30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

99 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38114. Составление программ разветвляющейся структуры 91.5 KB
  Решить задание в соответствии с вариантом задания. Исходные данные должны вводиться в режиме диалога и сопровождаться комментариями. Результат вывести на экран, сопровождая вывод комментариями. Изучить правила записи операторов ветвления. Разработать алгоритм решения задачи. Составить программу решения задачи.
38116. ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАЗАТЕЛЕЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВОДОХОЗЯЙСТВЕННОЙ СТРОИТЕЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ 569 KB
  Целью экономической статистики является получение информации для принятия решений органами государственного управления в вопросах регулирования экономики и разработки экономической политики.
38117. ФИРМА В РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ РЫНКА 231.5 KB
  Издержки производства, их структура. Экономическая и бухгалтерская прибыль. Закон убывающей предельной производительности (отдачи). Совершенноконкурентный производитель: определение цены и объема производства. Фирма в условиях несовершенной конкуренции: определение цены и объема производства.
38118. Соціально-психологічні риси військового колективу 80 KB
  Військовий підрозділ як мала соціальна група Заняття №4: Соціальнопсихологічні риси військового колективу Час: 2 год. Мета заняття: Зясувати загальна характеристика військового навчання. Усвідомити закономірності та принципи військового навчання.
38119. Основні методи вивчення психології військового колективу 210.5 KB
  Письмове або усне опитування курсантів: 1 варіант: соціометрія як метод дослідження; особливості методу спостереження; 2 варіант: експеримент як метод дослідження; особливості психологічної бесіди анкетного методу та опитування. Обговорення третього питання: Спостереження та експеримент. Практичне проведення спостереження. Вирішують проблемне питання Відповідають на запитання Приймають участь у дискусії Проводять спостереження 6.
38120. Характеристика військового колективу 138.5 KB
  Характеристика військового колективу Час: 2 години Мета заняття: 1. РОЗПОДІЛ ЧАСУ №зп СТРУКТУРА ЗАНЯТТЯ Час хв. Перевірка готовності курсантів до заняття. Підведення підсумків і закінчення практичного заняття оголошення завдання на самостійну підготовку.
38121. Морально-психологічний вплив на війська в ході наступальних і оборонних дій 135.5 KB
  Мета заняття: ознайомити курсантів із психологічною стійкістю колективу в бою; надати курсантам знання щодо стану страху та шляхів його подолання. Обговорення другого питання: Стан страху шляхи його подолання 40 хв. Мета заняття: ознайомити курсантів із психологічною стійкістю колективу в бою; надати курсантам знання щодо стану страху та шляхів його подолання. Основна частина 80 Психологічна стійкість колективу в бою 40 Стан страху шляхи його подолання 40 3.
38122. Військове виховання 136.5 KB
  Виховання – це процес планомірного і цілеспрямованого впливу на свідомість, почуття і волю воїнів з метою формування у них наукового світогляду, навичок і звичок поведінки у відповідності до вимог моралі, підготовки їх до виконання військового обов’язку.