30568

Свойства функции распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Свойства функции распределения : Свойство 1: 0 ≤ Fx ≤ 1. Свойство2: Fx2 ≥ Fx1 если x2 x1. Свойство3: 1Fx = 0 при x ≤ ; 2 Fx = 1 при x ≥ b. Свойство4: Fx0 = Fx0 0.

Русский

2013-08-24

51.52 KB

1 чел.

На доске:

Функция распределения: F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения :

Свойство 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1.

Свойство3: 1)F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: F(x0) = F(x0 - 0).

Математическое ожидание:

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn .

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

Св-ва

Дисперсия:

1)D(X) = M[XM(X)]2.

2)D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Свойства дисперсии

Математическое ожидание непрерывных случайных величин

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Дисперсия непрерывных случайных величин

 

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Выступление:

Случайной величиной называется функция X(ω), определенная на некотором множестве элементарных событий Ω.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Определение1.3: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Дискретными являются случайные величины в примерах 1,4,5,7.

Определение1.4:Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее.

1:Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина  X  в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).

Определение2.2:Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойство1:  Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x)неубывающая функция, то есть

F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1

Свойство3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 

  1.  F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: Функция распределения непрерывна слева, то есть F(x0) = F(x0 - 0).

 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, … xn , вероятности которых соответственно равны p1,  p2, … pn .  Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn

Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Дисперсия дискретной случайной величины

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: XM(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[XM(X)]2

Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Доказательство: 

D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2XM(X) + M2(X)]= M(X2) – 2M(X)M(X) + M2(X) = M(X2) – 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)- M2(X).

Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойство4:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин

Определение9.1: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Определение9.2: Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Так как D(X) = M(X2) – [M(X)]2, то можно использовать следующие формулы для вычисления дисперсии:

или .

Дополнительно

Свойства функции распределения 

Доказательства:

1) Доказательство: Данное свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2) Доказательство: 

По теореме сложения для двух несовместных событий имеем

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X < x2).

Отсюда

P(X < x2) - P(X < x1) = P(x1 ≤ X < x2),

Или

F(x2) - F(x1) = P(x1 X < x2).

Так как любая вероятность число неотрицательное, то F(x2) -  F(x1) ≥ 0 , или  F(x2) ≥  F(x1) , что и требовалось доказать.

Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a X < b) = F(b) - F(a).

Следствие2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Доказательство:

1) Если x1a , то событие X < x1 невозможно и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Если x2b , то событие X < x2 достоверно и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие:  Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x , то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойства математического ожидания

Определение6.3:  Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем

M[XM(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77918. Файловая система. Сервисное программное обеспечение компьютера 1.34 MB
  Для любых устройств внешней памяти компьютера (жёстких дисков, дискет, CD) операционная система реализует общий принцип организации хранения логически связанных наборов данных в виде так называемых файлов.
77919. MS Word. Подготовка документов 791.5 KB
  Обработка текста на компьютере осуществляется с помощью специальных программ, называемых текстовыми процессорами. С их помощью можно ввести и отформатировать текст, исправить ошибки и просмотреть документ перед печатью.
77920. Добавление графики и эффектов в документы MS Office 399 KB
  В дальнейшем формулу можно отредактировать (изменить шрифт, размер, начертание). Для этого сделайте двойной щелчок в области формулы и выполните редактирование с помощью команд строки меню Стиль и Размер и кнопок панели инструментов Формула
77921. MS Word. Профессиональное форматирование документов 271 KB
  Автоматическое создание оглавления документа. Копирование стилей из документа или шаблона После создания стиля или изменения стиля в документе можно скопировать его в шаблон чтобы новый стиль стал доступен и для любого другого документа который будет создаваться на основе этого шаблона. Если это сделано изменённый или вновь созданный стиль будет скопирован в шаблон документа и доступен для всех документов которые в дальнейшем будут создаваться на основе этого шаблона.
77922. MS Excel. Начальные сведения 532 KB
  Часть новых функций, рассмотренных в предыдущих главах, относятся так же и к Excel, например, области задач и появляющиеся кнопки с раскрывающимися меню. Большинство новых или усовершенствованных функций будут не видны для вас до тех пор
77923. MS Excel. Использование функций 500.5 KB
  Диаграммы в Microsoft Excel Excel предоставляет в распоряжение пользователей множество функций для создания и форматирования диаграмм. Элементы диаграммы Excel предоставляет в распоряжение пользователя различные функции для работы с диаграммами.
77924. Обмен данными между приложениями MS Office 318.5 KB
  Общие принципы установки связей между документами. Связывание таблицы Excel и документа Word. При использовании статического копирования или статического перемещения данные становятся составной частью документа в приложении приёмнике. Этот тип копирования или перемещения обычно используется при работе с одним документом или несколькими документами одного приложения.
77925. Особенности локальных, глобальных и городских сетей 85.5 KB
  Компьютерные сети создаются для того, чтобы дать возможность территориально разобщенным пользователям обмениваться информацией между собой, использовать одинаковые программы, общие информационные и аппаратные ресурсы.