30568

Свойства функции распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Свойства функции распределения : Свойство 1: 0 ≤ Fx ≤ 1. Свойство2: Fx2 ≥ Fx1 если x2 x1. Свойство3: 1Fx = 0 при x ≤ ; 2 Fx = 1 при x ≥ b. Свойство4: Fx0 = Fx0 0.

Русский

2013-08-24

51.52 KB

1 чел.

На доске:

Функция распределения: F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения :

Свойство 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1.

Свойство3: 1)F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: F(x0) = F(x0 - 0).

Математическое ожидание:

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn .

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

Св-ва

Дисперсия:

1)D(X) = M[XM(X)]2.

2)D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Свойства дисперсии

Математическое ожидание непрерывных случайных величин

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Дисперсия непрерывных случайных величин

 

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Выступление:

Случайной величиной называется функция X(ω), определенная на некотором множестве элементарных событий Ω.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Определение1.3: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Дискретными являются случайные величины в примерах 1,4,5,7.

Определение1.4:Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее.

1:Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина  X  в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).

Определение2.2:Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойство1:  Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x)неубывающая функция, то есть

F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1

Свойство3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 

  1.  F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: Функция распределения непрерывна слева, то есть F(x0) = F(x0 - 0).

 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, … xn , вероятности которых соответственно равны p1,  p2, … pn .  Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn

Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Дисперсия дискретной случайной величины

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: XM(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[XM(X)]2

Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Доказательство: 

D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2XM(X) + M2(X)]= M(X2) – 2M(X)M(X) + M2(X) = M(X2) – 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)- M2(X).

Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойство4:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин

Определение9.1: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Определение9.2: Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Так как D(X) = M(X2) – [M(X)]2, то можно использовать следующие формулы для вычисления дисперсии:

или .

Дополнительно

Свойства функции распределения 

Доказательства:

1) Доказательство: Данное свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2) Доказательство: 

По теореме сложения для двух несовместных событий имеем

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X < x2).

Отсюда

P(X < x2) - P(X < x1) = P(x1 ≤ X < x2),

Или

F(x2) - F(x1) = P(x1 X < x2).

Так как любая вероятность число неотрицательное, то F(x2) -  F(x1) ≥ 0 , или  F(x2) ≥  F(x1) , что и требовалось доказать.

Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a X < b) = F(b) - F(a).

Следствие2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Доказательство:

1) Если x1a , то событие X < x1 невозможно и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Если x2b , то событие X < x2 достоверно и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие:  Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x , то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойства математического ожидания

Определение6.3:  Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем

M[XM(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54437. Мотивація - один і з структурних елементів інтерактивного навчання 68.5 KB
  Використовую різноманітні прийоми мотивації: Мотивація навчальної діяльності шляхом бесіди Шляхом створення проблемної ситуації Шляхом використання технології мозкова атака Шляхом опрацювання тексту періодичних видань За технологією незакінчене речення Шляхом виготовлення саморобних наочних посібників Шляхом використання творчих завдань Шляхом використання художньої та науковопопулярної літератури Шляхом створення ситуацій успіху На основі діяльнісного підходу до навчання За допомогою екстраполяції прогнозування...
54438. Die Ukraine − unsere Heimat 49.5 KB
  Die Ukrine − unsere Heimt Мета. Мовна зарядка Welche Tg ist heute Der wievielte ist heute Sind lle Schen in Ordnung Ist die Tfel suber 3. Де ви живете Ви живете в Києві Ми живемо на вулиці Шевченка 12 Konjugiert die folgenden Verben im Präsens sprechen wohnen leben. Die Hupstdt der Ukrine heißt Kyjiw.
54439. Лексикологія. Багатозначність слів, вживання їх у прямому та переносному значеннях, синоніми і антоніми 44.5 KB
  Сухомлинський Мова жива сходинка людського духу Панас Мирний Мова коштовній скарб народу І. Франко Мова життя духовного основа М. Рильский Мова генофонд культури О.Завжди йдуть у парі мова й думка.
54440. Голос рідної природи серцем слухати навчись 84.5 KB
  Полтави Голос рідної природи серцем слухати навчись Мова найбільший скарб який є у кожного народу. Навчальний процес в початковій школі ми намагаємося організувати так щоб перші кроки до науки маленькі школярі робили на уроках мислення серед природи гортаючи сторінку за сторінкою Книгу рідної землі. Дитина від своєї природи писав Сухомлинський допитливий дослідник відкривач світу. Один із перших кроків наближення дітей до природи розуміння її це спостереження що проводиться безпосередньо в довкіллі.
54441. ЦІКАВИНКИ РІДНОЇ МОВИ 53 KB
  Закріплювати знання учнів формувати вміння думатислухати. Ви підросли порозумнішали навчилися застосовувати практично наявні знання. Вітаю тих хто не отримав перемогу але показав міцні знання стійкий бійцівський характер.
54442. ЦВІТИ І СМІЙСЯ, РІДНЕ СЛОВО! У СЕРЦІ ЩИРОМУ ЗВУЧИ! 66 KB
  Нам стежку в світ дано топтати Поки в нас рідна мова є Учениця І як гуртом не поодинці Почнемо в світ її нести То й доти будем українці Поміж народів сміло йти Учень А знехтуємо рідне слово Земля цього нам не простить То ж сяй над світом рідна мово Тобі в віках судилось жить Учениця Цвіти і смійся рідне слово У серці щирому звучи Моя чарівна рідна мово Лети над світом не мовчи Звучить музика Ведучий. Ведучий. Ведучий. Ведучий.
54443. Соловїна, барвінкова, українська рідна мова 205 KB
  Мета: навчальна поглибити знання учнів про рідну мову її символи традиції впроваджувати елементи естетичного виховання культури спілкування; розвивальна розвивати українське мовлення культуру поведінки; виховна виховувати любов і повагу до своєї Батьківщини України її символів традицій обрядів почуття глибокої поваги до предків своїх рідних і близьких творчу самостійність і відповідальність уміння самоорганізовуватись вміння...
54444. Мово моя рідна, не мовчи! 522.5 KB
  А вчителька мовила що якби ваші словасуржики перетворились і справді на страшні дерева та ще на страшніших звірів я б побачила які ви герої Іванко. Багато віків люди засмічували рідну мову то модним словечком яке нічого спільного з рідною мовою не мало то вживали надмірно російські слова на український лад бо свого ліньки було підшукати а рідним словом нехтували цуралися його. Це не просто деревця це ті слова які ви щоденно говорите. А ви щодня сієте словазернятка і не задумуєтеся на тим що з того виросте.
54445. О рідна мовонько, о мово! В тобі від Бога кожне слово 115.5 KB
  Вчити учнів застосовувати набуті знання на практиці; Розвивати командний дух швидкість реакції прагнення перемоги вміння працювати в команді толерантне ставлення до думок інших Виховувати любов до рідної мови гордість за свою Батьківщину прагнення до самовдосконалення ХІД ЗАХОДУ Слово учителя Моя прекрасна українська мово Найкраща пісня в...