30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

102 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31710. Основні види діяльності 59 KB
  У дошкільному віці провідним різновидом діяльності є гра у шкільному навчання а в зрілому праця. Гра та навчання властиві і людям і тваринам. Але вона відрізняється від навчання та праці.
31711. Колектив як соціокультурне середовище виховання і розвитку 52.5 KB
  Емоціональний рівень ввзаємодії в колективі відображає домінуючі емоціональні стани дітей їх спільні переживання стосунки симпатій чи антипатій між членами колективу гуманістичні та суспільно значимі мотиви. Ініціатива творча позиція особистості зростання самостійності і самоуправління дітей ціннісний зміст їх спільної діяльності є індикаторами виховного потенціалу дитячого колективу. Підходи до розробки колективу та індивідуальності. Погляди на проблеми колективу відобразили сутність суспільних культурноісторичних процесів розвитку...
31712. Двіжущіе сили та умови розвитку особистості 99 KB
  Двіжущіе сили та умови розвитку особистості Розвиток особистості слід розуміти як процес формування особистості як соціальної якості індивіда в результаті його соціалізації та виховання. Володіючи природними анатомофізіологічними передумовами до становлення особистості в процесі соціалізації дитина вступає у взаємодію з навколишнім світом опановуючи досягненнями людства. Створювані в ході цього процесу здібності і функції відтворюють в особистості історично сформувалися людські якості. Оволодіння дійсністю у дитини здійснюється в його...
31713. Соціалізація особистості 95.5 KB
  socilis суспільний характеристика це процес входження індивіда в суспільство соціалізації особистості активного засвоєння ним соціального досвіду соціальних ролей норм цінностей необхідних для успішної життєдіяльності в даному суспільстві. У процесі соціалізації в людини формуються соціальні якості знання вміння відповідні навички що дає їй змогу стати дієздатним учасником соціальних відносин. Отже основа соціальнопсихологічного розуміння соціалізації особистості грунтується на характеристиці соціальнопсихологічного типу...
31714. Загальні поняття про особистість 49 KB
  В особистості немовби концентруються особливості суспільства основні його риси. Тому зрозуміти життя особистості можна тільки розглядаючи її у конкретних суспільних умовах в діяльності та стосунках з іншими людьми аналізуючи її соціальний статус та місце в суспільних відносинах. Усі особистості індивіди але не кожен індивід особистість. Паригіна модель особистості котра повинна зайняти місце в системі психології припускає поєднання двох підходів: соціологічного й загальнопсихолоігчного.
31715. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДІВ СОЦІАЛЬНОЇ ПСИХОЛОГІЇ 105 KB
  Метод спостереження може використатися як один із центральних самостійних методів дослідження. Метод спостереження здійснюється також з метою збору первинного матеріалу дослідження а також для контролю отриманих емпіричних даних. Класифікація спостереження виконується на різних підставах.
31716. Соціалізація старшокласників у школі 89.5 KB
  Ціннісні орієнтації референтної групи істотною мірою визначають соціальнопсихологічне обличчя підлітка. Оскільки група єдина площина соціальнопсихологічного досвіду в якій може проявити себе підліток яку він може засвоїти й через яку пізнати сукупність суспільних відносин то саме група стає формівною силою в соціалізації підлітка. Тут надзвичайно суттєвим є питання про те що визначає референтну значущість тієї чи іншої групи в очах підлітка або навпаки сприяє її зниженню.
31717. Структура педагогічної психології 35.5 KB
  До кожної теми подано список літератури щоб читач міг поперше більш докладно вивчити певний аспект теми яка його зацікавила подруге мав уявлення та добре орієнтувався у працях авторів які займаються проблемами та дослідженнями в галузі психології навчання та виховання. Предмет і задачі педагогічної психології Предметом педагогічної психології є психологія навчання психологія виховання психологія вчителя та педагогічної діяльності. Основний зміст педагогічної психології складають психологічні закономірності процесів навчання та...
31718. Загальна характеристика процесу виховання 43.5 KB
  Соціальня ситуація розвитку особистості Становлення людини як індивіда та особистості за Л. Виготським передбачає діалектичну взаємодію двох відносно автономних однак нерозривно пов'язаних процесів розвитку природного і соціального. Кожному віку притаманна певна специфічна соціольна сипгуаціярозвитку тобто особливе співвідношення внутрішніх процесів розвитку і зовнішніх умов яке є типовим для кожного вікового етапу зумовлює динаміку психічного розвитку протягом відповідного вікового періоду і нові якісно своєрідні психологічні утворення...