30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: – равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: – равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

41 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32728. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения 37 KB
  Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам vx=v0xxt x=x0v0xtxtxt2 2; vy=v0yyt y=y0v0ytyt2 2 Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности даже равномерное всегда есть движение...
32729. Кинематика твёрдого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловые скорость и ускорения. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями 39 KB
  Кинематика твёрдого тела. Движение тела может быть как поступательным так и вращательным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения. Следовательно скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы.
32730. Границы применимости ньютоновской механики. Первый закон Ньютона 28.5 KB
  Первый закон Ньютона. Вследствие развития физики в начале XX века определилась область применения классической механики: ее законы выполняются для движений скорость которых много меньше скорости света. Вообще законы классической механики Ньютона справедливы для случая инерциальных систем отсчета. При ускоренном движении неинерциальной системы координат относительно инерциальной системы первый закон Ньютона закон инерции в этой системе не имеет места – свободные тела в ней будут с течением времени менять свою скорость движения.
32731. Масса и импульс. Второй закон Ньютона как уравнение движения 37.5 KB
  Масса скал. тела масса – величина аддитивная т. масса системы рана сумме масс материальных тел входящих в состав этой системы при любых воздействиях выполняется закон сохранения массы: суммарная масса взаимодействующих тел до взаимодействия и после равны между собой. инерции точка в которой может считаться масса всего тела при поступательном движении данного тела.
32732. Третий закон Ньютона. Центр масс. Уравнение движения центра масс 30.5 KB
  Центр масс. Уравнение движения центра масс. Сам закон: Тела действуют друг на друга с силами имеющими одинаковую природу направленными вдоль одной и той же прямой равными по модулю и противоположными по направлению: Центр масс это геометрическая точка характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Определение Положение центра масс центра инерции в классической механике определяется следующим образом: где радиусвектор центра масс радиусвектор iй точки системы масса iй точки.
32733. Сила тяжести и вес тела. Упругие силы. Силы трения 43.5 KB
  Силы трения. Сила трения Трение – один из видов взаимодействия тел. Трение как и все другие виды взаимодействия подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения то такая же по модулю но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело. Силы трения как и упругие силы имеют электромагнитную природу.
32734. Законы сохранения. Силы внутренние и внешние. Замкнутая система. Сохраняющиеся величины. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени 32.5 KB
  Силы внутренние и внешние. Внешние и внутренние силы Внешняя сила это мера взаимодействия между телами. В задачах сопротивления материалов внешние силы считаются всегда заданными. Внешние силы делятся на объемные и поверхностные.
32735. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Движение тела с переменной массой 36 KB
  импульс p замкнутой системы не изменяется с течением времени т. Однородность пространства проявляется в том что физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета т. не изменяются при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы отсчета как целого. Если система не замкнутая но действующие на нее внешние силы таковы что их равнодействующая равна 0 то согласно законам Ньютона импульс системы не изменяется с течением времени p=const.
32736. Работа переменной силы и мощность. Кинетическая энергия частицы 42.5 KB
  Работа переменной силы Пусть тело движется прямолинейно с равномерной силой под углом к направлению перемещения и проходит расстояние S Работой силы F называется скалярная физическая величина равная скалярному произведению вектора силы на вектора перемещения. Работа совершенная силой на данном участке определяется по представленной формуле d=F dS cos = = │F││dr│ cos =F;dr=FdS =FS cos =FS . Таким образом работа переменной силы на участке траектории равна сумме элементарных работ на отдельных малых участках пути...