30566

Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...

Русский

2013-08-24

31.56 KB

46 чел.

БИЛЕТ № 11

  1.  Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Функциональная последовательность

(равномерная сходимость и свойства)

Определение:  – равномерно сходящийся к f(x) на X (), если  выполняется неравенство

Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции, то она и просто сходится к ней.

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Теорема(Критерий Коши. О равномерной сходимости функции): для того чтобы  равномерно сходилась на X к f(x) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение:  – равномерно сходящийся на X, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к предельной функции.

И просто сходится на множестве X

Условие равномерной сходимости ряда равносильно условию  

  1.  Если  и  равномерно сходятся на X, то

где , тоже равномерно сходящийся ряд

  1.  Если  – равномерно сходящийся на X, а функция V(x) – ограничена на X, то ряд  – равномерно сходится на X

Лемма: если существует стремящаяся к 0 числовая последовательность :  и  выполняется неравенство , то

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

  1.  Непрерывность

Если  равномерно сходится на X и в некоторой точке этого множества все элементы ряда , то сумма ряда  в точке

  1.  Предельный переход под знаком суммы

Если:

  1.   – равномерно сходящийся на X
  2.  

тогда  существует  и имеет место равенство:

  1.  Интегрируемость

Если:

  1.  Ряд  сходится равномерно на X 
  2.  Все

тогда сумма ряда  и интеграл от суммы равен сумме интегралов

  1.  Дифференцируемость
  2.   – равномерно сходится на X
  3.   (непрерывная дифференцируемость)
  4.   равномерно сходится на

тогда сумма ряда дифференцируема на указанном отрезке  и производная суммы

Дополнительно:

Пусть найдется множество X и последовательность  такие, что  тогда  – функциональный ряд

 

Возьмем конкретное значение , тогда  – числовой ряд

Если числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в точке

Если функциональный ряд сходится в каждой точке множества X, то этот ряд сходится на всем множестве X.

– область сходимости функционального ряда.

Если  сходится, то    и  ( – раскладывается в ряд)

Теорема(Признак Вейерштрасса. Признак равномерной сходимости ряда): Если числовой ряд ,  сходится и  и  выполняется неравенство , то функциональный ряд  – сходится абсолютно и равномерно на X.

Доказательство:

  1.  Докажем абсолютную сходимость

Так как по условию , а  сходится, то  сходится =>  – сходится абсолютно

  1.  Докажем равномерную сходимость

Пусть  и  – остатки  и ,

 

 

Так как  сходится =>

По Лемме выше:

Т.е.  сходится равномерно на X, что и требовалось доказать.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74390. ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ СХЕМ ПРОТЯЖЕННЫХ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ СИСТЕМООБРАЗУЮЩИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 87 KB
  При развитии системообразующей сети они становятся ее составной частью. В этом случае протяженная электропередача соединяющая несколько системных подстанций является элементом системообразующей сети. Схему системообразующей сети формируют исходя из ее многофункционального назначения. При этом должна обеспечиваться достаточная пропускная способность отдельных линий и сечения сети группы линий связывающих один регион с другим надежная выдача мощности в систему крупных электростанций надежное питание крупных узлов нагрузки.
74391. Способы присоединения концевых, транзитных и узловых подстанций к электрической сети 45.5 KB
  Способ присоединения подстанции к сети напряжение и количество присоединяемых линий а также вид применяемых коммутационных аппаратов определяют схемы понижающих подстанций рис. Подстанции питающие сеть рассматриваемого напряжения называют центром питания ЦП. Как правило это подстанции более высокой ступени напряжения...
74392. ВЫБОР КОНФИГУРАЦИИ И НОМИНАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ 121.5 KB
  На последующих этапах выбираются параметры сети для намеченных конфигураций и производится их технико-экономическое сравнение. Конфигурация сети ее протяженность число цепей линий на каждом из участков непосредственно влияют на выбор номинального напряжения. Другой важнейший фактор при выборе напряжения это предполагаемые нагрузки на участках сети.
74393. ВЫБОР ПРОВОДНИКОВ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ ПО УСЛОВИЯМ ЭКОНОМИЧНОСТИ 582.5 KB
  С другой стороны от площади сечения проводника зависит его активное сопротивление и его диаметр которые в свою очередь влияют соответственно на нагрузочные потери электроэнергии и потери холостого хода и как следствие на стоимость этих потерь. Действительно например при увеличении площади сечения проводников капитальные затраты на них будут возрастать а стоимость потерь электроэнергии в них уменьшаться.40 нагрузочные потери электроэнергии выражены по методу времени наибольших потерь потери холостого хода не учитываются а...
74394. ВЫБОР ПРОВОДНИКОВ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ ПО ДОПУСТИМОЙ ПОТЕРЕ НАПРЯЖЕНИЯ 315.5 KB
  Как уже отмечалось, внутри распределительных электрических сетей напряжением до 20 кВ включительно обычно отсутствуют средства регулирования напряжения. При этом допустимые отклонения напряжения у элсктроприемников обеспечивают, как правило...
74395. ВЫБОР ПРОВОДНИКОВ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ ПО УСЛОВИЮ НАГРЕВАНИЯ 223.5 KB
  Все проводники линий электропередачи должны выбираться (или проверяться) по условию нагревания. Это требование связано с тем, что для проводников воздушных и кабельных линий устанавливаются вполне определенные длительно допустимые температуры.
74396. УЧЕТ ТЕХНИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ ВЫБОРЕ ПРОВОДОВ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ И ЖИЛ КАБЕЛЕЙ 40.5 KB
  Коронирование проводов воздушных линий. Следовательно различным номинальным напряжением будут соответствовать вполне определенные минимальные диаметры проводов для которых соблюдается условие. Поскольку диаметры и площади сечения проводов в свою очередь связаны между собой то выбор проверка проводов по условию короны может быть произведен по условию где Fнм.
74397. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 720 KB
  К таким ограничениям относятся: а предел передаваемой мощности предел линии учитывающий устойчивость параллельной работы электрических станций и узлов нагрузки...
74398. Определение оптимальной мощности компенсирующего устройства для линии 55.5 KB
  Оптимальную мощность компенсирующего устройства описывают, исходя из критерия оптимизации. В качестве которого рассмотрим приведенные затраты. Функция кривых затрат отмечена в виде