30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

46 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16266. Измерение параметров телевизионного тракта с помощью испытательных сигналов 2.15 MB
  Лабораторная работа №10 Измерение параметров телевизионного тракта с помощью испытательных сигналов Цель работы: Определение параметров телевизионного тракта с помощью испытательных сигналов. Научиться пользоваться генератором Г635. ...
16267. Телевизионные испытательные строки 1.01 MB
  Телевизионные испытательные строки Тракт телевизионного вещания очень специфичен: он отличается большой протяженностью и включает в себя огромное количество оборудования обслуживаемого различными службами. В тоже время необходимо знать характеристики не только
16268. Исследование кодера MPEG-2 552.3 KB
  Лабораторная работа №6.1 Исследование кодера MPEG2 1 Цель работы: Ознакомиться с назначением и характеристиками кодера PBI DCH3000EC 40. Ознакомиться с составом и назначением интерфейсов кодера PBI DCH3000EC 40. Ознакомиться с типовой схемой включения кодера PBI DCH3000EC 40. ...
16269. Исследование элементов синхрогенератора 610.5 KB
  Лабораторная работа №2 Исследование элементов синхрогенератора 1 Цель работы: Изучить принцип работы и выходные сигналы синхрокомплекта ПБ99. Исследовать форму и структуру сигналов на выходе синхрогенератора. 2 Литература: 2.1. Колин К....
16270. Исследование устройства декодирующего системы SECAM 681.5 KB
  Лабораторная работа №4 Исследование устройства декодирующего системы SECAM 1 Цель работы: Изучить принцип работы МЦ и СМЦ. Снять осциллограммы в контрольных точках. Сделать выводы о работоспособности блоков. 2 Литература: 2.1 Джакония...
16271. Исследование устройства кодирующего системы SЕCАМ 808 KB
  Лабораторная работа №3 Исследование устройства кодирующего системы SЕCАМ 1 Цель работы: Изучить состав устройства кодирующего ПБ29. Получить практические навыки по работе с устройством кодирующим. 2 Литература: 2.1 Джакония В.Е. Телевиде...
16272. Исследование спектра сигнала спутника Hot Biord 1.7 MB
  Лабораторная работа №4 Исследование спектра сигнала спутника Hot Biord 1 Цель работы: 1.1 Научиться пользоваться спутниковым ресивером. 1.2 Научиться настраиваться на выбранный транспондер и фиксировать его в памяти прибора DL4. 1.2 Научиться заносить данные прибора в ...
16274. Стандарт цифрового телевидения 4:2:2 290 KB
  Лабораторная работа №8 Стандарт цифрового телевидения 4:2:2 1 Цель работы: 1.1 Изучить метод аналогоцифрового преобразования в стандарте 4:2:2. 2 Литература: 2.1 Приложение А. 2.2 Приложение Б. 3 Подготовка к работе: 3.1 Повторить теоретический материал по стандар