30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

46 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38573. Разработка брендбука новой организации (на примере кофейни «Coffee Shop») 348 KB
  Понятия брендбука и фирменного стиля.2 Разработка фирменного стиля кофейни Coffee Shop.3 Оценка эффективности разработанного фирменного стиля и брендбука. Однако мало просто разработать фирменный стиль для достижения максимального взаимодействия между рекламистами маркетологами дизайнерами и прочими сотрудниками необходимо создать документ содержащий в себе основные константы фирменного стиля макеты рекламной и сувенирной продукции а так же объектов документооборота.
38574. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПО ОБСЛУЖИВАНИЮ КЛИЕНТОВ СОЛ «РОВЕСНИК» 2.8 MB
  Язык программирования Object Pscl Среда разработки Delhi 7 СУБД SQL Нормативно-техническая документация Перечень вопросов подлежащих разработке Анализ требований Изучение и анализ предметной области задачи Разработка функциональной модели Как есть Разработка функциональной модели Как надо Обзор существующих решений Разработка технического задания Проектирование системы Построение логической модели БД Построение физической модели БД Разработка проекта системы...
38575. Исследование зрительной памяти дошкольников с интеллектуальной недостаточностью 10.18 MB
  ГЕРЦЕНА факультет коррекционной педагогики кафедра олигофренопедагогики Иванова Алёна Анатольевна Исследование зрительной памяти дошкольников с интеллектуальной недостаточностью. Литературный обзор проблемы формирования зрительной памяти у детей с интеллектуальной недостаточностью в психологопедагогической литературе 730 1.Вопросы изучения зрительной памяти в специальной литературе.Особенности нарушений зрительной памяти у детей дошкольного возраста с интеллектуальной недостаточностью .
38576. УДОСКОНАЛЕННЯ ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ НА ДП «САРНЕНСЬКЕ ЛІСОВЕ ГОСПОДАРСТВО» 1.81 MB
  Комплексний аналіз діяльності підприємства.46 Аналіз фінансового стану підприємства.46 Аналіз персоналу підприємства58 Аналіз виробничого процесу на ДП Сарненське лісове господарство. Ринкова економіка формує нові вимоги до підприємства і його працівників.
38577. Анализ и совершенствование комплекса маркетинга на многофункциональном предприятии ООО Альфа Спа группа компаний ВНИИМИ 1.82 MB
  В комплекс маркетинга входит все, что фирма может предпринять для оказания воздействия на спрос своего товара. Многочисленные возможности можно объединить в четыре основные группы: товар, цена, методы распространения и стимулирования. Это четыре ключевых параметра, по которым и анализируется деятельность предприятия.
38578. Процессы формирования логистической стратегии управления закупками ООО «Политех-Инструмент» 1.61 MB
  От эффективной организации и управления процессом закупок во многом зависит финансовый успех большинства компаний работающих как в сфере производства так и в сфере услуг поскольку рациональное планирование величины закупок и запасов материальных ресурсов оказывает прямое влияние на цели стратегии компании и результаты ее выполнения. В процессе функционирования предприятия могут возникать дефициты запасов материальных ресурсов сырья материалов полуфабрикатов. Таким образом рациональное планирование величины закупок и запасов...
38579. Удосконалення механізму конкурентоспроможності послуг на транспортному підприємстві на прикладі служби перевезень Південної залізниці 964.5 KB
  Масивність перевезень їх відносно низька собівартість мала енергоємність висока регулярність і швидкість доставки вантажів та пасажирів забезпечення своєчасного звязку між регіонами і СНД та інші фактори вимагають ретельної уваги до роботи транспорту особливо в сучасних умовах господарювання. Досягнення цієї мети вимагає рішення наступних завдань: розглянути узагальнену характеристику механізму конкурентоспроможності транспортних підприємств; розглянути сутність конкурентоспроможності послуг; провести узагальнений аналіз...
38580. Анализ стилей ресторанов г. Твери. Организация собственного ресторана тематической кухни 1.68 MB
  Организация собственного ресторана тематической кухни 2. Фасад здания вывеска крыльцо сад стоянка для автомобилей все это элементы которые создают внешний облик ресторана. Такое несоответствие не дает посетителям представления об уровне и стиле ресторана. Стоянка для автомобилей неотъемлемая часть ресторана или кафе и ее желательно иметь.
38581. Процеси відтворення та амортизації основних засобів 1.18 MB
  Відсутність виваженої державної амортизаційної політики в Україні в період становлення ринкових відносин призвела до порушення механізму відтворення основних засобів на підприємствах наслідком якого виявилася невідповідність амортизаційних відрахувань фінансовим потребам в оновленні необоротних активів. Причинами тому стали неадекватність індексації основних засобів занижені норми амортизації через тривалі нормативні терміни експлуатації основних засобів недостатнє використання прискореної амортизації активів. В умовах формування на...