30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

98 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69903. Построение графиков с использованием электронных таблиц 79 KB
  Указание к лабораторной работе №10. В работе необходимо построить график функции с использованием программ Excel или Calc. Основанием для построения графика служат числовые данные, полученных ранее в ходе выполнения лабораторной...
69904. Подготовка схем в системе Visio 146 KB
  Нестандартные фигуры автор рисует с помощью универсального переключаемого через ниспадающее меню инструмента. Затем фигуры соединяются рисованными линиями или автоматически вызовом соединителей и в них впечатывается текст с помощью имеющегося в составе Windows набора шрифтов Fonts.
69905. Работа с командной строкой в ОС MS DOS 93.5 KB
  Цель: Познакомиться с основными принципами управления работой ПК на базе ОС MS DOS изучить основные команды управления ОС MS DOS. Для того чтобы быть полноценной ОС должна как минимум содержать следующие основные компоненты: Файловую систему Драйверы внешних устройств...
69906. Простая выборка данных 99 KB
  Пусть реляционная база данных, состоящая из одной или нескольких таблиц, создана, и произведено подключение к ней. В этом случае типичной практической задачей является получение (извлечение) нужных данных. Например, может потребоваться просто просмотреть все содержимое...
69907. ЕТАПИ ПРОЦЕСУ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ. КОМП’ЮТЕРНА ПІДТРИМКА ЕТАПУ ДІАГНОСТИКИ ПРОБЛЕМИ 150.5 KB
  Цілі виконання завдання: пройти на практиці основні етапи процесу прийняття рішень; отримати навички виявлення та аналізу конкретних виробничих проблем; набути досвіду використання комп’ютерної підтримки яку надає програма Decision Explorer на етапі діагностики проблеми...
69908. Операційна система Windows. Провідник. Текстовий редактор WordPad 2.54 MB
  Однією із найважливіших проблем забезпечення якості програмних засобів являється формалізація характеристик якості і методологія їх оцінки. Для визначення адекватності якості функціонування наявності технічних можливостей програмних засобів до взаємодії удосконаленню і розвитку...
69909. Создание и редактирование документа 4.47 MB
  Цель работы Научиться запускать Microsoft Word, создавать, загружать, сохранять и просматривать документы. Теоретическая часть Запуск Word Запустить Microsoft Word можно одним из следующих способов. С помощью главного меню, выбрав команду Пуск...
69910. Інформаційні технології. Основні поняття та визначення 88 KB
  Поняття інформації є багатозначним тому розглядають різних тлумачення: В кібернетичному розумінні поняття інформації широко використовується в системі керуючого сигналу який передається по лініях звязку. Властивості інформації...
69911. Определение прочности материалов 42.5 KB
  ImageМногие конструкционные материалы значительно меняют свои свойства в зависимости от окружающей температуры, поэтому прочностные испытания при различных температурах очень важны. Температурные камеры используются совместно с двухколонными универсальными испытательными машинами...