30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

46 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14707. Оценка качества систем регулирования 47.5 KB
  Лабораторная работа №1 Тема: Оценка качества систем регулирования Цель работы: Изучение косвенных оценок качества переходных процессов в системе регулирования по амплитудночастотной характеристике замкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы...
14708. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ГАЗАХ И ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ 519 KB
  Лабораторная работа №7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ГАЗАХ И ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ Цель работы Определение скорости звука и показателя адиабаты для воздуха методом стоячей волны. Описание экспериментальной ус...
14709. Исследования температурной зависимости электропроводности невырожденных полупроводников 91.04 KB
  Лист ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 4 Исследования температурной зависимости электропроводности невырожденных полупроводников по дисциплине Физика твердого тела Цель работы Изучение физических явлений и закономерностей в невыр...
14710. Измерение удельного заряда электрона методом магнетрона 38 KB
  ОТЧЕТ По лабораторной работе №28 Измерение удельного заряда электрона методом магнетрона 1.Расчетная формула для определения удельного заряда электрона с пояснениями смысла величин входящих в нее. Ua разность потенциалов между катодом и анодом. L длина соле...
14711. Определение ёмкости конденсатора при помощи баллистического гальванометра 131 KB
  Отчет по лабораторной работе № 18в Определение ёмкости конденсатора при помощи баллистического гальванометра. 1. Расчетные формулы: среднее значение баллистической постоянной; ёмк
14712. Изучение магнитного поля соленоида баллистическим методом 50.5 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе № 18б Изучение магнитного поля соленоида баллистическим методом Расчетные формулы: где k баллистическая постоянная гальванометра; С постоянная; N2 число витков катушки L2; R2=RкRмRг сумма соп
14713. Определение ЭДС источника тока компенсационным методом 33.5 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе №13 Определение ЭДС источника тока компенсационным методом 1. Расчётная формула для определения величины x где ЭДС эталонного источника тока; компенсирующие длины реохорда. 2. Схема электрической цепи 3. Средств...
14714. Определение сопротивления проводников методом моста Винтстона 60.5 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе № 12 Определение сопротивления проводников методом моста Винтстона 1. Расчетные формулы: Формулы для расчёта величина Rx: Rx = R2 ; где R2 известное сопротивление подбираемое для каждо...