30567

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций

Доклад

Математика и математический анализ

Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Русский

2013-08-24

142.57 KB

100 чел.

Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Доска

Основная тригонометрическая система функций

.

Ортогональная система функций на отрезке ,

 , Если при этом то такая система называется ортонормированной.

Тригонометрический ряд

(1)  

называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье.

(2) ;
(3)
;
(4)
.

Условия Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, т.е. кусочно-монотонна тогда ряд Фурье функции, определяемый формулами (1), (2), (3), (4) сходится почти всюду (кроме точек разрыва) к   f(x).

Для четной функции

Для нечетной функции


Выступление

Пусть функция определена на .

Определение. Функция называется периодической на , если существует такое , что  . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1)
;
(2)
;
(3)
.

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию можно разложить в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть далее − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле

а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.


Дополнительно

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке

Доказательство.

1) , , ;
2)
 ;
3)
, ;
4)
, ;
5)
,

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

,     (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1)
во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2)
в точках разрыва I рода функции ;
(3)
на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44506. Қанат-таңдай шұңқыры, оның қабырғалары, тесіктері, қатынастары. Самай шұңқыры. Самайасты шұңқыры 15.81 KB
  Медиальды қабырғасы-төбе сүйегінің сыртқы бетінің сыналық бұрышының маңындағы төменгң бөлігінен, самай сүйектің қабықшалы бөлгінің сыртқы бетінен, сына сүйектің улкен қанатының саай шұңқырына қараған бетінен құралған
44507. Ми сауыты негізінің сыртқы беткейі 16.56 KB
  Шүйде сүйегі-os occipitale, ми саутының артқы қапталында орн. сыртқа беті-дөңестеу, ішкі беті-ойыстау келген тақ сүйек. Шүйде сүйектің артқы жағында ми сауытын омыртқа өзекшесімен жалғастырушы шүйделік үлкен тесік-foramen magnum, бүйір қапталында сигма тәрізді қойнаудың жүлгесі-sulcus sinus sigmoideus, орналасқан.
44508. Ми сауыты негізінің ішкі беткейі, тесіктері, маңызы 16.32 KB
  Түрік ершігінің бүйір бөлігінде-нервтік өрім жүлгесі-sulcus coroticus, орн. алд немесе мұрын қуысына қараған бетінде-сына сүйек қырқасы-crista sphenoidalis, ол кеңсірік сүйегінің қанатымен-ala vomeris, беттесіп кеңсірік-ілмектік өзекшені-canalis vomeroorastralis, құрайды. Сына сүйек қойнауы-sinus sphenoidalis
44509. Биотехнические системы 5.73 MB
  Биотехнические системы – особый класс больших систем, в которых биологические и технические элементы связаны в едином контуре управления, причем роль управляющего звена в них могут играть как технические, так и биологические звенья. Создание таких систем является сложной задачей, использующей целый арсенал отдельных приемов, методов и подходов
44510. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА 1.58 MB
  Общество выступает как система разнообразных общественных связей и общественных отношений. Общество — это сложнейшая, естественным путем сложившаяся социальная система, которая, в свою очередь, состоит из социальных сообществ.
44511. Биотехнологические основы приготовления хлеба 1.22 MB
  В учебном пособии представлены основные положения биотехнологии хлебопекарного производства, рассмотрены свойства нишевых веществ зерна, описаны разнообразные типы брожения и микроорганизмы, их вызывающие, приведены практические разработки и теоретическое обоснование применения различных заквасок для переработки ржаной и пшеничной муки, биотехнологические методы интенсификации процесса приготовления теста и улучшения качества готовых изделий.
44512. ПОДАТОК НА ПРИБУТОК ПІДПРИЄМСТВ 89.65 KB
  Доходи звітного періоду: їх склад та порядок визнання. Витрати звітного періоду: їх склад та порядок визнання. Основні засоби: класифікація, порядок та методи нарахування амортизації. Ставки податку на прибуток. Звільнення від сплати податку на прибуток в Україні...
44513. ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ РЕГЛАМЕНТАЦИЯ И КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ 99.21 KB
  Cформировать у студентов знание о мониторинге окружающей среды; о природных условиях и ресурсах; о многообразии экологических факторов, влияющих на живые организмы в различных средах обитания; о качестве окружающей среды; о качестве жизни; о роли экологической экспертизы и сертификации в реализации прав граждан на благоприятную среду
44514. Синхронные машины общего назначения 522.35 KB
  Синхронные машины общего назначения выпускают в виде ряда серий. Каждая серия включает в себя машины в определенном диапазоне мощностей и частот вращения, их выполняют на несколько нормализованных внешних диаметров статора, которые определяют габарит машины.