30568

Свойства функции распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Свойства функции распределения : Свойство 1: 0 ≤ Fx ≤ 1. Свойство2: Fx2 ≥ Fx1 если x2 x1. Свойство3: 1Fx = 0 при x ≤ ; 2 Fx = 1 при x ≥ b. Свойство4: Fx0 = Fx0 0.

Русский

2013-08-24

51.52 KB

3 чел.

На доске:

Функция распределения: F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения :

Свойство 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1.

Свойство3: 1)F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: F(x0) = F(x0 - 0).

Математическое ожидание:

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn .

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

Св-ва

Дисперсия:

1)D(X) = M[XM(X)]2.

2)D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Свойства дисперсии

Математическое ожидание непрерывных случайных величин

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Дисперсия непрерывных случайных величин

 

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Выступление:

Случайной величиной называется функция X(ω), определенная на некотором множестве элементарных событий Ω.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Определение1.3: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Дискретными являются случайные величины в примерах 1,4,5,7.

Определение1.4:Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее.

1:Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина  X  в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).

Определение2.2:Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойство1:  Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство2:  F(x)неубывающая функция, то есть

F(x2) ≥  F(x1), если x2 > x1

Свойство3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 

  1.  F(x) = 0 при xa; 2)  F(x) = 1 при x ≥  b.

Свойство4: Функция распределения непрерывна слева, то есть F(x0) = F(x0 - 0).

 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, … xn , вероятности которых соответственно равны p1,  p2, … pn .  Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + …+  xn pn

Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Дисперсия дискретной случайной величины

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: XM(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[XM(X)]2

Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Доказательство: 

D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2XM(X) + M2(X)]= M(X2) – 2M(X)M(X) + M2(X) = M(X2) – 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)- M2(X).

Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойство4:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин

Определение9.1: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Определение9.2: Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то

Так как D(X) = M(X2) – [M(X)]2, то можно использовать следующие формулы для вычисления дисперсии:

или .

Дополнительно

Свойства функции распределения 

Доказательства:

1) Доказательство: Данное свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2) Доказательство: 

По теореме сложения для двух несовместных событий имеем

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X < x2).

Отсюда

P(X < x2) - P(X < x1) = P(x1 ≤ X < x2),

Или

F(x2) - F(x1) = P(x1 X < x2).

Так как любая вероятность число неотрицательное, то F(x2) -  F(x1) ≥ 0 , или  F(x2) ≥  F(x1) , что и требовалось доказать.

Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a X < b) = F(b) - F(a).

Следствие2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Доказательство:

1) Если x1a , то событие X < x1 невозможно и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Если x2b , то событие X < x2 достоверно и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие:  Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x , то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойства математического ожидания

Определение6.3:  Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[XM(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем

M[XM(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18217. Принципи побудови процесу фізичного виховання 84.5 KB
  Змістовий модуль 1 Тема 2. Принципи побудови процесу фізичного виховання. Усі явища та процеси у природі і житті підпорядковані певним закономірностям і розвиваються відповідно до них. Ці закономірності існують у природі незалежно від волі людини. П
18218. Загальні основи навчання рухових дій 126 KB
  Змістовий модуль 2 Тема 5. Загальні основи навчання рухових дій. Особливості навчання у фізичному вихованні. 1.1. Зміст спеціальних фізкультурноспортивних знань. 1.2. Класифікація рівнів засвоєння знань. Рухові уміння та навички. 2.1. Характеристика
18219. Загальна характеристика та основи методики розвитку рухових здібностей 262 KB
  Змістовий модуль 3 Тема 6. Загальна характеристика та основи методики розвитку рухових здібностей. Поняття про рухові здібності та основні форми їх прояву. 1.1. Визначення поняття рухові здібності потенціальні та актуальні рухові здібності конди
18220. Теорія і методика фізичного виховання, як наукова та навчальна дисципліна. Система фізичного виховання 122 KB
  Змістовий модуль 1 Тема 1. Теорія і методика фізичного виховання як наукова та навчальна дисципліна. Система фізичного виховання. Під терміном теорія в науці і зокрема в ТМФВ розуміють систему основних ідей форму наукового знання що дає цілісне уявлення про законо...
18221. Урок – основна форма фізичного виховання молодших школярів 308.5 KB
  Змістовий модуль 4 Тема 8. Урок основна форма фізичного виховання молодших школярів. Зміст навчального предмету Фізична культура. 1.1. Аналіз програми Основи здоровя і фізична культура Київ 2001 року програмовий матеріал години на проходження зміст к...
18222. Фізична культура в системі виховання дітей шкільного віку 106.5 KB
  Змістовий модуль 5 Тема 10. Фізична культура в системі виховання дітей шкільного віку. План. Соціальнопедагогічне значення фізичної культури дітей шкільного віку. 1.1. Мета завдання спрямованість фізичного виховання школярів. 1.2. Вікові особливості розвитк...
18223. Форми організації занять фізичними вправами в школі 174 KB
  Змістовий модуль 4 Тема 7. Форми організації занять фізичними вправами в школі. Форми фізичного виховання протягом навчального дня. 1.1. Гімнастика перед заняттями. 1.2. Фізкультурні хвилинки і фізкультурні паузи. 1.3. Години здоровя. 1.4. Спортивна година в групах подо...
18224. Математичні терміни 154.5 KB
  Математичні терміни. Твердження судження думка в якій виділяється певний об'єкт встановлюються його властивості або зв'язки з іншими об'єктами. Ознака думка про властивість об'єктів. Ознака істотна ознака без якої об'єкт існувати не може. Ознака неі...
18225. Поняття інформаційних системи, б/д - визначення, властивості, етапи розвитку, класифікація; інформаційна модель концептуального рівня 94.5 KB
  Поняття інформаційних системи б/д визначення властивості етапи розвитку класифікація; інформаційна модель концептуального рівня. 1.1. Поняття інформаційної системи. При самому загальному підході інформаційну систему ІС можна визначити як сукупність організац