30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

98 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41330. Измерение токов и напряжений. Дополнение к лабораторной работе 40.5 KB
  Гадуировка шкалы – до 100 В; установка – до 150 В, относительно всей шкалы. Тогда одно деление равно 150/100 = 1,5 В. Vотсч = 0,5 * 1,5 = 0,75 В
41331. Определение отношения e/m при помощи фокусировки электронного пучка в продольном магнитном поле 219 KB
  Приборы: потенциометр 100 Ом 2А вольтметр градуировка 600 В вся шкала 1200 В класс точности 10 амперметр градуировка 150 А вся шкала 3 А класс точности 05. а Ищем Vград Класс точности = 10; Vград Vномин = 001; Vград = 1200 001 = 12 В Vград = 12 В б Ищем Vотсч Градуировка шкалы до 600 В; установка до 1200 В относительно всей шкалы. Общая формула: а Ищем Iград Класс точности = 05; Iград Iномин = 0005; Iград = 3 0005 = 0015 А Iград = 0015 А б Ищем Iотсч Градуировка шкалы до 150 А; установка до 3...
41332. Определение моментов инерции тела 329.5 KB
  Отчет по работе № 90 “Определение моментов инерции тела” студента 12 группы I курса Василькова Сергея Дмитриевича. Приборы: штангенциркуль (0,05 мм); весы (гиревые) (1 г); секундомер (0,1 с). Изучаемый прибор...
41334. Определение моментов инерции тела. Дополнение к отчету по работе 37 KB
  Момент инерции для известного тела: К = К2 К1 = 0028 0002 кгм2 Параметры известного тела: s = 21375 мм; p = 175 мм; l = 25 мм Аналитическое вычисление:.
41337. Регулировка токов и напряжений 916.5 KB
  Приборы: два реостата 500 Ом; 06А амперметр точность 0. Задание 1: изучение реостата. Исследуемая схема: где  сопротивление потребляющей ток нагрузки; R сопротивление полностью введенного реостата;  электродвижущая сила источника тока А амперметр; V1 вольтметр для нагрузки; V2 вольтметр для источника тока; К ключ.
41338. Регулировка токов и напряжений. Дополнение к лабораторной работе 252.05 KB
  При сопоставлении графиков зависимостей можно сказать, что при малых токах лучше использовать потенциометр, а при больших – реостат.