30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

46 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20091. Станки фрезерной группы. Их классификация. Краткая характеристика. Виды выполняемых работ. Приспособления и оснастка к ним 1.57 MB
  Приспособления и оснастка к ним. Приспособления для фрезерных станков. Эти приспия харся применением установов для быстрой настройки фрез и направляющих шпонок для правильного расположения приспия на столе станка. Шпонки крепятся на нижней части основания корпуса приспия их 2 разнесены на наибольшее расстояние.
20092. Инструментальные материалы. Требования, предъявляемые к ним. Классификация 38 KB
  Материалы для изготовления режущих инструментов. Инструментальные материалы подразделяются на следующие группы: Инструментальные стали; Твердые сплавы; Керамические материалы; Алмазы и синтетические сверхтвердые материалы. В результате термической обработки углеродистые стали приобретают твердость от 61 до 63 HRCэ и могут обрабатывать материалы твердостью до 30 HRCэ.
20093. Классификация режущего инструмента. Их технологические возможности 25.5 KB
  Габец Применяемые при обработке деталей машин и приборов режущие инструменты подразделяют как правило по конструкции и по виду обрабатываемых повтей. По конструкции инструменты подразделяются на следующие группы: 1 Резцы: резцы общего назначения и фасонные резцы. 2 Сверла это однолезвийные и многолезвийные режущие инструменты применяемые для получения отверстий в сплошном материале и для рассверливания отверстий. 3 Зенкеры 28лезвийные инструменты используемые для увеличения отверстий.
20094. ПРОЦЕСС ОБРАЗОВАНИЯ СТРУЖКИ И ЕЕ ТИПЫ. УСАДКА СТРУЖКИ.НАРОСТООБРАЗОВАНИЕ ПРИ РЕЗАНИИ. ВЛИЯНИЕ НАРОСТА НА ПРОЦЕСС РЕЗАНИЯ(«ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ И ОСНАСТКА») 86 KB
  УСАДКА СТРУЖКИ. Классификацию стружки предложил проф. При уменьшении среза повышении скорости резания и увеличении переднего угла отдельные элементы стружки станут менее отчетливыми и будут сходить без зазубки на ее внешней стороне.
20095. Обработка резанием. Кинематические и геометрические параметры и процессы резания. Главное движение и движение подачи. Элементы режима резания и геометрические параметры срезаемого слоя 101 KB
  Кинематические и геометрические параметры и процессы резания. Элементы режима резания и геометрические параметры срезаемого слоя. Для осуществления резания необходимо относительное движение между заготовкой и режущим инструментом. Совокупность движений сообщаемых механизмом станка в процессе резания инструменту и обрабатываемой детали представляет кинематическую схему резания.
20096. Сборочные приспособления . Разновидности , область применения, особенности конструкций, назначение 25.5 KB
  Рабочие повти их тщательно обрся имеют Тобразные пазы для закрепления собираемых деталей изготавливаются из чугуна. Служат для временного скркпления деталей и узлов в собираемых изделиях. Служат для поддержки и выверки громоздких и тяжёлых деталей. Блоки и подъёмники для деталей до 1т а больше краны.
20097. Контрольные приспособления. Разновидности, область применения, особенности конструкции, назначения 32 KB
  При выборе отсчетных измерительных средств в зависимости от допусков и серийности производства необходимо учитывать их метрологические и экономические показатели погрешность средства цена деления шкалы предел измерения чувствительность порог чувствительности и т. При конструировании контрольного приспособления одной из основных задач является уменьшение или полное устранение общей суммарной погрешности измерения. Погрешностью измерения называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Обязательными...
20098. Приспособления для фиксации крепления инструмента на станках. Особенности конструкций 55.5 KB
  Например для повышения произвти универсальных станков применяют многошпиндельные сверлильные и фрезерные головки многорезцовые поворотные резцедержатели к токарным станкам поворотное приспособление и т. Многошпиндельные головки. Головки: специальные универсальные. Специальными называют головки предназначенные для обработки деталей с определённым расположением отверстий.
20099. Элементы приспособлений для направления инструмента и контроля его положения 208 KB
  Расчет погрешностей настройки инструмента на размер. Эти элементы можно разбить на несколько групп: Элементы которые определяют момент прекращения момента подачи инструмента упоры. Элементы быстрой установки инструмента на размер шаблоны и установы.