30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

100 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57924. Сравнение симптомов заболеваний, которые вызываются вирусами и бактериями. Профилактика инфекционных болезней человека 39.5 KB
  Цель урока: познакомить учащихся с симптомами методами диагностики и профилактики типичных бактериальных и вирусных заболеваний человека; научить применять знания о процессах жизнедеятельности вирусов и бактерий для диагностики лечения...
57925. Води суходолу Північної Америки. Основні річкові системи. Великі озера, їх походження 69 KB
  Мета: сформувати в учнів систему знань про внутрішні води Північної Америки розкрити загальні особливості вод суходолу показати їх залежність від рельєфу та клімату нерівномірність розподілу на території материка...
57926. Основы объектно-ориентированного программирования. Создание формы 573.5 KB
  Цель: Сформировать у учащихся представление о среде программирования Visul Studio; освоить основные приемы создания форм получить практические навыки создания формы в среде программирования; формировать у учащихся информационную компетентность.
57927. Клітинний цикл. Мітоз 62.5 KB
  Німецький вчений Рудольф Вірхов стверджував що клітина може виникнути тільки з попередньої клітини в результаті її поділу. Відома його знаменита фраза усяка клітина з клітини З таким поняттям як поділ клітини ви вже неодноразово зустрічались на уроках біології.
57928. Створення програм з використанням оператора циклу з параметром 140 KB
  Після цього уроку ви зможете: використовувати оператор циклу з параметром для створення програм обчислення суми та добутку скінченої кількості чисел знаходження кількості елементів з певними властивостями; наводити особливості накопичення суми та...
57929. Снежная книга Зимы 214.5 KB
  Цель: обобщить представления детей о зиме, познакомить с новыми рассказами и стихотворениями о зиме; продолжить работу над техникой чтения. Воспитывать любовь к родному слову, бережное отношение к природе.
57930. Цитологія – наука про будову і функції клітини. Історія вивчення клітини. Методи цитологічних досліджень 356 KB
  Мета: сформувати основні положення клітинної теоріїрозширити уявлення про історію вивчення клітини розкрити основні методи цитологічних досліджень; розвивати критичне і логічне мислення удосконалювати творчі здібності вміння...
57931. Зорі. Еволюція зір 340 KB
  І почнемо ми з вами саме з визначення найголовнішого небесного світила зорі. учні дають визначення зорі Вчені прийшли до висновку що зорі включаючи і наше Сонце мають життєві цикли. Ці стадії різні оскільки зорі складаються з різних елементів і відрізняються розмірами.
57932. Зажурилась зимонька не дарма, молодої силоньки вже нема 62.5 KB
  Мета: познайомити з традиціями святкування Стрітення, прикметами, які з ним пов’язані; формувати навички виразного читання віршів; підтримувати у дітей інтерес до занять фізкультурою, привчати дітей грати в командних іграх-естафетах...