30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

98 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3190. Микропроцессоры и цифровая обработка сигналов Знакомство с интегрированной средой программирования KEIL-C 103 KB
  Микропроцессоры и цифровая обработка сигналов Знакомство с интегрированной средой программирования KEIL-C Цель работы 1. Изучить интегрированную среду программирования keil-C. 2. Получить навыки работы с текстовым редактором этой среды программирова...
3191. Литейный участок для получения слитков из алюминиевого деформируемого сплава АМГ3 6.66 MB
  Описательная часть.Состав, свойства, применение сплава. Алюминиевомагниевые сплавы относятся к группе термически, неупрочняемых алюминиевых деформируемых сплавов. В настоящее время в промышленности нашла применение большая группа сплавов этой...
3192. Создание позитивного имиджа модельной студии 18.25 MB
  Введение Состояние развития модельного бизнеса в России в настоящее время находится лишь на начальной стадии. Модельные организации работают в условиях конкурентной борьбы за клиента. Обострение конкурентной борьбы между организациями приводит к том...
3193. Разработка малогабаритной рентгеновской трубки для структурного анализа с полной защитой от неиспользуемого излучения 2.39 MB
  Основным элементом аппаратов для структурного анализа является источник рентгеновского излучения – рентгеновская трубка, параметры которой во много определяют технические возможности и функциональность рентгеновского аппарата. В связи с этим ак...
3194. Снижение магнитных и диэлектрических потерь в иттрий-железистом гранате 2.97 MB
  Элементы и устройства на основе феррита со структурой иттрий-железистого граната (ИЖГ) нашли широкое применение в различных областях современной электроники, радиотехники, и пр. Улучшение магнитных свойств ИЖГ посредством отжига в атмосфере кислорода эффективно используется в различных технологических процессах.
3195. Разработка автоматизированной системы расчета оптимального маршрута между городскими объектами для курьерской компании 1.94 MB
  Введение Тенденция к сближению мобильных и навигационных технологий сегодня заметна как никогда. Решение вопроса предоставления конечному пользователю мобильных устройств возможности получения, использования и обработки информации, связанной с их ме...
3196. Формирования и распределение прибыли предприятия 3.1 MB
  Изучение понятия категории «прибыль», рассмотрение факторов, влияющих на величину прибыли, рассмотрение прибыли, как показатель деятельности предприятия, а также методов планирования прибыли, анализ формирования и использования прибыли, рассмотрение действующей системы использования прибыли на объекте исследования.
3197. Анализ управления и разработка рекомендаций для повышения управления ООО Зебра 711 KB
  В настоящее время, проблема управления персоналом в условиях сокращения численности и неполного финансирования весьма актуальна для ситуации, в которой оказалась экономика – для периода мирового экономического кризиса Реформирование ро...
3198. Применение сенсоров и мультисенсорных систем в анализе ароматобразующих веществ в процессе переработки подсырной сыворотки 1.27 MB
  К отличительным особенностям питания населения России, относится высокая энергоемкость пищевого рациона. С учетом снижения физических нагрузок населения, увеличивается тенденция к малоподвижному образу жизни, а также росту доли умственного...