосфор до 005 и газы NOH и др.
45949. Инструментальные стали: классификация, маркировка, свойства, применение 24.34 KB
  Инструментальные стали: классификация маркировка свойства применение. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СТАЛИ. Инструментальные стали предназначены для изготовления режущего измерительного инструмента и штампов холодного и горячего деформирования. Основные свойства которыми должны обладать инструментальны стали: износостойкость прочность при удовлетворительной вязкости теплостойкость прокаливаемость и хорошая обрабатываемость давлением и резанием.