30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

93 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81389. Применение метода контент-анализа в изучении социальной работы. Методика и методология проведения 39.59 KB
  Контентанализ представляет собой перевод в количественные показатели массовой информации текстовой аудиовизуальной цифровой с последующей статистической ее обработкой. Этапы контентанализа: Определение совокупности изучаемых источников или сообщений с помощью набора заданных критериев Формирование выборочной совокупности сообщений. Однако иногда контентанализ должен опираться на ограниченную выборку взятую из большего массива информации.
81390. Понятие социальной работы. Цели и задачи социальной работы 34.11 KB
  Цели и задачи социальной работы. Задачи: социальное обслуживание попечительство и наставничество социальная адаптация и реабилитация надзор профилактика и предупреждение возникновения кризисных ситуаций в социальной сфере диагностика социальных проблем и коррекция процессов социализации проектирование и реализация социальных проектов Цель социальной работы – обеспечение достойных условий жизни человека которые являются необходимым фактором гармонизации отношений в обществе позволяющей ему раскрыть свои способности по деятельной...
81391. Социальная работа как социальный институт. Основные функции социальной работы 35.7 KB
  Социальную работу можно отнести к социальному институту т. ролей и статусов Возникла исторически В качестве функций социальной работы можно назвать: социальную диагностику это процесс исследования социального объекта явления путем распознавания и изучения причинноследственных связей отношений характеризующих его состояние и тенденции развития. социальную профилактику деятельность по предупреждению социальной проблемы социального отклонения или удержанию их на социально терпимом уровне посредством устранения или нейтрализации...
81392. Социальная помощь в России в доинституциональный период социальной работы 38.2 KB
  Что касается феодальной Древней Руси то законодательная база социальной защиты в этом обществе развивалась довольно медленно. При чем в эту эпоху уже имеет место дифференцированный адресный подход к клиентам социальной помощи: прокаженные и престарелые должны были быть устроены в богадельни а здравые питаться по дворам. и последующие реформы обозначили новые подходы в социальной политике самодержавного государства.
81393. Основные этапы институциализации социальной работы 37.22 KB
  На начальном этапе институты социальной работы решали лишь конкретные задачи текущего момента. Затем появляется необходимость передачи накопленного опыта решения конкретных задач и образуется потребность в оформлении первичных теоретических представлений на сложившуюся практику социальной работы. Таким образом сформировалось специфическое образовательное пространство и были заложены основы теоретических обобщений практики социальной работы.
81394. Принципы и методы социальной работы 34.07 KB
  Принципы и методы социальной работы как социального института можно обозначить как сложившиеся правовые и моральные обычаи традиции нормы взаимоотношений между объектами и субъектами социальной работы получившими отражение законодательное и практическое в управлении этим институтом общества. К числу принципов социальной работы относят: гуманизм альтруизма эмпатия сочувствие доверие дифференцированный подход посредничество соблюдение конфиденциальности в работе адресность Система методов социальной работы сложна и многообразна....
81395. Теоретико-категориальный аппарат социальной работы. Понятия «социальная помощь», «социальная защита», «социальная реабилитация», «социальные гарантии» 33.49 KB
  Теоретикокатегориальный аппарат социальной работы. Под социальной защитой можно понимать систему мероприятий осуществляемых обществом и его различными структурами по обеспечению гарантированных минимально достаточных условий жизни поддержанию жизнеобеспечения и деятельного существования человека. Социальная помощь система социальных мер в виде содействия поддержки и услуг оказываемых отдельным лицам или группам населения социальной службой для преодоления или смягчения жизненных трудностей поддержания их социального статуса и...
81396. Антидискриминационная направленность социальной работы. Эйджизм, сексизм и инвалидизм в современном обществе 39.68 KB
  С точки зрения феминистской теории сексизм это проявление патриархата то есть такого устройства общества при котором мужчины как социальная группа обладают властью над женщинами как социальной группой. Для оправдания идеологии сексизма как правило используются эссенциалистские утверждения объясняющие социальное неравенство мужчин и женщин их природными различиями. Исторически женщины были а в некоторых странах остаются ущемлены в гражданских правах по сравнению с мужчинами например лишены избирательных прав. Она может выражаться в...
81397. Явление стигматизации в современном обществе. Виды стигматизации. Приведите примеры проявления 39.99 KB
  В отличие от слова клеймение слово стигматизация может обозначать навешивания социальных ярлыков. В этом смысле стигматизация ассоциация какоголибо качества как правило отрицательного с конкретным человеком или группой людей хотя эта связь отсутствует или не доказана. Стигматизация является составной частью многих стереотипов. Виды социальной стигматизации можно классифицировать следующим образом: Культурная стигматизация социальные ярлыки укоренившиеся в культуре государства либо мировой культуре чукчи недогадливы.