30568

Свойства функции распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Свойства функции распределения : Свойство 1: 0 ≤ Fx ≤ 1. Свойство2: Fx2 ≥ Fx1 если x2 x1. Свойство3: 1Fx = 0 при x ≤ ; 2 Fx = 1 при x ≥ b. Свойство4: Fx0 = Fx0 0.

Русский

2013-08-24

51.52 KB

1 чел.

На доске:

Функция распределения: F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения :

Свойство 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1.

Свойство3: 1)F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: F(x0) = F(x0 - 0).

Математическое ожидание:

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn .

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

Св-ва

Дисперсия:

1)D(X) = M[XM(X)]2.

2)D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Свойства дисперсии

Математическое ожидание непрерывных случайных величин

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Дисперсия непрерывных случайных величин

 

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Выступление:

Случайной величиной называется функция X(ω), определенная на некотором множестве элементарных событий Ω.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Определение1.3: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Дискретными являются случайные величины в примерах 1,4,5,7.

Определение1.4:Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее.

1:Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина  X  в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).

Определение2.2:Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойство1:  Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x)неубывающая функция, то есть

F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1

Свойство3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 

  1.  F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: Функция распределения непрерывна слева, то есть F(x0) = F(x0 - 0).

 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, … xn , вероятности которых соответственно равны p1,  p2, … pn .  Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn

Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Дисперсия дискретной случайной величины

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: XM(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[XM(X)]2

Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Доказательство: 

D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2XM(X) + M2(X)]= M(X2) – 2M(X)M(X) + M2(X) = M(X2) – 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)- M2(X).

Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойство4:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин

Определение9.1: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Определение9.2: Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Так как D(X) = M(X2) – [M(X)]2, то можно использовать следующие формулы для вычисления дисперсии:

или .

Дополнительно

Свойства функции распределения 

Доказательства:

1) Доказательство: Данное свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2) Доказательство: 

По теореме сложения для двух несовместных событий имеем

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X < x2).

Отсюда

P(X < x2) - P(X < x1) = P(x1 ≤ X < x2),

Или

F(x2) - F(x1) = P(x1 X < x2).

Так как любая вероятность число неотрицательное, то F(x2) -  F(x1) ≥ 0 , или  F(x2) ≥  F(x1) , что и требовалось доказать.

Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a X < b) = F(b) - F(a).

Следствие2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Доказательство:

1) Если x1a , то событие X < x1 невозможно и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Если x2b , то событие X < x2 достоверно и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие:  Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x , то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойства математического ожидания

Определение6.3:  Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем

M[XM(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45033. Семантика по книге Стивена Пинкера «Язык как инстинкт» 130 KB
  Пинкер известен за его широко охватывающую защиту эволюционной психологии и Вычислительной теории разума. Академическая специализация Пинкера визуальное восприятие и развитие речи у детей и он более известен как популяризатор идеи о том что язык на котором мы говорим является инстинктом или биологической адаптацией сформированной естественным отбором. Этот доклад был написан мною по одной из самых известных книг Стивена Пинкера Язык как инстинкт.
45034. Инженерная подготовка строительной площадки 42.64 KB
  Бетонную смесь готовят бетоносмесителями и транспортируют с помощью системы внутренних транспортных средств до места заливки либо привозят готовую бетонную смесь автобетоносмесителями или самосвалами Технология устройства защитных покрытии Гидро и пароизоляционные работы выполняют по завершению изготовления конструкции или монтажа сборных конструкций. Однако эти работы могут вестись параллельно с некоторым технологически обусловленным отставанием от работ по изготовлению конструкций на которые будет наноситься гидро и пароизоляция. В...
45035. Семантические принципы 29.5 KB
  Принцип предметности: предложение должно говорить о предметах обозначаемых входящими в него именами а не о самих этих именах. Предложение Стул - это существительное построено правильно. Принцип взаимозаменимости: при замене имен с одинаковым значением предложение в котором эта замена осуществляется не должно изменять свое истинностное значение истинное предложение должно оставаться истинным а ложное ложным. Пусть дано предложение Земля вращается вокруг Солнца.
45036. TRAVELLING BY AIR 33.95 KB
  Modern life is impossible without traveling. There are many ways of traveling: by sea, by plane, by train, by car, on foot. Tastes differ. That іs why it is up to you to decide which means of travelling you'd prefer
45037. TRAVELLING BY SEA 33.59 KB
  It іs wonderful to feel the deck under the feet to see the rise nd fll of the wves to feel the fresh se wind blowing in the fce to her the cry of segulls. Every modern liner hs number of decks with ll sorts of nmes such s promende deck sun deck etc. There re pssenger cbins bove nd below deck.
45038. Розрахунок на точність важільного мікрометра 1.09 MB
  Зовнішній вигляд важільного мікрометра Механізм відліку рисунок 2 складається з синусного механізму з довжиною важеля а виконаного у вигляді вилки 3 з сталевою кулькою який впирається в стінку паза рухомої пятки 2 і зубчатого сектора 4 встановленого на одній осі О з синусним важелем і входячим в зачеплення з центральним колесом 5. Рисунок 2 Схема механізму відлікового пристрою важільного мікрометра Похибка схеми мікрометра обумовлена використанням в ній синусного механізму який має нелінійну функцію перетворення. Знайдемо...
45040. Технология публикации информации в формате. Виды форматов 2.52 MB
  Компьютерный формат файла специфический способ кодирования информации на компьютере. Существуют различные форматы файлов: звуковые форматы форматы автоматизированного проектирования форматы Continer цифровая звукозапись графические форматы видео форматы и т. Чтобы компьютер понимал к какому типу относится тот или иной файл и в какой программе его открыть после имени файла указывается расширение. Расширение файла это часть имени файла которое отделяется от основного имени точкой.
45041. Проектирование перинатального центра 5.07 MB
  Перинатальный центр - учреждение родовспоможения, оказывающее все виды высокотехнологичной и дорогостоящей медицинской стационарной помощи в области акушерства, гинекологии, неонатологии и в т.ч. хирургии новорожденных, а также осуществляющее амбулаторную, консультативно-диагностическую и медико-реабилитационную помощь женщинам и детям раннего возраста.