30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

44 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78743. Сценарій урочистої лінійки, присвяченої святу Першого дзвоника і Дню знань 56.5 KB
  В зеленім лісі побував якийсь художник і поволі Дерева перефарбував У золотисто-жовтий колір. Ведучий - Ти хто такий? – всі здивувались. Тебе не бачили ми досі. То придивіться, - хтось озвавсь. І всі побачили – це осінь. Ведучий А з нею в кожен дім прийшло радісне свято – День знань.
78744. БУДЬ ОБЕРЕЖНИМ НА ДОРОЗІ! 69 KB
  Навчальна: Поглибити знання учнів про правила дорожнього руху; повторити основні правила пішоходів та автомобілістів. Розвиваюча: сприяти розвитку мислення, мовлення, пам’яті, навичок поведінки на дорозі. Виховна: виховувати повагу до оточуючих, увагу, ввічливість.
78745. ПРОЩАВАЙ, БУКВАРИКУ! 81 KB
  Мета: Вчити дітей виразно декламувати вірші, формувати інтерес до читання. Розвивати акторські здібності, уяву, вміння фантазувати. Виховувати у дітей любов до книги, дружні стосунки, родинні почуття.
78747. Відомі жінки Німеччини 69.5 KB
  Meine lieben Damen und Herren! Liebe Talente! Herzlich willkommen zu unserem feierlichen Abend. Es ist bekannt, dass der Frühling eine der schönsten Jahreszeiten und gerade diese Jahreszeit assoziiert bei uns mit der Gestalt der Frau, nicht umsonst widmen wir heute unseren Abend den Frauen.
78748. «Русская улица» или «Самые старые песни о главном» 49 KB
  Родина русского фольклора – это русская деревня, где одним из самых уважаемых и нужных людей был гармонист – парень или молодой мужчина, играющий на гармони. Стоило только летним вечером, после трудного рабочего дня услышать где-то в конце деревни зазывный голос гармони...
78749. Свято Останнього дзвоника 71 KB
  Мета: літературно-музична композиція, яка підводить підсумок навчальному року, приймає нових першокласників до своїх лав; розкриває красу, багатство і значення шкільних років у житті кожного. Весняний день – грайливий травень – Дарує радощів розмай. Школярик добре кожен знає, Що це навчанню року край.
78750. Перья штампуют из той же стали, которая завтра пойдет на штыки 96.5 KB
  Напряжение физических и духовных сил во время войны рождало как примеры величайшего героизма и самопожертвования так и примеры низкого коварства и подлости. И бравый генерал лихо блиставший на учениях до войны бестолково и растерянно мечущийся на дороге войны загубив всю свою армию.
78751. Гра «Що? Де? Коли?» По життю і творчості Тараса Шевченка 170.5 KB
  Портрет Т.Г.Шевченка, виставка книжок; дзиґа, конверти із запитаннями, мультимедійна дошка. Гра проходить між командами, які формуються на основі класів. Попередньо капітани команд отримують домашнє завдання: розробити презентацію за одною із тем («Т.Шевченко - художник», «Т. Шевченко у Києві», «Значення творчості Т. Шевченка» тощо)